Terminale S Chapitre 10 « Loi Normale »

I) Introduction
On fait une étude statistique de la taille des individus d'une population.
Dans chaque cas, la taille moyenne est de 170 cm, avec un écart type de 10 cm.
On trace les histogrammes de la taille, avec des classes de 5cm de large.
Echantillon de 10 individus
taille (cm)
140 160 180 200 120
2
1
0
3
Echantillon de 100 individus
taille (cm)
140 160 180 200 120
10
5
15
20
Echantillon de 1000 individus
taille (cm)
140 160 180 200 120
100
50
0
150
Echantillon de 10.000 individus
taille (cm)
140 160 180 200 120
1000
500
0
1500
Echantillon de 100.000 individus.
n
o
m
b
r
e
d’
i
n
d
i
v
i
d
u
s
taille (cm)
140 160 180 200120
4000
2000
0
6000
Terminale S Chapitre 10 « Loi Normale »
21/03/2013
Au fur et à mesure que la taille de l'échantillon augmente (et
que la taille des classes diminue), l'histogramme devient de
plus en plus régulier et se rapproche d'une courbe en cloche,
appelée loi normale.
On parle de loi normale lorsque l’on a une variable aléatoire
continue dépendant d’un grand nombre de causes
indépendantes dont les effets s’additionnent et dont aucune
n’est prépondérante (conditions de Borel). Historiquement,
cette loi acquiert sa forme définitive avec Gauss (en 1809) et
Laplace (en 1812). C’est pourquoi elle porte également les
noms de : loi de Laplace, loi de Gauss ou loi de Laplace-
Gauss.
La distribution normale est une distribution théorique, en ce
sens qu'elle est une idéalisation mathématique qui ne se
rencontre jamais exactement dans la nature. Mais de
nombreuses distributions réellement observées s’en
rapprochent et ont cette fameuse forme de « cloche »
(beaucoup d’individus autour de la moyenne, de moins en
moins au fur à mesure qu’on s’en éloigne, et ceci de façon
symétrique).

II) La loi binomiale pour un grand nombre d’épreuves
( )
( ) ( )
Rappel :
On considère une variable aléatoire qui suit la loi binomiale , .
associe le nombre de succès lors de répétitions d'une épreuve de Bernoulli de paramètre .
Dans ce cas, et
X B n p
X n p
E X np X n σ = =
( )
1p p−
Exercice 1 :
On considère une variable aléatoire X qui suit la loi binomiale
( )
10,0.3B.
Construire un tableau de la loi de X.
Réaliser un histogramme de cette loi.
En faisant varier n :
En faisant varier p :
] [
( )
( )
( )
( ) ( )
Propriété :
Etant donnés et 0,1 , on considère une variable aléatoire qui suit la loi binomiale , .
On lui associe la variable centrée réduite .
On a alors , 0 et 1.
n
n n
n
n
n n
n p X B n p
X E X
ZX
n E Z Z
σ
σ
∈ ∈
−
=
∀ ∈ = =
Pour des grandes valeurs de n l’histogramme de la variable
n
Z
décrit une courbe en cloche. Cette courbe est la
densité de la loi normale centrée réduite. On le démontrera plus tard, c’est le théorème de Moivre-Laplace.
La "cloche" se décale de gauche à droite
Pour éliminer cet effet de décalage,
il suffit d'ôter l'espérance .
La variable est alors centrée.
np µ =
(
)
( )
La "cloche" est plus ou moins large et haute .
Pour éliminer cette dispersion, il suffit de diviser par l'écart type 1
np p
σ = −

III) Loi normale centrée réduite
( ) ( )
( )
2
2
Définition :
Soit une variable aléatoire continue à valeurs dans l'intervalle .
1
On appelle loi normale centrée réduite, notée 0,1 sur la loi ayant pour densité
= e .
2
On a alors
x
Z
N Z x f x
P a Z b
π
−
→
≤ ≤ =
2
2
1e .
2
x
b
a
dx
π
−
∫
Remarques :
La fonction de densité est paire.
Sa représentation graphique est appelée courbe en cloche.
Elle est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
C’est bien une fonction de densité.
Elle est continue, positive et on admettra que
2
2
1
e 1.
2
x
dx
π
+∞ −
−∞
=
∫
Il n’est pas possible de déterminer une forme explicite des primitives de la fonction
2
2
1
e
2
x
π
−
.
On utilise des tables ou la calculatrice pour déterminer des valeurs approchées des intégrales.
1) Avec la calculette :
Pour tracer la fonction de densité :
La fonction
casio
TI
TI nspire
NormPD
normalpdf
normPDF
permet de tracer
( )
( )
( )
( )
2
2
NormPD
1e normalpdf
2normPdf
x
x
f x x
x
π
−
=
pour calculer l’intégrale.
Pour calculer une probabilité :
La fonction
casio
TI
TI nspire
NormCD
normalcdf
normCdf
permet de calculer
( )
( )
( )
( )
NormCD ,
normalcdf ,
normCdf ,
a b
P a X b a b
a b
≤ ≤ =
.
On peut donner à a et le b des valeurs infinis avec
99 99
10 ou 10
−∞ − +∞
Exemple :
Calculer
(
)
(
)
(
)
1 1 , 2 2 , 3 3
P X P X P X
− ≤ ≤ − ≤ ≤ − ≤ ≤
.
Donner le résultat sous forme de pourcentage tronqué à l’entier.
Exercice 2 :
Si une variable aléatoire X suit la loi
(
)
0,1
N, utiliser la calculatrice pour déterminer des valeurs approchées à
3
10 près
−
de
(
)
(
)
(
)
0.3 0.6 0.5 et 0.1
P X P X P X− ≤ ≤ ≤ ≥
( )
2
12
1
1 1 e 0.68
x
p Z dx
−
−
← − ≤ ≤ =
∫

2) Graphiquement à partir de la courbe de densité :
Exemple :
Soit Z une variable aléatoire
suivant la loi N (0,1) dont la
fonction de densité est
tracée ci-contre. Estimer
graphiquement à 5% près :
1)
(
)
1 2
P X
≤ ≤
2)
(
)
2
P X
≥
3) Avec une table :
On appelle
(
)
(
)
la fonction qui à associe
x x P X x
Π ∈ Π = ≤
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Propriété :
1
Si suit la loi 0,1 alors , , 0 , 1
2
, , 1 et 2 1
Z N a b a a
P Z b b P a Z b b a P a Z a P a Z a a
∀ ∈ Π = Π − = − Π
≤ = Π ≤ ≤ = Π − Π ≤ = − Π − ≤ ≤ = Π −
Remarque :
Avant l’utilisation massive des calculatrices, on utilisait des tables de valeurs de la fonction
Π
pour calculer
des probabilités avec la loi normale.
Exemple :
Cette table donne les valeurs de la fonction
(
)
(
)
: où suit la loi 0,1 .
x P Z x Z N π → < .
Utiliser cette table pour calculer donner des valeurs approchées de :
(
)
1.24
P Z <
(
)
0.62 1.24
P Z− < < et
(
)
0.62
P Z
− <
4) Calculs d’antécédents pour la fonction ૈ
ૈૈ
ૈ :
Etant donnée un réel
]
[
0,1
α ∈, on peut aussi chercher la valeur x telle que
(
)
x
π α
=
.
Pour cela on peut utiliser la fonction
casio
TI et nspire
InvNormCD
invNorm
permet de calculer
( )
( )
InvNormCD
invNorm
x
α
α
=
Exemple : Déterminer a tel que
(
)
0.75
aΠ = puis b tel que
(
)
0.5
P b Z b− ≤ ≤ =

5) Espérance et écart type
( )
( ) ( )
Propriété : Espérance et Variance
Si est une variable aléatoire qui suit
la loi normale centrée réduite 0;1 ,
alors 0 et 1.
X N
E Z V Z= =
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
Dem :
1 1 1 1
e e lim e lim e 0 0 0
2 2 2 2
1e 1 se démontre avec une IPP
2
x x x x
x x
x
E X x dx
V X E X E X E X x dx
π π π π
π
+∞
+∞ − − − −
−∞ →+∞ →−∞
−∞
+∞ −
−∞
= = − = − − − = − =
= − = = =
∫
∫
IV) Le cas général : La loi normale
( )
2 2
Définition :
Soit une variable aléatoire continue à valeurs dans l'intervalle .
On dit que suit la loi normale de param
ètres et notée ,
si la variable aléatoire associée suit la lo
X
X N
Z
Z
µ σ µ σ
µ
σ
−
=
( )
( )
i 0,1 .N
a b
P a X b P Z
µ µ
σ σ
− −
≤ ≤ = ≤ ≤
1) Avec la calculette :
Pour calculer des probabilités :
la fonction
casio
TI
TI nspire
NormCD
normalcdf
normCdf
permet de calculer
( )
( )
( )
( )
NormCD , ,
normalcdf , , ,
normCdf ,
,
Attention à l'ordre
des paramètres !! !
, ,
!
a b
P a X b a b
a b
µ σ
µ σ
σ µ
≤ ≤ =
On peut donner à a et le b des valeurs infinis avec
99 99
10 ou 10
−∞ − +∞
Exemples :
1) Si
(
)
(
)
5,2 , déterminer 4 6
X N P X
≤ ≤
∼
2) Si
(
)
(
)
7,3 , déterminer 8
X N P X
≤
∼
3) Si
(
)
(
)
0,2 , déterminer 1
X N P X
≤
∼
Exercice 3 :
On note X la variable aléatoire qui, à chaque homme prélevé au hasard, associe sa taille en centimètres. On
suppose que X suit la loi normale de moyenne 178 et d'écart-type 10.
Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants :
1) A : « Un homme interrogé au hasard a une taille supérieure ou égale 180 »
2) B : « Un homme interrogé au hasard a une taille strictement inférieure à 150 »
3) C : « Un homme interrogé au hasard a une taille comprise entre 160 et 185 »
Exercice 4 : Déterminer
σ
connaissant une valeur
Soient X et Z des variables aléatoires suivant respectivement les lois
(
)
2
0,N
σ
et
(
)
0,1
N
1) Montrer que
( )
5
0, 5P X P Z σ
σ
∀ > < = <
2) Donner le réel x tel que
(
)
0.8
P Z x < =