Racine nième Corrigés d’exercices Page 159 : N°80, 82, 84, 86, 88, 89, 91, 92, 94, 97 Page 165 : N°130, 132 Page 162 : N°105 Page 167 : N°138 Page 164 : N°122 N°80 page 159 2 2 1 2 2 1 5 3 × 6 25 = 5 3 × 25 6 = 5 3 × ( 52 ) 6 = 5 3 × 5 1 10 1 10 10 2 × 1024 = 2 × 1024 = 2 × ( 2 10 5 1 5 1 5 1 5 2× 1 4 5 81 × 3 = 81 × 3 = ( 3 ) ) 1 5 2 2 1 10× 10 1 5 2 1 2 1 + 3 = 5 3 × 5 6 = 5 3 × 53 = 5 3 = 2× 2 4× ×3 = 3 1 6 1 5 = 51 = 5 = 2 × 21 = 2 × 2 = 4 4 5 1 5 ×3 = 3 ×3 = 3 4 1 + 5 5 = 31 = 3 N°82 page 159 1. a) Comme k est positif, k appartient à l’ensemble de définition de la fonction f. Par ailleurs, on a immédiatement : f ( k ) = k 3 − k 3 = 0 . On en déduit : k est une racine de f sur [ 0; +∞[ . b) D’après le résultat de la question précédente, on peut factoriser la fonction polynôme f par x − k : f ( x ) = x 3 − k 3 = ( x − k ) (α x 2 + β x + γ ) Or : ( x − k ) (α x 2 + β x + γ ) = α x 3 + ( β − kα ) x 2 + ( γ − k β ) x − kγ . Par identification, on obtient alors le système : α ⎧ ⎪ β − kα ⎪ ⎨ ⎪γ − kβ ⎪⎩ − kγ Lycée Fénelon Sainte-Marie =1 ⎧α = 1 ⎪ ⇔ ⎨β = k =0 ⎪γ = k 2 ⎩ = −k 3 =0 1/21 M. Lichtenberg Racine nième Corrigés d’exercices On a donc finalement : ∀x ≥ 0, f ( x ) = x3 − k 3 = ( x − k ) ( x 2 + kx + k 2 ) 2. On a d’abord : ( 3 a−3b )( 3 ) ( a 2 + 3 ab + 3 b 2 = 3 a−3b ) (( a ) 3 2 +3 a3 b+ ( b) ) 2 3 En utilisant l’égalité obtenue à la question précédente avec x = 3 a et k = 3 b , on obtient immédiatement : ( 3 a−3b )( 3 ) (( a ) = ( a) −( b) ) ( a 2 + 3 ab + 3 b 2 = 3 a−3b 3 3 3 2 +3 a3 b+ ( b) ) 2 3 3 3 = a −b Le résultat est ainsi établi. ( 3 a−3b )( 3 ) a 2 + 3 ab + 3 b 2 = a − b N°84 page 159 ( ) = 1+ 2 3 + 3 = 2(2 + 3) . D’où : (1 + 3 ) = ⎡ 2 ( 2 + 3 ) ⎤ = 4 ( 2 + 3 ) ⎣ ⎦ a) On a : 1 + 3 2 2 4 (1 + 3 ) 4 2 ( ) ( ) = 4 4+4 3 +3 = 4 7+4 3 . ( = 4 7+4 3 ) b) D’après ce qui précède et en tenant compte du fait que 1 + 3 est strictement positif, on a : ( ) 1+ 3 = 4 4 7 + 4 3 = 4 4 × 4 7 + 4 3 = 2 × 4 7 + 4 3 Finalement : 2 × 4 7 + 4 3 = 1+ 3 Lycée Fénelon Sainte-Marie 2/21 M. Lichtenberg Racine nième Corrigés d’exercices N°86 page 159 a) 4 1 1 ⎧ ⎧ x ≥ x≥ ⎪⎪ ⎪ ⎧2 x − 1 ≥ 0 ⎪ 2 2 ⇔ x = 17 2x −1 = 2 ⇔ ⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ 4 4 2 ⎩2 x − 1 = 2 ⎪x = 2 +1 ⎪ x = 17 ⎪ 2 ⎩ 2 ⎩⎪ S = ⎧⎨ ⎫⎬ ⎩2⎭ 17 b) 5 ⎧x +1 ≥ 0 ⎧ x ≥ −1 ⎧ x ≥ −1 1 1 31 ⎪ ⎪ ⎪ 5 ⇔⎨ ⇔x= −1 ⇔ x = − x +1 = ⇔ ⎨ 1 1 1⎞ ⇔ ⎨ ⎛ 2 32 32 ⎪x +1 = ⎜ ⎟ ⎪⎩ x = 25 − 1 ⎪⎩ x = 32 − 1 ⎝2⎠ ⎩ S = ⎧⎨− ⎫⎬ ⎩ 32 ⎭ 31 c) Comme x 2 + 1 > 0 pour tout x réel, on a : 3 x 2 + 1 = 2 ⇔ x 2 + 1 = 23 ⇔ x 2 = 8 − 1 = 7 ⇔ x = ± 7 S = {− 7; 7 } N°88 page 159 a) On résout l’équation dans \ + et on a alors : 1 1 1 ⎧ ⎧ ⎧ 5 5 5 = = = X x X x X x ⎪ ⎪ ⎪ 2 1 ⎪ ⎪ ⎪ x5 − x5 = 6 ⇔ ⎨ X ≥ 0 ⇔ ⎨X ≥ 0 ⇔ ⎨X ≥ 0 ⎪X 2 − X = 6 ⎪X 2 − X − 6 = 0 ⎪ X + 2 X −3 = 0 )( ) ⎪⎩ ⎪⎩ ⎪⎩( 1 1 ⎧⎪ 5 X x = ⇔⎨ ⇔ x 5 = 3 ⇔ x = 35 = 243 ⎪⎩ X = 3 S = {243} Lycée Fénelon Sainte-Marie 3/21 M. Lichtenberg Racine nième Corrigés d’exercices b) On résout l’équation dans \*+ et on a alors : 1 x 3 + 12 x − 1 1 1 ⎧ ⎧ ⎧ 3 3 ⎪ X = x3 = = X x X x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = −7 ⇔ ⎨ X > 0 ⇔ ⎨X > 0 ⇔ ⎨X > 0 ⎪ ⎪ X 2 + 7 X + 12 = 0 ⎪ X +4 X +3 = 0 1 )( ) ⎪ X + 12 = −7 ⎪⎩ ⎪⎩( X ⎩ 1 3 Les deux solutions de l’équation ( X + 4 )( X + 3) = 0 étant strictement négatives, on en déduit que le système n’admet pas de solution. On aurait pu conclure encore plus rapidement en notant que pour tout x strictement positif, 1 on a x 3 > 0 , x − 1 3 1 > 0 et donc x 3 + 12 x − 1 3 > 0. S =∅ N°89 page 159 2 2 2 1 3 3 ⎛ 1⎞ ⎛ 3⎞ On remarque que l’on a : ⎜ x 3 ⎟ = x 3 et ⎜ y 4 ⎟ = y 2 . On pose alors : X = x 3 et Y = y 4 et il ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ vient : ⎧ X ⎪ ⎪ 3 ⎪ Y ⎧ 13 ⎪ ⎪x + y4 = 8 X ⇔⎨ ⎨ 2 3 ⎪ x 3 + y 2 = 40 ⎪ X +Y ⎩ ⎪ ⎪X 2 +Y 2 ⎪ ⎩ ⎧ X =x ⎪ 3 ⎪ ⎪ Y = y4 ⎪ X ≥ 0, Y ≥ 0 ⇔ ⎨ ⎪ =8 Y ⎪ ⎪ X 2 + ( 8 − X )2 = 40 ⎪ ⎩ 1 3 1 ⎧ X = x3 =x ⎪ 3 3 ⎪ ⎪ Y = y4 = y4 ⎪ X ≥ 0, Y ≥ 0 ≥ 0, Y ≥ 0 ⇔ ⎨ ⎪ = 8− X Y =8− X ⎪ ⎪ 2 X 2 − 16 X + 64 = 40 = 40 ⎪ ⎩ 1 3 1 1 ⎧ ⎧ 3 3 X = x X = x ⎪ ⎪ 3 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Y = y4 Y = y4 ⎪ ⎪ ⇔⎨ X ≥ 0, Y ≥ 0 ⇔ ⎨ X ≥ 0, Y ≥ 0 ⎪ ⎪ Y =8− X Y = 8− X ⎪ ⎪ ⎪ X 2 − 8 X + 12 = 0 ⎪( X − 2 )( X − 6 ) = 0 ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ 4 3 4 3 1+ Avec X = 2 , il vient : Y = 6 . Puis : x = X = 2 = 8 et y = Y = 6 = 6 3 3 ( ) 1 3 1 3 = 6× 6 = 63 6 . On obtient ainsi un premier couple solution : ( x; y ) = 8;6 3 6 . Lycée Fénelon Sainte-Marie 4/21 M. Lichtenberg Racine nième Corrigés d’exercices 4 4 1+ Avec X = 6 , il vient : Y = 2 . Puis : x = X 3 = 63 = 216 et y = Y 3 = 2 3 = 6 ( ) 1 3 1 = 2 × 23 = 2 3 2 On obtient ainsi un deuxième couple solution : ( x; y ) = 216; 2 3 2 . { } S = ( 8;6 3 6 ) , ( 216; 2 3 2 ) N°91 page 159 1 6 1 12 Pour x = 0 , on a : 0 = 0 = 0 et 0 = 0 = 0 = 0 et les deux membres de l’inéquation sont égaux, elle est donc vérifiée. 0 est solution de l’inéquation. 6 11 12 12 Pour tout réel x strictement positif, on a : 6 11 12 11 1 − 1 x −1 12 6 x ≤ 8 x ⇔ x ≤ 8x ⇔ ≤ 1 ⇔ 8 ≤ x ⇔ 8 6 x 12 11 1 6 9 11 12 3 4 2−3 ≤ x12 ⇔ 2−3 ≤ x 4 ⇔ x ≥ ( 2−3 ) 3 ⇔ x ≥ 2−4 ⇔ x ≥ 1 16 Finalement : S = {0} ∪ ⎡⎢ ; +∞ ⎡⎢ 1 ⎣16 ⎣ N°92 page 159 Du fait du terme 3 x , on résout cette équation dans \ + : 1 ⎧ 3 ⎪X = x 2 1 ⎪ ⇔ 2 3 x2 − 5 3 x + 2 = 0 ⇔ 2 x 3 − 5x 3 + 2 = 0 ⇔ ⎨ X ≥ 0 ⎪2 X 2 − 5 X + 2 = 0 ⎪⎩ ⎧ 1 1 ⎧ ⎪ X = x3 3 = X x ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⇔ ⎨X ≥ 0 ⎨X ≥ 0 ⎪ 2 ⎪ 1 ⎪⎩2 X − 5 X + 2 = 0 ⎪2 ( X − 2 ) ⎛⎜ X − ⎞⎟ = 0 2⎠ ⎝ ⎩⎪ Avec X = 2 , il vient x = X 3 = 23 = 8 . Lycée Fénelon Sainte-Marie 5/21 M. Lichtenberg Racine nième Corrigés d’exercices 3 1 ⎛1⎞ 1 Avec X = , il vient : x = X 3 = ⎜ ⎟ = . 2 ⎝2⎠ 8 Finalement : S = ⎧⎨ ;8⎫⎬ 1 ⎩8 ⎭ N°94 page 159 1. Pour tout x réel, on a : 2 x 2 + 1 ≥ 2 > 0 . La fonction f est donc définie sur \ qui est symétrique. Par ailleurs, pour tout x réel, on a : f ( − x ) = 3 2 ( − x ) + 1 = 3 2x2 + 1 = f ( x ) 2 De ce qui précède, on tire : La fonction f est paire. 1 3 2. Pour tout x réel, on a : f ( x ) = 2 x + 1 = ( 2 x + 1) = e 3 2 2 ( ) 1 ln 2 x 2 +1 3 . Or, on a : lim ( 2 x 2 + 1) = lim 2 x 2 = +∞ et lim ln x = +∞ . Donc : lim ln ( 2 x 2 + 1) = +∞ x →+∞ et lim x →+∞ x →+∞ x →+∞ x →+∞ 1 ln ( 2 x 2 + 1) = +∞ . 3 Or, on a : lim e = +∞ . Donc : lim e x x →+∞ ( ) 1 ln 2 x 2 +1 3 x →+∞ = +∞ . Finalement : lim f ( x ) = +∞ x →+∞ La fonction f étant paire, on en déduit immédiatement : lim f ( x ) = +∞ x →−∞ 3. La fonction f est la composée de la fonction x 6 2 x 2 + 1 , dérivable sur \ et prenant ses valeurs dans [1; +∞[ , et de la fonction racine cubique x 6 3 x , dérivable sur \*+ . Comme [1; +∞[ est inclus dans \*+ , on en déduit que la fonction f est dérivable sur \ . La fonction f est dérivable sur \ . Lycée Fénelon Sainte-Marie 6/21 M. Lichtenberg Racine nième Corrigés d’exercices 1 Pour tout x réel, on a : f ( x ) = 3 2 x 2 + 1 = ( 2 x 2 + 1) 3 . On en déduit alors (dérivation d’une composée) : 1 2 −1 − 1 2 2 2 2 3 f ' ( x ) = × 2 x × ( 2 x + 1) = x ( 2 x + 1) 3 = 3 3 3 ∀x ∈ \, f ' ( x ) = 4. Pour tout x réel, on a : ( 2 x 2 + 1) ≥ 1 > 0 d’où : 2 2 3 3 x 3 ( 2x 2 + 1) 2 x 3 ( 2x ( 2x 2 2 + 1) 2 + 1) > 0 . Le signe de f ' ( x ) est 2 donc le même que celui de x : • • Sur \*− , on a : f ' ( x ) < 0 et la fonction f est strictement décroissante ; Sur \*+ , on a : f ' ( x ) > 0 et la fonction f est strictement croissante. A titre de complément, nous fournissons ci-dessous la courbe représentative de la fonction f pour x compris entre −250 et 250 … y 200 150 100 1 2 f(x ) = (2x +1) 3 50 x 0 -250 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 250 -50 -100 -150 Courbe représentative de la fonction x 6 3 2 x 2 + 1 pour x ∈ [ −250; 250] . Lycée Fénelon Sainte-Marie 7/21 M. Lichtenberg Racine nième Corrigés d’exercices … puis pour x compris entre −5 et 5 (tangente horizontale à l’origine) : y 5 4 1 2 f(x ) = (2x +1) 3 3 2 1 x 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 Courbe représentative de la fonction x 6 3 2 x 2 + 1 pour x ∈ [ −5;5] . N°97 page 159 1. a) La fonction x 6 x − 1 4 est dérivable sur \*+ comme composée de la fonction racine quatrième, dérivable sur \*+ et prenant ses valeurs dans \*+ (pour x > 0 ), et de la fonction inverse, dérivable sur \*+ . 1 La fonction x 6 x est dérivable sur \*+ en tant que fonction linéaire. 2 La fonction f est donc dérivable sur \*+ comme somme de deux fonctions dérivables sur cet intervalle. Pour tout réel x strictement positif, on a alors : 5 − ⎞ 1 − 1 −1 1 1⎛ f ' ( x ) = − x 4 + ×1 = ⎜ 2 − x 4 ⎟ 4 2 4⎝ ⎠ 5 − ⎞ 1⎛ f '( x) = ⎜ 2 − x 4 ⎟ 4⎝ ⎠ Lycée Fénelon Sainte-Marie 8/21 M. Lichtenberg Racine nième Corrigés d’exercices b) On a : 5 5 5 − ⎞ − − ⎛ −5 ⎞ 1⎛ f '( x) = 0 ⇔ ⎜ 2 − x 4 ⎟ = 0 ⇔ 2 − x 4 = 0 ⇔ x 4 = 2 ⇔ ⎜ x 4 ⎟ 4⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − − 4 5 =2 − 4 5 ⇔x=2 − 4 5 4 La fonction f ' s’annule en x0 = 2 5 . 1 c) La fonction x 6 x 4 (racine quatrième) est strictement croissante sur \*+ (cf. le cours) 1 et prend ses valeurs dans cet intervalle. La fonction x 6 x −5 = 5 est strictement x * décroissante sur \ + comme inverse d’une fonction strictement croissante sur cet − 5 intervalle. La fonction x 6 x 4 est donc strictement décroissante sur \*+ . 1 La fonction x 6 ( 2 − x ) est strictement décroissante sur \*+ . 4 Finalement, la fonction f ' est strictement croissante sur \*+ . En utilisant le résultat de la question précédente, il vient alors : ⎤ −4 ⎡ Pour x ∈ ⎥ 0; 2 5 ⎢ , f ' ( x ) < 0 et la fonction f est strictement décroissante ; ⎦ ⎣ 4 ⎛ − ⎞ f '⎜ 2 5 ⎟ = 0 ; ⎝ ⎠ ⎤ − 54 ⎡ Pour x ∈ ⎥ 2 ; +∞ ⎢ , f ' ( x ) > 0 et la fonction f est strictement croissante. ⎦ ⎣ • • • Remarque : on déduit de ce qui précède que la fonction f admet un minimum global en − 4 x0 = 2 5 . Les résultats des calculs de limites qui suivent doivent être en accord avec ce résultat. Par ailleurs, on a : − 1 ⎛ ⎞ 4 1 4 − ×⎜ − ⎟ − −1− ⎛ −4 ⎞ ⎛ −4 ⎞ 4 1 −4 f ( x0 ) = f ⎜ 2 5 ⎟ = ⎜ 2 5 ⎟ + 2 5 = 2 5 ⎝ 4 ⎠ + 2−1 × 2 5 = 2 5 + 2 5 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 9 1 10 1 1 − − ⎞ ⎛ 5 = 2 5 + 2 5 = 2 5 ⎜1 + 2 5 ⎟ = 2 5 (1 + 2−2 ) = 2 5 × 1, 435 873 4 ⎝ ⎠ Lycée Fénelon Sainte-Marie 4 9/21 1 M. Lichtenberg Racine nième Corrigés d’exercices 1 1 2. On a : lim x 4 = 0 4 = 0 et la fonction racine quatrième prend des valeurs strictement x →0 x >0 positives sur \*+ . On en déduit : lim x − 1 4 x →0 x >0 ⎛1 ⎞ = +∞ . Par ailleurs : lim ⎜ x ⎟ = 0 . D’où : x →0 2 ⎠ x >0 ⎝ lim f ( x ) = +∞ x →0 x >0 1 On a aussi : lim x 4 = +∞ . D’où : lim x − 1 4 x →+∞ x →+∞ ⎛1 ⎞ = 0 . Par ailleurs : lim ⎜ x ⎟ = +∞ . D’où : x →+∞ 2 ⎝ ⎠ lim f ( x ) = +∞ x →+∞ − 4 5 Ces résultats sont cohérents avec l’existence d’un minimum en x0 = 2 . 1 − 1 ⎞ ⎛ 3. a) D’après la question précédente, on a : lim ⎜ f ( x ) − x ⎟ = lim x 4 = 0 . D’où : x →+∞ 2 ⎠ x →+∞ ⎝ La courbe représentativeC de la fonction f admet en +∞ 1 une asymptote oblique Δ d’équation : y = x . 2 b) On obtient : 5.5 y 5 - f(x ) = x 1 4 1 + x 2 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 x 0 -0.5 -1 y= 1 2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 -0.5 x -1 -1.5 Lycée Fénelon Sainte-Marie 10/21 M. Lichtenberg Racine nième Corrigés d’exercices N°105 page 162 1. On a f ( x ) = x − 1 3 = 1 x 1 3 . On obtient donc facilement les tableaux de variations des 1 fonctions f et g à partir de ceux des fonctions racine cubique ( x 6 x 3 ) et racine quatrième 1 ( x 6 x 4 ). Il vient donc : 0 x +∞ +∞ f 0 Et : x +∞ +∞ 0 g 0 2. ⎧⎪ x > 0 f ( x ) = g ( x ) équivaut à : ⎨ − 1 1 . 3 4 ⎩⎪ x = 2 x Il vient alors : ⎧x > 0 ⎧⎪ x > 0 ⎧⎪ x > 0 ⎧⎪ x > 0 ⎧⎪ x > 0 ⎪ 1 1 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 1 1 1 1 1 7 ⎨ −1 ⎨ = 2x 4 ⎨ ⎨ ⎨ + ⎪⎩ x 3 = 2 x 4 ⎪ 1 ⎪⎩1 = 2 x 4 × x 3 ⎪⎩1 = 2 x 4 3 ⎪⎩1 = 2 x 12 ⎩ x3 ⎧x > 0 ⎧x > 0 x>0 x>0 12 − ⎪ 7 ⎪⎧ ⎪ ⎪⎧ 7 12 ⇔ ⎨ 2 x ⇔⎨ ⇔ ⇔ ⇔ = 12 7 ⎨ ⎨ 1 − 12 −1 7 1 − 7 12 ⎪x = ⎪⎩ x = 2 ⎪⎩ x = ( 2 ) ⎪⎩ x = 2 2 ⎩ L’équation f ( x ) = g ( x ) admet comme unique solution : x = 2 Lycée Fénelon Sainte-Marie 11/21 − 12 7 0,3 . M. Lichtenberg Racine nième Corrigés d’exercices A titre de complément, on a : ⎛ −12 ⎞ ⎛ −12 ⎞ ⎛ −12 ⎞ f ⎜2 7 ⎟ = g⎜2 7 ⎟ = ⎜2 7 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − 1 3 =2 − 12 ⎛ 1 ⎞ ×⎜ − ⎟ 7 ⎝ 3⎠ 4 = 2 7 1,5 3. a) et b) On obtient : 2.8 y 2.6 4 2.4 g(x ) = 2 x 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 - f(x ) = x 1 3 0.8 0.6 0.4 0.2 x 0 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 -0.2 N°122 page 164 On noteC n la courbe représentative de la fonction racine nième dans un repère orthonormal. 1 1n −1 a) La dérivée de la fonction racine nième est définie sur \ par : x 6 x . Pour x = 1 , n 1 elle prend donc la valeur . n * + 1 On a par ailleurs : n 1 = 1n = 1 . Lycée Fénelon Sainte-Marie 12/21 M. Lichtenberg Racine nième Corrigés d’exercices L’équation réduite de la tangente Tn àC n au point d’abscisse x = 1 s’écrit donc : y= 1 ( x − 1) + 1 n La droite Tn coupe l’axe des ordonnées en un point dont l’abscisse est nulle. D’après 1 1 l’équation obtenue précédemment, son ordonnée vaut donc : y = ( 0 − 1) + 1 = 1 − . n n 1 L’ordonnée du point d’intersection de la droite Tn avec l’axe des ordonnées vaut : 1 − . n b) On considère la fonction h définie sur \ + par : h ( x ) = n x − 1 ( x − 1) − 1 . n La fonction h est dérivable sur \*+ comme somme de deux fonctions dérivables sur cet 1 intervalle (la fonction racine nième et la fonction affine : x 6 − ( x − 1) − 1 ). n On a alors, pour tout réel x strictement positif : h '( x) = n −1 ⎞ 1 1n −1 1 1 ⎛ 1n −1 ⎞ 1 ⎛ 1−nn ⎞ 1 1−nn ⎛ x − = ⎜ x − 1⎟ = ⎜ x − 1⎟ = x ⎜1 − x n ⎟ n n n⎝ ⎠ n⎝ ⎠ n ⎝ ⎠ Pour tout réel x strictement positif, le facteur 1 1−nn x l’est également. n n −1 ⎛ 1⎞ Le signe de h ' ( x ) est donc celui de la différence : 1 − x = 1 − ⎜ x n ⎟ . ⎝ ⎠ * La fonction racine nième est strictement croissante sur \ + et prend ses valeurs dans cet n −1 n intervalle. Comme n ≥ 2 , on a n − 1 > 0 et la fonction x 6 x n −1 est strictement croissante ⎛ 1⎞ sur \ . On en déduit que la fonction x 6 ⎜ x n ⎟ ⎝ ⎠ précédentes, est strictement croissante sur \*+ . * + n −1 =x n −1 n , composée des deux n −1 Finalement, la fonction x 6 1 − x n est strictement décroissante sur \*+ . Comme elle s’annule pour x = 1 , il vient : • Pour x ∈ ]0;1[ , on a h ' ( x ) > 0 et la fonction h est strictement croissante ; • Pour x ∈ ]1; +∞[ , on a h ' ( x ) < 0 et la fonction h est strictement décroissante. La fonction h étant continue sur \ + comme somme de deux fonctions continues sur cet intervalle, on peut étendre la conclusion à ce point. Lycée Fénelon Sainte-Marie 13/21 M. Lichtenberg Racine nième Corrigés d’exercices Finalement : • Pour x ∈ [ 0;1] , la fonction h est strictement croissante ; • Pour x ∈ [1; +∞[ , la fonction h est strictement décroissante. c) D’après ce qui précède, la fonction h admet un maximum pour x = 1 . La valeur maximale 1 prise par h vaut donc : h (1) = n 1 − (1 − 1) − 1 = 1 − 0 − 1 = 0 . n On en déduit que pour tout x positif, on a : h ( x ) ≤ 0 . Soit : n x− 1 ( x − 1) − 1 ≤ 0 , ou encore : n Pour une valeur de x donnée, l’ordonnée n x≤ 1 ( x − 1) + 1 . n ( x ) du point correspondant surC x n est ⎛1 ⎞ inférieure à l’ordonnée ⎜ ( x − 1) + 1⎟ du point correspondant sur Tn . D’où : ⎝n ⎠ La courbe représentativeC n de la fonction racine nième est située sous la tangente Tn au point d’abscisse x = 1 . A titre d’illustration, nous avons tracé dans un même repère orthonormal les courbes et les tangentes correspondant à n = 2 (rouge), 4 (bleu) et 10 (vert) : y 1.6 1.4 1.2 1 1 f 10(x ) = x 10 y10 1 0.8 f 4(x ) = x 4 y4 0.6 0.4 y2 1 0.2 f (x ) = x 2 2 = x x 0 0 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -0.2 Lycée Fénelon Sainte-Marie 14/21 M. Lichtenberg Racine nième Corrigés d’exercices N°130 page 165 1. Les réels a et b étant positifs, il en va de même pour les réels a + b et 2 ab . Pour les comparer, nous pouvons comparer leurs carrés : (a + b) 2 ( = a 2 + b 2 + 2ab et 2 ab ) 2 = 4ab On a alors : (a + b) 2 ( − 2 ab ) 2 = a 2 + b 2 + 2ab − 4ab = a 2 + b 2 − 2ab = (a − b) ( ) 2 On a donc : ( a + b ) ≥ 2 ab , d’où, finalement : 2 2 a + b ≥ 2 ab 2. Remarquons d’abord que l’inégalité est immédiatement vérifiée si l’un des réels a, b ou c est nul. Nous pouvons donc supposer, à partir de maintenant que les trois réels a, b et c sont non nuls (donc strictement positifs). Nous devons donc ici comparer deux réels strictement positifs. La fonction cube étant ( strictement croissante sur \*+ , nous pouvons comparer ( a + b + c ) et 3 3 abc 3 ) 3 = 27abc . Soit alors b et c deux réels strictement positifs fixés quelconques et soit ϕ la fonction définie sur \*+ par : ϕ ( x ) = ( x + b + c ) − 27 xbc 3 La fonction ϕ est une fonction polynôme donc dérivable sur \*+ et on a, pour tout x réel strictement positif : ϕ ' ( x ) = 3 ( x + b + c ) − 27bc 2 2 = 3 ⎡( x + b + c ) − 9bc ⎤ ⎣ ⎦ ( ) 2 2 = 3 ⎡( x + b + c ) − 3 bc ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦ = 3 ⎡⎣ x + b + c − 3 bc ⎤⎦ ⎡⎣ x + b + c + 3 bc ⎤⎦ Le facteur x + b + c + 3 bc est strictement positif. Lycée Fénelon Sainte-Marie 15/21 M. Lichtenberg Racine nième Corrigés d’exercices Quant au facteur x + b + c − 3 bc , il s’annule pour x0 = − ( b + c ) + 3 bc qui peut être positif ( b = c = 1 par exemple) ou négatif ( b = 1 et c = 9 par exemple). Nous devons donc distinguer plusieurs situations : Æ Si x0 = − ( b + c ) + 3 bc < 0 Pour tout réel x de \*+ , on a ϕ ' ( x ) > 0 et la fonction ϕ est strictement croissante. 3 3 On a : lim ϕ ( x ) = lim ⎡( x + b + c ) − 27 xbc ⎤ = ( b + c ) > 0 et on en déduit : ⎦ x →0 x →0 ⎣ x >0 x >0 ∀x ∈ \*+ , ϕ ( x ) > 0 Æ Si x0 = − ( b + c ) + 3 bc > 0 • Pour tout réel x de ]0; x0 [ , on a ϕ ' ( x ) < 0 et la fonction ϕ est strictement • décroissante ; Pour tout réel x de ] x0 ; +∞[ , on a ϕ ' ( x ) > 0 et la fonction ϕ est strictement croissante. La fonction ϕ admet donc un minimum global en x0 . Or, on a : ( ϕ ( x0 ) = ϕ − ( b + c ) + 3 bc ( = 3 bc ) 3 ( ) ) − 27 − ( b + c ) + 3 bc bc ( ) = 27bc bc − 27 − ( b + c ) + 3 bc bc ( bc + b + c − 3 bc ) = 27bc ( b + c − 2 bc ) = 27bc D’après la question précédente, on a : b + c ≥ 2 bc . On en tire alors : ϕ ( x0 ) ≥ 0 , puis : ∀x ∈ \*+ , ϕ ( x ) ≥ 0 Le cas x0 = − ( b + c ) + 3 bc = 0 se traite comme le précédent. Dans toutes les situations, on a donc : ∀x ∈ \*+ , ϕ ( x ) ≥ 0 Lycée Fénelon Sainte-Marie 16/21 M. Lichtenberg Racine nième Corrigés d’exercices On a donc, pour tout x réel strictement positif : ( x + b + c) 3 − 27 xbc ≥ 0 Soit : x + b + c ≥ 3 3 xbc On en tire, b et c ayant été choisis quelconques dans \*+ : a + b + c ≥ 3 3 abc L’inégalité est finalement valable pour tous réels a, b et c dans \ + : Pour tous réels a, b et c dans \ + , on a : a + b + c ≥ 3 3 abc N°132 page 165 1 1 Les réels n n et 33 étant strictement positifs, nous pouvons comparer leurs logarithmes ⎛ 1⎞ 1 ⎛ 1⎞ ⎛ 1 ln n ⎞ 1 népériens : ln ⎜ n n ⎟ = ln ⎜ e n ⎟ = ln n et, en particulier, pour n = 3 : ln ⎜ 33 ⎟ = ln 3 . ⎝ ⎠ 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ n ln x . x Elle y est dérivable comme rapport de deux fonctions dérivables et on a, pour tout x réel strictement positif : Considérons alors la fonction ϕ définie sur \*+ par : ϕ ( x ) = 1 × x − ln x × 1 1 − ln x x = ϕ '( x) = 2 x x2 En tenant compte de : ln x = 1 ⇔ x = e et du fait que la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur \*+ , il vient : • Pour x ∈ ]0; e[ , ϕ ' ( x ) > 0 et la fonction ϕ est strictement croissante ; • Pour x ∈ ]e; +∞[ , ϕ ' ( x ) < 0 et la fonction ϕ est strictement décroissante. Tavaillons d’abord sur l’intervalle ]e; +∞[ . On a : 3 ∈ ]e; +∞[ . Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 3, on a donc : 1 1 ln n ln 3 = ϕ ( n ) ≤ ϕ ( 3) = . D’où : n n ≤ 33 . n 3 Il reste donc à traiter les cas n = 1 et n = 2 . Lycée Fénelon Sainte-Marie 17/21 M. Lichtenberg Racine nième Corrigés d’exercices On a d’abord : 1 < 3 et la fonction racine cubique est strictement croissante sur \ + . On en 1 1 1 1 1 1 déduit : 13 < 33 , soit 1 < 33 . Or : 11 = 11 = 1 . On a donc : 11 < 33 et l’inégalité est bien vérifiée pour n = 1 . 1 1 Pour n = 2 , il convient de comparer : 2 2 = 2 et 33 . La fonction x 6 x 6 étant strictement croissante sur \ + , nous pouvons comparer les puissances sixièmes de ces deux nombres : 6 ⎛ 12 ⎞ ⎜2 ⎟ = ⎝ ⎠ ( 2) 6 6 ⎛ 1⎞ = 2 = 8 et ⎜ 33 ⎟ = 32 = 9 ⎝ ⎠ 3 1 1 Comme 8 < 9 , il vient 2 2 < 33 . L’inégalité est vérifiée pour n = 2 . Conclusion générale : 1 n 1 3 Pour tout n entier naturel non nul, on a : n ≤ 3 . N°138 page 167 2 3 3 3 ⎛ 12 ⎞ ⎛ 13 ⎞ 2 2 2 1. Comme : 0 = ⎜ 0 ⎟ = 0 = 0 , il vient : f ( 0 ) = ( 4 − 0 ) = 4 = ⎜ 4 ⎟ = 23 = 8 . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 3 2 3 3 3 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ Par ailleurs : 8 = ⎜ 8 3 ⎟ = 22 = 4 . D’où : f ( 8 ) = ( 4 − 4 ) 2 = 0 2 = ⎜ 0 2 ⎟ = 03 = 0 . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 3 f ( 0 ) = 8 et f ( 8 ) = 0 3 2 2 ⎛ ⎞ 3 4 − x ⎜ ⎟ −8 f ( x) − 8 ⎠ = lim ⎝ . 2. a) On cherche : lim x →0 x →0 x x x >0 x >0 Nous avons affaire ici à une forme indéterminée du type « 0 ». 0 3 2 2 ⎛ ⎞ L’exposant de ⎜ 4 − x 3 ⎟ comportant un 2 au dénominateur, nous pouvons utiliser ⎝ ⎠ l’expression conjuguée. Lycée Fénelon Sainte-Marie 18/21 M. Lichtenberg Racine nième Corrigés d’exercices Pour tout x strictement positif, on a : f ( x ) − 8 ⎡⎣ f ( x ) − 8⎤⎦ ⎡⎣ f ( x ) + 8⎤⎦ = x x ⎡⎣ f ( x ) + 8⎤⎦ ( f ( x )) = 2 − 82 x ⎡⎣ f ( x ) + 8⎤⎦ 2 3 ⎡ 2 2⎤ ⎛ ⎞ ⎢ 4 − x 3 ⎥ − 64 ⎟ ⎥ ⎢⎜⎝ ⎠ ⎥ ⎢ ⎦ =⎣ 3 ⎡ ⎤ 2 2 ⎛ ⎞ ⎢ 3 x ⎜ 4 − x ⎟ + 8⎥ ⎢⎝ ⎥ ⎠ ⎢⎣ ⎦⎥ 3 2 ⎛ ⎞ 3 ⎜ 4 − x ⎟ − 64 ⎠ = ⎝ 3 ⎡ ⎤ 2 2 ⎛ ⎞ ⎢ 3 x ⎜ 4 − x ⎟ + 8⎥ ⎢⎝ ⎥ ⎠ ⎢⎣ ⎥⎦ 3 2 2 ⎛ ⎞ Le facteur ⎜ 4 − x 3 ⎟ + 8 du dénominateur ne pose pas de problème puisqu’il tend vers 16 ⎝ ⎠ lorsque x tend vers 0 par valeurs strictement positives. 3 2 ⎛ ⎞ 3 4 − x ⎜ ⎟ − 64 ⎠ pour tout x réel strictement Nous nous intéressons donc désormais à ⎝ x positif. On a, en développant le cube au numérateur : 3 2 3 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ 23 ⎞ ⎛ 23 ⎞ 3 2 3 3 4 − x − 64 4 − 3 × 4 × x + 3 × 4 × ⎜ ⎟ ⎜ x ⎟ − ⎜ x ⎟ −64 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = x x 2 4 −48 × x 3 + 12 × x 3 − x 2 = x = −48 x − 1 3 1 3 + 12 x − x 1 1 − ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ Or, lim ⎜12 x 3 − x ⎟ = 0 − 0 = 0 mais : lim ⎜ −48 x 3 ⎟ = −∞ . x →0 x →0 ⎠ ⎠ x >0 ⎝ x >0 ⎝ Lycée Fénelon Sainte-Marie 19/21 M. Lichtenberg Racine nième Corrigés d’exercices On en déduit finalement : lim x →0 x >0 b) On vient d’obtenir : lim x →0 x >0 f ( x) − 8 = −∞ x f ( x) − 8 f ( x ) − f ( 0) = lim = −∞ . x →0 x x−0 x >0 On en déduit immédiatement : La fonction f n’est pas dérivable en 0 (à droite). c) D’après le résultat précédent, on peut conclure que : La courbe représentativeC de la fonction f admet en son point d’abscisse nulle une tangente verticale. 3. a) Pour tout réel x strictement positif, on a : 3 1 −1 2 2 1 2 2 − ⎞ ⎛ ⎞ 3 ⎛ 2 23 −1 ⎞ ⎛ 3 3 f '( x) = × ⎜ − × x ⎟ × ⎜ 4 − x ⎟ = −x × ⎜ 4 − x3 ⎟ 2 ⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ Pour tout x de ]0;8] , f ' ( x ) = − x × ⎜ 4 − x ⎟ ⎝ ⎠ − 1 3 2 3 1 2 b) Pour tout x strictement positif (et donc à fortiori sur ]0;8] ) on a x − 1 3 > 0 . Pour tout x de 1 2 2 ⎛ ⎞ [0;8[ , on a : 4 − x > 0 et donc ⎜ 4 − x 3 ⎟ > 0 . ⎝ ⎠ 2 3 On déduit de ce qui précède que la dérivée de f est négative sur ]0;8] et ne s’y annule que pour x = 8 . La fonction f est donc strictement décroissante sur cet intervalle. Comme elle est continue sur [ 0;8] comme composée de fonctions continues, on en déduit finalement : La fonction f est strictement décroissante sur [ 0;8] . Lycée Fénelon Sainte-Marie 20/21 M. Lichtenberg Racine nième Corrigés d’exercices 4. On obtient : y 12 10 8 6 2 3 3 2 f(x ) = (4- x ) 4 2 x 0 0 -2 2 4 6 8 10 12 14 -2 -4 Lycée Fénelon Sainte-Marie 21/21 M. Lichtenberg 16