Chapitre : probabilités et statistiques I Probabilités

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Chapitre : probabilités et statistiques
I Probabilités
Définitions : Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat.
Une issue d'une expérience aléatoire un résultat de cette expérience.
Un événement est un ensemble d’issues.
Exemple : lancer un dé à 6 faces est une expérience aléatoire
"Obtenir un 6" est une issue
"Obtenir un nombre pair" est un évènement qui contient 3 issues.
a ) cas d’équiprobabilité
Définitions : Une expérience aléatoire est dite équiprobable si chacune de ses issues a la même chance d’être
obtenue.
1
Si l’expérience aléatoire comporte n issues, la probabilité d’une issue est alors .
n
nombre d'issues de E
Si E est un évènement, la probabilité de E est alors : P ( E ) =
nombre d'issues possibles
Exemple : lancer un dé est une expérience aléatoire équiprobable.
Désignons par A, B les évènements suivants : A = " Obtenir un nombre pair "
B = "ne pas obtenir 1"
3 1
5
On a : P ( A ) = P ( " Obtenir un nombre pair " ) = =
et P ( B ) =
6 2
6
Remarque : une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1 qui "mesure la chance" d’obtenir un évènement.
5
Dire que P ( B ) = revient à dire que :
6
• il y a 5 chances sur 6 pour que B se réalise
• sur 6 lancés, l’évènement B se réalisera en moyenne 5 fois.
b ) dénombrement
Trouver une probabilité dans des cas équiprobables consiste à dénombrer (compter) des issues.
Exemple : on lance 2 dés à 6 faces et on note A = "obtenir un nombre pair sur les deux dés"
2e dé
1e dé
Dénombrement par tableau :
1 2 3 4 5 6 Il y a 6 × 6 = 36 issues au total
A contient 3 × 3 = 9 issues
X
X
X
6 1
donc P ( A ) =
=
36 4
1
2
3
X
X
4
5
X
X
6
Dénombrement par l’arbre des réalisations de l’évènement A :
X
2e dé
1e dé
2
4
6
c ) cas de non équiprobabilité
X
2
4
6
2
4
6
2
4
6
l’arbre a 3 × 3 = 9 feuilles donc A contient 9 issues
6 1
donc P ( A ) =
=
36 4
On lance une punaise et notons A = "la punaise tombe sur la pointe"
On aimerait trouver une approximation de P ( A )
On fait 50 fois l’expérience et on trouve que A a été réalisé 20 fois.
20 2
On peut estimer que P ( A ) ≈ ≈ (donc on a à peu près 2 chances sur 5 de tomber sur la pointe)
50 5
Remarque : plus on recommence l’expérience aléatoire, plus l’approximation devient bonne.
II Statistiques
Voici une série statistique qui donne la taille en centimètre de 8 personnes :
150 ; 156 ; 160 ; 164 ; 168 ; 170 ; 172 ; 180
50%
Cette série s’étend sur 30 = 180 – 150 cm
médiane
50%
Définitions : L’étendue d’une série statistique est la différence entre sa plus grande valeur et sa plus petite
valeur.
La médiane d’une série statistique est un nombre tel qu’il y ait au moins 50% des éléments de la série qui lui
soient supérieurs ou égal et au moins 50% qui lui soient inférieurs ou égal.
Exemples : A propos de la série précédente : l’étendue est 180 – 150 = 30 cm
163 est une médiane. On pourrait prendre aussi 165. On peut prendre n’importe quel nombre entre
164 et 168.
La médiane la plus naturelle est le nombre exactement entre 164 et 168 : c’est la moyenne de 164
164 + 168
et 168, donc
= 166
2
Remarque : la médiane divisant en 2 les 8 éléments, il est naturel de faire le calcul 8 : 2 = 4
On constate que la médiane est alors entre le 4e nombre et le suivant.
Autre exemples : considérons la série de 5 nombres : 12 ; 15 ; 18 ; 20 ; 23
La médiane est 18.
Même remarque : 5 : 2 = 2,5 on a pris le 3e nombre.
Lorsque la division ne tombe pas juste, on prend le nombre d’après le résultat.
Définition pratique de la médiane : La médiane d’une série statistique qui a n éléments est :
● la moyenne entre le nombre de rang n : 2 et le suivant si n : 2 tombe juste
● le nombre dont le rang est celui qui suit n : 2 si n : 2 ne tombe pas juste.
Définitions : Les quartiles sont les valeurs qui divisent une série statistique en 4 lorsque la série est rangée dans
l’ordre croissant.
● le 1e quartile se note Q1
● le 2e quartile est la médiane
● le 3e quartile se note Q3
Si la série contient n nombres alors :
● pour trouver Q1 : on procède de la même manière que pour la médiane mais pour le calcul n : 4
● pour trouver Q3 : même chose avec le calcul 3 × n : 4
Exemples : Considérons cette série statistique de 10 nombres : 2 ; 2 ; 5 ; 8 ; 8 ; 9 ; 12 ; 12 ; 12 ; 16
Calcule de Q1 : on a 10 : 4 = 2,5 donc on prend le 3e élément et donc Q1 = 5
Calcule de la médiane Q2 : on a 10 : 2 = 5 donc en prend la moyenne entre le 5e et le 6e nombre
8+9
= 8,5
donc Q2 =
2
Calcule de Q3 : on a 3 × 10 : 4 = 7,5 donc on prend le 8e nombre et donc Q3 =12
Remarque : la série statistique ci-dessus peut aussi se présenter sous forme de tableau
nombre
2
5
8
9
12
16
effectif
2
1
2
1
3
1
3
Remarque : dire que les des élèves ont eu leur DNB revient à dire que le 1e quartile des résultats
4
au DNB est 10.
Exercice 1 : On lance deux dés à 6 faces. Détermine la probabilité des événements suivants :
A = "obtenir un nombre pair sur les deux dés"
B = "obtenir un nombre pair sur un seul des deux dés"
C = "ne pas obtenir de nombre pair"
D = "obtenir un nombre pair sur un des deux dés"
E = "obtenir le même nombre sur chaque dé"
F = "obtenir des nombres différents sur les deux dés"
Exercice 2 : Même chose que pour l’exercice 1 mais avec 3 dés. Calcule les probabilités des évènements A et E
de l’exercice 1.
Exercice 3 : Avec 2 dés colorés à six faces, on tire au hasard des nombres ayant pour dizaine le numéro du dé
vert et pour unité le numéro du dé bleu.
On note G = "obtenir un nombre compris entre 20 et 44 avec 44 étant exclu"
Calcule P ( G ).
Exercices pour préparer le contrôle
Probabilités : Exercice 56 p 108 ; 64 p 108 ; 41 p 105 ; exercice 1 de cette feuille
Statistiques : Exercice 50 p 90 ; 17 p 85
Les exercices du livre sont corrigés dans le livre ou ont été corrigés en cours.
Correction de l’exercice 1 :
Solution par dénombrement des issues favorables par tableau ou par arbre des issues favorables : pour A
2
1e dé \ 2e dé 1 2 3 4 5 6
2
4
1
6
2
X
X
X
2
3
4
4
4
X
X
X
6
2
5
4
6
6
X
X
X
6
9 1
P(A)=
=
36 4
Pour les autres, on trouve :
18 1
18 1
27 3
6 1
1 5
P(B)=
= ;P(C)= = ;P(D)=
= ;P(E)= = ;P(F)=1– =
36 2
36 2
36 4
36 6
6 6
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