sce ABDOUS FATIHA
République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de L’enseignement Supérieure et de la recherche Scienti…que
Université El Hadj Lakhdar Batna
Faculté des Sciences
Département de Mathématiques
Laboratoire des Techniques Mathématiques
MEMOIRE
Présenté pour obtenir le diplôme de
MAGISTER
Thème
Codes auto- duaux sur IFqet Z4
Option : Mathématiques Appliquée
Par
Abdous Fatiha
Soutenue le : 03/06/2007
Devant le jury
Mr. S. E.REBIAI Professeur (U. de Batna) Président
Mr. M. BENLAHCENE Chargé de cours (U. de Batna) Rapporteur
Mr. A.BOUDAOUD Professeur (U. de M’sila) Examinateur
Mr. D. MIHOUBI Maître de conférence (U. de M’sila) Examinateur
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Table des matières
Introduction
1 Généralités sur les codes correcteurs d’erreurs
1.1 Dé…nitions et propriétés.
1.1.1 Le code.
1.1.2 Le produit scalaire.
1.2 Description matricielle des codes linéaires.
1.2.1 La matrice génératrice.
1.2.2 La matrice de contrôle.
1.3 La distance minimale d’un code linéaire.
1.4 Les codes équivalents.
1.4.1 Le groupe d’automorphisme d’un code.
1.4.2 Forme systématique d’un code linéaire.
1.5 Le polynôme énumérateur des poids.
1.5.1 Poids énumérateur complément.
1.6 Familles des codes.
1.7 Codes étendus et codes tranqués.
1.7.1 Code étendu.
1.7.2 Code tronqué.
2 Codes auto- duaux et théorie des invariants
2.1 Codes auto- duaux.
2.1.1 Les codes auto- orthogonaux.
2.1.2 Les codes auto- duaux.
2.1.3 Quelques exemples sur les codes auto- duaux.
2.1.4 Le nombre de codes auto- duaux.
2.1.5 Les codes sur Z4.
2.2 Théorie des invariants.
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2.2.1 Le caractère.
2.2.2 Le polynôme énumérateurs des poids d’un code auto- dual sur Fq:
2.2.3 Le polynôme énumérateurs des poids d’un code binaire auto- dual.
2.2.4 Le polynôme énumérateurs des poids d’un code ternaire auto- dual.
2.2.5 L’ombre d’un code.
3 Classi…cation des codes auto- duaux
3.1 Construction des codes auto- duaux par la méthde de collage.
3.1.1 Codes décomposables.
3.1.2 Codes indécomposables.
3.1.3 Autres codes indécomposables
3.2 Classi…cation des codes auto- duaux binaires.
3.2.1 Les codes auto- duaux de distance minimale deux.
3.2.2 Les codes auto- duaux de distance minimale supérieure ou égale à
quatre.
3.3 Classi…cation des codes auto- duaux ternaires.
Conclusion
Bibliographie
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Notations
FqUn corps …ni à qéléments ;
C(n; k; d)Code linéaire Cde longueur n, de dimension ket de distance
minimale d;
GMatrice génératrice de C;
C?Code dual de C;
HMatrice de contrôle de C;
rg(H)Rang de H;
ppncld(H)Plus petit nombre de colonnes de Hlinéairement
dépendantes ;
GtTransposée d’
une matrice G;
IdkMatrice identité de rang k;
G= (IdkkA)Matrice génératrice en forme systématique;
H= (AkIdnk)Matrice de contrôle en forme systématique ;
!(u)Poids de Hamming de u;
Lee (u)Poids de Lee de u;
Norm (u)Norme de u;
SnGroupe symétrique de néléments ;
GrGroupe du code C;
Aut (C)Groupe d’automorphisme de C;
C1C2Equivalence des codes ;
WC(x; y)Polynôme énumérateur des poids ;
CWC(x; x; :::; x)Complément énumérateur des poids ;
SWC(x; y; z)Symétrie énumérateur des poids ;
AiNombre des mots du code de poids i;
BiDistance de distribution des poids i;
NCNombre des codes équivalents au code C;
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TnNombre total de tous les codes auto- duaux de logueur n;
k
nqNombre des sous espace vectoriel de dimension kde Fn
q;
Un caractère ;
I(G)Ensemble des invariants du G;
pMoyenne polynomiale de p;
SCOmbre du code C;
WSC(x; y)Polynôme énumérateurs des poids de SC;
C= (C1C2:::Ct)+Code indécomposable ;
C= (C1C2:::Ct)Code décomposable ;
XUne matrice dont les lignes est des vecteurs de colle ;
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