Equations du 2nd degré

Equations du 2nd degré
Correction 1
a. L’équation (2x−1)(3x+1) = 0 est une équation produit :
Un produit est nul si, et seulement si, au moins un de ses
facteurs est nul.
On obtient les deux équations suivantes :
2x−1 = 0
2x= 1
x=1
2
3x+ 1 = 0
3x=−1
x=−1
3
Cette équation admet pour solution les deux nombres
−1
3et 1 2.
b. L’équation (x−2)(2x+4) = 0 est une équation produit :
Un produit est nul si, et seulement si, au moins un de ses
facteurs est nul.
On obtient les deux équations suivantes :
x−2 = 0
x= 2
2x+ 4 = 0
2x=−4
x=−4
2
x=−2
Cette équation admet pour solution les deux nombres −2
et 2.
c. L’équation (3 −2x)x= 0 est une équation produit :
Un produit est nul si, et seulement si, au moins un de ses
facteurs est nul.
On obtient les deux équations suivantes :
3−2x= 0
−2x=−3
x=−3
−2
x=3
2
x= 0
Cette équation admet pour solution les deux nombres 0
et 3
2.
d. L’équation (5x+1)(5+x) = 0 est une équation produit :
Un produit est nul si, et seulement si, au moins un de ses
facteurs est nul.
On obtient les deux équations suivantes :
5x+ 1 = 0
5x=−1
x=−1
5
5 + x= 0
x=−5
Cette équation admet pour solution les deux nombres −5
et −1
5.
Correction 2
a. On a les transformations algébriques suivantes :
(3x−2)(x+ 1) + (3x−2)(2 −3x) = 0
(3x−2)(x+ 1) + (2 −3x)= 0
(3x−2)(x+ 1 + 2 −3x) = 0
(3x−2)(3 −2x) = 0
Un produit est nul si, et seulement si, au moins un de ses
facteurs est nul.
On obtient les deux équations suivantes :
3x−2 = 0
3x= 2
x=2
3
3−2x= 0
−2x=−3
x=−3
−2
x=3
2
Cette équation admet deux solutions : 2
3et 3 2.
b. On a les transformations algébriques suivantes :
(x+ 1)(2 −x)−(x+ 1)(2x+ 5) = 0
(x+ 1)(2 −x)−(2x+ 5)= 0
(x+ 1)(2 −x−2x−5) = 0
(x+ 1)(−3x−3) = 0
Un produit est nul si, et seulement si, au moins un de ses
facteurs est nul.
On obtient les deux équations suivantes :
x+ 1 = 0
x=−1−3x−3 = 0 −3x= 3
x=3
−3
x=−1
Cette équation admet une unique solution : −1.
c. On a les transformations algébriques suivantes :
(5x+ 1)(x−2) = (5x+ 1)2
(5x+ 1)(x−2) −(5x+ 1)2= 0
(5x+ 1)(x−2) −(5x+ 1)(5x+ 1) = 0
(5x+ 1)(x−2) −(5x+ 1)= 0
(5x+ 1)(x−2−5x−1) = 0
(5x+ 1)(−4x−3) = 0
Un produit est nul si, et seulement si, au moins un de ses
facteurs est nul.
On obtient les deux équations suivantes :
5x+ 1 = 0
5x=−1
x=−1
5
−4x−3 = 0
−4x= 3
x=−3
4
Cette équation admet deux solutions : −3
4et −1 5.
d. On a les transformations algébriques suivantes :
(3 −2x)(x+ 1) = 3(3 −2x)
(3 −2x)(x+ 1) −3(3 −2x) = 0
(3 −2x)(x+ 1) −3= 0
(3 −2x)(x+ 1 −3) = 0
(3 −2x)(x−2) = 0
Un produit est nul si, et seulement si, au moins un de ses
facteurs est nul.
On obtient les deux équations suivantes :
3−2x= 0
−2x=−3
x=−3
−2
x=3
2
x−2 = 0
x= 2
Cette équation admet deux solutions : 3
2et 2.
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Correction 3
1. a. On a la factorisation suivante :
E= (x−5)2+ (x−5)(2x+ 1)
=x2−10x+ 25+2x2+x−10x−5
=x2−10x+25+2x2+x−10x−5
= 3x2−19x+ 20
b. Lorsqu’on évalue cette expression pour x=√3, on a :
3x2−19x+ 20 = 3(√3)2−19×√3 + 20
= 9 −19√3 + 20 = 29 −19√3
c. Il a eu raison car la forme développée et réduite est
plus simple à évaluer ; elle est également égale avec la
forme initiale entraînant la même valeur lors de l’éval-
uation.
2. a. Il facile de voir que la valeur 5annule les deux ter-
mes de la somme définissant E:
(x−5)2= 0 ;(x−5)(2x+ 1) = 0
b. On a la factorisation suivante :
E= (x−5)2+ (x−5)(2x+ 1)
= (x−5)(x−5) + (x−5)(2x+ 1)
= (x−5)(x−5) + (2x+ 1)
= (x−5)(3x−4)
c. Pour qu’un produit soit nul, il suffit qu’au moins un
de ses facteurs soit nul ; ainsi, la seconde solution de
l’équation E= 0 est :
3x−4 = 0
3x= 4
x=4
3
La seconde solution de l’équation est 4
3.
3. Il est équivalent de prendre la forme développée ou la
forme factorisée pour effectuer l’évaluation de l’expres-
sion :
(x−5)(3x−4) = 1
9−53×1 9−4
=1
9−45 93 9−36 9=−44 9×−33 9
=44
9×11 3=484 27
3x2−19x+ 20 = 3×1
92
−19×1
9+ 20
= 3×1
81 −19 9+ 20 = 1 27 −19 9+ 20
=1
27 −57 27 +540 27 =1−57 + 540 27 =484 27
Correction 4
1. 2x2−5x= 0
x·2x−5= 0
Un produit est nul si, et seulement si, au moins un de ses
facteurs est nul.
On obtient les deux équations suivantes :
x= 0 2x−5 = 0
2x= 5
x=5
2
Cette équation admet pour solution les deux nombres 0
et 5
2
2. (2 −3x)(x+ 4) −(2 −3x)(x+ 2) = 0
(2 −3x)(x+ 4) −(x+ 2)= 0
(2 −3x)(x+ 4 −x−2) = 0
(2 −3x)2 = 0
Un produit est nul si, et seulement si, au moins un de ses
facteurs est nul.
On obtient l’équation suivante :
2−3x= 0
−3x=−2
x=−2
−3
x=2
3
Cette équation admet pour solution le nombre 2
3.
3. (x−2)(2x+ 1) = (x−2)2
(x−2)(2x+ 1) −(x−2)2= 0
(x−2)(2x+ 1) −(x−2)= 0
(x−2)(2x+ 1 −x+ 2) = 0
(x−2)(x+ 3) = 0
Un produit est nul si, et seulement si, au moins un de ses
facteurs est nul.
On obtient les deux équations suivantes :
x−2 = 0
x= 2
;x+ 3 = 0
x=−3
Cette équation admet pour solution les deux nombres −3
et 2.
Correction 5
1. On a :
E= (x+ 1)2+ (x+ 1)(2x−3)
= (x2+ 2x+ 1) + (2x2−3x+ 2x−3)
= 3x2+x−2
2. On a :
E= (x+ 1)2+ (x+ 1)(2x−3)
= (x+ 1)(x+ 1) + (x+ 1)(2x−3)
= (x+ 1)(x+ 1) + (2x−3)
= (x+ 1)(3x−2)
3. Pour résoudre l’équation (x+ 1)(3x−2) = 0, on utilise
la propriété suivante :
Si un produit est nul, alors au moins un de ses facteurs
est nul :
x+ 1 = 0
x=−1
x=−1
3x−2 = 0
3x= 2
x=2
3
Les solutions de l’équation sont −1et 2
3.
Correction 6
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1. E= (5x−2)2−(x−7)(5x−2)
= (25x2−20x+ 4) −(5x2−2x−35x+ 14)
= (25x2−20x+ 4) −(5x2−37x+ 14)
= 25x2−20x+ 4 −5x2+ 37x−14
= 20x2+ 17x−10
2. Pour x=−1, on a :
E= 20x2+ 17x−10
= 20×(−1)2+ 17×(−1) −10
= 20 −17 −10 = −7
3. On a la factorisation :
E= (5x−2)2−(x−7)(5x−2)
= (5x−2)(5x−2) −(x−7)
= (5x−2)5x−2−x+ 7
= (5x−2)(4x+ 5)
4. Résolvons l’équation :
(5x−2)(4x+ 5) = 0
Un produit est nul si, et seulement si, un des deux fac-
teurs est nuls.
5x−2 = 0
5x= 2
x=2
5
4x+ 5 = 0
4x=−5
x=−5
4
Cette équation admet pour solution : −5
4;2 5
Correction 7
1. E= (3x−1)(x+ 5) −(3x−1)2
= (3x2+ 15x−x−5) −(9x2−6x+ 1)
= 3x2+ 14x−5−9x2+ 6x−1
=−6x2+ 20x−6
2. On remarque facilement que 3x−1est un facteur com-
mun :
E= (3x−1)(x+ 5) −(3x−1)2
= (3x−1)h(x+ 5) −(3x−1)i
= (3x−1)(−2x+ 6)
3. Pour résoudre l’équation :
(3x−1)(−2x+ 6) = 0
On utilise la propriété suivantes :
Un produit de facteurs est nul si au moins un de ces fac-
teurs est nul :
3x−1 = 0
3x= 1
x=1
3
−2x+ 6 = 0
−2x=−6
x=−6
−2
x= 3
Cette équation admet pour solution 1
3et 3.
Correction 8
1. a. E= (x−3)2−(x−1)(x−2)
=x2−6x+ 9 −(x2−2x−x+ 2)
=x2−6x+ 9 −x2+ 3x−2
=−3x+ 7
b. Ce calcul est la valeur de Epour x= 100 000.
Donc, pour cette valeur on a −3×10 0000+7 = −29 993
2. a. F= (4x+ 1)2−(4x+ 1)(7x−6)
= (4x+ 1)(4x+ 1) −(7x−6)
= (4x+ 1)4x+ 1 −7x+ 6
= (4x+ 1)(−3x+ 7)
b. Résoudre l’équation : (4x+ 1)(7 −3x) = 0 Un produit
est nul si, et seulement si, au moins un de ces facteurs
est nul :
4x+ 1 = 0
4x=−1
x=−1
4
x=−1
4
7−3x= 0
−3x=−7
x=−7
−3
x=7
3
Cette équation admet pour solutions : −1
4et 7 3.
Correction 9
L’aire du rectangle ABCD admet pour expression en fonc-
tion de x:
A= 2(x+ 3)
L’aire du triangle CDE est égale à :
A0=(x+ 3)(x+ 3)
2
Pour avoir l’égalité entre ces deux aires, il est nécessaire que
l’indéterminée xvérifie l’égalité :
2(x+ 3) = (x+ 3)(x+ 3)
2
Résolvons l’équation suivante :
(x+ 3)(x+ 3)
2= 2(x+ 3)
Multiplions par 2chaque membre :
2×(x+ 3)(x+ 3)
2= 2×2(x+ 3)
(x+ 3)(x+ 3) = 4(x+ 3)
(x+ 3)(x+ 3) −4(x+ 3) = 0
(x+ 3)(x+ 3) −4= 0
(x+ 3)(x−1) = 0
Un produit est nul si, et seulement si, au moins un de ses
facteurs est nul.
On obtient les deux équations suivantes :
x+ 3 = 0
x=−3
x−1 = 0
x= 1
Dans l’énoncé, il est précisé que xa une valeur positive. On en
déduit que la valeur de xrendant égale les aires du rectangle
et du triangle est x= 1.
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