Théorie homotopique des Schémas Mlle. AZI Khadija Table des matières 1 Généralités sur les schémas 1.1 Spectre d’un anneau : . . . . . . . . . . . 1.1.1 Dé…nition ensembliste : . . . . . . 1.1.2 Topologie de Zariski sur SpecA : 1.1.3 Propriétés topologiques : . . . . . 1.1.4 Applications continues : . . . . . 1.2 Schéma a¢ ne : . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Préfaisceau : . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Faisceau : . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Faisceau structural : . . . . . . . . 1.2.4 Schéma a¢ ne : . . . . . . . . . . . 2 Topologie 2.0.5 2.0.6 2.0.7 2.0.8 2.0.9 2.0.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de Zariski dans le cas projectif Dé…nitions : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ensembles algébriques projectifs : . . . . . . . . . . Idéal d’un ensemble algébrique projectif : . . . . . Nullstellensatz projectif : . . . . . . . . . . . . . . . . Anneau gradué associé à un ensemble algébrique : Les ouverts : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 2 4 5 6 6 6 6 6 . . . . . . 7 7 7 9 9 9 10 3 Topologie de Grothendieck 11 3.1 Prétopologie de Grothendieck : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Résumé Chapitre 1 Généralités sur les schémas 1.1 1.1.1 Spectre d’un anneau : Dé…nition ensembliste : Dé…nition 1.1 Le spectre d’un anneau commutatif unitare A est l’ensemble de ses idéaux premiers, on le note SpecA: Exemple 1.1 1) Si A est un anneau principal : i) SpecZ correspond à l’ensemble des nombres premiers et 0. Les nombres premiers sont en correspondance avec les idéaux premiers pZ et 0 correspond à l’idéal nul. ii) SpecR [X] contient 0 (l’idéal nul), R car chaque réel r correspond à l’idéal premier (X r)R [X] et les couples des nombres complexes conjugués (z; z 0 ) correspondant à l’idéal (X z)(X z 0 )R [X] : 2) Si A est un corps : Dans ce cas SpecA contient seulement l’idéal nul. 1.1.2 Topologie de Zariski sur SpecA : Les fermés : Dé…nition 1.2 A tout idéal a de A on associe l’ensemble V (a) = fp idéal premier tel que a v pg : Proposition 1.1 1) Si a et b sont deux idéaux de A alors V (a) [TV (b) = V (ab): P 2) Si fai gi est une famille d’idéaux de A alors V (ai ) = V ( ai ) : Preuve. 2 1.1. SPECTRE D’UN ANNEAU : 3 1) Montrons que V (a) [ V (b) = V (ab) On procède par souble inclusion : i) V (a) [ V (b) V (ab) : Soit p 2 V (a) [ V (b): Donc p 2 V (a) ou p 2 V (b): =) a v p ou b v p: =) ab v p: =) p 2 V (ab): D’où V (a) [ V (b) V (ab): ii) V (ab) V (a) [ V (b) : Soit p 2 V (ab) , donc ab v p: Supposons par exemple que b * p Alors il va exister x 2 b tel que x 2 =p Or 8y 2 a on a xy 2 p Comme p est premier = p alors T et x 2 P forcément y 2 p; d’où a v p ce qui établit ii). 2) Montrons que V (ai ) = V ( ai ) : Soit fai gi estPune famille d’idéaux de A On sait que Pai est le plus P petit idéal contenant tous les ai : T Donc p 2 V ( ai ) () ai v p () ai v p pour tout i () p 2 V (ai ): Remarque 1.1 A présent on peut dé…nir une topologie sur SpecA: Les fermés sont les ensemble V (a): On note que V (A) = ? et V ((0)) = SpecA: On a bien une topologie au sens de la proposition précédente : L’intersection quelconque ainsi que la réunion …nie d’ensembles de la forme V (a) est encore un ensemble de la forme V (a): Dé…nition 1.3 Les ensembles V (a) forment donc les fermés d’une certaine topologie sur SpecA appelée la topologie de Zariski sur SpecA: Les ouverts fondamentaux : Dé…nition 1.4 Soit a un idéal quelconque de A: Les ensembles U (a) = SpecA r V (a) constituent les ouverts de la topologie de Zariski sur SpecA: Notion de voisinage : Dé…nition 1.5 Soit W SpecA: W est un voisinage de a pour la topologie de Zariski si et seulement s’il existe I idéal de A tel que a 2 U (I) W: 4 CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LES SCHÉMAS 1.1.3 Propriétés topologiques : Points particuliers : Remarque 1.2 Un point de SpecA est fermé si le singleton correspondant est une partie fermée dans SpecA: Proposition 1.2 Le point dé…ni par un idéal premier est fermé si et seulement si l’idéal est maximal. Corollaire 1.1 Si A 6= f0g alors SpecA a toujours des points fermés. Preuve. Supposons que SpecA 6= f0g ;alors il existe un idéal premier I 6= (0) : Donc il va exister un idéal maximal J contenant I: Ainsi J est un point fermé de SpecA: Exemple 1.2 Contrairement à ce qui se passe pour les topologies métriques tous les points ne sont pas fermés en général. En e¤et, dans SpecZ et SpecR [X] il existe un idéal premier (l’idéal nul) non maximal. Points génériques : Puisqu’un point x de SpecA n’est pas nécessairement fermé on peut considérer son adhérence dans SpecA pour la topologie de Zariski. Dé…nition 1.6 On dit qu’un point est générique s’il n’appartient à l’adhérence d’aucun autre point. Remarque 1.3 Il est facile de remarquer qu’un point correspondant à un idéal premier est générique si et seulement si l’idéal premier est minimal (c’est à dire ne contient aucun autre idéal premier). Exemple 1.3 i) Si A est intègre : L’idéal nul est un idéal premier minimal, il correspond donc à un point générique de SpecA. C’est aussi l’unique point générique sur SpecA L’adhérence du point générique est l’espace tout entier. ii) i) Si A n’est pas intègre : Dans ce cas il peut y avoir plusieurs points génériques. L’adhérence de chacun de ces points est un fermé de SpecA appelé une composante irréductible de SpecA: 1.1. SPECTRE D’UN ANNEAU : 5 Séparation et compacité : Proposition 1.3 L’espace SpecA est quasi-compact : En e¤et, de tout recouvrement d’ouverts d’ouverts de SpecA on peut extraire un recouvrement …ni. Preuve. Soit fUi gi un recouvrement ouvert de SpecA. T P P On sait d’après la proposition 1.1 que V (ai ) = V ( ai ) est non vide donc ai = A: Celà implique que l’unité 1 de A appartient à la somme d’un nombre …ni d’idéaux.. Les ouverts Ui correspondant aux complémentaires de ces V (Ii ) recouvrent SpecA: Proposition 1.4 L’espace SpecA n’est pas séparé. Remarque 1.4 On a vu plus haut qu’un point dé…ni par un idéal premier n’est pas nécessairement fermé donc SpecA n’est pas séparé. 1.1.4 Applications continues : Proposition 1.5 Soit h : A ! B un homomorphisme d’anneaux : Pour tout idéal p l’application Spec(h) : SpecA ! SpecB qui à p associe h 1 (p) est continue. Preuve. On sait que l’image réciproque d’un idéal premier est un idéal premier. D’autre part, pour tout idéal J de B on montre que h 1 (V (J)) = V (h fermé dans SpecA: D’où Spec(h) est une application continue. 1 (J)) est un Exemple 1.4 Pour tout anneau A, il existe un unique homomorphisme d’anneaux Z ! A:On a donc une application continue SpecA ! SpecZ. Si A est de caractéristique p tel que p positif premier alors l’image de cette application est le nombre pZ: 6 1.2 1.2.1 CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LES SCHÉMAS Schéma a¢ ne : Préfaisceau : Dé…nition 1.7 Soit X un espace topologique. Un préfaisceau d’ensembles F sur X est la donnée de : 1) Pour tout ouvert U de X d’un ensemble F (U ) 2) Pour toute inclusion V U d’une application de restriction U V : F (U ) ! F (V ) véri…ant : i) F (?) = 0 ii) U U est l’application identité F (U ) ! F (U ) iii) Si U V W trois ouverts de X alors U W = V W U V En langage des catégorie un préfaisceau d’ensembles F sur un espace topologique X est un foncteur contravariant de la catégorie T op(X) dans la catégorie des ensembles Ens. Exemple 1.5 Sur une variété di¤érentielle X, la donnée C 1 (U ) des fonctions réelles de classe C 1 sur un ouvert U de X dé…nit un préfaisceau sur X: Les applications de restriction sont les restrictions au sens usuel. 1.2.2 Faisceau : Dé…nition 1.8 S Un préfaisceau F est appelé faisceau lorsque, pour tout ouvert V de X, tel que V = Vi et pour toute famille de sections fsi g 2 F (Vi ) si jVi \Vj = sj jVi \Vj alors 9!s 2 F (U ) tel que sjVi = si : 1.2.3 Faisceau structural : A isomorphisme près, il existe un faisceau d’anneaux commutatifs sur l’espace topologique SpecA dont l’anneau des sections est un ouvert de la forme D(f ) (où f 2 A) s’identi…ant à l’anneau local Af : Dé…nition 1.9 La donnée de l’espace topologique SpecA muni de ce faisceau d’anneaux constitue un espace topologique annelé. Si U est un ouvert de SpecA, l’anneau des sections sur U du faisceau structural est appelé anneau des fontions régulières sur U: 1.2.4 Schéma a¢ ne : Dé…nition 1.10 Pour tout idéal premier p de A, l’anneau des germes de fonctions régulières en p 2 SpecA s’identi…e au localisé Ap de A en l’idéal premier p: L’espace annelé SpecA est ainsi un espace topologique annelé en anneaux locaux appelé schéma a¢ ne. Chapitre 2 Topologie de Zariski dans le cas projectif 2.0.5 Dé…nitions : Soit n 2 N et E l’espace vectoriel de dimension n + 1 sur k: On introduit la relation d’équivalence < sur E r f0g dé…nie par : x<y () 9 2 k tel que y = x: La relation < n’est autre que la colinéarité des vecteurs, les classes d’équivalence pour < sont donc les droites vectorielles de E privées de l’origine. Dé…nition 2.1 Espace projectif L’espace projectif associé à E qu’on note P (E) est le quotient de E r f0g par la relation <: Si on désigne par p la projection canonique k n+1 r f0g ! P (k n+1 ): Pour x = (x0 ; :::; xn ) et x 6= 0, si x = p(x) on dit que x est un point de P (k n+1 ) de coordonnées homogènes (x0 ; :::; xn ): On pose P n = P (k n+1 ): On note alors que les xi ne sont pas tous nuls et que si 2 k alors ( x0 ; :::; xn ) est un autre système de coordonnées homogènes de x: Remarque 2.1 1) Lorsque k = R ou C l’espace projectif a une topologie naturelle, celle quotient de la topologie de k n+1 r f0g : L’espace projectif est donc compacte et connexe. 2) Le fait que l’espace projectif associé à k n+1 soit de dimension n correspond au fait que les droites vectorielles y sont contractées en des points. 2.0.6 Ensembles algébriques projectifs : On va travailler sur un corps commutatif k. On désigne par P n l’espace projectif de dimension n. On note par (x0 ; :::; xn ) les coordonnées dans P n : Soit k[X1 ; :::; Xn ] l’anneau des polynomes . Remarque 2.2 7 8 CHAPITRE 2. TOPOLOGIE DE ZARISKI DANS LE CAS PROJECTIF Parmi les di¤érences avec le cas a¢ ne il convient de préciser que les polynomes F de k[X1 ; :::; Xn ] ne sont plus des fonctions sur l’espace projectif parce que leur valeur en un point x dépend du système de coordonnées homogènes. On rappelle que si F est homogène de degré d alors F ( x0 ; :::; xn ) = d F (x0 ; :::; xn ): Proposition 2.1 Soit F 2 k[X1 ; :::; Xn ] et x 2 P n : On dit que x est un zéro de F si F (x) = 0 pour tout système de coordonnées homogènes x de x: On écrit alors indi¤éremment F (x) = 0 ou F (x) = 0: i) Si F est homogène il su¢ t qu’on ait pour tout système de coordonnées homogènes F (x) = 0: ii) Si F = F0 +F1 +:::+Fr où Fi sont homogènes de degré i alors F (x) = 0 , Fi (x) = 0 pour tout i 2 f1; :::; rg : Preuve. Pour ii) Supposons que F ( x) = d Fd (x) + ::: + F1 (x) + F0 (x) = 0: Ceci implique Fi (x) = 0 8i = 0; :::; r: Réciproquement si pour tout i = 0; ::; r on a Fi (x) = 0 alors F ( x) = F (x) = 0: Dé…nition 2.2 Ensemble algébrique projectif Soit S k[X1 ; :::; Xn ]: On appelle ensemble algébrique projectif un ensemble de la forme : Zp (S) = fx 2 P n / 8F 2 S F (x) = 0g (Au sens de la proposition 2.4 bien entendu). S’il n’y a pas de confusion on écrit Z(S) au lieu de Zp (S): 1) Si I = hSi on a bien Z(S) = Z(hSi): 2) Comme k[X1 ; :::; Xn ] est nothérien il est toujours possible de se ramener au cas où S est …ni formé par des polynomes homogènes. Exemple 2.1 1) Z(f0g) = P n : 2) Comme dans le cas a¢ ne, les points x = (x0 ; :::; xn ) 2 P n sont des ensembles algébriques projectifs. Remarque 2.3 Similairement au cas a¢ ne on a les propriétés suivantes : i) L’application Zp est décroissante . ii) L’intersection quelconque d’ensembles algébriques projectifs ainsi que leur réunion …nie sont des ensembles algébriques projectifs. Ce qui munit P n d’une topologie dont les fermés seront les Zp : c’est la topologie de Zariski. Pour les parties de P n on utilisera la topologie induite (dite encore de Zariski). 9 2.0.7 Idéal d’un ensemble algébrique projectif : Remarque 2.4 Soit V une partie de P n : L’idéal de V est dé…ni par : Ip (V ) = fF 2 k[X1 ; :::; Xn ] / 8x 2 V F (x) = 0g Toujours au sens de la proposition 2.4. Proposition 2.2 1) 2) 3) 4) 5) L’idéal Ip (V ) est homogène et radical. L’application Ip est décroissante. Pour tout ensemble algébrique projectif V on a Zp (Ip (V )) = V: Si I est un idéal on a I Ip (Zp (I)): Ip (I) = (0) et Ip (?) = k[X1 ; :::; Xn ]: 2.0.8 Nullstellensatz projectif : Dans la suite on supposera que le corps k est algébriquement clos. On a alors une variante du Nullstellensatz a¢ ne énoncée comme suit : Théorème 2.1 Nullstellensatz projectif Soit I un idéal homogène de k[X1 ; :::; Xn ]. i) Zp (I) = ? , (X1 ; :::; Xn ) = k[X1 ; :::; Xn ] ii) Si Zp (I) 6= ? on a Ip (Zp (I)) = rac(I): rac(I): Remarque 2.5 On obtient ainsi -comme dans le cas a¢ ne- une bijection entre les ensembles algébriques projectifs et les idéaux homogènes radicaux de k[X1 ; :::; Xn ]: 2.0.9 Anneau gradué associé à un ensemble algébrique : Soit V P n un ensemble algébrique projectif et Ip (V ) son idéal. Comme Ip (V ) est homogène alors l’anneau quotient p (V ) = k[X1 ; :::; Xn ] = Ip (V ) est gradué. Remarque 2.6 1) Là encore on pourra traduire les propriétés algébriques en propriétés géométriques grâce à la correspondance entre les idéaux homogènes radicaux de p (V ) et les ensembles algébriques projectifs inclus dans V: 2) Contrairement au cas a¢ ne les p (V ) ne dé…nissent plus des fonctions sur V , bien que pour un F 2 p (V ) et x 2 P n le fait que F possède un zéro en x est indépendant du choix du représentant de F: 10 CHAPITRE 2. TOPOLOGIE DE ZARISKI DANS LE CAS PROJECTIF 2.0.10 Les ouverts : Dé…nition 2.3 Soit V un ensemble algébrique projectif et f 2 d strictement positif. On pose D+ (f ) = fx 2 V tel que f (x) 6= 0g : Les D+ (f ) ainsi dé…nis sont des ouverts de V: p (V ) un polynome homogène de degré Proposition 2.3 Tout ouvert non vide de V s’écrit comme réunion …nie d’ouverts de la forme D+ (f ): Soit U V un ouvert non vide de sorte que V r U = Vp (I) où I est un idéal homogène de k[X1 ; :::; Xn ]: On a donc I = (F0 ; F1 ; :::; Fr ) avec les Fi 2 k[X1 ; :::; Xn ] homogènes. Alors si fi est l’image de Fi dans p (V ) on a U = D+ (f1 ) [ D+ (f2 ) [ ::: [ D+ (fr ): Chapitre 3 Topologie de Grothendieck Soit X un espace topologique. On considère la catégorie Ouv(X) dont les objets sont les ouverts de X et pour tout U ! V si U V U; V deux ouverts de X on pose : Hom(U; V ) = ? sinon On dé…nit sur cette catégorie le produit …bré comme suit : U X V = U [ V: 3.1 Prétopologie de Grothendieck : Dé…nition 3.1 Soit C une petite catégorie. Une prétopologie sur C est la donnée de : Pour tout objet X 2 Ob(C) Cov(X) est un ensemble de familles de morphismes (f i : U i > X)i telle que : 0) Pour tout (f i : U i > X) 2 Cov(X) les morphismes Fi sont quadrables (ie Pour tout Y > X sur C alors Ui xY le produit …bré sur X existe) 1) Stabilité par changement de base : Pour tout X de C, pour tout (f i : U i > X) 2 Cov(X) pour tout (g : Y > X) de C, alors la famille (Ui xY > Y ) 2 Cov(Y ) 2) Stabilité par composition : Soit X de C, et (f i : U i > X) 2 Cov(X) Pour tout Y soit (gji : V ji > U i) 2 Cov(U i) Alors la famille (fi ogji : V ji >X) 2 Cov(X) 3) Identité : Pour tout X 2 Ob(C) alors (id : X > X) 2 Cov(X) 11