Théorie homotopique des Schémas Mlle. AZI Khadija

Théorie homotopique des Schémas
Mlle. AZI Khadija

Table des matières
1 Généralités sur les schémas 2
1.1 Spectre d’un anneau : ............................ 2
1.1.1 Dé…nition ensembliste : ....................... 2
1.1.2 Topologie de Zariski sur SpecA :................. 2
1.1.3 Propriétés topologiques : ...................... 4
1.1.4 Applications continues : ...................... 5
1.2 Schéma a¢ ne : ................................ 6
1.2.1 Préfaisceau : .............................. 6
1.2.2 Faisceau : ............................... 6
1.2.3 Faisceau structural : ......................... 6
1.2.4 Schéma a¢ ne : ............................ 6
2 Topologie de Zariski dans le cas projectif 7
2.0.5 Dé…nitions : .............................. 7
2.0.6 Ensembles algébriques projectifs : ................ 7
2.0.7 Idéal d’un ensemble algébrique projectif : ........... 9
2.0.8 Nullstellensatz projectif : ...................... 9
2.0.9 Anneau gradué associé à un ensemble algébrique : ...... 9
2.0.10 Les ouverts : ............................. 10
3 Topologie de Grothendieck 11
3.1 Prétopologie de Grothendieck : ...................... 11
2

Résumé

Chapitre 1
Généralités sur les schémas
1.1 Spectre d’un anneau :
1.1.1 Dé…nition ensembliste :
Dé…nition 1.1
Le spectre d’un anneau commutatif unitare Aest l’ensemble de ses idéaux premiers,
on le note SpecA:
Exemple 1.1
1) Si A est un anneau principal :
i) SpecZcorrespond à l’ensemble des nombres premiers et 0.
Les nombres premiers sont en correspondance avec les idéaux premiers pZet 0corres-
pond à l’idéal nul.
ii) SpecR[X]contient 0(l’idéal nul), Rcar chaque réel rcorrespond à l’idéal premier
(Xr)R[X]et les couples des nombres complexes conjugués (z; z0)correspondant à
l’idéal (Xz)(Xz0)R[X]:
2) Si A est un corps :
Dans ce cas SpecA contient seulement l’idéal nul.
1.1.2 Topologie de Zariski sur SpecA :
Les fermés :
Dé…nition 1.2
A tout idéal ade Aon associe l’ensemble V(a) = fpidéal premier tel que avpg:
Proposition 1.1
1) Si aet bsont deux idéaux de Aalors V(a)[V(b) = V(ab):
2) Si faigiest une famille d’idéaux de Aalors TV(ai) = V(Pai):
Preuve.
2

1.1. SPECTRE D’UN ANNEAU : 3
1) Montrons que V(a)[V(b) = V(ab)
On procède par souble inclusion :
i) V(a)[V(b)V(ab) :
Soit p2V(a)[V(b):
Donc p2V(a)ou p2V(b):
=)avpou bvp:
=)ab vp:
=)p2V(ab):
D’où V(a)[V(b)V(ab):
ii) V(ab)V(a)[V(b) :
Soit p2V(ab), donc ab vp:
Supposons par exemple que b*p
Alors il va exister x2btel que x =2p
Or 8y2aon a xy 2p
Comme p est premier et x =2palors forcément y2p; d’où avpce qui établit ii).
2) Montrons que TV(ai) = V(Pai) :
Soit faigiest une famille d’idéaux de A
On sait que Paiest le plus petit idéal contenant tous les ai:
Donc p2V(Pai)() Paivp() aivppour tout i () p2TV(ai):
Remarque 1.1
A présent on peut dé…nir une topologie sur SpecA:
Les fermés sont les ensemble V(a):
On note que V(A) = ?et V((0)) = SpecA:
On a bien une topologie au sens de la proposition précédente :
L’intersection quelconque ainsi que la réunion …nie d’ensembles de la forme V(a)est
encore un ensemble de la forme V(a):
Dé…nition 1.3
Les ensembles V(a)forment donc les fermés d’une certaine topologie sur SpecA appelée
la topologie de Zariski sur SpecA:
Les ouverts fondamentaux :
Dé…nition 1.4
Soit aun idéal quelconque de A:
Les ensembles U(a) = SpecA rV(a)constituent les ouverts de la topologie de Zariski
sur SpecA:
Notion de voisinage :
Dé…nition 1.5
Soit WSpecA:
West un voisinage de apour la topologie de Zariski si et seulement s’il existe Iidéal
de Atel que a2U(I)W: