Racine nieme (Exercices)

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Racine nième
Corrigés d’exercices
Page 159 : N°80, 82, 84, 86, 88, 89, 91, 92, 94, 97 Page 165 : N°130, 132
Page 162 : N°105
Page 167 : N°138
Page 164 : N°122
N°80 page 159
2
2
1
2
2
1
5 3 × 6 25 = 5 3 × 25 6 = 5 3 × ( 52 ) 6 = 5 3 × 5
1
10
1
10 10
2 × 1024 = 2 × 1024 = 2 × ( 2
10
5
1
5
1
5
1
5
2×
1
4 5
81 × 3 = 81 × 3 = ( 3
)
)
1
5
2
2
1
10×
10
1
5
2
1
2 1
+
3
= 5 3 × 5 6 = 5 3 × 53 = 5 3
= 2× 2
4×
×3 = 3
1
6
1
5
= 51 = 5
= 2 × 21 = 2 × 2 = 4
4
5
1
5
×3 = 3 ×3 = 3
4 1
+
5 5
= 31 = 3
N°82 page 159
1. a) Comme k est positif, k appartient à l’ensemble de définition de la fonction f.
Par ailleurs, on a immédiatement : f ( k ) = k 3 − k 3 = 0 .
On en déduit :
k est une racine de f sur [ 0; +∞[ .
b) D’après le résultat de la question précédente, on peut factoriser la fonction polynôme f
par x − k :
f ( x ) = x 3 − k 3 = ( x − k ) (α x 2 + β x + γ )
Or : ( x − k ) (α x 2 + β x + γ ) = α x 3 + ( β − kα ) x 2 + ( γ − k β ) x − kγ .
Par identification, on obtient alors le système :
α
⎧
⎪ β − kα
⎪
⎨
⎪γ − kβ
⎪⎩ − kγ
Lycée Fénelon Sainte-Marie
=1
⎧α = 1
⎪
⇔ ⎨β = k
=0
⎪γ = k 2
⎩
= −k 3
=0
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Corrigés d’exercices
On a donc finalement :
∀x ≥ 0, f ( x ) = x3 − k 3 = ( x − k ) ( x 2 + kx + k 2 )
2. On a d’abord :
(
3
a−3b
)(
3
) (
a 2 + 3 ab + 3 b 2 =
3
a−3b
) (( a )
3
2
+3 a3 b+
( b) )
2
3
En utilisant l’égalité obtenue à la question précédente avec x = 3 a et k = 3 b , on obtient
immédiatement :
(
3
a−3b
)(
3
) (( a )
= ( a) −( b)
) (
a 2 + 3 ab + 3 b 2 =
3
a−3b
3
3
3
2
+3 a3 b+
( b) )
2
3
3
3
= a −b
Le résultat est ainsi établi.
(
3
a−3b
)(
3
)
a 2 + 3 ab + 3 b 2 = a − b
N°84 page 159
( ) = 1+ 2 3 + 3 = 2(2 + 3) .
D’où : (1 + 3 ) = ⎡ 2 ( 2 + 3 ) ⎤ = 4 ( 2 + 3 )
⎣
⎦
a) On a : 1 + 3
2
2
4
(1 + 3 )
4
2
(
) (
)
= 4 4+4 3 +3 = 4 7+4 3 .
(
= 4 7+4 3
)
b) D’après ce qui précède et en tenant compte du fait que 1 + 3 est strictement positif, on a :
(
)
1+ 3 = 4 4 7 + 4 3 = 4 4 × 4 7 + 4 3 = 2 × 4 7 + 4 3
Finalement :
2 × 4 7 + 4 3 = 1+ 3
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Corrigés d’exercices
N°86 page 159
a)
4
1
1
⎧
⎧
x
≥
x≥
⎪⎪
⎪
⎧2 x − 1 ≥ 0
⎪
2
2 ⇔ x = 17
2x −1 = 2 ⇔ ⎨
⇔⎨
⇔⎨
4
4
2
⎩2 x − 1 = 2
⎪x = 2 +1
⎪ x = 17
⎪
2
⎩
2
⎩⎪
S = ⎧⎨ ⎫⎬
⎩2⎭
17
b)
5
⎧x +1 ≥ 0
⎧ x ≥ −1
⎧ x ≥ −1
1
1
31
⎪
⎪
⎪
5
⇔⎨
⇔x=
−1 ⇔ x = −
x +1 = ⇔ ⎨
1
1
1⎞ ⇔ ⎨
⎛
2
32
32
⎪x +1 = ⎜ ⎟
⎪⎩ x = 25 − 1 ⎪⎩ x = 32 − 1
⎝2⎠
⎩
S = ⎧⎨− ⎫⎬
⎩ 32 ⎭
31
c) Comme x 2 + 1 > 0 pour tout x réel, on a :
3
x 2 + 1 = 2 ⇔ x 2 + 1 = 23 ⇔ x 2 = 8 − 1 = 7 ⇔ x = ± 7
S = {− 7; 7 }
N°88 page 159
a) On résout l’équation dans \ + et on a alors :
1
1
1
⎧
⎧
⎧
5
5
5
=
=
=
X
x
X
x
X
x
⎪
⎪
⎪
2
1
⎪
⎪
⎪
x5 − x5 = 6 ⇔ ⎨ X ≥ 0
⇔ ⎨X ≥ 0
⇔ ⎨X ≥ 0
⎪X 2 − X = 6
⎪X 2 − X − 6 = 0
⎪ X + 2 X −3 = 0
)(
)
⎪⎩
⎪⎩
⎪⎩(
1
1
⎧⎪
5
X
x
=
⇔⎨
⇔ x 5 = 3 ⇔ x = 35 = 243
⎪⎩ X = 3
S = {243}
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b) On résout l’équation dans \*+ et on a alors :
1
x 3 + 12 x
−
1
1
1
⎧
⎧
⎧
3
3
⎪ X = x3
=
=
X
x
X
x
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
= −7 ⇔ ⎨ X > 0
⇔ ⎨X > 0
⇔ ⎨X > 0
⎪
⎪ X 2 + 7 X + 12 = 0
⎪ X +4 X +3 = 0
1
)(
)
⎪ X + 12 = −7
⎪⎩
⎪⎩(
X
⎩
1
3
Les deux solutions de l’équation ( X + 4 )( X + 3) = 0 étant strictement négatives, on en
déduit que le système n’admet pas de solution.
On aurait pu conclure encore plus rapidement en notant que pour tout x strictement positif,
1
on a x 3 > 0 , x
−
1
3
1
> 0 et donc x 3 + 12 x
−
1
3
> 0.
S =∅
N°89 page 159
2
2
2
1
3
3
⎛ 1⎞
⎛ 3⎞
On remarque que l’on a : ⎜ x 3 ⎟ = x 3 et ⎜ y 4 ⎟ = y 2 . On pose alors : X = x 3 et Y = y 4 et il
⎝ ⎠
⎝ ⎠
vient :
⎧
X
⎪
⎪
3
⎪
Y
⎧ 13
⎪
⎪x + y4 = 8
X
⇔⎨
⎨ 2
3
⎪ x 3 + y 2 = 40
⎪ X +Y
⎩
⎪
⎪X 2 +Y 2
⎪
⎩
⎧
X
=x
⎪
3
⎪
⎪
Y
= y4
⎪
X
≥ 0, Y ≥ 0 ⇔ ⎨
⎪
=8
Y
⎪
⎪ X 2 + ( 8 − X )2
= 40
⎪
⎩
1
3
1
⎧
X = x3
=x
⎪
3
3
⎪
⎪
Y = y4
= y4
⎪
X ≥ 0, Y ≥ 0
≥ 0, Y ≥ 0 ⇔ ⎨
⎪
= 8− X
Y =8− X
⎪
⎪ 2 X 2 − 16 X + 64 = 40
= 40
⎪
⎩
1
3
1
1
⎧
⎧
3
3
X
=
x
X
=
x
⎪
⎪
3
3
⎪
⎪
⎪
⎪
Y = y4
Y = y4
⎪
⎪
⇔⎨
X ≥ 0, Y ≥ 0 ⇔ ⎨
X ≥ 0, Y ≥ 0
⎪
⎪
Y =8− X
Y = 8− X
⎪
⎪
⎪ X 2 − 8 X + 12 = 0
⎪( X − 2 )( X − 6 ) = 0
⎪
⎪
⎩
⎩
4
3
4
3
1+
Avec X = 2 , il vient : Y = 6 . Puis : x = X = 2 = 8 et y = Y = 6 = 6
3
3
(
)
1
3
1
3
= 6× 6 = 63 6 .
On obtient ainsi un premier couple solution : ( x; y ) = 8;6 3 6 .
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4
4
1+
Avec X = 6 , il vient : Y = 2 . Puis : x = X 3 = 63 = 216 et y = Y 3 = 2 3 = 6
(
)
1
3
1
= 2 × 23 = 2 3 2
On obtient ainsi un deuxième couple solution : ( x; y ) = 216; 2 3 2 .
{
}
S = ( 8;6 3 6 ) , ( 216; 2 3 2 )
N°91 page 159
1
6
1
12
Pour x = 0 , on a : 0 = 0 = 0 et 0 = 0 = 0 = 0 et les deux membres de l’inéquation
sont égaux, elle est donc vérifiée. 0 est solution de l’inéquation.
6
11
12
12
Pour tout réel x strictement positif, on a :
6
11
12
11 1
−
1 x
−1
12 6
x ≤ 8 x ⇔ x ≤ 8x ⇔ ≤ 1 ⇔ 8 ≤ x
⇔
8
6
x
12
11
1
6
9
11
12
3
4
2−3 ≤ x12 ⇔ 2−3 ≤ x 4 ⇔ x ≥ ( 2−3 ) 3 ⇔ x ≥ 2−4 ⇔ x ≥
1
16
Finalement :
S = {0} ∪ ⎡⎢ ; +∞ ⎡⎢
1
⎣16
⎣
N°92 page 159
Du fait du terme
3
x , on résout cette équation dans \ + :
1
⎧
3
⎪X = x
2
1
⎪
⇔
2 3 x2 − 5 3 x + 2 = 0 ⇔ 2 x 3 − 5x 3 + 2 = 0 ⇔ ⎨ X ≥ 0
⎪2 X 2 − 5 X + 2 = 0
⎪⎩
⎧
1
1
⎧
⎪ X = x3
3
=
X
x
⎪
⎪
⎪⎪
⇔ ⎨X ≥ 0
⎨X ≥ 0
⎪ 2
⎪
1
⎪⎩2 X − 5 X + 2 = 0
⎪2 ( X − 2 ) ⎛⎜ X − ⎞⎟ = 0
2⎠
⎝
⎩⎪
Avec X = 2 , il vient x = X 3 = 23 = 8 .
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3
1
⎛1⎞ 1
Avec X = , il vient : x = X 3 = ⎜ ⎟ = .
2
⎝2⎠ 8
Finalement :
S = ⎧⎨ ;8⎫⎬
1
⎩8
⎭
N°94 page 159
1. Pour tout x réel, on a : 2 x 2 + 1 ≥ 2 > 0 . La fonction f est donc définie sur \ qui est
symétrique.
Par ailleurs, pour tout x réel, on a :
f ( − x ) = 3 2 ( − x ) + 1 = 3 2x2 + 1 = f ( x )
2
De ce qui précède, on tire :
La fonction f est paire.
1
3
2. Pour tout x réel, on a : f ( x ) = 2 x + 1 = ( 2 x + 1) = e
3
2
2
(
)
1
ln 2 x 2 +1
3
.
Or, on a : lim ( 2 x 2 + 1) = lim 2 x 2 = +∞ et lim ln x = +∞ . Donc : lim ln ( 2 x 2 + 1) = +∞
x →+∞
et lim
x →+∞
x →+∞
x →+∞
x →+∞
1
ln ( 2 x 2 + 1) = +∞ .
3
Or, on a : lim e = +∞ . Donc : lim e
x
x →+∞
(
)
1
ln 2 x 2 +1
3
x →+∞
= +∞ .
Finalement :
lim f ( x ) = +∞
x →+∞
La fonction f étant paire, on en déduit immédiatement :
lim f ( x ) = +∞
x →−∞
3. La fonction f est la composée de la fonction x 6 2 x 2 + 1 , dérivable sur \ et prenant ses
valeurs dans [1; +∞[ , et de la fonction racine cubique x 6 3 x , dérivable sur \*+ .
Comme [1; +∞[ est inclus dans \*+ , on en déduit que la fonction f est dérivable sur \ .
La fonction f est dérivable sur \ .
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1
Pour tout x réel, on a : f ( x ) = 3 2 x 2 + 1 = ( 2 x 2 + 1) 3 .
On en déduit alors (dérivation d’une composée) :
1
2
−1
−
1
2
2
2
2
3
f ' ( x ) = × 2 x × ( 2 x + 1) = x ( 2 x + 1) 3 =
3
3
3
∀x ∈ \, f ' ( x ) =
4. Pour tout x réel, on a : ( 2 x 2 + 1) ≥ 1 > 0 d’où :
2
2
3
3
x
3
( 2x
2
+ 1)
2
x
3
( 2x
( 2x
2
2
+ 1)
2
+ 1) > 0 . Le signe de f ' ( x ) est
2
donc le même que celui de x :
•
•
Sur \*− , on a : f ' ( x ) < 0 et la fonction f est strictement décroissante ;
Sur \*+ , on a : f ' ( x ) > 0 et la fonction f est strictement croissante.
A titre de complément, nous fournissons ci-dessous la courbe représentative de la fonction f
pour x compris entre −250 et 250 …
y
200
150
100
1
2
f(x ) = (2x +1)
3
50
x
0
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
-50
-100
-150
Courbe représentative de la fonction x 6 3 2 x 2 + 1 pour x ∈ [ −250; 250] .
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… puis pour x compris entre −5 et 5 (tangente horizontale à l’origine) :
y
5
4
1
2
f(x ) = (2x +1)
3
3
2
1
x
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
Courbe représentative de la fonction x 6 3 2 x 2 + 1 pour x ∈ [ −5;5] .
N°97 page 159
1. a) La fonction x 6 x
−
1
4
est dérivable sur \*+ comme composée de la fonction racine
quatrième, dérivable sur \*+ et prenant ses valeurs dans \*+ (pour x > 0 ), et de la
fonction inverse, dérivable sur \*+ .
1
La fonction x 6 x est dérivable sur \*+ en tant que fonction linéaire.
2
La fonction f est donc dérivable sur \*+ comme somme de deux fonctions dérivables sur
cet intervalle.
Pour tout réel x strictement positif, on a alors :
5
− ⎞
1 − 1 −1 1
1⎛
f ' ( x ) = − x 4 + ×1 = ⎜ 2 − x 4 ⎟
4
2
4⎝
⎠
5
− ⎞
1⎛
f '( x) = ⎜ 2 − x 4 ⎟
4⎝
⎠
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b) On a :
5
5
5
− ⎞
−
−
⎛ −5 ⎞
1⎛
f '( x) = 0 ⇔ ⎜ 2 − x 4 ⎟ = 0 ⇔ 2 − x 4 = 0 ⇔ x 4 = 2 ⇔ ⎜ x 4 ⎟
4⎝
⎠
⎝
⎠
−
−
4
5
=2
−
4
5
⇔x=2
−
4
5
4
La fonction f ' s’annule en x0 = 2 5 .
1
c) La fonction x 6 x 4 (racine quatrième) est strictement croissante sur \*+ (cf. le cours)
1
et prend ses valeurs dans cet intervalle. La fonction x 6 x −5 = 5 est strictement
x
*
décroissante sur \ + comme inverse d’une fonction strictement croissante sur cet
−
5
intervalle. La fonction x 6 x 4 est donc strictement décroissante sur \*+ .
1
La fonction x 6 ( 2 − x ) est strictement décroissante sur \*+ .
4
Finalement, la fonction f ' est strictement croissante sur \*+ .
En utilisant le résultat de la question précédente, il vient alors :
⎤ −4 ⎡
Pour x ∈ ⎥ 0; 2 5 ⎢ , f ' ( x ) < 0 et la fonction f est strictement décroissante ;
⎦
⎣
4
⎛ − ⎞
f '⎜ 2 5 ⎟ = 0 ;
⎝
⎠
⎤ − 54
⎡
Pour x ∈ ⎥ 2 ; +∞ ⎢ , f ' ( x ) > 0 et la fonction f est strictement croissante.
⎦
⎣
•
•
•
Remarque : on déduit de ce qui précède que la fonction f admet un minimum global en
−
4
x0 = 2 5 . Les résultats des calculs de limites qui suivent doivent être en accord avec ce
résultat.
Par ailleurs, on a :
−
1
⎛ ⎞
4
1
4
− ×⎜ − ⎟
−
−1−
⎛ −4 ⎞ ⎛ −4 ⎞ 4 1 −4
f ( x0 ) = f ⎜ 2 5 ⎟ = ⎜ 2 5 ⎟ + 2 5 = 2 5 ⎝ 4 ⎠ + 2−1 × 2 5 = 2 5 + 2 5
2
⎝
⎠ ⎝
⎠
1
9
1
10
1
1
−
− ⎞
⎛
5
= 2 5 + 2 5 = 2 5 ⎜1 + 2 5 ⎟ = 2 5 (1 + 2−2 ) = 2 5 × 1, 435 873
4
⎝
⎠
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4
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1
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1
1
2. On a : lim x 4 = 0 4 = 0 et la fonction racine quatrième prend des valeurs strictement
x →0
x >0
positives sur \*+ . On en déduit : lim x
−
1
4
x →0
x >0
⎛1 ⎞
= +∞ . Par ailleurs : lim ⎜ x ⎟ = 0 . D’où :
x →0 2
⎠
x >0 ⎝
lim f ( x ) = +∞
x →0
x >0
1
On a aussi : lim x 4 = +∞ . D’où : lim x
−
1
4
x →+∞
x →+∞
⎛1 ⎞
= 0 . Par ailleurs : lim ⎜ x ⎟ = +∞ . D’où :
x →+∞ 2
⎝
⎠
lim f ( x ) = +∞
x →+∞
−
4
5
Ces résultats sont cohérents avec l’existence d’un minimum en x0 = 2 .
1
−
1 ⎞
⎛
3. a) D’après la question précédente, on a : lim ⎜ f ( x ) − x ⎟ = lim x 4 = 0 . D’où :
x →+∞
2 ⎠ x →+∞
⎝
La courbe représentativeC
de la fonction f admet en +∞
1
une asymptote oblique Δ d’équation : y = x .
2
b) On obtient :
5.5
y
5
-
f(x ) = x
1
4
1
+ x
2
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
x
0
-0.5
-1
y=
1
2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
-0.5
x
-1
-1.5
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1. On a f ( x ) = x
−
1
3
=
1
x
1
3
. On obtient donc facilement les tableaux de variations des
1
fonctions f et g à partir de ceux des fonctions racine cubique ( x 6 x 3 ) et racine quatrième
1
( x 6 x 4 ).
Il vient donc :
0
x
+∞
+∞
f
0
Et :
x
+∞
+∞
0
g
0
2.
⎧⎪ x > 0
f ( x ) = g ( x ) équivaut à : ⎨ − 1
1 .
3
4
⎩⎪ x = 2 x
Il vient alors :
⎧x > 0
⎧⎪ x > 0
⎧⎪ x > 0
⎧⎪ x > 0
⎧⎪ x > 0
⎪
1
1
⇔
⇔
⇔
⇔
1
1 1
1
1
7
⎨ −1
⎨ = 2x 4
⎨
⎨
⎨
+
⎪⎩ x 3 = 2 x 4
⎪ 1
⎪⎩1 = 2 x 4 × x 3
⎪⎩1 = 2 x 4 3
⎪⎩1 = 2 x 12
⎩ x3
⎧x > 0
⎧x > 0
x>0
x>0
12
−
⎪ 7
⎪⎧
⎪
⎪⎧
7
12 ⇔ ⎨
2
x
⇔⎨
⇔
⇔
⇔
=
12
7
⎨
⎨
1
−
12
−1 7
1
−
7
12
⎪x =
⎪⎩ x = 2
⎪⎩ x = ( 2 )
⎪⎩ x = 2
2
⎩
L’équation f ( x ) = g ( x ) admet comme unique solution : x = 2
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−
12
7
0,3 .
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Racine nième
Corrigés d’exercices
A titre de complément, on a :
⎛ −12 ⎞
⎛ −12 ⎞ ⎛ −12 ⎞
f ⎜2 7 ⎟ = g⎜2 7 ⎟ = ⎜2 7 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠ ⎝
⎠
−
1
3
=2
−
12 ⎛ 1 ⎞
×⎜ − ⎟
7 ⎝ 3⎠
4
= 2 7 1,5
3. a) et b) On obtient :
2.8
y
2.6
4
2.4
g(x ) = 2 x
2.2
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
-
f(x ) = x
1
3
0.8
0.6
0.4
0.2
x
0
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
-0.2
N°122 page 164
On noteC n la courbe représentative de la fonction racine nième dans un repère orthonormal.
1 1n −1
a) La dérivée de la fonction racine nième est définie sur \ par : x 6 x . Pour x = 1 ,
n
1
elle prend donc la valeur .
n
*
+
1
On a par ailleurs : n 1 = 1n = 1 .
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Corrigés d’exercices
L’équation réduite de la tangente Tn àC n au point d’abscisse x = 1 s’écrit donc :
y=
1
( x − 1) + 1
n
La droite Tn coupe l’axe des ordonnées en un point dont l’abscisse est nulle. D’après
1
1
l’équation obtenue précédemment, son ordonnée vaut donc : y = ( 0 − 1) + 1 = 1 − .
n
n
1
L’ordonnée du point d’intersection de la droite Tn avec l’axe des ordonnées vaut : 1 − .
n
b) On considère la fonction h définie sur \ + par : h ( x ) = n x −
1
( x − 1) − 1 .
n
La fonction h est dérivable sur \*+ comme somme de deux fonctions dérivables sur cet
1
intervalle (la fonction racine nième et la fonction affine : x 6 − ( x − 1) − 1 ).
n
On a alors, pour tout réel x strictement positif :
h '( x) =
n −1
⎞
1 1n −1 1 1 ⎛ 1n −1 ⎞ 1 ⎛ 1−nn ⎞ 1 1−nn ⎛
x − = ⎜ x − 1⎟ = ⎜ x − 1⎟ = x ⎜1 − x n ⎟
n
n n⎝
⎠ n⎝
⎠ n
⎝
⎠
Pour tout réel x strictement positif, le facteur
1 1−nn
x l’est également.
n
n −1
⎛ 1⎞
Le signe de h ' ( x ) est donc celui de la différence : 1 − x = 1 − ⎜ x n ⎟ .
⎝ ⎠
*
La fonction racine nième est strictement croissante sur \ + et prend ses valeurs dans cet
n −1
n
intervalle. Comme n ≥ 2 , on a n − 1 > 0 et la fonction x 6 x n −1 est strictement croissante
⎛ 1⎞
sur \ . On en déduit que la fonction x 6 ⎜ x n ⎟
⎝ ⎠
précédentes, est strictement croissante sur \*+ .
*
+
n −1
=x
n −1
n
, composée des deux
n −1
Finalement, la fonction x 6 1 − x n est strictement décroissante sur \*+ .
Comme elle s’annule pour x = 1 , il vient :
•
Pour x ∈ ]0;1[ , on a h ' ( x ) > 0 et la fonction h est strictement croissante ;
•
Pour x ∈ ]1; +∞[ , on a h ' ( x ) < 0 et la fonction h est strictement décroissante.
La fonction h étant continue sur \ + comme somme de deux fonctions continues sur cet
intervalle, on peut étendre la conclusion à ce point.
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Corrigés d’exercices
Finalement :
•
Pour x ∈ [ 0;1] , la fonction h est strictement croissante ;
•
Pour x ∈ [1; +∞[ , la fonction h est strictement décroissante.
c) D’après ce qui précède, la fonction h admet un maximum pour x = 1 . La valeur maximale
1
prise par h vaut donc : h (1) = n 1 − (1 − 1) − 1 = 1 − 0 − 1 = 0 .
n
On en déduit que pour tout x positif, on a : h ( x ) ≤ 0 .
Soit :
n
x−
1
( x − 1) − 1 ≤ 0 , ou encore :
n
Pour une valeur de x donnée, l’ordonnée
n
x≤
1
( x − 1) + 1 .
n
( x ) du point correspondant surC
x
n
est
⎛1
⎞
inférieure à l’ordonnée ⎜ ( x − 1) + 1⎟ du point correspondant sur Tn . D’où :
⎝n
⎠
La courbe représentativeC n de la fonction racine nième
est située sous la tangente Tn au point d’abscisse x = 1 .
A titre d’illustration, nous avons tracé dans un même repère orthonormal les courbes et les
tangentes correspondant à n = 2 (rouge), 4 (bleu) et 10 (vert) :
y
1.6
1.4
1.2
1
1
f 10(x ) = x
10
y10
1
0.8
f 4(x ) = x
4
y4
0.6
0.4
y2
1
0.2
f (x ) = x
2
2
=
x
x
0
0
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
-0.2
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Corrigés d’exercices
N°130 page 165
1. Les réels a et b étant positifs, il en va de même pour les réels a + b et 2 ab .
Pour les comparer, nous pouvons comparer leurs carrés :
(a + b)
2
(
= a 2 + b 2 + 2ab et 2 ab
)
2
= 4ab
On a alors :
(a + b)
2
(
− 2 ab
)
2
= a 2 + b 2 + 2ab − 4ab
= a 2 + b 2 − 2ab
= (a − b)
(
)
2
On a donc : ( a + b ) ≥ 2 ab , d’où, finalement :
2
2
a + b ≥ 2 ab
2. Remarquons d’abord que l’inégalité est immédiatement vérifiée si l’un des réels a, b ou c
est nul. Nous pouvons donc supposer, à partir de maintenant que les trois réels a, b et c
sont non nuls (donc strictement positifs).
Nous devons donc ici comparer deux réels strictement positifs. La fonction cube étant
(
strictement croissante sur \*+ , nous pouvons comparer ( a + b + c ) et 3 3 abc
3
)
3
= 27abc .
Soit alors b et c deux réels strictement positifs fixés quelconques et soit ϕ la fonction
définie sur \*+ par :
ϕ ( x ) = ( x + b + c ) − 27 xbc
3
La fonction ϕ est une fonction polynôme donc dérivable sur \*+ et on a, pour tout x réel
strictement positif :
ϕ ' ( x ) = 3 ( x + b + c ) − 27bc
2
2
= 3 ⎡( x + b + c ) − 9bc ⎤
⎣
⎦
(
)
2
2
= 3 ⎡( x + b + c ) − 3 bc ⎤
⎢⎣
⎥⎦
= 3 ⎡⎣ x + b + c − 3 bc ⎤⎦ ⎡⎣ x + b + c + 3 bc ⎤⎦
Le facteur x + b + c + 3 bc est strictement positif.
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Corrigés d’exercices
Quant au facteur x + b + c − 3 bc , il s’annule pour x0 = − ( b + c ) + 3 bc qui peut être
positif ( b = c = 1 par exemple) ou négatif ( b = 1 et c = 9 par exemple).
Nous devons donc distinguer plusieurs situations :
Æ Si x0 = − ( b + c ) + 3 bc < 0
Pour tout réel x de \*+ , on a ϕ ' ( x ) > 0 et la fonction ϕ est strictement croissante.
3
3
On a : lim ϕ ( x ) = lim ⎡( x + b + c ) − 27 xbc ⎤ = ( b + c ) > 0 et on en déduit :
⎦
x →0
x →0 ⎣
x >0
x >0
∀x ∈ \*+ , ϕ ( x ) > 0
Æ Si x0 = − ( b + c ) + 3 bc > 0
•
Pour tout réel x de ]0; x0 [ , on a ϕ ' ( x ) < 0 et la fonction ϕ est strictement
•
décroissante ;
Pour tout réel x de ] x0 ; +∞[ , on a ϕ ' ( x ) > 0 et la fonction ϕ est strictement
croissante.
La fonction ϕ admet donc un minimum global en x0 .
Or, on a :
(
ϕ ( x0 ) = ϕ − ( b + c ) + 3 bc
(
= 3 bc
)
3
(
)
)
− 27 − ( b + c ) + 3 bc bc
(
)
= 27bc bc − 27 − ( b + c ) + 3 bc bc
( bc + b + c − 3 bc )
= 27bc ( b + c − 2 bc )
= 27bc
D’après la question précédente, on a : b + c ≥ 2 bc . On en tire alors : ϕ ( x0 ) ≥ 0 , puis :
∀x ∈ \*+ , ϕ ( x ) ≥ 0
Le cas x0 = − ( b + c ) + 3 bc = 0 se traite comme le précédent.
Dans toutes les situations, on a donc :
∀x ∈ \*+ , ϕ ( x ) ≥ 0
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Corrigés d’exercices
On a donc, pour tout x réel strictement positif :
( x + b + c)
3
− 27 xbc ≥ 0
Soit :
x + b + c ≥ 3 3 xbc
On en tire, b et c ayant été choisis quelconques dans \*+ :
a + b + c ≥ 3 3 abc
L’inégalité est finalement valable pour tous réels a, b et c dans \ + :
Pour tous réels a, b et c dans \ + , on a :
a + b + c ≥ 3 3 abc
N°132 page 165
1
1
Les réels n n et 33 étant strictement positifs, nous pouvons comparer leurs logarithmes
⎛ 1⎞ 1
⎛ 1⎞
⎛ 1 ln n ⎞ 1
népériens : ln ⎜ n n ⎟ = ln ⎜ e n ⎟ = ln n et, en particulier, pour n = 3 : ln ⎜ 33 ⎟ = ln 3 .
⎝ ⎠ 3
⎝ ⎠
⎝
⎠ n
ln x
.
x
Elle y est dérivable comme rapport de deux fonctions dérivables et on a, pour tout x réel
strictement positif :
Considérons alors la fonction ϕ définie sur \*+ par : ϕ ( x ) =
1
× x − ln x × 1
1 − ln x
x
=
ϕ '( x) =
2
x
x2
En tenant compte de : ln x = 1 ⇔ x = e et du fait que la fonction logarithme népérien est
strictement croissante sur \*+ , il vient :
•
Pour x ∈ ]0; e[ , ϕ ' ( x ) > 0 et la fonction ϕ est strictement croissante ;
•
Pour x ∈ ]e; +∞[ , ϕ ' ( x ) < 0 et la fonction ϕ est strictement décroissante.
Tavaillons d’abord sur l’intervalle ]e; +∞[ . On a : 3 ∈ ]e; +∞[ . Pour tout entier naturel
supérieur ou égal à 3, on a donc :
1
1
ln n
ln 3
= ϕ ( n ) ≤ ϕ ( 3) =
. D’où : n n ≤ 33 .
n
3
Il reste donc à traiter les cas n = 1 et n = 2 .
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Corrigés d’exercices
On a d’abord : 1 < 3 et la fonction racine cubique est strictement croissante sur \ + . On en
1
1
1
1
1
1
déduit : 13 < 33 , soit 1 < 33 . Or : 11 = 11 = 1 . On a donc : 11 < 33 et l’inégalité est bien vérifiée
pour n = 1 .
1
1
Pour n = 2 , il convient de comparer : 2 2 = 2 et 33 . La fonction x 6 x 6 étant strictement
croissante sur \ + , nous pouvons comparer les puissances sixièmes de ces deux nombres :
6
⎛ 12 ⎞
⎜2 ⎟ =
⎝ ⎠
( 2)
6
6
⎛ 1⎞
= 2 = 8 et ⎜ 33 ⎟ = 32 = 9
⎝ ⎠
3
1
1
Comme 8 < 9 , il vient 2 2 < 33 . L’inégalité est vérifiée pour n = 2 .
Conclusion générale :
1
n
1
3
Pour tout n entier naturel non nul, on a : n ≤ 3 .
N°138 page 167
2
3
3
3
⎛ 12 ⎞
⎛ 13 ⎞
2
2
2
1. Comme : 0 = ⎜ 0 ⎟ = 0 = 0 , il vient : f ( 0 ) = ( 4 − 0 ) = 4 = ⎜ 4 ⎟ = 23 = 8 .
⎝ ⎠
⎝ ⎠
2
3
2
3
3
3
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
Par ailleurs : 8 = ⎜ 8 3 ⎟ = 22 = 4 . D’où : f ( 8 ) = ( 4 − 4 ) 2 = 0 2 = ⎜ 0 2 ⎟ = 03 = 0 .
⎝ ⎠
⎝ ⎠
2
3
f ( 0 ) = 8 et f ( 8 ) = 0
3
2 2
⎛
⎞
3
4
−
x
⎜
⎟ −8
f ( x) − 8
⎠
= lim ⎝
.
2. a) On cherche : lim
x →0
x →0
x
x
x >0
x >0
Nous avons affaire ici à une forme indéterminée du type «
0
».
0
3
2 2
⎛
⎞
L’exposant de ⎜ 4 − x 3 ⎟ comportant un 2 au dénominateur, nous pouvons utiliser
⎝
⎠
l’expression conjuguée.
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Corrigés d’exercices
Pour tout x strictement positif, on a :
f ( x ) − 8 ⎡⎣ f ( x ) − 8⎤⎦ ⎡⎣ f ( x ) + 8⎤⎦
=
x
x ⎡⎣ f ( x ) + 8⎤⎦
( f ( x ))
=
2
− 82
x ⎡⎣ f ( x ) + 8⎤⎦
2
3
⎡
2 2⎤
⎛
⎞
⎢ 4 − x 3 ⎥ − 64
⎟ ⎥
⎢⎜⎝
⎠ ⎥
⎢
⎦
=⎣
3
⎡
⎤
2 2
⎛
⎞
⎢
3
x ⎜ 4 − x ⎟ + 8⎥
⎢⎝
⎥
⎠
⎢⎣
⎦⎥
3
2
⎛
⎞
3
⎜ 4 − x ⎟ − 64
⎠
= ⎝
3
⎡
⎤
2 2
⎛
⎞
⎢
3
x ⎜ 4 − x ⎟ + 8⎥
⎢⎝
⎥
⎠
⎢⎣
⎥⎦
3
2 2
⎛
⎞
Le facteur ⎜ 4 − x 3 ⎟ + 8 du dénominateur ne pose pas de problème puisqu’il tend vers 16
⎝
⎠
lorsque x tend vers 0 par valeurs strictement positives.
3
2
⎛
⎞
3
4
−
x
⎜
⎟ − 64
⎠
pour tout x réel strictement
Nous nous intéressons donc désormais à ⎝
x
positif. On a, en développant le cube au numérateur :
3
2
3
2
2
⎛
⎞
⎛ 23 ⎞ ⎛ 23 ⎞
3
2
3
3
4
−
x
−
64
4
−
3
×
4
×
x
+
3
×
4
×
⎜
⎟
⎜ x ⎟ − ⎜ x ⎟ −64
⎝
⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
x
x
2
4
−48 × x 3 + 12 × x 3 − x 2
=
x
= −48 x
−
1
3
1
3
+ 12 x − x
1
1
− ⎞
⎛
⎞
⎛
Or, lim ⎜12 x 3 − x ⎟ = 0 − 0 = 0 mais : lim ⎜ −48 x 3 ⎟ = −∞ .
x →0
x →0
⎠
⎠
x >0 ⎝
x >0 ⎝
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On en déduit finalement :
lim
x →0
x >0
b) On vient d’obtenir : lim
x →0
x >0
f ( x) − 8
= −∞
x
f ( x) − 8
f ( x ) − f ( 0)
= lim
= −∞ .
x →0
x
x−0
x >0
On en déduit immédiatement :
La fonction f n’est pas dérivable en 0 (à droite).
c) D’après le résultat précédent, on peut conclure que :
La courbe représentativeC de la fonction f admet
en son point d’abscisse nulle une tangente verticale.
3. a) Pour tout réel x strictement positif, on a :
3
1
−1
2 2
1
2 2
−
⎞
⎛
⎞
3 ⎛ 2 23 −1 ⎞ ⎛
3
3
f '( x) = × ⎜ − × x ⎟ × ⎜ 4 − x ⎟ = −x × ⎜ 4 − x3 ⎟
2 ⎝ 3
⎠ ⎝
⎠
⎝
⎠
⎛
⎞
Pour tout x de ]0;8] , f ' ( x ) = − x × ⎜ 4 − x ⎟
⎝
⎠
−
1
3
2
3
1
2
b) Pour tout x strictement positif (et donc à fortiori sur ]0;8] ) on a x
−
1
3
> 0 . Pour tout x de
1
2 2
⎛
⎞
[0;8[ , on a : 4 − x > 0 et donc ⎜ 4 − x 3 ⎟ > 0 .
⎝
⎠
2
3
On déduit de ce qui précède que la dérivée de f est négative sur ]0;8] et ne s’y annule que
pour x = 8 . La fonction f est donc strictement décroissante sur cet intervalle. Comme elle
est continue sur [ 0;8] comme composée de fonctions continues, on en déduit finalement :
La fonction f est strictement décroissante sur [ 0;8] .
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4. On obtient :
y
12
10
8
6
2 3
3 2
f(x ) = (4- x )
4
2
x
0
0
-2
2
4
6
8
10
12
14
-2
-4
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