PhDNaskoKaramanov2

`
A propos de la cohomologie du deuxi`eme
groupe stabilisateur de Morava ; application
aux calculs de π∗(LK(2)V(0)) et du groupe
P ic2de Hopkins.
Nasko Karamanov
1er f´evrier 2006

Remerciements
Je tiens `a remercier tout d’abord mon directeur de th`ese, Hans-Werner
Henn, pour m’avoir introduit dans le monde de la topologie alg´ebrique. Les
rendez-vous au 316, au cours desquels il n’a pas m´enag´e son temps, m’ont
´enorm´ement appris . Les repas et les bi`eres bues ensemble n’en ont pas gˆach´e
le charme.
Bi sakal da i se zablagodaram na mojata familija. Bez nejzi-
nata podrxka rezultatite ne bi bile ovde.
Je remercie les membres du jury d’avoir accept´e de consacrer de leur
temps pr´ecieux `a la lecture de mon travail. J’adresse ´egalement mes remer-
ciements `a Mark Mahowald pour avoir accept´e d’ˆetre rapporteur externe.
I would like to thanks Paul Goerss and Mark Mahowald for inviting me for
one month at Northwestern University in Evanston, and also Tilman Bauer
and Wolfgang L¨uck for inviting me three months in M¨unster. We had very
intersting and fruitfull discutions.
Les cinq courageux qui ont partag´e mon bureau pendant ces ann´ees, tous
diff´erents les uns des autres, m’ont apport´e plus que je n’aurais pu l’imaginer,
et parmi cela beaucoup de savoir sur la langue fran¸caise, sur les s´eries t´el´es,
sur les jeux, sur le bridge et sur les blagues pas tr`es orthodoxes.
J’ai partag´e beaucoup de moments agr´eables et divertissants avec mes
coll`egues.
Mes amis ´etaient l`a autant pour le soutien que pour les soir´ees.
Je remercie tous ceux qui se reconnaˆıtront.
1

Table des mati`eres
1 Introduction 4
2 Pr´erequis 8
2.1 La th´eorie de Lubin et Tate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Le groupe stabilisateur de Morava . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.1 Propri´et´es g´en´erales de Gn................ 10
2.2.2 Le groupe G2pour p=3................. 12
2.2.3 Les ´el´ements a,b,cet d................. 13
2.2.4 Les sous-groupes Ket K0................ 15
3 La r´esolution GHMR et le morphisme ∂219
3.1 Construction de la r´esolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.1 M´ethode de la construction . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.2 Premi`ere ´etape : le morphisme ∂0:C0→Z3...... 20
3.1.3 Deuxi`eme ´etape : le morphisme ∂1:C1→C0...... 20
3.1.4 Troisi`eme ´etape : le morphisme ∂2:C2→C1...... 24
3.2 Une formule pour n1....................... 28
4 L’action de G2sur E2∗/331
4.1 M´ethode de calcul de l’action . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Cas n= 2 et p=3 ........................ 33
5 Premi`ere application : sur la suite spectrale qui converge vers
H∗(G1
2;E2∗/3) 40
5.1 La suite spectrale E....................... 40
5.2 Calcul de E1,0
2........................... 41
5.2.1 ´ Etude de la diff´erentielle E0,0
1→E1,0 1.......... 42
5.2.2 ´ Etude de la diff´erentielle E1,0
1→E2,0 1.......... 47
5.2.3 La suite spectrale E0................... 48
5.2.4 Modification de b1.................... 50
5.2.5 E1,0
2............................ 53
2

6 Deuxi`eme application : le groupe P ic2de Hopkins 55
6.1 D´efinition et r´esultats connus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.2 Calcul de H1(G2;W[[u1]]×).................... 56
6.2.1 Calcul de H1(G1
2;U1)................... 57
6.2.2 Construction de l’´el´ement η............... 61
6.2.3 Calcul de H1(G1
2;W[[u1]]×)................ 66
7 Analyse et ´evaluation de ∂269
7.1 Analyse de ∂2........................... 69
7.1.1 Approximation de xet y................. 70
7.2 Evaluation de ∂2......................... 77
7.2.1 Formule pour ∂2(uk) ................... 80
3

Chapitre 1
Introduction
Soit E∗une th´eorie d’homologie g´en´eralis´ee. La localisation de Bousfield
par rapport `a E∗est un foncteur LEde la cat´egorie des spectres dans elle-
mˆeme muni d’une transformation naturelle λ:X→LEXterminale parmi
les E∗-´equivalences. Bousfield a montr´e que LEexiste pour toute th´eorie E∗.
Soit pun premier fix´e et K(n) la n-i`eme K-th´eorie de Morava. On rappelle
que c’est une th´eorie cohomologique p´eriodique multiplicative dont l’anneau
des coefficients est K(n)∗∼
=Fp[vn, v−1
n] avec |vn|= 2(pn−1). La loi de groupe
formel associ´ee est la loi de Honda Hnde hauteur n.
Les foncteurs LK(n)jouent un rˆole tr`es important dans la cat´egorie ho-
motopique stable des complexes finis p-locaux. En effet, il existe une tour de
foncteurs de localisation
· · · → Ln→Ln−1→ · · ·
avec Ln=LK(0)∨···∨K(n)et des transformations naturelles id →Lntels que
pour tout spectre fini p-local on a
X'holimnLnX.
De plus, on a un carr´e h-cart´esien (homotopy pullback)
LnX→LK(n)X
↓ ↓
Ln−1X→Ln−1LK(n)X
Les foncteurs LK(n)sont li´es aux propri´et´es cohomologiques du groupe
stabilisateur de Morava Snqui est le groupe d’automorphismes de la loi de
groupe formel de Honda. Ce groupe agit sur le spectre Lubin-Tate Ende
coefficients
En∗=W[[u1,· · · , un−1]][u, u−1]
4