Espaces vectoriels et applications linéaires

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017 1
Résumé de cours sur les espaces vectoriels et les applications linéaires
Les vecteurs du plan, les nombres réels, et les polynômes à coefficients réels ont un point commun.
Nous savons les additionner (et les soustraire) et leur somme est encore un élément du même type :
la somme de deux vecteurs (resp. réels, resp. polynômes) est encore un vecteur (resp. un réel, resp. un
polynôme). On sait aussi les multiplier par un nombre réel, le résultat donne encore un vecteur
(resp. un réel, resp. un polynôme). De tels ensembles sont dits stables par combinaison linéaire. Ce
sont des exemples d’espaces vectoriels. Ils contiennent toujours un élément particulier, l’élément
neutre pour l’addition, que l’on appellera le vecteur nul.
Dans tout le cours, Kdésigne le corps Rou C.
I Notion d’espace vectoriel
I.1 Présentation et espaces vectoriels de référence
Définition d’un K-espace vectoriel (ev) : c’est un groupe commutatif muni d’une loi externe vérifiant
4 axiomes. On pourra retenir qu’un ev est un ensemble stable par addition et par multiplication par
des scalaires, avec quelques règles de calcul «naturelles». Un ev contient toujours au moins un élément,
le vecteur nul. Les éléments d’un ev sont appelés des vecteurs et les éléments de Kdes scalaires.
Nous aurons pour modèle les ev de référence suivants pour lesquels il faut connaître le vecteur
nul :
• L’ensemble des vecteurs de Kn, le vecteur nul est (0,0,...,0). Les règles de calcul données par :
(x1,...,xn) + (y1,...,yn) = (x1+y1,...,xn+yn) et λ(x1,...,xn) = (λx1,...,λxn).
• l’ensemble K[X] des polynômes à coefficients dans K. Le vecteur nul est le polynôme nul.
• l’ensemble F(X, K) = KXdes fonctions de Xdans K(où Xdésigne un ensemble quelconque),
le vecteur nul est la fonction nulle. Les règles de calcul données par :
∀x∈X, (f+g)(x) = f(x) + g(x) et (λf )(x) = λf(x).
Plus généralement si Fest un K-ev, alors F(X, F ) est un K-ev.
• l’ensemble des suites à coefficients dans K(c’est KN). Le vecteur nul est la suite nulle.
Remarquons aussi que l’ensemble Cest un C-ev mais aussi un R-ev.
Nous rencontrerons d’autres ev mais tous seront contenus dans les ev de référence, on parlera de
sous-espace vectoriel (sev).
I.2 Notion de sous-espace vectoriel
On retiendra absolument le critère de sev :
Proposition 1 Une partie Fd’un ev Eest un sev de Esi :
• elle contient le vecteur nul 0E
• elle est stable combinaison linéaire :
∀(x, y)∈F2,∀λ∈K, λx +y∈F.
Un sev de Eest bien un ev.
Exemples :
• droites vectorielles de R2ou R3, plan vectoriel de R3(notion d’équation cartésienne et de para-
métrage).
•Kn[X] = {P∈K[X]|deg P6n}
•{P∈K[X]|XP ′−P= 0}et l’ensemble des solutions de l’ ED (x2+ 1)y(4)(x)−5xy(x) = 0.
Exo : que dire d’un sev de R2qui contient les vecteurs (1,0) et (1,2) ?

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017 2
I.3 Notion de Vect
Définition 2 (Combinaison linéaire et Vect)
• un vecteur xest combinaison linéaire (CL) des vecteurs x1,...,xns’il existe des scalaires
λ1,...,λntels que
x=λ1x1+···+λnxn.
• Plus généralement, si Aest une partie de Eou une famille de vecteurs de E(éventuellement
infinie), on dit que xest CL d’éléments de A, si xest CL d’un nombre fini de vecteurs de A.
On note Vect (A)l’ensemble des CL de vecteurs de A.
Exemples : Exemples : (i, j) engendre R2. (1, X, X2) engendre K2[X]. Si Pest le plan de R3
d’équation 5x−y+ 7z= 0, alors P= Vect {(1,5,0); (0,7,1)}.
K[X] = Vect {Xn|n∈N}. Si Aest un ev, Vect A=A;
Exo : Vect {u, v, 2u−3v}= Vect {u, v}
Rq : l’écriture d’un sev comme un Vect fournit une représentation paramétrique du sev.
Proposition 3 Vect (A)est un sev de E, de plus c’est le plus petit (au sens de l’inclusion) sev de E
contenant A(on dit aussi que c’est le sev engendré par A).
Cela donne un nouveau moyen de prouver qu’un ensemble est un ev : si cet ensemble est un vect,
alors c’est un ev !
Exemple : l’ensemble des solutions de y′′ −3y′+2y= 0 est un R-ev car égal à Vect (x7→ ex, x 7→ e2x).
I.4 Opérations sur les espaces vectoriels
Proposition 4 (⋆)L’intersection de sev de Eest un sev de E(faux pour la réunion, il suffit de
prendre dans R2, la réunion de deux droites (vectorielles) distinctes ).
Application : les solutions d’un système linéaire homogène à ninconnues et péquations est un
sous-espace vectoriel de Rn.
Proposition 5 (Produit de K-ev)
On définira aussi à la fin de ce chapitre la somme de sev.
II Familles libres, génératrices, bases
II.1 Familles libres et familles liées
Dans le plan ou dans l’espace, deux vecteurs sont dits colinéaires, s’il existe un réel ktel que
−→
u=k−→ vou −→ v=k−→ u. Dans l’espace, trois vecteurs sont dits coplanaires si l’un des vecteurs est CL
des autres. On généralise cette notion :
Définition 6 (Famille libre ou liée) Une famille est dite liée si un des vecteurs de la famille est
CL des autres vecteurs de la famille. Sinon, elle est dite libre.
On utilise plutôt le critère suivant pour prouver la liberté d’une famille, «une famille est libre si
elle ne vérifie pas de relations de dépendance linéaire» :
Proposition 7 Une famille (x1, . . . , xn)de vecteurs de Eest libre ssi :
∀(λ1,...,λn)∈Rn,(λ1x1+···+λnxn= 0 ⇒λ1=···=λn= 0) .
Généralisation au cas d’une famille infinie.
Exemples :

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017 3
• une famille de deux vecteurs de Rndont les coordonnées ne sont pas proportionnelles est libre.
• attention : une famille de trois vecteurs de Rndont les coordonnées ne sont pas proportionnelles
n’est pas forcément une famille libre. CEX : (u, v, u +v) avec uet vnon colinéaires.
• Une famille de polynômes non nuls de degré 2 à 2 distincts est libre.
• la famille (Xn)n∈Nest libre.
Remarques :
• une famille libre ne contient jamais le vecteur nul.
• Toute sous-famille d’une famille libre est libre et toute sur-famille d’une famille liée est liée.
II.2 Familles génératrices
Définition 8 (Famille génératrice) Soit (xi)i∈Iune famille de vecteurs de E. On dit que c’est une
famille génératrice de E, ou qu’elle engendre Esi tout vecteur de Es’écrit comme CL de vecteurs de
cette famille, c’est-à-dire E=Vect {(xi)i∈I}.
Remarques :
1. Si Aest une partie de Etelle que Vect (A) = E, on dit que Aest une partie génératrice de E.
2. Toute sur-famille d’une famille génératrice est encore génératrice.
Exercice : si (u, v) est une famille libre de R2, elle engendre R2.
Définition 9 (Droite et plan) On appelle droite vectorielle, tout espace-vectoriel engendré par un
vecteur non nul. On appelle plan vectoriel tout espace vectoriel engendré par deux vecteurs non coli-
néaires.
Exercice : les sev de R2sont : {(0,0)}, les droites et R2. De même, on peut montrer que les sev de
R3sont {(0,0,0)}, les droites, les plans et R3.
II.3 Bases et coordonnées
Grâce aux bases nous aurons le concept de coordonnées et nous pourrons ainsi «numériser» nos
objets géométriques.
Définition 10 (Base) Une famille libre et génératrice de Eest appelée une base de E.
Il faut connaître les bases canoniques (naturelles) suivantes :
• La base canonique de Kn: c’est la famille (e1,...,en) où e1= (1,0,...,0), e2= (0,1,...,0),...,en=
(0,...,0,1).
• La base canonique de Kn[X] est (1, X, X2,...,Xn).
• La base canonique de K[X] est la famille (Xn)n∈N.
Exercice : déterminer une base de {P∈K[X]|XP ′−P= 0}.
Proposition 11 (Notion de coordonnées) (⋆)(e1,...,en)est une base de Essi tout vecteur de
Es’écrit de manière unique comme une CL des vecteurs e1,...,en. Dans ce cas si x=x1e1+···+xnen
le n-uplet (x1,...,xn)représente les coordonnées du vecteur xdans la base (e1,...,en).
Morale : avec le choix d’une base, un vecteur est déterminé par ses coordonnées, on l’a «numérisé».
Nous numériserons aussi les applications linéaires par des matrices.

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017 4
III Applications linéaires
III.1 Vocabulaire
Définition 12 Soit Eet Fdeux K-ev. Une application fde Edans Fest dite linéaire si elle
transforme une CL de vecteurs de Een CL de vecteurs de F:
∀(x, y)∈E2,∀λ∈K, f(λx +y) = λf(x) + f(y).
• Si E=F, on dit que fest un endomorphisme
• Si fest bijective, on dit que c’est un isomorphisme. Un endomorphisme bijectif est appelé un
automorphisme.
• Si F=K, on parle de forme linéaire sur E.
On notera L(E, F )l’ensemble des AL de Edans Fet L(E)l’ensemble des endomorphismes de E.
Remarque : si fest une application linéaire de Edans F, c’est en particulier un morphisme de
groupe et on a f(0E) = 0F(cela généralise le fait qu’une fonction linéaire de Rdans Rs’annule
toujours en 0).
Exemples :
• l’endomorphisme dérivation sur K[X] est linéaire.
• la fonction carré n’est pas linéaire, (⋆)les endomorphismes de Rsont les fonctions linéaires
x7→ kx, k ∈R.
• l’application qui à une fonction fcontinue sur [a, b] associe Rb
afest une forme linéaire.
III.2 Les endomorphismes de R2
(⋆)Ce sont les applications de la forme (x, y)7→ (ax +by, cx +dy), ce qui se retient facilement
grâce à la relation matricielle suivante
a b
c dx
y=ax +by
cx +dy.
En effet, si fest un endomorphisme de R2, alors f(x, y) = f(x(1,0)+y(0,1)) = xf(1,0)+yf(0,1) =
x(a, c) + y(b, d) = (ax +by, cx +dy).
On peut ainsi «retenir» les exemples suivants :
• Symétrie orthogonale par rapport à l’axe des abscisses : 1 0
0−1x
y=x
−y
• Symétrie orthogonale par rapport à la droite d’équation y=x:0 1
1 0x
y=y
x
• homothétie de centre Oet de rapport λ:λ0
0λx
y=λx
λy
• projection orthogonale sur l’axe des abscisses : 1 0
0 0x
y=x
0
• rotation de centre Oet d’angle θ:cos θ−sin θ
sin θcos θx
y
Remarque : une translation tde vecteur unon nul de R2n’est pas une application linéaire car
t(0R2) = u6= 0R2.

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017 5
III.3 Noyau et image d’une AL
Proposition 13 Soit f:E→Fune application linéaire. On pose
Ker f={x∈E|f(x) = 0}et Im f={f(x)|x∈E}.
(⋆)Ker fest un sev de Eet Im fun sev de F.
Proposition 14 Soit f:E→Fune application linéaire. On a
(⋆)finjective ssi Ker f={0}et fsurjective ssi Im f=F.
Le noyau mesure le défaut d’injectivité d’une AL. C’est un outil très pratique pour tester l’injec-
tivité d’une AL.
Exemple : si Dest l’endomorphisme dérivation des polynômes, Ker D=R, donc Dpas injective,
mais Dsurjective.
III.4 Comment calculer l’image d’un sev par une AL ?
Proposition 15 (Utilisation d’une partie génératrice) Soit f:E→Fune application linéaire.
Si (x1,...,xn)engendre E, alors Im fest engendré par (f(x1),...,f(xn)), c’est-à-dire
Im f=Vect {f(x1),...,f(xn)}.
Exemple : calculer Im fdans les cas suivants : f(x, y) = (2x−y, 0, x) et g(x, y, z) = (x+y+z, x+2z).
Remarque : dans ce cas, l’AL fest complétement déterminée par la donnée des vecteurs f(x1),...,f(xn).
Corollaire 16 (Image d’une base) soit f∈ L(E, F )
1. L’image d’une base de Epar fest une famille génératrice de F.
2. L’application fest bijective ssi elle transforme une base de Een une base de F.
Remarque : l’image d’une base par une AL n’est pas forcément une base (cex : projection sur Ox).
Exercice : image d’un plan Pde R3.
III.5 Opérations sur les AL
Proposition 17 • Une CL d’applications linéaires (AL) est encore une application linéaire, ainsi
L(E, F )est un sev de FE=F(E, F ).
• La composée de deux AL est encore une AL, ainsi (L(E),+,◦)est un anneau.
•(⋆)Si fest une AL bijective, alors son application réciproque f−1est encore une AL, ainsi
l’ensemble des automorphismes de Enoté (GL(E),◦)est un groupe, appelé groupe linéaire.
IV Sommes de sev
IV.1 Somme de deux sev
Dans le plan R2, les sous-espaces vectoriels Vect (−→ i) et Vect (−→ j) jouent un rôle privilégié. Nous
allons préciser cela et généraliser.
Proposition 18 Soit E1et E2deux sev de E, on pose E1+E2={x1+x2|(x1, x2)∈E1×E2}.
L’ensemble E1+E2est un sev de Eappelé somme de E1et E2.
Définition 19 (Somme directe) Soit E1et E2deux sev de E.
1. La somme E1+E2est dite directe si tout vecteur de E1+E2s’écrit de manière unique comme
somme d’un vecteur de E1et de E2.