Introduction aux nombres premiers.

Cours de sp´ecialit´e math. en TS. Chapitre: Nombres premiers
http://www.lefigaro.fr/sciences/2013/02/06/01008-20130206ARTFIG00485- le-nombre-premier-le-plus-long-du- monde- decouvert.php
Le Figaro. Article de Tristan Vey du 6 f´evrier 2013.
Le nombre premier le plus long du monde d´ecouvert.
Cet objet math´ematique est compos´e de plus de 17
millions de chiffres et remplirait pr`es de 20 livres de
500 pages environ.
La plupart des nombres entiers peuvent se
d´ecomposer en un produit de nombres entiers
strictement sup´erieurs `a 1 :
4 (2 ×2), 6 (3 ×2), 8 (4 ×2), 9 (3 ×3), 10
(5 ×2), etc. Ce n’est pas le cas des nombres
premiers (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, etc). La re-
cherche de ces objets particuliers, sorte de briques
´el´ementaires de l’arithm´etique, est aussi vieille
que les math´ematiques. Leurs propri´et´es sont au-
jourd’hui utilis´ees en cryptographie, notamment
pour s´ecuriser vos ´echanges sur Internet. Si l’on
sait depuis Euclide qu’il en existe une infinit´e, la
d´ecouverte d’un nouveau nombre premier reste
un ´ev´enement tant ils sont difficiles `a d´ebusquer.
Un chercheur am´ericain de l’universit´e du
Missouri, Curtis Cooper, rapporte justement la
d´ecouverte du plus grand nombre premier jamais
identifi´e. La ≪bˆete ≫fait plus de 17 millions
de chiffres, 17.425.170 pr´ecis´ement. Cela corres-
pond `a un fichier texte de 22Mo, consultable ici.
Comptez environ 4000 feuilles A4 si vous souhai-
tez l’imprimer avec une taille de police classique.
Il est impossible d’appr´ehender ce que repr´esente
un tel nombre. ` A titre de comparaison, il faut
moins de cent chiffres pour effectuer le d´ecompte
du nombre de particules (neutrons, protons et
´electrons) contenues dans tout l’univers !
250.000$pour un nombre premier `a 1 mil-
liard de chiffres. Mais comment Curtis Co-
oper et son ´equipe ont-ils pu mettre la main
sur un nombre aussi incroyable ? Ils ont uti-
lis´e une technique bien connue consistant `a
´etudier les ≪nombres de Mersenne≫. Le moine et
math´ematicien fran¸cais, Marin Mersenne, n´e `a la
fin du XVIesi`ecle est en effet le premier `a avoir
regard´e de mani`ere syst´ematique les nombres ob-
tenus en multipliant 2 par lui-mˆeme pendant un
nombre premier de fois avant de retrancher 1 au
r´esultat (en notation math´ematique : ≪2p−1≫o`u
pest un nombre premier). Il a remarqu´e que ce
calcul donnait r´eguli`erement un nombre premier.
Le projet collaboratif GIMPS, lanc´e en 1996,
s’est propos´e de les ´etudier de fa¸con syst´ematique.
N’importe quel particulier peut utiliser le logiciel
fourni pour tester la ≪primalit´e≫d’un nombre de
Mersenne. Curtis Cooper et son universit´e sont les
plus importants collaborateurs de ce programme.
Ils ont d’ailleurs d´ej`a `a leur actif les deux records
de longueurs ´etablis en 2005 et en 2006. Ils avaient
toutefois ´et´e d´etrˆon´es en 2008 par l’universit´e
de Californie (UCLA) et un premier long d’un
peu moins de 13 millions de chiffres. Quatre ans
plus tard, le professeur de math´ematiques peut se
r´ejouir de faire voler en ´eclats ce record.
Il aura fallu 39 jours `a son ordina-
teur pour v´erifier la primalit´e du petit nou-
veau, 257885161 −1, le 25 janvier 2013. Trois
preuves ind´ependantes r´ealis´ees par des cher-
cheurs diff´erents, sur des machines diff´erentes,
avec des algorithmes diff´erents, ont permis de
s’assurer qu’il ne s’agissait pas d’un ≪faux po-
sitif ≫. La fondation GIMPS a ainsi pu annon-
cer officiellement cette semaine la d´ecouverte du
48e nombre premier connu de Mersenne, le 15e
d´ebusqu´e depuis 1996. Ce r´esultat a valu `a son
d´ecouvreur et `a son institution un prix de 3000$
vers´e par GIMPS. Celui qui d´ecouvrira le premier
nombre premier `a plus de 100 millions de chiffres
touchera, lui, le jackpot : il pourra partager
avec les fondateurs de GIMPS la r´ecompense de
150.000$promise par l’Electronic Frontier Foun-
dation. Un prix de 250.000$est aussi pr´evu pour
le franchissement de la barri`ere du milliard de
chiffres.
1. Critiquez le titre de l’article.
2. Expliquez l’expression briques ´el´ementaires de l’arithm´etique qualifiant les nombres premiers.
3. V´erifiez que : La ≪bˆete ≫fait plus de 17 millions de chiffres. Rappel : 210 = 1024 ≃103
4. V´erifiez, puis critiquez le passage concernant les nombres de Mersenne : Il a remarqu´e que ce calcul
donnait r´eguli`erement un nombre premier.
5. Prouver que si nn’est pas premier, alors 2n−1 ne peut pas l’ˆetre. Rappel : xn−1
x−1=
n−1
X
k=0
xk.
1

Cours de sp´ecialit´e math. en TS. Chapitre: Nombres premiers
D´efinition. Un nombre premier est un nombre entier naturel diff´erent de 1 qui est uniquement divisible
par 1 et par lui mˆeme.
On notera Pl’ensemble des nombres premiers. Les plus petits nombres premiers sont :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109,
113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199. . .
Lemme. n∈N\ {0,1}. Si n /∈P, alors son plus petit diviseur diff´erent de 1 est premier.
D´emonstration. Soit n∈Ntel que n /∈Pet n>2. n /∈Pdonc nadmet des diviseurs diff´erent de 1,
notons ple plus petit diviseur de ndiff´erent de 1. Prouvons par l’absurde que p∈P.
Supposons que p /∈P. Il existe alors un entier dtel que : d|pet 1 < d < p. Ceci contredit la d´efinition
de p, en effet :.........................................................................................
Ainsi l’hypoth`ese p /∈Pest fausse, on a donc p∈P.
Propri´et´e 1. n∈N\{0,1}. Si nn’est divisible par aucun nombre premier inf´erieur `a √n, alors n∈P.
D´emonstration. Si nn’est pas premier, le lemme permet d’affirmer qu’il existe p∈Pet q∈Ntel que
n=pq avec 1 < p 6q. Alors : . . . < p26... . Or pq =ndonc p26..., d’o`u : p6...
Notons A:≪n /∈P≫et B:≪nadmet un diviseur premier p6√n≫. On a prouv´e que A=⇒B. La
contrappos´ee : (non B) =⇒(non A) est donc aussi vraie.
Cette propri´et´e donne une m´ethode pour savoir si un nombre est premier :
①On calcule √n
②On tente de diviser npar les nombres premiers dans l’ordre croissant, jusqu’`a √n.
③Si on trouve un diviseur premier dans cette liste, nn’est pas premier, et sinon, nest premier.
Th´eor`eme 1. Il existe une infinit´e de nombres premiers.
D´emonstration. Par l’absurde : on suppose qu’il existe un nombre fini de nombres premiers, disons p1,
p2, . . .pn. Avec pnle plus grand de ces nombres premiers. On consid`ere N=p1p2p3···pn+ 1.
Le reste dans la division euclidienne de Npar chacun des piest.......................................
Par la prop 1on en d´eduit que N∈.... Or p1>2, alors N>2pn> pn. Ce qui contredit la d´efinition
de pn, ainsi il n’existe pas un nombre fini de nombre premiers.
Th´eor`eme 2 (D´ecomposition en produit de facteurs premiers).Tout entier naturel n>2s’´ecrit de
mani`ere unique comme produit de nombres premiers. Cette ´ecriture s’appelle la d´ecomposition en produit
de facteurs premiers (dpfp) de n.
D´emonstration. L’unicit´e 1est admise. On prouve l’existence de la dpfp. Si nest premier, c’est fini,
supposons nnon premier. Par le lemme :
①le plus petit diviseur de ndiff´erent de 1, notons le p1, est premier. Notons n=p1n1.
②Si n1∈P, c’est fini, sinon on reprend au ①en rempla¸cant npar n1. (puis plus g´en´eralement en
rempla¸cant nipar ni+1 =ni/pi+1 tant que nin’est pas premier)
Cet algorithme fonctionne et fournit bien la dpfp de ncar on obtient une suite strictement d´ecroissante
d’entiers : n > n1> n2>···>1. Cette suite est n´ecessairement finie, disons qu’elle se finit avec nk=pk
premier et on obtient 2:n=p1p2···pkavec les pi∈P.
Remarque. Attention, les pine sont pas n´ecessairement distincts : p16p26···6pk.
Cet algorithme donne la m´ethode pour trouver la dpfp d’un entier. On dispose le calcul des
divisions successives par les nombres premiers croissants comme ci-contre. On regroupe les
facteurs premiers identiques avec une puissance : 18 = 2 ×32
18 2
93
33
1
´
Enigme 3Barrez trois symboles dans l’expression suivante pour que le r´esultat donne 2010 :
2×3×4×5×6×7 . Un symbole peut ˆetre un chiffre ou un signe ×. Si l’on barrait le signe ×entre 2
et 3, par exemple, on lirait alors le nombre 23.
1. C’est pour garantir cette d´ecomposition unique qu’on convient que 1 n’est pas premier. 2 = 2 ×1 = 2 ×1×1 = . . .
2. On peut noter le produit n=p1p2· · · pkavec un symbole pi majuscule : n=
k
Y
i=1
pi
3. Tir´ee du 1
4finale du Championnat Internationnal des Jeux Math´ematiques et Logiques 2010. www.ffjm.org
2

Cours de sp´ecialit´e math. en TS. Sur la r´epartition des nombres premiers.
I Lister les nombres premiers
I.1 Le crible d’´ Eratosth`ene.
Algorithme pour avoir les nombres premiers inf´erieurs `a n2.
Initialisation : p= 2.
Tant que p < n, faire :
①Entourer p, il est premier.
②Barrer ses multiples sauf lui mˆeme.
③pdevient le prochain nombre non barr´e.
Fin du tant que.
Tous les nombres non barr´es sont premiers.
Sur le crible 6 ×6 ci-contre on observe que les nombres
premiers `a partir de 5 sont tous dans deux colonnes.
Est-ce un hasard, ou avez vous une explication ?
I.2 Les premiers nombres premiers.
II La fonction π
Pour ´etudier la r´epartition des nombres premiers on a eu l’id´ee d’introduire une fonction not´ee π
d´efinie sur Ret qui donne pour π(x) le nombre de nombres premiers qui sont inf´erieurs ou ´egaux `a x.
Pour x∈R,π(x) compte le nombre d’´el´ements de {p∈P;p6x}.
Par exemple, π(6,32) = 3 car il y a 3 nombres premiers inf´erieurs `a 6,32 qui sont 2, 3, et 5.
II.1 Courbe de la fonction πsur [0; 47]
Tracez ci-dessous le d´ebut de la courbe (discontinue) de la fonction πsur [0; 47]
O5 10 15 20 25 30 35 40 45
−2
2
4
6
8
10
12
14
On observe sur la courbe de la fonction πdes plateaux plus ou moins longs qui indiquent l’absence
de nombre premiers sur ces intervalles. On a la propri´et´e :
Propri´et´e 2. Il existe des intervalles aussi grands qu’on veut ne contenant aucun nombre premier.
D´emonstration. Soit nentier sup´erieur `a 3. Justifier que l’intervalle [n! + 2 ; n! + n] ne comporte aucun
nombre premier.
II.2 Le th´eor`eme des nombres premiers.
Th´eor`eme 3 (Th´eor`eme des nombres premiers).π(x)∼x
ln(x)i.e. lim
x→+∞π(x)/x
ln(x)= 1
Ce th´eor`eme a ´et´e conjectur´e par Gauss (en 1792 `a 15 ans), puis il a ´et´e d´emontr´e ind´ependamment
par Hadamard et De La Vall´ee Poussin en 1896 `a l’aide de m´ethodes d’analyse complexe. Le th´eor`eme des
nombres premiers permet d’obtenir une formule qui donne le comportement asymptotique du nenombre
premier p(n) : p(n)∼nln(n). On ne connait aucune formule qui ne donne que des nombres premiers, et
encore moins qui donnerait tous les nombres premiers. Cependant il y a eu des tentatives :
3

Cours de sp´ecialit´e math. en TS. Sur la r´epartition des nombres premiers.
III ` A la recherche d’une formule
III.1 Nombres de Mersenne et de Fermat.
On a vu dans l’article de presse que les nombres de la forme 2n−1 (o`u n∈P) sont appel´es
nombres de Mersenne. Actuellement on ne connaˆıt que 48 nombres de Mersenne qui soient premiers
mais ils fournissent les records de grands nombres premiers. Mais on a vu que pour n= 11 par exemple
211 −1 = 2047 = 23 ×89 n’est pas premier. Pierre de Fermat (1601-1665) a prouv´e que pour que 2k+ 1
soit premier il faut que ksoit une puissance de deux. Il a donc consid´er´e :
D´efinition. Pour n∈N, le n-`eme nombre de Fermat est Fn= 22n+ 1.
n0 1 2 3 4 5
Fn
Fermat ´emit la conjecture que tous ces nombres ´etaient premiers. On a sa correspondance avec Marin
Mersenne et Blaise Pascal `a ce sujet. Cette conjecture s’av´era fausse : Leonhard Euler pr´esente un diviseur
de F5en 1732 qui est 641. Actuellement, on ne connaˆıt que cinq nombres de Fermat premiers, ceux cit´es
ci-dessus de F0`a F4.
On ignore encore s’il en existe d’autres, mais on sait que Fn, pour nentre 5 et 32, sont tous compos´es ;
F33 est le plus petit nombre de Fermat dont on ne sait pas s’il est premier ou compos´e.
III.2 La spirale d’Ulam
Stanislaw Marcin Ulam, lors d’une
conf´erence scientifique en 1963 se
trouva coinc´e, contraint d’´ecouter
≪un expos´e tr`es long et tr`es en-
nuyeux ≫. Il passa son temps `a
crayonner et se mit `a gribouiller
des entiers cons´ecutifs, commen¸cant
par 1 au centre, dans une esp`ece
de spirale tournant dans le sens
inverse des aiguilles d’une montre.
Puis, il noircit tous les nombres pre-
miers. ` A sa surprise, les nombres pre-
miers tendaient `a s’aligner le long
de lignes diagonales. La 3eimage
(200 ×200) illustre ceci. Les diago-
nales noires sont clairement visibles.
Ceci implique qu’il existe beaucoup
de constantes enti`eres a,bet ctelles
que la fonction :
f(n) = an2+bn +c
g´en`ere un nombre extraordinaire-
ment grand de nombres premiers.
Au XVIIIe si`ecle, Euler avait avanc´e
la formule n2+n+ 17. V´erifiez sur
tableur de calculette que pour n= 0
`a n= 15 cette formule donne des
nombres premiers. Plus tard Euler
proposa n2−n+ 41. Voyez vous
des diagonales ne contenant aucun
nombre premiers ?
2 3
4
567
8
9
10 11 12 13
14
15
16
1718192021
22
23
24
25
26 27 28 29 30 31
32
33
34
35
36
37383940414243
44
45
46
47
48
49
50 51 52 53 54 55 56 57
58
59
60
61
62
63
64
656667686970717273
74
75
76
77
78
79
80
81
82 83 84 85 86 87 88 89 90 91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101102103104105106107108109110111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145146147148
149150151152153154155156157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197198199200201202203204205206207208209210211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257258259260261262263264265266267268269270271272273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307
III.3 Le petit th´eor`eme de Fermat, une propri´et´e caract´eristique ?
Th´eor`eme 4 (Le petit th´eor`eme de Fermat.).Si pest un nombre premier et aun entier naturel non
divisible par p, alors : ap−1≡1 mod p.
Comme ap−a=a(ap−1−1), alors par le th´eor`eme de Gauss, un ´enonc´e ´equivalent est :
≪Si pest un nombre premier et si aest un entier quelconque, alors ap−aest un multiple de p.≫
4