PROPORTIONNALITE ET POURCENTAGE I) Reconnaître une

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PROPORTIONNALITE ET POURCENTAGE
I) Reconnaître une situation de propotionnalité
1) cas de non proportionnalité
A l’âge de 58 ans, le chinois Bao Xishun mesure 2,36 mètres et à 29 ans il mesurait déjà plus de 2
mètres ! Sa taille à 58 ans n’est pas deux fois plus grande qu’à l’âge de 29 ans.
On dit que sa taille n’est pas proportionnelle à son âge.
2) cas de proportionnalité
Au marché, les bananes sont vendues à 1,60 euros le kilogramme.
Pour 1 kg, on paie 1.60 euros.
Pour 5 kg, on paie 5 fois plus que pour 1 kg soit 8 euros 5  1, 60  8 .
Pour 0,5 kg, on paie 2 fois moins que pour 1 kg soit 0,80 euros ou encore 10 fois moins que pour 5 kg.
Masse (kg)
Prix (euros)
1
1,60
5
8
0,5
0,80
On dit que le prix d’achat est proportionnel à la masse achetée et que 1,6 est le coefficient de
proportionnalité entre la masse et le prix.
II) Différents raisonnements
Traitons un problème de proportionnalité de différentes façons…
10 kg de peinture permettent de recouvrir 18 m² de façade. Comment calculer l’aire que permet de
recouvrir un pot de 25 kg.
1) Passage à l’unité
Voir activité 3 p 108 : vitesse
Avec 1 kg, on recouvre 10 fois moins de surface qu’avec 10 kg, donc on recouvre 1,8 m².
Avec 25 kg, on recouvre 25 fois moins de surface qu’avec 1 kg, donc on recouvre 25 1,8m²  45m² .
2) Linéarité
Voir activités 5 et 4 p 108 : addition de quantités et multiplication de quantités.
25 kg c’est 2.5 fois plus que 10 kg.
18m²  2,5  45m² donc avec 25 kg, on recouvre 45 m².
Et avec 11 kg ?
Avec 10 kg, on recouvre 18 m².
Avec 1 kg, on recouvre 1,8 m².
Donc avec 11 kg, on recouvre 19,8m².
3) Utilisation d’un coefficient de proportionnalité
Masse
Aire
10
18
25
45
18 c’est 1,8 fois plus que 10
25 1,8m²  45m² donc avec 25 kg, on recouvre
45m².
On passe d’une ligne à l’autre en multipliant par 1,8.
III) Pourcentage
Voir activités 10 et 11 p 109
1) Exemple
Dire qu’un certain yaourt aux fruits contient 15% de fruits, signifie que la masse de fruits est
proportionnelle à la masse de yaourt et que pour 100 g de yaourt, il y a 15 g de fruits.
Masse de yaourts (en g)
Masse de fruits (en g)
100
15
200
30
50
7,5
500
75
1000
150
2) Application
Calculer la masse de fruits dans un yaourt de 120 g
15
120  18
100
Ainsi ce yaourt de 120 g contient 18 g de fruits.
Prendre 15% de 120, c’est calculer
PROPORTIONNALITE
I) Tableau de proportionnalité
1) Grandeurs proportionnelles
Voir activité 1 p 114 : grandeurs proportionnelles
Dire que deux grandeurs sont proportionnelles revient à dire que les valeurs de l’une sont obtenues en
multipliant (ou en divisant) les valeurs de l’autre par un même nombre non nul, appelé le coefficient de
proportionnalité.
Exemple :
EXCEL
Nombre de SMS
Prix payé en euros
1
0,15
2
0,30
3
0,45
5
0,75
8
1,20
10
1,50
Le prix payé est proportionnel au nombre de SMS envoyés. Le coefficient de proportionnalité qui permet
d’obtenir le prix payé à partir du nombre de SMS envoyés en égal à 0,15.
Remarque :
On peut retrouver le prix de 8 SMS par :
- le coefficient de proportionnalité 8  0,15  1, 20
53  8
- par linéarité
0, 75  0, 45  1, 20
2) Quatrième proportionnelle
Nombre de SMS
8
16
Prix payé en euros
1,20
P
Le nombre P tel que ce tableau soit un tableau de proportionnalité est appelé quatrième proportionnelle
Remarque :
On peut retrouver le prix de 16 SMS par :
1, 20 : 8  0,15
- passage à l’unité
0,15 16  2, 40
3) Représentation graphique
EXCEL
Voir activité 2 p 114 : représentation graphique
Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les points de la représentation graphique des valeurs d’une
grandeur en fonction des valeurs de l’autre grandeur sont alignés sur une droite passant par l’origine du
repère.
4) Echelle
Voir activité 4 p 116 : échelle
Lorsqu’un plan est fait à une certaine échelle, cela signifie que les longueurs réelles L et les longueurs
mesurées sur le plan l exprimées dans la même unité sont proportionnelles.
distance sur le plan
e
l
L
distance réelle
Exemple :
1
. Cela signifie que 1 cm sur la carte représente
600000
600 000 cm dans la réalité. Ainsi 3,5 cm mesuré sur la carte correspondent en réalité à 2 100 000 cm soit
21 km.
L’échelle d’une carte de géographie est au
3,5  600000  2100000
5) Mouvement uniforme
Voir activité 3 page 115 : mouvement uniforme
On dit que le mouvement d’un objet est uniforme, lorsque les distances parcourues et les durées
correspondantes sont proportionnelles. C’est le cas lorsque la vitesse de cet objet est constante.
Exemple :
Une voiture roule sur autoroute à 130 km/h, c'est-à-dire qu’elle parcourt 130 km en 1 heure.
Durée du trajet (en h)
Distance parcourue (en km)
1
130
2
P
Remarque :
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est la vitesse de l’objet.
II) Pourcentage
1) Utiliser un pourcentage
Voir activité 5 p 116 : pourcentage
Un pourcentage traduit une situation de proportionnalité
Pour prendre « t % » d’un nombre, on le multiplie par Error!.
Exemple :
35% des élèves d’un collège de 560 élèves sont demi-pensionnaires.
C’est à dire : 560  Error! = 196 élèves.
2) Calculer un pourcentage
Calculer un pourcentage revient à calculer une quatrième proportionnelle à 100
Exemple :
9 élèves d’une classe de 25 sont demi-pensionnaires :
Nombre d’élèves de la classe
Nombre d’élèves demi pensionnaire
25
9
100
9  4  36
Donc il y a 36% de demi-pensionnaires dans cette classe.
II) Pourcentage
1) Utiliser un pourcentage
Voir activité 5 p 116 : pourcentage
Un pourcentage traduit une situation de proportionnalité
Pour prendre « t % » d’un nombre, on le multiplie par Error!.
Exemple :
35% des élèves d’un collège de 560 élèves sont demi-pensionnaires.
C’est à dire : 560  Error! = 196 élèves.
2) Calculer un pourcentage
Calculer un pourcentage revient à calculer une quatrième proportionnelle à 100
Exemple :
9 élèves d’une classe de 25 sont demi-pensionnaires :
Nombre d’élèves de la classe
Nombre d’élèves demi pensionnaire
25
9
9  4  36
Donc il y a 36% de demi-pensionnaires dans cette classe.
100
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