Suites réelles et complexes

Chapitre 1
Suites réelles et complexes
Les buts de ce chapitre sont :
– Introduire deux nouveaux types de suites classiques : les suites arithméticogéométriques, et les suites récurrentes d’ordre 2.
– Introduire les notions de convergence des suites et savoir les manipuler.
– Savoir démontrer qu’une suite converge en utilisant le théorème des gendarmes, ou
le théorème sur les suites adjacentes.
– Savoir démontrer qu’une suite ne converge pas en utilisant les suites extraites.
– Utiliser le théorème sur les suites monotones bornées
De plus, on appliquera aux suites les résultats des chapitres suivants, en particulier :
– Notions sur les suites un+1 = f (un ).
– Notions sur les suites implicites.
\
=
$
CC
BY:
Définition 1. Une suite réelle est une application de N dans R, n 7→ un . Une suite est notée (un )n∈N .
L’ensemble des suites réelles est RN .
On définit de même les suites complexes CN .
On parle aussi de suites pour des applications définies sur un sous-ensemble de N du type [a, +∞[, par
exemple, on parlera de la suite telle que un = n1 , on note alors (un )n>1 .
Note: Pour des raisons de rédaction, il faut bien séparer un qui désigne le n-ième terme de la suite (un réel),
et un n∈N qui désigne la suite elle-même (une fonction, soit une infinité de réels). Pour cela on mettra (un ) entre
parenthèse lorsqu’il s’agit de la suite.
Une suite peut être définie
Explicitement c’est-à-dire la valeur de un en fonction de n. Par exemple : ∀n ∈ N∗ , un = ln(n).
Par récurrence c’est-à-dire par le premier terme, et par l’expression de un+1 en fonction de un . Cette
récurrence peut-être d’ordre supérieure, par exemple une suite peut être définie par ses deux premiers
termes, et l’expression de un+2 en fonction de un+1 et un .
Par exemple :

u donné
0
u
n+1 = aun + b.
Implicitement Comme la solution d’une équation.
Par exemple : un est la solution de l’équation (En ) : ln(x) + nx = 0 sur R+
∗.
1
2
CHAPITRE 1. SUITES RÉELLES ET COMPLEXES
I
Suites classiques
I.1
Suites arithmétiques
Définition 2. On appelle suite arithmétique de raison r, la suite définie par u0 et ∀n ∈ N, un+1 = un +r.
La suite est réelle si r et u0 sont réels, complexes sinon. L’interprétation classique est celle d’un compte
en banque : on part d’une somme d’argent u0 et chaque année on ajoute une somme r.
Dans les deux cas, les formules sont les mêmes.
Proposition 1. On a : ∀n ∈ N, un = u0 + nr, en particulier, un =
des termes qui l’entourent).
De plus : ∀n ∈ N,
n
X
uk = (n + 1)u0 + r
k=0
un+1 + un−1
. (un terme est la moyenne
2
n(n + 1)
.
2
Démonstration. La première formule se démontre par récurrence, le reste suit.
Application 1
Soit (un ) une suite arithmétique de raison r, montrer que :
1. ∀k, p ∈ N, uk+p = up + kr,
2. ∀n, p ∈ N,
I.2
n
X
uk+p =
k=1
uP +1 + up+n
n
2
Suites géométriques
Définition 3. On appelle suite géométrique de raison q, la suite définie par u0 et ∀n ∈ N, un+1 = qun .
De même, la définition est valable dans R ou C.
L’interprétation est que l’on pose une somme d’argent u0 sur un compte en banque : chaque année, le
solde du compte est multiplié par q.
Proposition 2. On a : ∀n ∈ N, un = u0 q n , en particulier, u2n = un+1 un−1 . De plus, si q 6= 1,
n
X
1 − q n+1
∀n ∈ N,
uk = u0
.
1−q
k=0
Note: c’est le nombre de termes qui apparaît dans la formule sur la somme.
Si |q| < 1 1 la suite tend vers 0, Si |q| > 1, et u0 6= 0, la suite |un | tend vers +∞, dans le cas u0 > 0 et
q ∈ R, si q > 1 la suite un tend vers +∞, si q < −1, le signe est alterné.
I.3
Suites arithmético-géométriques
Définition 4. On appelle suite arithmético-géométrique, une suite un de la forme :

u
0
∀n ∈ N, u
n+1 = aun + b
Le cas a = 1 correspond donc à une suite arithmétique, le cas b = 0 à une suite géométrique, on est donc
devant une généralisation de ces deux cas.
1. Module ou valeur absolue.
I. SUITES CLASSIQUES
3
Note: Les réels a et b ne dépendent pas de n.
De même, on ne sépare pas les cas réels et complexes.
Pour exprimer un en fonction de n, la méthode consiste à poser : vn = un − l, où l est un paramètre
libre que l’on fixera ensuite, pour permettre un calcul de vn facile.
On a :
vn+1 = aun + b − l = a(vn + l) + b − l = avn + l(a − 1) + b.
On voit que si on peut trouver l tel que : l(a − 1) + b = 0, alors vn est une suite géométrique.
b
, notons que le cas a = 1 est tout simple, la suite un est alors
Donc si a 6= 1, on pose l =
1−a
arithmétique.
Avec ce choix de l, on a :
b
vn = an v0 = an u0 −
.
1−a
Puis
un = an u0 −
On a donc :
b
1−a
+
1 − an
b
= an u0 + b
.
1−a
1−a
Proposition 3. Si a 6= 1, on a : ∀n ∈ N, un = an u0 + b
Si a = 1, la suite est arithmétique.
1 − an
.
1−a
Conformément au programme, cette formule n’est pas exigible. Par contre, il faut connaître la méthode
pour la retrouver.
Remarque:
– si |a| < 1, limn→∞ un = l.
– Si |a| > 1, en écrivant :
un = an u0 −
b
1−a
+
b
,
1−a
b
on voit que on a : limn→+∞ |un | = +∞ (il faut regarder le signe de a et de (u0 − 1−a
) pour avoir le
signe de un ).
– Autre manière de voir, la suite (un ) est définie par : un+1 = f (un ), avec f (x) = ax + b. Donc si elle
converge, alors elle converge vers un point fixe, i.e. une solution de f (x) = x. La seule solution si
b
a 6= 1 est l = 1−a
. Ainsi l peut-être obtenu comme la limite de la suite (si elle existe) et la technique
consiste à poser vn = un − l, soit la distance entre un et sa limite.
L’interprétation en terme de compte en banque est que l’on dépose une somme u0 d’argent sur le compte,
que celui-ci est placé au taux d’intérêt a, et que l’on ajoute chaque année la somme b.
La formule se comprends alors ainsi : à l’année n, il y a sur le compte
– l’argent initial u0 qui a été placé au taux d’intérêt a, et qui représente donc an u0 ,
– l’argent déposé la première année (b euros), qui a été aussi placé au taux d’intérêt a, et représente
donc an−1 b à l’année n,
– de même l’argent déposé la deuxième année représente an−2 b,
– etc. jusqu’à l’argent déposé l’année n − 1 qui représente ab, puis pour finir l’argent que l’on vient de
déposer (b euros).
Au final, se trouve sur le compte u0 an + an−1 b + an−2 b + · · · + ab + b = u0 an + b(1 + a + . . . an ), donc :
un = u0 an + b
1 − an
.
1−a
Exemple: Soit un définie par u0 = 1 et ∀n ∈ N, un+1 = 2un + 3.
4
CHAPITRE 1. SUITES RÉELLES ET COMPLEXES
On calcule la suite vn = un − l (la variable l étant à déterminer) et on a :
∀n ∈ N, vn+1 =2un + 3 − l
=2(un − l) + 3 + l
=2vn + 3 + l
On pose donc l = −3 pour avoir vn+1 = 2vn , et donc
vn = un + 3 = 2n v0 = 2n (u0 + 3).
. Ce qui fait que ∀n ∈ N, un = 2n (u0 + 3) − 3.
I.4
Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 à coefficients constants
Définition 5. On appelle suite récurrente linéaire, une suite définie par u0 , u1 , et la relation de
récurrence :
(R)
un+2 = aun+1 + bun
Précisément on parle de récurrence d’ordre 2, parce qu’il y a 2 pas de récurrence, et à coefficients constants,
parce que a, et b ne dépendent pas de n (sinon c’est plus compliqué).
Note: On aurait pu aussi dire que les termes de la suite vérifient l’équation :
un+2 − aun+1 − bun = 0
Le cas b = 0 n’est pas intéressant, car dans ce cas la relation s’écrit : un+2 = aun+1 , et (un ) est une
suite géométrique à partir du rang 1.
⋆
Recherche de suites particulières qui vérifient la relation (R)
Comme dans le cas précédent, cherchons une suite géométrique vn = q n qui vérifie (R).
On a alors la relation :
q n+2 − aq n+1 − bq n = 0,
soit en supposant q 6= 0 (sinon vn ≡ 0), on a : q 2 − aq − b = 0. D’où l’idée d’introduire l’équation
caractéristique :
(E)
:
x2 = ax + b,
ou x2 − ax − b = 0. Le polynôme caractéristique de l’équation est
P (X) = X 2 − aX − b.
On voit que ce que l’on va devoir chercher les solutions de (E), i.e. les racines du polynôme caractéristique. Le plus simple est alors de se placer dans C, P a alors une ou deux racines.
On a déjà démontré le résultat suivant :
Proposition 4. Dans le cas où P a deux racines complexes q1 et q2 , les suites (q1n )n et (q2n )n vérifient la
relation (R).
Dans le cas où P est de la forme P (X) = (X − q)2 , i.e. P n’a qu’une racine, les suites (q n )n et (nq n )n
vérifient la relation (R).
I. SUITES CLASSIQUES
5
Démonstration. Il ne reste plus qu’à montre que le cas où P n’a qu’une racine.
Il est alors clair que (q n )n vérifie (R). Considérons ensuite la suite (un ) définie par ∀n ∈ N, un = nq n ,
on a :
un+2 = (n + 2)q n+2 =(n + 2)q 2 q n
en utilisant q 2 = aq + b
=(n + 2)(aq + b)q n
=(anq + 2aq + nb + 2b)q n
=(anq + aq + aq + nb + 2b)q n
=a(n + 1)q n+1 + nbq n + (aq + 2b)q n
en regroupant les termes soulignés
=aun+1 + bun .
Or on a : q = a2 et q 2 = −b, donc aq + 2b =
a2
2
+ 2b =
a2 +4b
4
=
∆
4
= 0. Ainsi, la suite (un ) vérifie (R).
À partir de ces deux suites, on peut en construire d’autres par combinaison linéaire :
Proposition 5. Soit (un ) et (vn ) deux suites qui vérifient (R), α et β deux réels, alors la suite (wn ) définie
par ∀n ∈ N, wn = αun + βvn vérifie aussi (R)
Note: L’ensemble des suites qui vérifient (R) est donc un sous-espace vectoriel de l’ensemble des suites.
Démonstration. Il suffit de vérifier :
wn+2 =αun+2 + βvn+2
=α(aun+1 + bun ) + β(avn+1 + bvn )
=a(αun+1 + βvn+1 ) + b(αun + βvn )
=awn+1 + bwn .
⋆
Résolution dans C
Théorème 6. Résolution dans C
Dans le cas d’une suite récurrente linéaire d’ordre 2, avec b 6= 0, on a :
– Si P a deux racines dans C notées q1 et q2 , alors il existe α et β complexes uniques tels que :
∀n ∈ N, un = αq1n + βq2n ,
– Si P a une seule racine dans C notée q, alors il existe α et β complexes uniques tels que : ∀n ∈
N, un = (α + βn)q n .
Les paramètres α et β se calculent en regardant le système d’équations obtenu lorsque n = 0 et n = 1.
Remarque: Intuitivement, si a et b sont fixés, une suite un est définies par u0 et u1 . On a donc deux
“degré de liberté”. On retrouve bien ces deux paramètres α et β. Cette idée se transformera en démonstration
dans le cours de deuxième année sur les espaces vectoriels généraux.
Démonstration. cas de deux racines distinctes Déjà l’hypothèse b 6= 0 implique que ni q1 ni q2 ne sont
nuls.
L’unicité se démontre en remarquant que le système qui correspond au cas n = 0 et n = 1 :

α + β
αq + βq
1
2
= α′ + β ′
= α′ q1 + β ′ q2
=⇒

α + β
β(q − q )
2
1
implique que β = β ′ et α = α′ (puisque q1 6= q2 ).
= α′ + β ′
= β ′ (q2 − q1 )
L2 − q 1 L1
6
CHAPITRE 1. SUITES RÉELLES ET COMPLEXES
Commençons l’analyse : en reprenant le système ci-dessus, on voit qu’il existe (α, β) qui conviennent
pour n = 0 et n = 1 :

α + β
= u0
αq + βq
1
2
= u1
=⇒
=⇒

α + β
= u0
β(q − q ) = u − u q
2
1
1
0 1

u1 − u0 q1

β =



q2 − q1

L2 − q 1 L1
.




α
u0 q2 − u1
=
q2 − q1
Ainsi, si (α, β) conviennent, alors leurs valeurs sont données ci-dessus.
Pour la synthèse, vérifions par récurrence double sur n que cette valeur convient. On pose donc P (n) :
un = αq1n + βq2n . L’analyse permet d’affirmer que P (0) et P (1) est vraie.
Puis, si on suppose la propriété vraie pour n et n + 1, on a :
un+2 = aun+1 + bun
car q12 = aq1 + b
= αq1n (aq1 + b) +βq2n (aq2 + b)
|
{z
q12
}
= αq1n+2 + βq2n+2
|
{z
q22
}
(q1 est racine.)
D’où la propriété est vraie, pour tout n ∈ N.
Cas d’une seule racine
Déjà, on peut remarquer que dans ce cas, a = 2q et b = −q 2 .
La démonstration est identique.
Si (α, β) et (α′ , β ′ ) sont solutions, alors

αq
= α′ q
(α + β)q
= (α′ + β ′ )q
=⇒

α
β
= α′
= β′
,
car q 6= 0 (provient de b2 = −q 2 et b 6= 0). D’où l’unicité.
L’analyse se fait en regardant les deux premiers termes, i.e. le même système :

α
(α + β)q
= u0
= u1
=⇒

α
β
= u0
=
u1 −u0
q
.
D’où les valeurs de α et β.
L’existence se démontre aussi par récurrence double sur n, l’initialisation a été faite dans l’analyse.
Pour l’hérédité :
un+2 = aun+1 + bun
= αq n (aq + b) + βq n (n(aq + b) + aq)
= αq n+2 + βq n (nq 2 + 2q 2 )
= (α + (n + 2)β)q n+2
I. SUITES CLASSIQUES
7
Résolution dans R
⋆
Maintenant si u0 et u1 sont réels, ainsi que a et b, une récurrence double immédiate montre que ∀n ∈
N, un ∈ R.
On doit donc pouvoir exprimer un en fonction de n, sous la forme d’une suite de réel.
Si P a deux racines distinctes dans R, les mêmes calculs que ci-dessus sont valables. De même, si P a
une racine double. La difficulté est donc lorsque P n’a pas de racine dans R.
Notons déjà que P a alors deux racines complexes conjuguées, q et q. De plus, la formule ci-dessus est
toujours exacte.
Autrement dit, il existe α et β complexes uniques tels que :
∀n ∈ N, un = αq n + βq n ,
|{z}
∈R
|
{z
∈C
}
avec q 6= 0 (puisque b 6= 0).
Montrons déjà que α et β sont conjugués. On sait qu’ils sont solution de :

α + β
En faisant (L2) − q(L1), on obtient :
et en faisant (L2) − q(L1), on obtient :
αq + βq
α=
β=
= u0
= u1
u1 − qu0
,
q−q
u1 − qu0
= α.
q−q
/ R, donc les calculs sont bien licites.
Rem : q 6= q, car q ∈
Maintenant, si on note
q = ρ(cos(θ) + i sin(θ)),
on a
un = αq n + βq n
= αρn einθ + βρn e−inθ


= ρn α(cos(nθ) + i sin(nθ)) + β(cos(nθ) − i sin(nθ))


= ρn (α + β) cos(nθ) + i(α − β) sin(nθ)


= ρn (α + α) cos(nθ) + i(α − α) sin(nθ)
D’où le théorème :


= ρn 2Re(α) cos(nθ) − 2Im(α) sin(nθ) .
Théorème 7. Soient (a, b) ∈ R, avec b 6= 0. (un ) une suite récurrente linéaire d’ordre 2, de polynôme
caractéristique P , avec u0 , u1 , a, et b réels, on a :
– Si P a deux racines réelles distinctes, notées q1 et q2 , alors il existe α et β réels uniques tels que :
∀n ∈ N, un = αq1n + βq2n ,
– Si P a une racine double, notée q alors il existe α et β uniques tels que :
∀n ∈ N, un = (α + βn)q n .
8
CHAPITRE 1. SUITES RÉELLES ET COMPLEXES
– Si P n’a pas de racine, en notant ρeiθ une des racines complexes, il existe α et β uniques, tels que :
∀n ∈ N, un = ρn (α cos(nθ) + β sin(nθ)).
Les paramètres α et β se calculent en regardant le système d’équations obtenu lorsque n = 0 et n = 1.
Remarque: Si on connaît u1 et u2 au lieu de u0 et u1 , on procède de la même manière : on détermine
α et β comme solution du système pour n = 1 et n = 2.
Exemple: Soit la suite :

u = −1, u = 2,
0
1
.
u
n+2 = 4un+1 − 4un
L’équation caractéristique associée est : X 2 − 4X + 4 = (X − 2)2 . Ainsi (un ) s’écrit un = α + βn 2n . On
détermine α et β :


u = α = −1,
α = −1,
0
soit
.
u = (α + β) × 2 = 2,
β = 2.
1
Ainsi, on a : ∀n ∈ N, un = (2n − 1)2n .
Exemple: Soit la suite :

u = 4, u = 5,
0
1
u
n+2
.
= 3un+1 − 2un
L’équation caractéristique associée est : X 2 − 4X + 4 = (X − 1)(X − 2).
Ainsi (un ) s’écrit un = α + β2n On détermine α et β :

u = α + β = 4,
0
u = α + 2β = 5.
1
Ce qui donne ∀n ∈ N, un = 2n + 3.
Exemple: Soit la suite :

α = 3,
β = 1.
soit

√
u = 1, u = 3 − 1 ,
0
1
2
u
=
−u
−
u
n+2
n+1
n
.
.
L’équation caractéristique associée est : X 2 + X + 1 = (X − j)(X − j), avec j = ei
dans C sous la forme :
n
un = αj n + βj , avec (α, β) ∈ C.
Mais en fait il est clair que un et une suite réelle, qui s’écrira donc (dans R) :
un = α cos(n
2π
2π
) + β cos(n ), avec (α, β) ∈ R.
3
3
On détermine α et β :

u = α = 1,
0
√
√
u = α + β 3 = 3 − 1 .
1
2
2
2
2nπ
Ce qui donne ∀n ∈ N, un = cos 2nπ
n + 2 sin n .
Exemple: Soit la suite :

u = 3, u = 17,
1
2
u
n+2

α = 1,
β = 2.
soit
= 3un+1 + 4un
.
L’équation caractéristique associée est : X 2 − 3X − 4 = (X + 1)(X − 4).
.
2π
3
. Ainsi (un ) s’écrit
II. CONVERGENCE DES SUITES
9
Ainsi (un ) s’écrit un = α(−1)n + β4n On détermine α et β :

u = −α + 4β = 3
1
u = α + 16β = 17.
2
soit
Ce qui donne ∀n ∈ N, un = (−1)n + 4n .
II

α = 1,
β = 1
Convergence des suites
La notion de convergence est très importante et doit bien être comprise, elle permettra de définir la
continuité, puis la dérivée, etc.
Dans la suite un désigne une suite réelle ou complexe.
II.1
⋆
Définitions
Suites convergente
Définition 8. On dit que la suite (un ) converge vers l si :
∀ǫ > 0, ∃N ∈ N : ∀n ∈ N, n > N ⇒ |un − l| 6 ǫ,
on note alors limn→+∞ un = l.
Dans cette définition, |.| désigne la valeur absolue dans le cas réel, et le module dans le cas complexe.
Cette définition rigoureuse est nouvelle par rapport au programme de Terminale. Elle va permettre de
démontrer rigoureusement toutes les propriétés sur les suites. Il est donc important de bien la comprendre.
Par contre, cette définition n’est utile que pour la théorie, on ne l’utilise quasiment jamais pour calculer
effectivement la limite d’une suite ou pour démontrer qu’une suite converge dans un exercice.
Généralement, on mesure les nombres à une précision près, et on ne distingue pas deux nombres a et b
tels que |a − b| est inférieur à cette précision. La définition d’une suite convergente peut alors se comprendre
comme cela :
Quelle que soit la précision ǫ que l’on se fixe, il existe un rang N à partir duquel tous les termes de la
suites un sont égaux à l à ǫ près.
La première propriété que permet de montrer cette définition est que si un → l la limite l est unique.
Proposition 6. Si un → l et un → l′ , alors l = l′ .
Démonstration. Supposons par l’absurde qu’il existe deux limites l et l′ , alors je peux trouver une précision
′|
ǫ qui permette de distinguer ces deux nombres. On peut prendre par exemple |l−l
3 , pour une telle précision,
l et l′ sont distants de 3 ǫ
La définition donne alors deux rang notés N respectivement N ′ , tels que si n > N , un et l sont à
distance inférieure à ǫ, et si n > N ′ , un et l′ sont à distance inférieure à ǫ.
Si on choisit un n > max(N, N ′ ), ce qui est toujours possible, alors un sera à distance ǫ de l, et de l′ , ce
qui est impossible puisque l et l′ sont distants 3 ǫ, rigoureusement cela se démontre en remarquant que :
3ǫ = |l − l′ | 6 |l − un | + |l′ − un | 6 2ǫ,
ce qui est impossible.
Remarque:
– Encore une fois on voit que faire un dessin permet de bien comprendre ce qui se passe.
10
CHAPITRE 1. SUITES RÉELLES ET COMPLEXES
– On voit aussi qu’une suite un tend vers l si et seulement si |un − l| tend vers 0. En effet, c’est la
distance à l qui intervient dans la définition (valeur absolue ou norme). Cette remarque permet en
particulier de ramener le cas d’une suite complexe un , à une suite réelle à termes positifs |un − l|.
– Rien n’indique dans la définition comment la suite un se rapproche de l : par valeur supérieure ou
inférieure, ou une fois inférieure puis supérieure, etc.
– On peut aussi voir cette définition ainsi : pour toute précision ǫ, la suite vérifie |un − l| 6 ǫ sauf pour
un nombre fini de termes.
⋆
Suites qui tendent vers +∞
Dans le prolongement de cette définition, on définit une suite qui tend vers plus ou moins l’infini.
En mathématiques, la notation +∞ désigne un nombre (non réel) plus grand que tous les réels. D’où
l’idée de dire qu’une suite tend vers +∞ si elle est supérieure à tout réel à partir d’un certain rang.
Définition 9. Soit un une suite réelle, on dit que la suite un tend vers +∞ si :
∀M ∈ R, ∃N ∈ N, ∀n > N, un > M,
on note alors limn→∞ un = +∞.
De même, on définit une suite qui tend vers −∞, si
∀m ∈ R, ∃N ∈ N, ∀n > N, un 6 m.
Généralement, on se restreint au cas M > 0 et m < 0 (c’est bien sûr équivalent). En particulier, on
écrit qu’une suite tend vers −∞ si
∀M > 0, ∃N ∈ N, ∀n > N, un 6 −M.
Cette définition est parfois plus parlante.
On fera attention de ne pas dire qu’une suite converge vers +∞, les propriétés des suites convergentes
et des suites qui tendent vers +∞ sont très différentes. Une suite qui ne converge pas est dite divergente,
une suite divergente peut ne pas tendre vers +∞, comme (−1)n .
Pour les suites complexes, il n’y a pas de notion de tendre vers +∞, sauf de considérer |un | Essentiellement parce qu’il n’y a pas que “deux directions infinies” dans C, une suite qui diverge et part vers l’infini
peut prendre toutes les directions possibles, mais aussi diverger en spirale.
On appelle nature d’une suite le fait de converger ou de diverger.
Application 1
Montrer que la suite (−1)n ne converge pas vers 1, ni vers −1, ni vers aucun réel.
Application 2
Montrer que la définition d’une suite convergente est équivalente à :
∀ǫ > 0, ∃N : ∀n ∈ N, n > N ⇒ |un − l| 6 2ǫ
Application 3 Montrer que la convergence en +∞ est une notion asymptotique : Si un et vn sont
telles que ∃p ∈ N : ∀n > p, un = vn , alors ((un ) converge vers l) ⇐⇒ ((vn ) converge vers l).
II.2
Convergence et encadrement
Dans cette sous-partie, on étudie quelques propriétés que l’on peut déduire de la définition. La plupart
de ces propriétés étaient connues et admises en classe de Terminale, on peut maintenant les démontrer
rigoureusement.
Ces propriétés expriment que même si on ne sait pas calculer exactement un , mais que l’on sait le
minorer/majorer/encadrer, alors on peut déduire la nature de la suite (un ).
Notons que les hypothèses dans ces propositions peuvent être valables à partir d’un certain rang.
II. CONVERGENCE DES SUITES
⋆
11
Majoration de |un − l|
Proposition 7. Soit (un ) une suite, telle qu’il existe une suite (bn ) telle que : ∀n ∈ N, |un | 6 bn , et (bn )
converge vers 0, alors (un ) converge vers 0.
Pour démontrer qu’une suite réelle ou complexe converge vers l, on peut appliquer cette propriété à la
suite |un − l|, en la majorant par une suite qui tend vers 0.
Notons que dans cette proposition l’hypothèse |un | 6 bn peut n’être valable qu’à partir d’un certain
rang, cela ne change rien.
Démonstration. Soi ǫ > 0, on choisit alors le rang N tel que ∀n > N, |bn | 6 ǫ. On a alors directement
∀n > N, |un | 6 ǫ.
Cette proposition permet de démontrer qu’une suite converge un converge vers l en majorant |un − l|,
on peut ainsi déduire des limites à partir de limites connues.
Dans le cas d’une suite qui tend vers l’infini, on a une propriété semblable :
Proposition 8. Si (un ) est une suite réelle, telle qu’il existe une suite réelle (bn ) telle que ∀n ∈ N, un > bn
et bn tend vers +∞, alors un tend vers +∞.
La démonstration est encore immédiate.
⋆
Passage à la limite dans les inégalités
Proposition 9. Soit une suite réelle un qui converge vers l > 0, alors ∃p ∈ N : ∀n > p, un > 0 Ainsi une
suite qui a une limite positive stricte est, au voisinage de l’infini, positive stricte.
On a le même résultat dans le cas d’une limite strictement négative.
Démonstration. Pour démontrer ce résultat, il faut considérer une précision ǫ, qui permette de distinguer
l et 0. Par exemple, |l|/2.
Avec cette précision, si |un − l| 6 ǫ, alors 0 < l/2 6 un . D’où le résultat en considérant le rang p à partir
duquel |un − l| 6 ǫ.
Il est important de remarquer que non seulement on a un > 0, mais un résultat plus fort : ∃a > 0, ∃p ∈
N, ∀n > p, un > a > 0. (On l’a montré en posant a = 2l ). Ce qui veut dire que l’on peut contrôler la
distance entre un et 0 par une distance fixe (qui ne dépend pas de n).
On retient souvent ce résultat par sa conséquence :
Proposition 10. En conséquence, si une suite un vérifie ∀n ∈ N, un > 0, et converge vers l, alors
lim+∞ un > 0.
Démonstration. Pour la conséquence, on raisonne par l’absurde : si l < 0, on aurait un < 0 à partir d’un
certain rang, ce qui est en contradiction avec l’hypothèse.
Remarquons qu’on peut avoir ∀n ∈ N, un > 0 et lim+∞ un = 0, c’est le cas de la suite un = n1 . Ainsi, on
peut « passer à la limite dans les inégalités », à condition de remplacer les inégalités strictes par des larges :
Proposition 11. Soit un et vn deux suites réelles, qui convergent vers l et l′ respectivement, et telles que :
∀n ∈ N, un 6 vn . On a alors : l 6 l′ .
En particulier, si une suite un vérifie a 6 un 6 b, et converge vers l, alors a 6 l 6 b.
Démonstration. Cette proposition se démontre en considérant vn − un > 0, donc l′ − l > 0 2 . La seconde
partie se démontre en considérant les suites un − a > 0 et b − un > 0.
2. À ce stade, on n’a pas démontré que la limite de vn − un était l′ − l, cela est fait plus loin et de manière indépendante.
12
⋆
CHAPITRE 1. SUITES RÉELLES ET COMPLEXES
Théorème d’encadrement (des gendarmes)
Ce théorème est une continuation des précédents qui relient limites et encadrement.
Proposition 12. Soient un , an et bn trois suites réelles telles que :
∀n ∈ N, an 6 un 6 bn .
Alors, on a :
– Si an et bn convergent vers la même limite l, alors un converge vers l,
– si an tend vers +∞, alors un tend vers +∞,
– si bn tend vers −∞, alors un tend vers −∞,
La différence avec les précédents est qu’on ne suppose plus que la suite est convergente, on le démontre.
Démonstration. Les deux derniers points ont déjà été vus, reste à démontrer le premier point.
Soit donc un ǫ > 0, d’après la définition, on a deux rangs p et p′ , tels que respectivement |an − l| 6 ǫ
et |bn − l| 6 ǫ.
Sur le dessin, cela signifie que les deux suites an et bn sont coincées dans un tube de largeur ǫ et de
centre l. La suite un étant comprise entre ces deux suites, elle est forcément coincée aussi dans ce tube.
Pour passer de cette idée à une démonstration, on prend le plus grand rang des deux N = max(p, p′ ),
les deux propriétés sont alors vérifiées ∀n > N .
Soit donc n > N , on a
l − ǫ 6 an 6 un 6 bn 6 l + ǫ
donc |un − l| 6 ǫ.
On a donc montré que ∀n > N, |un − l| 6 ǫ, comme ǫ est arbitraire, un converge vers l.
⋆
Convergence des suites complexes
Proposition 13. Soit (un ) une suite à valeurs complexes.
La suite un converge vers l = a + ib si et seulement si la suite ℜ(un ) converge vers a, et la suite ℑ(un )
converge vers b.
Si la suite un converge vers l, alors la suite |un | converge vers |l|.
Démonstration. Le premier point se démontre en utilisant :
ℜ(un ) − a 6 ℜ(un − l) 6 un − l
(car un nombre
complexe
vérifie toujours
|ℜ(z)|
6 |z|).
−−−−→ 0.
Ainsi, si un − l −−−−−→ 0 on a ℜ(un ) − a −
n→+∞
n→+∞
On procède de même pour la partie imaginaire.
Pour la réciproque, on a :
un − l 6 (ℜ(un ) − a) + i(ℑ(un ) − b) 6 ℜ(un ) − a + ℑ(un ) − b.
Le deuxième proposition provient de l’inégalité triangulaire renversée :
−−−−
→ 0.
|un | − |l| 6 un − l −
n→+∞
II. CONVERGENCE DES SUITES
II.3
13
Suites bornées
Une suite est bornée si elle reste dans un intervalle fermé et ne part pas à l’infini.
Définition 10. On dit que la suite un est bornée si
∃M ∈ R : ∀n ∈ N, |un | 6 M.
Remarque:
n
o
– la suite un est bornée si et seulement si le sous-ensemble de R : un |n ∈ N est borné.
– Une suite bornée réelle ne peut par contre pas tendre vers une valeur infinie (+∞ ou −∞). Les suites
bornées sont donc « contrôlées ».
Cela peut paraître surprenant, mais le fait d’être bornée est une notion asymptotique : cela ne dépend
que du comportement de la suite à l’infini.
Proposition 14. Si la suite (un ) vérifie :
∃M ∈ R : ∃p ∈ N : ∀n > p, |un | 6 M,
alors la suite (un ) est bornée.
Autrement dit, si la suite (un ) est alors bornée par M à partir du rang p, alors elle est bornée.
Démonstration. Si on considère
M ′ = max(M, |u0 |, |u1 |, . . . , |up−1 |),
le maximum est pris sur un nombre fini de valeurs, on obtient alors un M ′ ∈ R, qui vérifie (par disjonction
des cas n < p, et n > p) : ∀n ∈ N, |un | 6 M .
La démonstration précédente en amène une autre :
Proposition 15. Soit un une suite, si un converge, alors un est bornée. Autrement dit toute suite convergente est bornée.
Remarque:
– la réciproque est bien sûr fausse, la suite (−1)n est bornée non convergente.
– le fait de ne pas être bornée ne signifie pas tendre vers +∞. Par exemple la suite un définie par
u2n = 0, et u2n+1 = 2n + 1 n’est pas bornée, mais ne tend pas vers +∞ puisqu’un terme sur deux est
nul.
Démonstration. Cette proposition se démontre en considérant un ǫ quelconque, par exemple ǫ = 1. On a
alors un rang N à partir duquel |un − l| 6 1. La suite un est donc contrôlée à partir du rang N . On a :
∀n > N, |un | = |un − l + l| 6 1 + |l|,
ainsi la suite un est bornée par 1 + |l| à partir du rang N , donc la suite un est bornée.
Une autre illustration du fait qu’une suite bornée est contrôlée, est :
Proposition 16. Soit an une suite (réelle ou complexe) convergente vers 0, et bn une suite (réelle ou
complexe) bornée, alors la suite an bn converge vers 0.
14
CHAPITRE 1. SUITES RÉELLES ET COMPLEXES
Démonstration. En effet, si M > 0 est un majorant de bn , alors on a |an bn | 6 M |an |, donc la suite an bn
est majorée par la suite M |an |. Cette dernière suite tend vers 0, donc an bn tend vers 0.
Montrons que la suite M |an | tend vers 0. Intuitivement, c’est le produit d’une suite réelle |an | qui tend
vers 0, par le réel M , c’est donc un changement d’échelle de taille M .
Soit donc un ǫ > 0, interprétons-le comme une précision pour la suite M |un | Pour la suite |un |, cela
correspond à la précision Mǫ , d’où l’idée d’appliquer la définition de la convergence de un à Mǫ , on obtient
ainsi un rang N , tel que si n > N , |un | 6 Mǫ . Ce qui se traduit en M |un | 6 ǫ. Ainsi, ∀n > N, M |un | 6 ǫ,
et donc M |un | tend vers 0.
Application 4
II.4
Quelle est la négation d’une suite majorée/minorée ?
Limites et opérations sur les suites
Dans le prolongement de la dernière démonstration, on regarde ici ce qui se passe sur la convergence
lorsqu’on fait des opérations sur les suites.
Les opérations possibles sur les suites sont :
– la multiplication par un scalaire : λun (réel ou complexe),
– l’addition de suites : un + vn ,
– la multiplication de suites un vn ,
– l’inverse d’une suite non nulle : u1n et donc la division d’une suite uvnn .
Multiplication par un scalaire
La cas le plus simple est celui de la multiplication par un scalaire.
Proposition 17. Soit un une suite, et λ (réel ou complexe) :
– Si un converge vers l, alors λun converge vers λl.
– Si un est bornée, alors λun est bornée.
– Si un est une suite réelle qui tend vers +∞, alors λun (avec λ réel non nul) tend aussi vers + ou −
∞, selon le signe de λ.
Démonstration. Déjà fait juste au-dessus.
Addition
Proposition 18. Soient (un ) et (vn ) deux suites, on a :
– Si un et vn convergent vers l et l′ , alors un + vn converge vers l + l′ ,
– Si un et vn est bornée, alors un + vn est bornée,
– Si un et vn sont réelles, si un est bornée et si vn → +∞, alors un + vn → +∞, et de même avec −∞.
– Le point précédent s’applique en particulier lorsque un converge.
– Si un et vn sont réelles et tendent toutes les deux vers +∞, alors un + vn tend vers +∞.
Par contre, si un n’est pas bornée, en particulier si un → −∞, on ne peut rien dire pour un + vn (comme
exemples, considérer les monômes un = ±nk .)
On résume souvent cette propriété avec le tableau suivant :
(un )
l
+∞
+∞
+∞
+∞
(vn )
l′
l
+∞
−∞
minorée
(un + vn )
l + l′
+∞
+∞
F.I.
+∞
II. CONVERGENCE DES SUITES
15
Démonstration. Pour démontrer le premier point, commençons par une remarque : si on sait que un est
égal à l à ǫ près, et que vn est égal à l′ à la même précision, alors on sait que un + vn est égal à l + l′ à la
précision 2ǫ. Lorsqu’on ajoute des quantités, les incertitudes sont doublées.
Cela sugère de choisir le rang N tel que : ∀n > N , on ait |un − l| 6 2ǫ et |vn − l| 6 2ǫ . Pour cela, il suffit
d’appliquer la définition de la convergence avec 2ǫ , puis de choisir le max des deux rangs ainsi obtenus.
Si n > N , on a alors : |un + vn | 6 |vn − l| + |un − l| 6 ǫ.
La proposition sur les suites bornées est évidente : |un + vn | 6 |un | + |vn |.
Pour la proposition suivante, on sait que un est contrôlé par un M , on a alors un + vn > vn − M . Donc
la suite un + vn est minorée par une suite vn − M qui tend vers +∞. Remarquons que le résultat est le
même si on suppose juste un minoré. Le résultat contraire s’obtient avec l’inégalité : un + vn 6 M + vn .
Enfin, la dernière proposition se démontre en remarquant que si un → ∞, on a un > 0 (à partir d’un
certain rang), donc on peut utiliser la démonstration précédente.
Application 5 Soient (un ) et (vn ) tels que (un ) ne converge pas, (un + vn ) converge , montrer que (vn )
ne converge pas.
Multiplication
Proposition 19. Soient (un ) et (vn ) deux suites réelles, on a :
– Si un et vn convergent vers l et l′ , alors un vn converge vers ll′ 3 .
– Si on a ∃a > 0 : ∀n ∈ N, 0 < a 6 un , et vn → +∞, alors un vn → +∞,
– Si on a ∃a > 0 : ∀n ∈ N, un 6 −a < 0, et vn → +∞, alors un vn → −∞,
– Les deux résultats précédents s’appliquent au cas où un → l 6= 0, en regardant le signe de l : par
exemple si l > 0 et vn → +∞, alors un vn → +∞.
– Les résultats précédents s’appliquent aussi au cas où un → ±∞, on a par exemple si un → −∞ et
vn → +∞, alors un vn → −∞.
– On a les mêmes proposition en remplaçant (partout) +∞ par −∞.
Bien sûr, si vn → +∞ et un → 0, on ne peut rien dire. (considérer encore les mônomes). Il faut pouvoir
« éloigner » un d’une distance a fixe pour pouvoir conclure. On résume souvent cette propriété avec le
tableau suivant :
(un ) (vn )
(un vn )
′
l
l
ll′
+∞ l 6= 0
±∞
+∞ 0
F.I.
+∞ +∞
+∞
+∞ minorée par un réel a > 0 +∞
0
bornée
0
Démonstration. Pour démontrer la première proposition, il faut faire une majoration de |un vn − ll′ | faisant
apparaître les quantitées un − l et vn − l′ . On a :
un vn − ll′ = (un − l)vn + lvn − ll′ = (un − l)vn + l(vn − l′ ).
Et donc en utilisant l’inégalité triangulaire : |un vn − ll′ | 6 |un − l||vn | + |l||vn − l′ |.
La quantité |un vn − ll′ | est donc majoré par la somme de deux suites réelles. La première |un − l||vn |
est produit d’un bornée, par une qui tend vers 0, donc converge vers 0. La seconde |l||vn − l′ | tend aussi
vers 0, car vn → l′ . Donc |un vn − ll′ | → 0, ce qui signifie que un vn → ll′ .
Pour la seconde, on a un vn > avn , or avn → +∞. d’où le résultat.
3. Cette propriété s’applique aussi au cas complexes, c’est la seule de cette proposition
16
CHAPITRE 1. SUITES RÉELLES ET COMPLEXES
Les corollaires sont clairs : si un → ∞, on a par exemple un > 1, de même, si un → l > 0, on a un > 2l .
(à partir d’un certain rang mais puisque la convergence est une propriété asymptotique cela ne compte
pas). D’où si vn → +∞, un vn → ∞.
Inversion
1
.
un
Considérons une suite un telle que ∀n ∈ N, un 6= 0. Cette propriété permet de définir la suite
n∈N
Proposition 20. Soit un une suite qui ne s’annule pas, on a :
– si ∃a > 0 : ∀n ∈ N, |un | > a > 0, alors u1n est bornée par a1 .
– En particulier si un → l 6= 0, alors u1n est bornée.
– Si un converge vers l 6= 0, alors u1n → 1l .
– Si un est réelle, et un → ±∞, alors u1n → 0.
– Si un → 0, alors |u1n | → +∞ (attention : u1n peut ne pas avoir de limite).
– En particulier si un → 0+ , u1n → +∞.
On résume souvent cette propriété avec le tableau suivant :
(un ) u1n
l 6= 0 1l
±∞ 0
0+
+∞
Démonstration. La première proposition est évidente, et pourtant importante : elle montre que si on contrôle
la distance de un à 0, alors on peut contrôler u1n .
Le corollaire est aussi immédiat, puisque l’on sait que |un | → |l| =
6 0, donc à partir d’un certain rang,
|l|
|un | > 2 . On retombe alors sur la première proposition en se souvenant qu’être bornée est une propriété
asymptotique : |u1n | est bornée à partir d’un certain rang, donc est bornée.
Pour démontrer la proposition suivante, il faut majorer u1n − 1l , en faisant intervenir la quantité |un −l|.
On réduit donc au même dénominateur :
1
1
l − un
− =
.
un
l
un l
D’où, avec les valeurs absolues (ou le module, car la proposition est valable dans le cas complexes) :
1
1 |l − un |
−
=
u
l
|un ||l|
n
Maintenant, on a la suite |l − un |, multipliée par la suite
1
. Le terme |l − un | tend vers 0, l’autre
|un ||l|
terme est une suite bornée puisque un → l 6= 0. Donc u1n − 1l → 0, et donc
1
un
→ 1l .
Supposons maintenant que un → +∞, un peut ainsi être rendu aussi grahnd que l’on veut, donc
mécaniquement u1n peut être rendu aussi petit que ce que l’on veut. Soit donc ǫ > 0, on sait qu’il existe un
rang p ∈ N, tel que ∀n > p, un > 1ǫ .
Soit n > p, on a alors u1n 6 ǫ, d’où le résultat. Remarquons aussi que si un → +∞, alors u1n > 0, ce qui
veut dire que un → 0 par valeur supérieure, on note un → 0+ .
Supposons maintenant que |un | → 0. On retourne la démonstration précédente : |un | peut être rendu
aussi petit que l’on veut, donc son inverse aussi grand que l’on veut. Soit donc M > 0, on sait qu’il existe
1
, si n > p, on a alors |u1n | > M . Et donc |u1n | → +∞.
un rang p à partir duquel, |un | 6 M
Si un est de signe constant, on peut alors enlever les valeurs absolues et obtenir
signe de un .
1
|un |
→ ±∞, selon le
II. CONVERGENCE DES SUITES
17
À partir de l’inverse, on peut regarder le cas du quotient de suites, qui correspond à multiplier une suite
vn par une suite u1 n . Les propriétés sont alors sur
(un )
l
+∞
l
l 6= 0
∞
0
II.5
(vn )
l′ 6= 0
l 6= 0
±∞
0
∞
0
( uvnn )
l
l′
+∞
0
±∞
F.I.
F.I.
Convergence et monotonie
Cette partie est spécifique aux suites réelles.
Définition 11. Soit un une suite réelle, on dit que :
– La suite un est croissante si ∀n ∈ N, un 6 un+1 , croissante stricte si ∀n ∈ N, un < un+1 .
– On définit de même une suite décroissante et décroissante stricte.
– La suite un est monotone si elle est croissante ou décroissante.
– La suite un est majorée si ∃M ∈ R : ∀n ∈ N, un 6 M , on définit de même les suites minorées si
∃m ∈ R : ∀n ∈ N, un > m.
Remarque:
– Rappelons qu’être majorée/minorée est une propriété asymptotique : si une suite est majorée/minorée
à partir d’un certain rang, elle l’est sur N.
– Une suite est bornée si et seulement si elle est majorée et minorée.
– On définit de manière évidente les suites croissantes/décroissantes à partir d’un certain rang. La
convergence étant une notion asymptotique, dans tous les énoncés on pourra remplacer croissante/décroissante
par croissante à partir d’un certain rang.
Si un est croissante, alors on a : ∀n ∈ N, un > u0 , et même : ∀p ∈ N, ∀n > p, un > up . En faisant tendre
n → +∞, et en supposant que la suite converge, on obtient ainsi que ∀p ∈ N, up 6 lim+∞ un . Autrement
dit, la limite est un majorant de un .
On va montrer
n que la olimite est en fait le meilleur majorant, i.e. la borne supérieure. En effet, une suite
est majorée si un |n ∈ N est une partie majorée de R. On peut donc utiliser l’axiome de R : cette partie
a alors une borne supérieure.
Cela amène au théorème suivant :
Théorème 12. Soit un une suite réelle croissante et majorée. Alors un converge vers la borne supérieure
de {un |n ∈ N}, on note cette valeur sup(un ). Ainsi toute suite croissante et majorée converge.
Une suite croissante et non majorée tend vers +∞.
De même, toute suite décroissante et minorée converge. Tandis qu’une suite décroissante et non minorée
tend vers −∞.
Ce théorème est important parce qu’il permet de montrer qu’une suite converge sans connaître la limite.
Démonstration. Soit donc l la borne supérieure de {un |n ∈ N}.
On veut montrer que un → l, c’est-à-dire que pour tout ǫ, on peut trouver un rang p à partir duquel
l − ǫ 6 un 6 l + ǫ. Mais comme un 6 l (une borne supérieure est un majorant), cela revient à l − ǫ 6 un
La définition d’une borne supérieure donne : ∀ǫ > 0, ∃p ∈ N : l − ǫ 6 up 6 l. Ce qui est la traduction de
dès qu’on diminue l même d’une toute petite valeur ǫ, l − ǫ n’est pas un majorant de l’ensemble, donc on
18
CHAPITRE 1. SUITES RÉELLES ET COMPLEXES
peut trouver un élément up entre l − ǫ et l. La démonstration consiste donc à montrer que l’on peut choisir
ce p comme rang.
Soient donc ǫ > 0, et le p tel que l − ǫ 6 up 6 l. Montrons que le rang p convient : Soit n > p, on a
up 6 un 6 l, donc l − ǫ 6 un 6 l. En particulier |un − l| 6 ǫ.
On a donc bien le résultat : un converge vers l.
Supposons maintenant que un ne soit pas bornée. On a donc : ∀M ∈ R, ∃p ∈ N : up > M . (ce qui est
la traduction de pour tout seuil M , on le dépasse au moins une fois) On veut montrer : ∀M ∈ R, ∃p ∈ N :
∀n > p, un > M . (pour tout seuil M , il existe un rang à partir duquel un dépasse toujours ce seuil). Encore
une fois, on va montrer que p convient comme seuil.
Soient donc M ∈ R, et le p tel que up > M , soit n > p, on a alors : un > up > M .
Application 6
produit ?
II.6
Montrer que la somme de deux suites croissantes est croissantes, que peut-on dire du
Suites adjacentes
Cette sous-section est encore uniquement valable pour les suites réelles.
Définition 13. Soient an et bn deux suites réelles, on dit que ces suites sont adjacentes si :
– an est croissante, bn est décroissante,
– lim an − bn = 0.
La suite an − bn est alors croissante (car c’est la somme de an croissante, et −bn croissante). On a
vu qu’alors la limite est un majorant (c’est même la borne supérieure) donc an − bn 6 0. Ce qui signifie
∀n ∈ N, an 6 bn . En écrivant toutes les hypothèses, on a :
∀n ∈ N, a0 6 an 6 an+1 6 bn+1 6 bn 6 b0 .
an est donc croissante majorée par b0 (et aussi par b1 , b1000 ), tandis que bn est décroissante et minorée
par a0 . Donc les deux convergent vers l et l′ respectivement, puis l = l′ car an − bn → 0.
On obtient donc le théorème suivant :
Proposition 21. Soit an et bn deux suites adjacentes, elles convergent alors vers la même limite, qui
vérifie :
∀n ∈ N, a0 6 an 6 an+1 6 l 6 bn+1 6 bn 6 b0 .
II.7
Suites et suites extraites
Pour l’instant on s’est concentré sur « comment montrer qu’une suite converge » dans cette sous partie,
on va regarder plutôt comment montrer qu’une suite ne converge pas.
Essentiellement, la suite “type” qui ne converge pas est (−1)n , on voit qu’elle ne converge pas parce
qu’elle est égale à 1 pour les valeurs paires, −1 pour les valeurs impaires. On peut donc construire des
sous-suites qui ont deux limites différentes.
Cela amène à la définition suivante :
Définition 14. Soit φ : N → N, une application strictement croissante, la suite uφ(n) est alors une suite
extraite ou une sous-suite de la suite (un ).
La notion de suite extraite n’est pas au programme. On étudie uniquement les suites extraites simples du
type (u2n ).
II. CONVERGENCE DES SUITES
19
Ainsi u2n+1 , u2n , u2n et un2 sont des suites extraites, mais pas u10 .
Un lemme qu’il faut garder en tête est : ∀n ∈ N, φ(n) > n. Ce qui se démontre par récurrence (cf
premier td).
Ainsi, pour construire uφ(n) on a « effacé » certains un ,ou on en a « sélectionnés » certains (les pairs,
impairs et les carrés d’entier dans les exemples). En particulier, φ(n) tends vers +∞.
Le résultat principal est :
Proposition 22. Soit (un ) une suite, telle que (un ) converge vers l, alors toute suite extraite uφ(n) converge
vers l.
En conséquence, si on trouve deux suites extraites uφ(n) et uψ(n) qui convergent vers des limites différentes, alors la suite un ne converge pas.
Si (un ) tend vers +∞, alors toute suite extraite uφ(n) tend vers +∞.
Par exemple (−1)n ne converge pas, ainsi que la suite qui vaut n si n pair, 0 sinon.
Démonstration. Pour démontrer le résultat, prenons un ǫ > 0, on sait alors qu’il existe un rang p à partir
duquel si n > p, |un − l| 6 ǫ.
Montrons que ce rang p convient aussi pour uφ(n) , en effet soit n > p, on a φ(n) > φ(p) > p, donc
|uφ(n) − l| 6 ǫ.
La corollaire contredit le fait que la limite est unique.
Enfin, si (un ) tend vers +∞, les mêmes arguments montrent que (uφ(n) ) tend vers +∞.
Les sous-suites servent essentiellement à montrer qu’une suite ne converge pas. Le résultat suivant
propose un cas de réciproque :
Proposition 23. Si une suite (un ) vérifie (u2n ) converge vers l et (u2n+1 ) converge vers l. Alors, (un )
converge vers l.
Intuitivement cela provient du fait qu’un nombre est pair ou impair, les deux suites (u2n ) et (u2n+1 )
balaient donc “tous les cas possibles”.
Démonstration. Prenons un ǫ > 0, on a donc un rang p et un rang p′ tel que : si n > p, |u2n − l| 6 ǫ, si
n > p′ , |u2n+1 − l| 6 ǫ.
Ainsi, u2p vérifie |u2p − l| ainsi que tous les pairs suivants, de même u2p′ +1 vérifie |u2p′ +1 − l| ainsi que
tous les impairs suivants.
Soit donc N = max(2p, 2p′ + 1), et soit n > N . Deux cas sont possibles : n pair et n impair.
Si n est pair, n est alors un nombre pair supérieur à 2p. Donc |un − l| 6 ǫ. Si n est impair, n est alors
un nombre impair supérieur à 2p′ + 1. Donc |un − l| 6 ǫ.
Si on veut démontrer proprement le cas pair : on sait qu’il existe k ∈ N, tel que n = 2k, de n > 2p, on
obtient k > p donc |u2k − l| 6 ǫ.
20
CHAPITRE 1. SUITES RÉELLES ET COMPLEXES
Feuille d’exercices Suites
BCPST Lycée Hoche
Pelletier Sylvain
CC
Exercice 1
$
\
BY:
=
On définit la suite de Fibonacci par :
On pose φ =

F = 0, F = 1
0
1
F
n+2 = Fn+1 + Fn
√
1+ 5
2 .
1. Déterminer Fn en fonction de n, (on écrira Fn en fonction de φ et de
1
φ ).
.
2. Déterminer la limite de FFn+1
n
n
2πφ
3. Prouver que : lim sin √
=0
n∞
5
4. Montrer que pour tout entier naturel n,
n
X
k=0
Fk = Fn+2 − 1
5. Montrer que ∀n ∈ N∗ , Fn+1 Fn−1 − Fn2 = (−1)n ,
6. Écrire deux fonctions scilab donnant Fn en fonction de n, l’une en utilisant la formule de récurrence,
l’autre en utilisant la définition de Fn en fonction de n. Comparer pour de grandes valeurs de n si ces
deux fonctions donnent la même valeur. Comment écrire une troisième fonction n’utilisant que des
variables réelles (pas de vecteurs) ?
Correction :
1. Suites récurrentes d’ordre 2 donc :
(−1)n
1
Fn = √ φn +
φn
5
.
2.
φn+1 + (−1)
Fn+1
φn+1
= n
Fn
φn + (−1)
n
φ
n+1
φ+
Or φ > 1 donc φn → +∞ et donc
Fn+1
Fn
=
1+
→ φ.
(−1)n
φ2n+1
.
(−1)n
2n
φ
3. Il faut voir que cela n’est pas évident parce que dans la parenthèse la limite est +∞. Il s’agit donc
de montrer que la limite se rapproche d’un 2kπ.
Par récurrence double : ∀n ∈ N, Fn ∈ N. D’autre part, on a :
(−1)n
φn
√ = Fn −
.
φn
5
Donc :
2πφn
sin √
5
(−1)n
= sin 2πFn − 2π n
φ
(−1)n
= sin −2π n
φ
→0.
II. CONVERGENCE DES SUITES
21
4. On peut faire une récurrence ou une manipulation de somme (en écrivant Fk = Fk+2 −Fk+1 on obtient
une télescopique).
5. Récurrence simple.
Exercice 2
Soit la suite :
Sn =
2n
X
1
k
k=n+1
1. Étudier la monotonie de la suite Sn ,
2. Démontrer ∀x > −1, ln(1 + x) 6 x,
1
3. En déduire que Sn > ln 2 −
.
n+1
4. Démontrer que Sn 6 ln(2).
Correction :
1. Sn+1 − Sn =
1
2n+2
+
1
2n+1
−
1
n+1
=
2. Simple étude de fonction classique,
1
2n+1
−
1
2n+2
> 0.
3. On écrit :
2n
X
1
Sn =
k=n+1
2n
X
k
1
>
ln 1 +
k
k=n+1
2n
X
>
k=n+1
ln(k + 1) − ln(k)
> ln(2n + 1) − ln(n + 1)
2n + 1
> ln(
)
n+1
1
).
> ln(2 −
n+1
4. La technique consiste à « poser x = −x » dans la relation pour obtenir : ln(1 − x) 6 −x, et donc
x 6 − ln(1 − x). On procède alors de même :
2n
X
1
Sn =
k=n+1
6−
6
k
2n
X
k=n+1
2n
X
k=n+1
ln 1 −
1
k
ln(k) − ln(k − 1)
6 ln(2n) − ln(n)
6 ln(2).
Exercice 3
On considère la suite (xn )n∈N définie par x0 = 1 et
xn+1 = xn +
1. Montrer que la suite (xn ) est bien définie.
1
xn
22
CHAPITRE 1. SUITES RÉELLES ET COMPLEXES
2. Montrer que pour tout x ∈ N∗ , x2n − x2n−1 > 2. En déduire que pour tout entier naturel xn >
√
2n + 1
3. Montrer que pour tout entier naturel n,
xn 6 1 +
n
X
k=1
√
1
2k − 1
4. Montrer que pour tout entier k > 2,
√
√
√
1
6 2k − 1 − 2k − 3
2k − 1
5. En déduire que pour tout entier n > 0,
√
√
2n + 1 6 xn 6 2n − 1 + 1
Correction :
1. Essentiellement il s’agit de démontrer par récurrence que un > 0.
2. il suffit de remarquer que x2n = x2n−1 + 2 +
1
x2n−1
> x2n−1 + 2, d’après la question précédente.
Pour en déduire la relation, il suffit de faire une somme télescopique sur x2n .
3. On déduit une majoration de un+1 − un 6
√ 1
,
2n−1
puis somme télescopique.
4. simple calcul après mise sur le même dénominateur.
5. Somme télescopique à droite.
Exercice 4
par
Soient α et β deux réels strictement positifs. Expliciter le terme général de la suite définie

u > 0, et
0
β
u
n+1 = α(un ) .
Correction : par récurrence immédiate un > 0, puis on pose vn = ln(un ), et vn est arithméticogéométrique. (attention au cas où β = 1, etc.).
q
Exercice 5 Soit une suite (un ) vérifiant : un+2 = u2n+1 + u2n , expliciter le terme général de la suite en
fonction de u0 et de u1 .
Correction : on pose vn = u2n , vn est récurrente linéaire d’ordre 2.
Exercice 6 Soit la suite arithmético-géométrique

u = 1224
0
u
n+1 = 0.5un + 100.
Expliciter le terme général de la suite.
Correction : cours.
Exercice 7 Soit une suite réelle d’ordre 2, telle que un+2 = un+1 − un . Montrer que la suite est 6
périodique. Correction : cours.
Exercice 8 On considère les suites (un )n∈N et (vn )n∈N définies par :
1
u0 = 2, v0 = et ∀n ∈ N
3
(
un+1 = un + 3vn
vn+1 = 2un + 2vn
1. Exprimer un+2 en fonction de un+1 , un et vn . En déduire que un+2 = 3un+1 + 4un , puis exprimer un
en fonction de n,
2. En déduire vn en fonction de n.
Correction :
1. un+2 = un+1 + 6un + 6vn , soit un+2 = 3un+1 + 4un . On déduit : un = (−1)n + 4n .
2. vn = 23 (−1)n+1 + 4n .
II. CONVERGENCE DES SUITES
23
Feuille d’exercices Convergence des suites
BCPST Lycée Hoche
Pelletier Sylvain
CC
Exercice 1
\
Dire si les suites suivantes convergent (justifier) et donner leurs limites :
2n − 3n
,
wn = n2 − n cos(n) + 2,
2n + 3n
n
n + (−1)n
2 1
tn = n
sin(n!),
xn =
2
n − ln(n3 )
1 + (−1)n
,
n
2n + 2
sn =
,
2n
vn =
un =
Exercice 2
=
$
BY:
Pour n > 3, on pose pn =
1 + 1! + 2! + . . . n!
. Vérifier que
n!
1
k!
6
.
n!
n(n − 1)
∀k ∈ [[0, n − 2]] ,
En déduire un encadrement de pn , puis lim pn .
n→+∞
Exercice 3
Soit la suite (un )n∈N , définie par u0 = 2 et la relation :
(R) :
un+1 = un + n + 1
1. Trouver une suite vn = an2 + bn + c qui vérifie (R)
2. Quelles sont toutes les suites qui vérifient (R) ?
3. Exprimer un en fonction de n.
Exercice 4
Soit la suite (un )n définie par u0 = −1 et la relation
(R) :
un+1 = 2un + n + 1
1. Trouver une suite vn = bn + c qui satisfait la relation (R). Quelles sont toutes les suites (un ) qui
satisfont la relation (R) ?
2. Calculer un en fonction de n.
Exercice 5
Soient α ∈]0, π[, et les suites (xn ) et (yn ) définies par :
xn = cos(nα)
et
yn = sin(nα).
1. En utilisant les formules sur le cosinus et le sinus d’une somme, exprimer xn+1 et yn+1 en fonction de
xn et yn .
2. Supposons que xn converge vers x, montrer alors que yn converge vers y.
3. Exprimer x en fonction de y, puis x en fonction de y. Montrer alors que x = y = 0.
4. Calculer d’une autre manière x2 + y 2 , aboutir à une contradiction.
5. Conclure sur le fait que xn ne converge pas,
6. En déduire que yn ne converge pas.
xn
Exercice 6 Soient x > 0 et vn =
. Montrer que (vn )n converge vers 0.
n!
Exercice 7 Soient (un ) la suite définie par

u = 1
0
2
p
∀n ∈ N, u
1 + u2n .
n+1 =
24
CHAPITRE 1. SUITES RÉELLES ET COMPLEXES
Montrer que lim un = +∞.
n→+∞
Exercice 8
Le nombre e
n
X
1
1
et vn = un +
.
k!
nn!
k=0
Montrer que un et vn sont deux suites adjacentes.
sin(un )
Exercice 9 On considère la suite (un ) définie par un+1 =
et u0 = 1. Montrer que (un )n∈N
n+1
converge vers 0.
Exercice 10 Suites implicites
On considère l’équation (En ) : xn + x2 + 2x − 1 = 0 d’inconnue x ∈ R, où n désigne un entier naturel
supérieur ou égal à 3.
Pour tout entier n > 1, on pose : un =
1. Montrer que (En ) admet une unique solution xn sur R+ .
2. Montrer que xn ∈ [0, 1] puis que la suite (xn )n>3 est monotone et majorée par 21 .
3. Calculer la limite de la suite (xn )n>3 .