Suites réelles et complexes

Chapitre 1
Suites réelles et complexes
Les buts de ce chapitre sont :
– Introduire deux nouveaux types de suites classiques : les suites arithmético-
géométriques, et les suites récurrentes d’ordre 2.
– Introduire les notions de convergence des suites et savoir les manipuler.
– Savoir démontrer qu’une suite converge en utilisant le théorème des gendarmes, ou
le théorème sur les suites adjacentes.
– Savoir démontrer qu’une suite ne converge pas en utilisant les suites extraites.
– Utiliser le théorème sur les suites monotones bornées
De plus, on appliquera aux suites les résultats des chapitres suivants, en particulier :
– Notions sur les suites un+1 =f(un).
– Notions sur les suites implicites.
CC
BY: $
\
=
Définition 1. Une suite réelle est une application de Ndans R,n7→ un. Une suite est notée (un)n∈N.
L’ensemble des suites réelles est RN.
On définit de même les suites complexes CN.
On parle aussi de suites pour des applications définies sur un sous-ensemble de Ndu type [a, +∞[, par
exemple, on parlera de la suite telle que un=1
n, on note alors (un)n>1.
Note: Pour des raisons de rédaction, il faut bien séparer unqui désigne le n-ième terme de la suite (un réel),
et unn∈Nqui désigne la suite elle-même (une fonction, soit une infinité de réels). Pour cela on mettra (un) entre
parenthèse lorsqu’il s’agit de la suite.
Une suite peut être définie
Explicitement c’est-à-dire la valeur de unen fonction de n. Par exemple : ∀n∈N∗, un=ln(n).
Par récurrence c’est-à-dire par le premier terme, et par l’expression de un+1 en fonction de un. Cette
récurrence peut-être d’ordre supérieure, par exemple une suite peut être définie par ses deux premiers
termes, et l’expression de un+2 en fonction de un+1 et un.
Par exemple : 
u0donné
un+1 =aun+b.
Implicitement Comme la solution d’une équation.
Par exemple : unest la solution de l’équation (En) : ln(x) + nx = 0 sur R+
∗.
1

2CHAPITRE 1. SUITES RÉELLES ET COMPLEXES
I Suites classiques
I.1 Suites arithmétiques
Définition 2. On appelle suite arithmétique de raison r, la suite définie par u0et ∀n∈N, un+1 =un+r.
La suite est réelle si ret u0sont réels, complexes sinon. L’interprétation classique est celle d’un compte
en banque : on part d’une somme d’argent u0et chaque année on ajoute une somme r.
Dans les deux cas, les formules sont les mêmes.
Proposition 1. On a : ∀n∈N, un=u0+nr, en particulier, un=un+1 +un−1
2. (un terme est la moyenne
des termes qui l’entourent).
De plus : ∀n∈N,
n
X
k=0
uk= (n+ 1)u0+rn(n+ 1)
2.
Démonstration. La première formule se démontre par récurrence, le reste suit.
Application 1 Soit (un) une suite arithmétique de raison r, montrer que :
1. ∀k, p ∈N, uk+p=up+kr,
2. ∀n, p ∈N,
n
X
k=1
uk+p=uP+1 +up+n
2n
I.2 Suites géométriques
Définition 3. On appelle suite géométrique de raison q, la suite définie par u0et ∀n∈N, un+1 =qun.
De même, la définition est valable dans Rou C.
L’interprétation est que l’on pose une somme d’argent u0sur un compte en banque : chaque année, le
solde du compte est multiplié par q.
Proposition 2. On a : ∀n∈N, un=u0qn, en particulier, u2
n=un+1un−1. De plus, si q6= 1,
∀n∈N,
n
X
k=0
uk=u0
1−qn+1
1−q.
Note: c’est le nombre de termes qui apparaît dans la formule sur la somme.
Si |q|<11la suite tend vers 0, Si |q|>1, et u06= 0, la suite |un|tend vers +∞, dans le cas u0>0 et
q∈R, si q > 1 la suite untend vers +∞, si q < −1, le signe est alterné.
I.3 Suites arithmético-géométriques
Définition 4. On appelle suite arithmético-géométrique, une suite unde la forme :
u0
∀n∈N, un+1 =aun+b
Le cas a= 1 correspond donc à une suite arithmétique, le cas b= 0 à une suite géométrique, on est donc
devant une généralisation de ces deux cas.
1. Module ou valeur absolue.

I. SUITES CLASSIQUES 3
Note: Les réels aet bne dépendent pas de n.
De même, on ne sépare pas les cas réels et complexes.
Pour exprimer unen fonction de n, la méthode consiste à poser : vn=un−l, où lest un paramètre
libre que l’on fixera ensuite, pour permettre un calcul de vnfacile.
On a :
vn+1 =aun+b−l=a(vn+l) + b−l=avn+l(a−1) + b.
On voit que si on peut trouver ltel que : l(a−1) + b= 0, alors vnest une suite géométrique.
Donc si a6= 1, on pose l=b
1−a, notons que le cas a= 1 est tout simple, la suite unest alors
arithmétique.
Avec ce choix de l, on a :
vn=anv0=anu0−b
1−a.
Puis
un=anu0−b
1−a+b 1−a=anu0+b1−an 1−a.
On a donc :
Proposition 3. Si a6= 1, on a : ∀n∈N, un=anu0+b1−an
1−a.
Si a= 1, la suite est arithmétique.
Conformément au programme, cette formule n’est pas exigible. Par contre, il faut connaître la méthode
pour la retrouver.
Remarque:
– si |a|<1, limn→∞ un=l.
– Si |a|>1, en écrivant :
un=anu0−b
1−a+b 1−a,
on voit que on a : limn→+∞|un|= +∞(il faut regarder le signe de aet de (u0−b
1−a) pour avoir le
signe de un).
– Autre manière de voir, la suite (un) est définie par : un+1 =f(un), avec f(x) = ax +b. Donc si elle
converge, alors elle converge vers un point fixe, i.e. une solution de f(x) = x. La seule solution si
a6= 1 est l=b
1−a. Ainsi lpeut-être obtenu comme la limite de la suite (si elle existe) et la technique
consiste à poser vn=un−l, soit la distance entre unet sa limite.
L’interprétation en terme de compte en banque est que l’on dépose une somme u0d’argent sur le compte,
que celui-ci est placé au taux d’intérêt a, et que l’on ajoute chaque année la somme b.
La formule se comprends alors ainsi : à l’année n, il y a sur le compte
– l’argent initial u0qui a été placé au taux d’intérêt a, et qui représente donc anu0,
– l’argent déposé la première année (beuros), qui a été aussi placé au taux d’intérêt a, et représente
donc an−1bà l’année n,
– de même l’argent déposé la deuxième année représente an−2b,
– etc. jusqu’à l’argent déposé l’année n−1 qui représente ab, puis pour finir l’argent que l’on vient de
déposer (beuros).
Au final, se trouve sur le compte u0an+an−1b+an−2b+···+ab +b=u0an+b(1 + a+. . . an), donc :
un=u0an+b1−an
1−a.
Exemple: Soit undéfinie par u0= 1 et ∀n∈N, un+1 = 2un+ 3.

4CHAPITRE 1. SUITES RÉELLES ET COMPLEXES
On calcule la suite vn=un−l(la variable létant à déterminer) et on a :
∀n∈N, vn+1 =2un+ 3 −l
=2(un−l) + 3 + l
=2vn+ 3 + l
On pose donc l=−3 pour avoir vn+1 = 2vn, et donc
vn=un+ 3 = 2nv0= 2n(u0+ 3).
. Ce qui fait que ∀n∈N, un= 2n(u0+ 3) −3.
I.4 Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 à coefficients constants
Définition 5. On appelle suite récurrente linéaire, une suite définie par u0,u1, et la relation de
récurrence :
(R)un+2 =aun+1 +bun
Précisément on parle de récurrence d’ordre 2, parce qu’il y a 2 pas de récurrence, et à coefficients constants,
parce que a, et bne dépendent pas de n(sinon c’est plus compliqué).
Note: On aurait pu aussi dire que les termes de la suite vérifient l’équation :
un+2 −aun+1 −bun= 0
Le cas b= 0 n’est pas intéressant, car dans ce cas la relation s’écrit : un+2 =aun+1, et (un) est une
suite géométrique à partir du rang 1.
⋆Recherche de suites particulières qui vérifient la relation (R)
Comme dans le cas précédent, cherchons une suite géométrique vn=qnqui vérifie (R).
On a alors la relation :
qn+2 −aqn+1 −bqn= 0,
soit en supposant q6= 0 (sinon vn≡0), on a : q2−aq −b= 0. D’où l’idée d’introduire l’équation
caractéristique :
(E) : x2=ax +b,
ou x2−ax −b= 0. Le polynôme caractéristique de l’équation est
P(X) = X2−aX −b.
On voit que ce que l’on va devoir chercher les solutions de (E), i.e. les racines du polynôme caractéris-
tique. Le plus simple est alors de se placer dans C,Pa alors une ou deux racines.
On a déjà démontré le résultat suivant :
Proposition 4. Dans le cas où Pa deux racines complexes q1et q2, les suites (qn
1)net (qn
2)nvérifient la
relation (R).
Dans le cas où Pest de la forme P(X) = (X−q)2,i.e. Pn’a qu’une racine, les suites (qn)net (nqn)n
vérifient la relation (R).

I. SUITES CLASSIQUES 5
Démonstration. Il ne reste plus qu’à montre que le cas où Pn’a qu’une racine.
Il est alors clair que (qn)nvérifie (R). Considérons ensuite la suite (un) définie par ∀n∈N, un=nqn,
on a :
un+2 = (n+ 2)qn+2 =(n+ 2)q2qn
=(n+ 2)(aq +b)qnen utilisant q2=aq +b
=(anq + 2aq +nb + 2b)qn
=(anq +aq +aq +nb + 2b)qn
=a(n+ 1)qn+1 +nbqn+ (aq + 2b)qnen regroupant les termes soulignés
=aun+1 +bun.
Or on a : q=a2 et q2=−b, donc aq + 2b=a2
2+ 2b=a2+4b 4=∆ 4= 0. Ainsi, la suite (un) vérifie (R).
À partir de ces deux suites, on peut en construire d’autres par combinaison linéaire :
Proposition 5. Soit (un)et (vn)deux suites qui vérifient (R),αet βdeux réels, alors la suite (wn)définie
par ∀n∈N,wn=αun+βvnvérifie aussi (R)
Note: L’ensemble des suites qui vérifient (R) est donc un sous-espace vectoriel de l’ensemble des suites.
Démonstration. Il suffit de vérifier :
wn+2 =αun+2 +βvn+2
=α(aun+1 +bun) + β(avn+1 +bvn)
=a(αun+1 +βvn+1) + b(αun+βvn)
=awn+1 +bwn.
⋆Résolution dans C
Théorème 6. Résolution dans C
Dans le cas d’une suite récurrente linéaire d’ordre 2, avec b6= 0, on a :
– Si Pa deux racines dans Cnotées q1et q2, alors il existe αet βcomplexes uniques tels que :
∀n∈N, un=αqn
1+βqn
2,
– Si Pa une seule racine dans Cnotée q, alors il existe αet βcomplexes uniques tels que : ∀n∈
N, un= (α+βn)qn.
Les paramètres αet βse calculent en regardant le système d’équations obtenu lorsque n= 0 et n= 1.
Remarque: Intuitivement, si aet bsont fixés, une suite unest définies par u0et u1. On a donc deux
“degré de liberté”. On retrouve bien ces deux paramètres αet β. Cette idée se transformera en démonstration
dans le cours de deuxième année sur les espaces vectoriels généraux.
Démonstration. cas de deux racines distinctes Déjà l’hypothèse b6= 0 implique que ni q1ni q2ne sont
nuls.
L’unicité se démontre en remarquant que le système qui correspond au cas n= 0 et n= 1 :
α+β=α′+β′
αq1+βq2=α′q1+β′q2
=⇒
α+β=α′+β′
β(q2−q1) = β′(q2−q1)L2−q1L1
implique que β=β′et α=α′(puisque q16=q2).