Nombres — Calculs numériques 1 Les ensembles de nombres

Nombres — Calculs numériques
1 Les ensembles de nombres
1.1 Définitions
Nest l’ensemble des entiers naturels : 0,1,2,3,...
On écrit N={0; 1; 2; 3; ...}.
Remarque. — Notation : 1 ∈
|{z}
appartient à
N.
——————————————
Zest l’ensemble des entiers relatifs : 0,1,2,3,... mais aussi −1,−2,−3,...
On écrit Z={...;−3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; ...}.
Remarque. — Notation : N⊂
|{z}
inclus dans
Z.
——————————————
Dest l’ensemble des nombres décimaux, i. e. les nombres possédant un (développement décimal fini
(nombre fini de chiffres après la virgule) .
Exemple. — 2,2∈D; 0,000 000 03 ∈D, ou encore −3∈D(0 chiffre après la virgule). Z⊂D.
Mais √2/∈
|{z}
n’appartient pas à
D, ni 1
3.
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Qest l’ensemble des nombres rationnels, c’est-à-dire les nombres pouvant s’écrire comme quotient de deux entiers.
Exemple. —−2
3∈Q;11 5= 2,2∈Q.
D⊂Q: en effet, tout nombre décimal peut s’écrire comme une fraction avec une puissance de 10 au dénominateur.
Exemple. — 0,000 000 03 = 3
108∈Q, ou encore 11 5= 2,2 = 22 10 ∈Q(mais 11 5est la fraction irréductible).
Question —π, √2,cos 17˚sont-ils dans N,Z,D,Q?Non. Ces nombres ne sont pas rationnels. Ils sont dits irra-
tionnels.
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Rest l’ensemble des nombres réels. Ce sont tous les nombres connus : √2, π, 1 + √5
2etc.
Rest représenté sous la forme d’une droite graduée : (la droite réelle
l’axe des réels .
Tout nombre réel correspond à un unique point sur cette droite. Et réciproquement tout point de la droite corres-
pond à un unique nombre réel, qui est son ...abscisse... sur l’axe.
Note. — Toutes les opérations élémentaires marchent : on peut additionner, soustraire, multiplier, diviser les
nombres réels.
N⊂Z⊂D⊂Q⊂R
Définition Trouver la nature d’un nombre, c’est donner le plus petit ensemble (parmi N,Z,D,Q,R) auquel il appar-
tient.

1.2 Développement décimal d’un nombre
Note. — Important : L’expression « nombre à virgule » désigne aussi bien les nombres décimaux que les rationnels
ou les réels. C’est donc une dénomination à éviter absolument, car trop imprécise.
Propriété
Les nombres décimaux sont les nombres possédant un développement décimal fini.
Les nombres rationnels non décimaux sont les nombres possédant un développpement décimal infini et périodique.
Les nombres irrationnels sont les nombres possédant un développement décimal infini et non périodique.
2 Calculs sur les puissances
2.1 Définition
aest un nombre réel non nul, nest un entier naturel.
an=a×a×......×a
|{z }
nfacteurs
et a−n=1
an(a6= 0)
Par convention, a0= 1 pour tout nombre réel a6= 0.
Exemples.
105= 10 ×10 ×10 ×10 ×10 = ... 53= 5 ×5×5 = ...
10−5=1
105=... 5−3=1 ... =... 2−4=...=...
(−5)3=......... (−2)−4=.........
Remarques
1. 10n= 1 00 ......0
|{z }
nzéros
10−n= 0,00 ......0
|{z }
nzéros
1
2. Lorsque aest négatif, anest positif si nest . . . . . . . . . , négatif si nest . . . . . . . . . (d’après la règle des signes).
2.2 Propriétés sur les puissances
Pour toutes ces formules, aet bdésignent des nombres réels non nuls et met ndeux entiers relatifs.
am×an=......
Exemples.
53×57=...... 3−6×34=...... 8−13 ×8−8=...... 10−1×105×10−7=.........
am
an=......
Exemples.
35
32=...... 4,7−5 4,73=. . . . . . 5−3 5−6=......
(−6)3
(−6)−7=...... 5−1×57×5−10 5−6×52=.........
(am)n=......

Exemples.
(33)4=...... (10−2)5=...... (5−2)−10 =......
100006= (...)6=...... 0,00014=......... 1000−3=.........
an×bn= (a×b)net an
bn=a bn
Exemples.
24×54=...... 57
107=......2×3−1×74×(32)3 7−2×2−1×76
3 Racines carrées
Fiche A5 distribuée en module (cf. Déclic p 20).
4 Écriture scientifique et ordre de grandeur
Définition L’écriture scientifique d’un nombre décimal est de la forme b×10nou −b×10n, avec n∈Zet b∈Dtel
que 16b < 10.
Exemple. — 1327,51 a pour écriture scientifique 1,32751 ×103.
Remarque. — L’écriture scientifique d’un nombre n’est pas une valeur approchée.
Définition L’ordre de grandeur d’un nombre est la valeur approchée de la forme c×10nou −c×10n, avec n∈Zet
c∈Ntel que 16c < 10.
Propriété Pour obtenir l’ordre de grandeur d’un nombre dont l’écriture scientifique est b×10n, on arrondit bà l’unité
dans cette écriture.

Récapitulatif des compétences
Simplification d’écriture
Conventions de priorité : addition, multiplication, puissances
Opérations sur les fractions
Calcul sur les puissances
Reconnaître la nature d’un nombre
Mettre une expression sous la forme a√b
Puissances de dix
Calculer à l’aide de l’écriture scientifique
Déterminer et utiliser un ordre de grandeur
Valeurs approchées
Distinguer un nombre d’une de ses valeurs approchées
Interpréter un résultat donné par une calculatrice
Expressions algébriques
Reconnaître la forme d’une expression algébrique (somme, produit, carré, différence de deux carrés...)
Développer une expression algébrique
Factoriser une expression algébrique
Modules
Opérations sur les fractions
Développement décimal d’un nombre
Valeur exacte, valeurs approchées
Révisions de 3e: Factorisation et développement, égalités remarquables
Forme d’une expression algébrique — Factorisation