Opérateurs d`homotopie

Séminaire Henri Cartan
H. C ARTAN
Opérateurs d’homotopie
Séminaire Henri Cartan, tome 1 (1948-1949), exp. no 7, p. 1-10.
<http://www.numdam.org/item?id=SHC_1948-1949__1__A7_0>
© Séminaire Henri Cartan
(Secrétariat mathématique, Paris), 1948-1949, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la collection « Séminaire Henri Cartan » implique l’accord avec
les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation
commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute
copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.
Article numérisé dans le cadre du programme
Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/
7-01
Séminaire H. CARTON
1948/49. Topologie algébrique.
1
OPÉRATEURS D’HOMOTOPIE.
(Exposés
faits par H. CARTAN
17 .IL. 1949 ).
les 10 et
1.- Définition.
gradué à dérivation (exposé 2, paragraphe 4), r
(r -1) le degré de l’opérateur de dérivation d. Un opérateur d’homotopie
dans G est un endomorphisme h du groupe abélien G, tel qu’il existe un
satisfaisant à la rela03B8n-rk
endomorphisme k , de degré -r
G
Soit
un
groupe
=
=
tion
(1)
e - h = dk + kd .
( e désigne l’automorphisme identique
du composé de deux endomorphismes). La
ment ’o(,
~.~
G ~
que, pour tout élé-
.
+
on
phisme
opérateur d’homotopie
Un
0é
03B8nh n
=
groupe dérivé
du
endonor-
endomorphisme permis. En effet, il est de
; de plus, on a bien hd
dh , comme on le voit en comde (1) avec d, successivement à gauche et à droite.
est
un
opérateur d’homotopie.
Propriétés fondamentales d’un
Théorème 1.- Si
un
=
parant les deux membres
h
(1) signifie
part d’un endomorphisme k de degré -r , (1) définit
h , qu’on appelle l’opérateur d’homotopie associé à k .
Si
2.-
relation
dans la notation
o
on a
c -
degré
G . On omet le
de
h
est
H(G) ,
un
opérateur d’homotopie
défini par
h ,
est
dans
G, l’endomorphisme
l’automorphisme identique de
H(G) .
effet, si 03B1 est un cycle
homologue
puisque o~ .En
Soit maintenant
h
=
fg , où
nonique de
g
F
est
dans
h
un
de
0) ,
G
projecteur de G ;
homomorphisme de G sur
un
si
alors
on
F ~
pose
et
f
h (d.)
F
=
est
un
h(G) ,
cycle
on a
l’homomorphisme
ca-
G .
Théorème 2.- Si le projecteur
h
est
un
opérateur d’homotopie,
les homo-
morphismas g : R(G) ~ H(F) et f : H(F) ~ H(G) , définis par g et
pectivem8nt, sont des isomorphismes sur, réciproques l’un de l’autre.
f
res-
composé g f
est associé à
gf , qui est l’automorphisme identique de
F ; c’est donc l’autonorphisne identique de H(F) . Quant à
f g , il est associe à fg = h ; puisque h est opérateur d’homotopie, h est
l’automorphisme identique, d’après le théorème 1.
Démonstration : le
3.- Opérateurs d’homotopie dans
un
sous-groupe,
dans
un
groupe quotient.
de decouple d’homomorphismes h,k satisfaisant à (1), k
gré -r. Si un sous-groupe permis F du groupe G est stable pour k , il est
stable pour h ~ d’après (1) j: les restrictions de h et k à F satisfont
Soit
à (1),
un
et par suite la restriction de
Dans les mêmes
hypothèses,
G/F ;
groupe quotient
donc
h
k
h
et
est
opérateur d’homotopie
F .
dans
définissent des endomorphismes du
h
définit
un
un
opérateur d’homotopie
dans le grou-
G/F.
pe
4.- Opérateurs d’homotopie et dualité.
Soit
G
un
gradué à dérivation, et 03B3 un groupe abélien.
groupe gradué à dérivation, dont l’opérateur de dérivation
groupe
G~ - Hom(G,) est un
d* est de degré -r. Soit un couple d’endomorphismes h,k de G satisfaisant
à (1) , k étant de degré -r . Soient h* et k* les endomorphismes transposés, qui sont des endomorphismes de G~ , L’endomorphisme k~ est de degré
+r ~ et, en transposant la relation (1), on obtient
e-h=dk+kd ~
ce
qui prouve
que
Supposons
me
en
ci-dessus par
h*
est
lm
opérateur d’homotopie
particulier que h soit un projecteur
g l’homomorphisme correspondant de G
f
l’homomorphisme canonique de
que g~ applique biunivoquement
identifie
F~
à
dans
un
d’horotopie dans G~
résulte (théorème 2)
définis par f* et
F
dans
Hom~ ~F’ ~ ) _ F*
sous-groupe de
,
et
que
g*
G . On sait
G~ .
de
sur
G .
Désignons
F =
h(G) ,
com-
par
(exposé 4, paragraphe 1)
dans
G~ . L’opérateur h* = g* f*
G* ,
est
ce
qui
opérateur
projecteur qui applique G~ sur F~ , Il en
les homomorphismes H(G*) -~ H(F*) et H(F*) --~ ~~~G~) !
respectivement, sont des isomorphismes sur, réciproques
un
l’un de l’autre.
5.- Composé de deux opérateurs d’homotopie.
Soit,
e -
sur
h. = dkl
+
G p
couple d’endomorphismes h~ , kl satisfaisant à
et, sur le même groupe G 9 un couple d’endomorphismes
un
satisfaisant à
h k
e -
h~ = dk
l’endomorphisme compose
kl + k2h1 (qui
morphisme
e -
et, puisque
dh.
à
degré -r ).
Alors
dk.
=
+
En effet
k.d
+
+
le dernier membre est bien
=
égal
RemarQue : la conclusion reste valable si l’on suppose seulement que
et appliquent
sont définis sur le sous-groupe stable
G , tout
en
satisfaisant,
dans
Conséquence : soit,
à
e -
h2
=
dk2
+
opérateur d’homotopie h associe à k .
opérateur d’homotopio, associé à l’endomor-
G ,
un
un
Exemple : opérateur conique.
Plaçons-nous
mérique
E
dans le groupe
A
=
ayant
sera, par
définition,
(rappelons
formule
précédente,
k
h(x)
k ,
de
par
degré
étant défini
l’origine 0
simplexe singulier
vwriables À. 1
1’homothétie dans
phisme
le
singulières de l’espace nu(de dimension p ), associons
des chaînes
pour "sommet"
que les
Désignons
S(E)
chaque simplexe singulier
le "cône"
à
est
hl(G) ,
dans
k(e+h-t-~.~h ) ~
phisme
de
h
n-ième itéré
Alors le
6.-
h~
k~
dans
.
degré -r ).
+
h1d , donc k2dh1
=
de
k
et
opérateur d’homotopio, associa à l’endo-
un
est bien de
=
(kl
k~d
(k.+k~h.)d .
et
.
est
+
sont >~ 0
x
et pour "base" le
et leur
égale à un). Dans
(1-03BBo) s’entend au
+1 !
le cône défini par
du groupe
par la formule
est nul pour tout
(1)
x ;
on
on
.,
0 .
obtient ainsi
S(E) . L’opérateur d’homotopie
du
la
somme
multiplication par le scalaire
l’espace
par rapport à l’origine
ce
défini par :
y , de dimension
la
k(x)
simplexe x ;
endomor-
un
h
associé
vérifie aisément que
simplexe singulier x de dimension 1 ; si x est un
point (simplexe singulier de dimension 0), h(x) est le point 0 (simplexe de
dimension 0 ). Ainsi h est un projecteur qui applique S(E) sur le
pe formé des multiples entiers de l’unique simplexe de dimension 0 , constitué
par l’origine. Ceci entraîne que le groupe d’homologie singulière et les groupes
de cohomologie singulière de l’espace Rn sont triviaux (dans le sens de l’exposé 6t paragraphe 1). Le m6me résultat vaut pour tout espace E homéomorphe à
par
pour une boule ouverte. Il vaut aussi pour
exemple
boule
une
fermée,
car
l’opérateur conique
k
défini plus haut vc.ut pour tout sous-espace
do
Rn,
un
point quelconque
étant alors
(3
Généralisation : soit
à-dire dans lequel existe
E
une
un
espace
de
ce
convexe
sous-espace.
topologique homotope à un point, c’est-
application
M
continue
~ 03C6(M,t)
de
ExI
dans
( I désignant le segment ~~ , l]t de la droite numérique) , telle que
1) = N~ ~ (~ (w~ ! 0 ) = A (point indépendant du point
~, Nous définissons un opérateur
k ~ de degré +1 , dans le groupe S(E) ~ en associant à chaque simplexe singulier x, de dimension p, le simplexe singulier y, de diE
p+1 , défini
mension
par
L’opérateur d’homotopie
associé à
h
k
transforme
zéro toute chaîne sing.
en
p ~ 1 , et transforme tout point M (simplexe de dim. 0 ) en le
A. Donc le groupe d’homologie singulière et les =rou Es de cohomologie
de dimension
point
singulière d’un
ceux
7.-
homotope à un point sont triviaux. Ce sont les mêmes que
espace
d’un espace réduit à
un
point.
Autre exemple : opérateur conique
dans l’anneau dos
R
extérieures de
Parmi les formes différentielles extérieures de
nus,
on
distingue celles
(il
ficients continus
~a
soient continûment
tion
qui
~.~
ont
d’une forme
co
rentiable" de dimension
x
forme 03C9 ,
p+1 ,
à coefficients confidcj à coef-
’’différentielle
nécessaire, pour cela, que les coefficients de
différentiables). Elles forment un anneau gradué à dérivasoit
L’existence et la définition de
tel que
une
Rn ,
n’est
(cf. exposé 4, paragraphe 8),
tégration
formes différentielles
d)
A.
peuvent être données
( de degré p )
utilisant l’in-
en
"simplexe singulier diffésimplexe singulier x(03BBo,...,03BBp)
sur un
p, c’est-à-dire
un
soit fonction continûment différertiable des
Une
1
de
degré
p,
appartient à A s’il
existe
une
forme
1ô ,
de
telle que l’on ait
pour tout
simplexe singe diff.
~3 existe
(pour
un e
c~
donnée) ,
x
de dimension
elle est
Si
~+1 ,
et
on
une
telle for~e
la note alors
d
d03C9 est définie pour toute CJ
Ainsi
et
k ,
d (d ~~ -
Soit
et d’ailleurs
de
appartient à
d 03C9
0 .
simplexe singulier différentiable
cône
en général, un simplexe différentiable (il
k(x) , de dimension p, n’est
y a une singularité au sommet du cône), mais cela n’empoche pas de prendre l’in(jo
une
tégrale k(x)03C9
pour toute forme différ. eu de degré p. (il y a
x
un
de dimension
le
p-1 ;
là
petite difficulté qu’on pourrait éviter en considérant, au
nûment différentiables de simplexes euclidiens, des images
de cubes euclidiens). Or on montre qu’il existe une forme
telle que l’on ait
quel
que soit le
simplexe différontiable
point S
de
03C9~
x
do dimension
{où ~ I ,~... ~ ~ n
de
conti-
d’images
cont. différentiables
et
une
seule
.
tre que si
point 1
lieu
désignent
p-1 . Le ca lcul
mon-
les coordonnées d’un
on a
Rn
par
A , alors
rapport à l’origine dans le rapport t ). De plus, si
~ A , et l’opérateur d’homotopie h* associé à k* , dé-
fini par
dk~~~~ --
h~~c~~ ~
est nul 3i le
degré
p
contin, différentiable
la valeur de
f
ce
f 9 et
l’origine.
est ~ 1
; pour
p
=
0 ,
(jo
est
une
fonction
est la fonction constante
alors
égale
affirmations, plaçons-nous par exemple dans le cas d’une
de degré p ~ 1 ~ et soit x un simplexe sing. différ. de dimen-
Pour prouver
forme
sion
à
de
p .
ces
L’opérateur conique
k
satisfait à x =
àk(x)
+
d’où
c’est-à-dire
Ceci prouve bien que
possède
une
différentielle extérieure égale
à
à
En
tion
Rn ,
montre que le groupe dérivé du groupe à
résumé,
est trivial. En
A
est telle que
différentielle
d 03C9
=
tout ensemble ouvert
groupe
contenant
d 9 mais pour
qu.’on peut appeler
~e ~ dans
différentielles de
De
un
plus, soit B le
voisinage ouvert de
considérée) ;
k* opère dans le
de la forme
k* ;
donc
le groupe des formes
groupe est donc
est
B
groupe
non
seule-
quotient
différentielles à l’origine.
trivial ; c’est là.
fait
un
rôle capital dans la démonstration du "théorème de DE
homologie
8.-
ce
l’origine.
qui sont nulles dans
A
(voisinage qui dépend
Le groupe dérivé de
un
groupe des formes
de
convexe
ment stable pour
A/B ,
forme différentielle
la différentielle extérieure d’une forme
aussi
sous-groupe stable des formes de
0
une
à savoir la forme
L’opérateur k* opère
l’origine
si
particulier,
0 , ce est
dériva-
qui jouera
relatif à la
co-
des variétés différontiables.
Opérateurs d’homoto2ie
dans le groupe des chaînes d’un complexe simplicial.
abstrait ; désignons par la même lettre E le complexe simple qu’il définit (cf. exposé 6, paragraphe 1). Un sommet b de E
définit un endomorphisme k, de degré +1 ~ du groupe C(E) des chaînes de
E ; on définit k en associant, à chaque simplexe ordonné (ao,...,ap) , le
simplexe ordonné (b,ao,...,ap) . L’opérateur d’homotopie h associé à k se
Soit
E
un
ensemble
h(x)
détermine immédiatement :
est
sion >, 1 , et,
si
est le sommet
b . Donc
x
un
h
mé (les multiples entiers de
groupe
d’homologie
E
de
est nul pour tout
simplexe ordonné
simplexe de dimension 0 (sommet
est un projecteur de C (E)
sur le
l’unique simplexe (b) de dim. 0
et
ses
groupes de
cohomologie
de
de dimen-
E ), h(x)
sous-groupe for. Par suite le
sont triviaux.
v
Application :Q dans le groupe des cochaînes d’Alexander C(E) d’un espace
topologique E (cf. exposé 6, paragraphe 3), chaque poiht b de l’espace définit le sous-groupe des cochaînes dont le "support" ne contient pas b . Le groupe quotient s’appelle le groupe des cochaînes d’Alexander au point b. Cornue le
le quotient est sta ble pour l’opérateur k~
sous-groupe par lequel on a
défini par
dans
b
C*(E) ,
rivé du groupe des cochaînes
et par suite dans
au
point
C(E) ,
(groupe
b
de
on
voit que le groupe dé-
cohomologie
au
point
b )
est trivial.
Soit maintenant
Le groupe des chaînes
l’opérateur
d
(nous
K
une
structure de
complexe simplicial
C(K)
s’idontifie à
notons
provisoirement
d
l’ ensemble
E .
C(E) , stable pour
l’opérateur "bord" ~ , pour des
sous-groupe de
un
sur
raisons
typographiques) ~ mais~
rateur
k
en
générale C(K)
n’est pas stable pour
l’opé-
défini, plus haut.
Toutefois, soit u un endomorphisme de C(E) tel que, pour toute partie
finie L de E ~ le sous-groupe C(L) soit stable pour u ; un tel endomorphisme prendra le nom d’endomorphisme simplicial du groupe C(E) . Alors, pour
toute structure de complexe simplicial K sur E , le groupe C(K)
sera stcble pour u ~ et u opérera également sur les groupes de chaînes relatives ; le
transposé u* opérera dans tous les groupes de cochaînes, et aussi (lorsque E
est
un
nition étant
dans le groupe des cochaînes d’Alexander. Cette défi-
topologique)
espace
posée,
nous
allons établir le
C(E) ,
Théorème 3.- Soit , dans le groupe
qui soit
Si
aussi
outre
en
un
endom.
(2)
résultera que, si
K
de
que
.
( ~ ~ ~"’
K’
sont deux
~ ~S
’
.’
sous-compl
opère comme opérateur d’homotopie dans le
u* comme opérateur d’homotopie dans C*(K mod K’) . De
d’une structure topologique, u* opère comme opérateur d’homotopie
K’
c
K ,
u
gradua à dérivation.
dimension 0 ,il existe un
(e désigne toujours
1
et
simplexe
+1 , tel
degré
v , de
e-u=vd+dv
en
endomorphisme simplicial
pour la structure de groupe
laisse invariant chaque
u
endomorphisme simplicial
Il
permis
un
et
u
muni
dans le
groupe des cochaînes d’Alexander.
’
Démonstration 2 introduisons les notations suivante~. Pour tout simplexe
ordonné 03B1
de
E);
finie de
soit
k~
l’opérateur (de degré
"premier sommet" de
dimension p 5.1 ~ on a
le
(3)
j3
On
les chaînes
condition
pour toute
une
dans
chaîne ~
partie
par
C (L) ,
de
de
l’entier
partie
p , la valeur de
v(03B1)
pour
manière que :
finie
L
de
E ~
v
applique
C (L)
~(L) ;
dans
condition
(4)
tion
(p’)s
sur
p ~ et cela de
de dimension
ci
est
.
récurrence
définir,
va
+1 ) défini
que, pour toute
Rappelons
k~ d(~) ~
=
(qui
l’ensemble des éléments de 03B1
E , soit L03B1
(p") :
pour toute chaîne ~
~( -
lorsque .~
Une fois
v(d)
est
u(-~)
un
=
(il
+
simplexe ordonné
défini pour tous les
de dimension
suffira
de dimension
degrés
p ,
on
ait
d’exprimer
cette rela-
p ).
p ~ et les deux conditions
satisfaites,
et le théorème
de
obtenu
on aura
endomorphisme simplicial
déjà défini
plexe ordonné
mension
0
et soit 03B1
un
Supposim-
La chaîne de di-
p
à
appartient
u( )-
=~ -
((p-1)’) .
à la chaîne
pliquée
du(~) puisque
=
u
et à
Chaîne 0
Nous poserons
De
dr~
donne
est
an
plus
d(3
endom.
un
est
nul,
simplicial
et que
la condition
car
endom. permis, par
C (i~ ) :
de
v
satisfait
((p-~1)"1
ap-
ud (~ ) ~
hypothèse. Appliquons alors (3)
et d’autre
=
l’endomorphisme k~
il
part
vient 6 =
d~ (~ ) .
.
v (~ ) ~
v (~ ) ~
ce
k d ( ~) _ k~‘ (~ --u (~ ) - vd~))
qui prouve la condition
donne la relation
(3) ==
est
u
parce que
à la condition
a
p-1 ,
déjà défini.
est
p ; alors
pour toute chaîne à
sont bien satisfaites.
de dimension 4
pour les 03B1
de dimension
~
à la
(2),
satisfaisant à
v
démontré.
sera
0 . Posons
Commençons par la
dimension 0 ; les conditions
(0’) et (0")
sons
On
un
(4)
de
(p").
.
(p’ )
; et la relation
Ceci achève la démonstration du
théorème 3.
9*- Applications à l’homologie
et à la cohomologie simpliciales.
Rappelons (cf, exposé 2, paragraphe 1) que le groupe des "chaînes orientées" c(K) a été défini comme un quotient du groupe des "chaînes ordonnées"
C(K) , pour toute structure de complexe simplicial K sur un ensemble E . Nous
sommes maintenant en mesure de démontrer que l’homomorphisme canonique de
H(K)
(ou
de
H(K
Pour
de
E
un
mod
K’ ) )
dans
h(K)
(ou h(K
mod
Ii’ ) )
est
un
isomorphisme
~ur.
cela, nous allons définir dans le groupe C(E) des chaînes "ordonnées"
projecteur u qui soit un endomorphisme permis, qui soit un endom.
simplicial (au
du numéro
précédent):_ et dont le noyau F soit précisément
le sous-groupe de C(E) défini exposé 2, paragraphe 1, tel que c(E) soit
C(E)~~ , Alors l’image de u s’ identifiera au groupe c (E) ~ et comme u sera
opérateur d’homotopie d’après le théorème 3 (car u laissera invariantes les
chaînes de dimension 0 ), l’isomorphisme de H(K) sur h(K) résultera du
théorème 2 (paragraphe 2 de cet exposé).
Rappelons
1°)
2°)
les
sens
que
est le sous-groupe
simplexes ordonnés
à sommets
les chaînes de la forme ~ -
engendré
non
tous
par :
distincts ;
est
un
simplexe ordonné
(de
à sommets distincts
de
ses
dimension
p ~
1
).j.
et C~’
une
permutation
de l’ensemble
sommets.
définir le projecteur
ordre sur l’ensemble E ~ qui
fasse de E un ensemble totalement ordonné ; appelons désormais cet ordre l’orest un simplexe ordonne à sommets non tous distincts, on
dre "canonique".
G . Si 03B1 est un simplexe ordonné à sommets distincts, soit
posera u(03B1)
ce la permutation qui range les sommets de ’
dans l’ordre "canonique" ; on poPour
u ~ fixons
un
=
est clair que
un
On vérifie aisément que
= ~. ~’ (o~ ) .
sera
est
u
projecteur dont
un
(au
endom, simplicial
le noyau est
u
sens
est
du
un
endom.
permis,
et il
paragraphe 8). C’est
bien
F .
l’isomorphisme des groupes d’homologie "ordonnée" et
’brientée" pour les complexes K mod K’ , et, par transposition, des groupes de
cohomologie fournis respectivement par toutes les cochaînes et par les cochaî
nes alternées. D’une façon précise, le projecteur
u
permet d’identifier c(E)
à un sous-groupe de C(E) , autrement dit, définit un isomoprhisme
u 1 de c (E)
dans C(E) . Le transposé
applique C*(E) sur le sous-groupe c*(E) ". : ;
est un projecteur.
cochaînes alternées ; comme endomorphisme de C ~L~ (E) ~
et un opérateur d’homotopie.
Nous obtenons ainsi
u~
u*1
définit aussi
lexander d’un espace
v C(E)
des cochaînes d’A-
projecteur dans le groupe
topologique E : il projette C(E)
un
"cochaînes d’Alexander alternées" ; le groupe dérivé de
sur
ce
le sous-groupe des
sous-groupe
v
fie donc
au
groupe de
cohomologie
de Cech-Alexander de
l’espace
E .
projecteur u ~ ainsi que l’endomorphisme v qui lui est attaché (paragraphe 8) se prolongent évidemment au groupe des ’9~haines infinies" de E ;
on ne change donc pas le "groupe d’homologie de deuxième espèce" d’un complexe simplicial K ~ en substituant aux chaînes infinies ’?ordonnées" les
chaînes infinies "orientées". Remarque analogue pour le groupe de cohomologie
Le
change pas en se limitant aux cochaînes
finies alternées.
des ucochaînes finies" :
multiplicative des cochaînes.- Si « ’1 et C~’
cochaînes alternées, leur produit (défini dans l’exposé 4, paragraphe
Remar ue
sont deux
8)
n’est pas,
né l’ensemble
on
définit
le
on ne
une
sur
en
la structure
générale
une
cochaîne alternée. Mais si
E , on vient de définir un projecteur
multiplication dans le groupe c*(E)
posant
cr~ t . ~ ! ~
u~’
t
~’~
.
u*1
on a
de
totalement oràon-
C*(E)
sur
c*(E) ;
des cochaînes alternées
en
7-10
Cette
multiplication dépend
d’Alexander-Whithey. si 03B1’
complexe simplicial
de l’ordre choisi
et 03B2’
sont des
sur
E : c’est la
multiplication
structure de
cocycles pour
K sur E,
(~ ’) est un cocycle de la même classe de
cohomologie
donc, quand on passe à l’anneau de cohomologie, la multiplication d’Alexander-Whitney redonne la multiplication de cet anneau, multiplication qui, elle, est indépendante de l’ordre choisi. Remarque analogue pour
la multiplication des cochaînes alternées d’Alexander d’un espace topologique.
u. ~~
1
une