Racine nieme (Exercices)

Lycée Fénelon Sainte-Marie 1/21 M. Lichtenberg
Racine nième
Corrigés d’exercices
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N°80 page 159
()
2212 21222121
12
21
6
3363 36363333
6
5 25525 5 5 55 55 55 5 5 5
×+
× =× =× =× =×=×= ==
()
11
110
10 1
10 10 10
10
2 1024 2 1024 2 2 2 2 2 2 2 2 4
×
×=×=×=×=×=×=
()
111 1 114141
14
41
5555 5 555555
5
81 3 81 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
×+
×= ×= ×= ×=×= ==
N°82 page 159
1. a) Comme k est positif, k appartient à l’ensemble de définition de la fonction f.
Par ailleurs, on a immédiatement :
(
)
33
0fk k k
=
−=.
On en déduit :
k est une racine de f sur
[
[
0;
+
∞.
b) D’après le résultat de la question précédente, on peut factoriser la fonction polynôme f
par
x
k− :
()
(
)
(
)
33 2
fx x k xk x x
α
βγ =−=− + +
Or :
()
()
(
)
(
)
232
x
kx x x kx kxk
α
βγα βα γβ γ −++=+−+−−.
Par identification, on obtient alors le système :
2
3
11
0
0
kk
kk
kk
αα
βα β
γβ γ
γ
=
⎧⎧
=
⎪−=
⎪⎪
⇔
=
⎨⎨
−=
⎪⎪
=
⎩
⎪−=−
⎩

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On a donc finalement :
()
(
)
(
)
33 2 2
0,
x
fx x k xk x kxk∀≥ =−=− ++
2. On a d’abord :
()
()
(
)
(
)()
(
)
22
3322
33 3 33 3 33 3
aba abb ab a ab b−++=− ++
En utilisant l’égalité obtenue à la question précédente avec 3
x
a= et 3 kb=, on obtient
immédiatement :
()
()
(
)
(
)()
(
)
()()
22
33
22
33 3 33 3 33 3
33
33
aba abb ab a ab b
ab
ab
−++=− ++
=−
=−
Le résultat est ainsi établi.
()
(
)
33
22
33 3
aba abb ab−++=−
N°84 page 159
a) On a :
()
(
)
2
13 1233223+=++=+.
D’où :
()()
(
)
(
)
(
)
2
42
1 3 22 3 42 3 44 43 3 47 43
⎡⎤
+=+ =+=++=+
⎣⎦ .
(
)
(
)
4
13 4743+=+
b) D’après ce qui précède et en tenant compte du fait que 13+ est strictement positif, on a :
()
44
4
4
1 3 47 43 4 7 43 2 7 43+=+=×+=×+
Finalement :
4
274313×+ =+

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N°86 page 159
a) 444
11
210 17
22
212 17 2
212 21 2
2
xx
x
xx
xx
x
⎧⎧
≥≥
⎪⎪
−≥
⎧⎪⎪
−= ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =
⎨⎨⎨
−= +
⎩⎪⎪
=
=⎪
⎪⎩
⎩
17
2
⎧
⎫
=
⎨
⎬
⎩⎭
S
b) 55
5
10 1
1
1131
11
1
1
1
23232
1
1
132
2
2
xx
x
xxx
x
x
x
+≥
⎧≥−
≥− ⎧
⎧
⎪⎪⎪
+= ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = −⇔ =−
⎨⎨⎨
⎛⎞ =−
=−
+=
⎜⎟
⎪⎪⎪
⎩⎩
⎝⎠
⎩
31
32
⎧
⎫
=−
⎨
⎬
⎩⎭
S
c) Comme 210x+> pour tout x réel, on a :
32 2 3 2
12 12 817 7xx x x+= ⇔ += ⇔ =−= ⇔ =±
{
}
7; 7=− S
N°88 page 159
a) On résout l’équation dans +
\ et on a alors :
()()
11 1
55 5
21
55
22
11
55
5
60 0 0
230
660
3 3 243
3
Xx Xx Xx
xx X X X
XX
XX XX
Xx xx
X
⎧⎧ ⎧
== =
⎪⎪ ⎪
⎪⎪ ⎪
−=⇔≥ ⇔≥ ⇔≥
⎨⎨ ⎨
⎪⎪ ⎪
+
−=
−= −−=
⎪⎪ ⎪
⎩⎩ ⎩
⎧
⎪=
⇔⇔=⇔==
⎨
⎪=
⎩
{
}
243= S

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b) On résout l’équation dans *
+
\ et on a alors :
()()
11 1
33 3
11
33
2
12 7 0 0 0
1430
7120
12 7
Xx Xx Xx
xx X X X
XX
XX
XX
−
⎧⎧⎧
⎪== =
⎪⎪
⎪⎪⎪
+=−⇔> ⇔> ⇔>
⎨⎨ ⎨
⎪⎪ ⎪
++=
++=
⎪⎪ ⎪
+=−
⎩⎩
⎩
Les deux solutions de l’équation
(
)
(
)
430XX
+
+= étant strictement négatives, on en
déduit que le système n’admet pas de solution.
On aurait pu conclure encore plus rapidement en notant que pour tout x strictement positif,
on a 1
30x>, 1 30x−> et donc 11 33
12 0xx
−
+
>.
=
∅ S
N°89 page 159
On remarque que l’on a :
2
12
33
x
x
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠ et
2
33
42
y
y
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠ . On pose alors : 1
3
X
x
=
et 3
4
Yy= et il
vient :
()
11 1
33 3
33 3
1344 4
34
23
32
22 2 2
2
1
3
3
4
2
80, 0 0, 0 0, 0
88 8
40
40 2 16 64 40
840
0, 0
8
8120
Xx Xx Xx
Yy Yy Yy
xy XY XY XY
XY YX YX
xy
XY X X
XX
Xx
Yy
XY
YX
XX
⎧⎧ ⎧
== =
⎪⎪ ⎪
⎪⎪ ⎪
⎪⎪ ⎪
== =
⎧+= ⎪⎪ ⎪
⎪⇔≥≥⇔ ≥≥⇔ ≥≥
⎨⎨ ⎨ ⎨
⎪⎪ ⎪ ⎪
+ = =− =−
+=
⎩⎪⎪ ⎪
⎪⎪ ⎪
+= − +=
+− =
⎪⎪ ⎪
⎩⎩ ⎩
⎧=
⎪
⎪
⎪=
⎪
⇔≥≥
⎨
=−
−+=
()()
1
3
3
4
0, 0
8
260
Xx
Yy
XY
YX
XX
⎧=
⎪
⎪
⎪=
⎪
⇔≥≥
⎨
⎪⎪
=−
⎪⎪
⎪⎪
−−=
⎪⎪
⎩⎩
Avec 2
X
=, il vient : 6Y=. Puis : 33
28xX
=
== et 44 1 1
13
33 3 3
66 6666yY + === =×= .
On obtient ainsi un premier couple solution :
()
(
)
3
;8;66xy=.

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Avec 6X=, il vient : 2Y=. Puis : 33 6 216xX=== et 44 1 1
13
33 3 3
26 2222yY + === =×=
On obtient ainsi un deuxième couple solution :
()
(
)
3
; 216;2 2xy=.
(
)
(
)
{
}
3
3
8;6 6 , 216;2 2= S
N°91 page 159
Pour 0x=, on a : 1
66
00 0
=
= et 1
11
12 12 12
0000
=
== et les deux membres de l’inéquation
sont égaux, elle est donc vérifiée. 0 est solution de l’inéquation.
Pour tout réel x strictement positif, on a :
()
11
1111
11 12
11 1
12
66126
12 1
6
93 4
33 3 4
12 4 3
1
88 8
8
1
22 22
16
x
xxxx x
x
xxx xx
−
−
−− − −
≤⇔≤⇔≤⇔≤⇔
≤⇔≤⇔≥ ⇔≥⇔≥
Finalement :
{}
1
0;
16
⎡
⎡
=
∪+∞
⎢
⎢
⎣
⎣
S
N°92 page 159
Du fait du terme 3
x
, on résout cette équation dans
+
\ :
()
1
3
21
32333
2
11
33
2
25202520 0
2520
00
1
252022 0
2
Xx
xx xx X
XX
Xx Xx
XX
XX XX
⎧=
⎪
⎪
− +=⇔ − +=⇔ ≥ ⇔
⎨
⎪−+=
⎪
⎩
⎧
⎧⎪
==
⎪⎪
⎪⎪
≥⇔≥
⎨⎨
⎪⎪
−+= ⎛⎞
⎪⎪
−−=
⎜⎟
⎩⎪⎝⎠
⎩
Avec 2
X
=, il vient 33 28xX===.