IME-DT 88-109

TRANSFORMATIONS STOCHASTIQUES DE LA MATRICE
DES PRODUCTIONS
Ghislain ROY *
Juin 1988
n° 109
* Professeur titulaire à l'Université Laval de Québec

Ce travail a été effectué au cours de l'année universitaire
1987-1988 pendant laquelle j'ai bénéficié de l'hospitalité
de 1 'Université de Bourgogne.
Je tiens à remercier les autorités, les professeurs et le
personnel de la Faculté de Science économique et de Gestion
dont le dévouement souriant et constant a rendu mon séjour
à Dijon aussi agréable que profitable.
Les quelques pages que je présente ici sont une partie des
résultats des nombreux échanges que j 'ai eus avec le
Professeur Huriot.
Je ne saurais trop le remercier.

Résumé
On appelle stochastiques certains r<'groupements des agents
producteurs, ce gui conduit à des transformations dites stochastiques
de la matrice de leurs échanges.
Le groupe stochastique est l ’ensemble de ces transformations.
Dans le cas le plus simple, quand les agents producteurs ne sont que
deux on détermine les deux invariants que ce groupe laisse constants.
Mots-clés
Groupes stochastiques, transformations stochastiques, invariants.
Introduction
On considère m agents producteurs x^, x^, x^ qui fabriquent
des produits qu'ils échangent entre eux.
On note la matrice des échanges
(1) V
V11 V12
V21 V22
m2
1m
2m
mm
où v. . désigne, en unités monétaires, ce que l'agent x. vend à l'agent x..
i J i j
La partie de la production de l'agent x. qu'il consomme lui-même est notée
v. .
11 Pour certaines raisons supposons que l'on soit amené à regrou
per les m agents en n sous-ensembles formant ainsi n nouveaux agents.
On sait qu'il y a plusieurs façons de partitionner un ensemble
de m éléments en n sous-ensembles. Nous nous interrogeons sur la possi
bilité de passer de l'une de ces partitions à une autre.

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Exemple
Soit trois agents dont la matrice des échanges serait
et supposons que deux économistes étudient cette situation différemment.
Le premier économiste garde tel quel le premier agent et amalgame les
échanges des deux derniers, tandis que le deuxième économiste amalgame
les deux premiers agents et laisse tel quel le dernier.
Pour le premier économiste le premier agent, que l’on notera
x, consommera une unité de sa propre production. Il vendra au deuxième
agent, noté y, 2 + 3 unités et en achètera 4 + 7 unités. Le deuxième
agent, y, consommera 5 + 6 + 8 + 9 unités de sa propre production. La
matrice des échanges est donc
(3) V
Pour le deuxième économiste, les agents q u ’il notera xf et y'
auront comme matrice des échanges
Question
On se demande s ’il est possible de transformer V en V,
Plus précisément, supposons que les n agents x^, x^, ..., x^
sont transformés en n nouveaux agents x^j, x£, x^ de la façon suivante
le nouvel agent x! est obtenu en réunissant une fraction de chacun des
anciens agents
x! = x p + x0p0 . + ... + x p .
i 1 1i 2 2i n ni
Attention : La "somme" des x. est une réunion d'ensembles.
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