RP 182-07

Centre National d'Etudes
Centre National de la
des Télécommurlications
Recherche Scientifique
Centre de Recherche en Physique
de l'Environnement Terrestre et Planétaire
Note Technique CRPE/24
Influences de collisions sur les plasmas
et magnétoplasmas linéaires homogènes
par une méthode Fokker - Planck
par
Jean - Robert
BURGAN
CRPE - PCE
45045 ORLEANS CEDEX FRANCE
octobre 1976
Le Directeur
J. HIEBLOT
Remerciements
de
Avant
profonde
si
au
reconnaissance
utilement
au
tout
long
Monsieur
la
du
présidence
Je
Monsieur
d'avoir
le
à
terme
jury,
remercie
Professeur
Je
efficace
contribué
de
ce
lui
en
suis
sans
le
très
le
Dr
Dr
L.R.O.
F.
a
à
et
guida
ma
exprimer
me
conseilla
Dr
laquelle
E.
bien
voulu
accepter
reconnaissant.
ENGELMANN,
STOREY
au
participer
au
redevable
me
qui
CHAPELLE
également
de
tiens
je
travail.
Professeur
je
étude
FEIX
M.R.
SALMON,
collaboration
aussi
Dr
accepté
suis
et
Monsieur
VUILLEMIN
sa
précieuse
jury.
FIJALKOW
de
ce
travail
n'aurait
en
quelque
manière
pu
être
et
mené
rapidement.
Enfin
ont
le
aimablement
cette
présenter
à
que
ce
tous
travail,
ceux
qui,
soient
assurés
de
ma
que
gratitude.
ce
soit,
I
PLAN
- Abstract
-
Notations
-
Introduction
-
Chapitre
A -
Les
1.
utilisées
1
1 modèles
Modèle
Modèle
Lenard
Bernstein,
4
Dougerthy
Rattachement
et
à
de
l'équation
Balescu
5
Equations des plasmas binaires
1.
Linéarisation
des
2.
Justification
du
- Chapitre
B -
et
cinétique :
Lenard
A -
4
Markovien :
Frey-Salmon -
B -
3
problème
statistiques
Fokker-Planck,
2.
du
Formulation
II -
Traitement
7
7
équations
modèle
choisi
9
11
mathématique
11
Résolution du système
1.
Transformations
2.
Solution
3.
Calcul
formel
4.
Calcul
des
5.
Expression
du
6.
Expression
intégrale -
intégrales
aux
Etudes des
valeurs
de
la
13
17
propres
fonction
22
diélectrique
coefficients
24
prolongement
30
analytique
Résumé
des
formules
obtenues
36
principales limites
1.
Collisions
2.
Limite
3.
Ondes
4.
Diagramme
évanescentes
parallèles
général
tendant
(Beta
(Bo
amagnétique
tendant
(Thêta
des
34
limites
nul)
vers
vers
zéro)
zéro)
36
38
39
41
II
C -
D -
des
Propriétés
1.
Unicité
2.
Symétrie
racines
la
de
des
de
l'équation
42
de_dispersion
42
"amortie"
solution
44
de e
zéros
45
Remarques sur le chapitre II
III -
- Chapitre
traitement
Le
1 -
Problèmes
2 -
Organigramme du
3 -
Les
au
liés
traitement
calcul
48
numérique
la
de
FORTRAN
programmes
47
numérique
fonction
50 à 53
diélectrique
50
utilisés
55
4 -
Résolution
IV -
- Chapitre
principaux
À -
de
Etude
de
de
problèmes
-
des
collisions
sur
les
65
propagation
Influence-sur-les-caractéristiques-du-plasma-en
la
Influence
sur
2.
Suivi
pôles
3.
Oscillations
des
1.
Les
2.
Résonanceset
3.
Etude
les
diélectrique
de
plasma
termes
leur
66
73
d'excitation
73
champ
des
78
collisionnel
amortissement
l'amortissement
de
excitations
en
87
magnétique
99
Propagation perpendiculaire
1.
Les
modes
2.
Influence
de
sur
Bernstein
les
échos
en
plasma
linéaires
Bibliographie
collisionnel
99
111
126
Conclusions
Appendice
66
66
Landau
de
d'excitation
facteurs
de
fonction
forcées
sur
Influence
66
magnétique
1.
présence
C -
50
dispersion
l'influence
l'absence de champ
B -
de
l'équation
1 -
Calcul
de
l'intégrale
"J"
129
133
à 63
III
Abstract
The
field
magnetic
in
the
in
relation
Dispersion
collisional
linearized
and
B,
Vlasov
uniform
collision
for
formalism
field
magnetic
with
équation
a Fokker-Planck
Laplace-Fourier
with
plasma
can
term,
longitudinal
external
be
written
oscilla-
plasma
tions :
(1) -21
an
where /5 is
In
bution.
is
to
convenient
this
collision
frequency,fthe
équation,
jointly
a Fourier
make
transformations
algebraic
system
which
sical
Fourier
we
in
consist
Using
the
l+k2D2
obtained
and
the
Poisson's
velocity
it
After
many
of
polynomials
we
eigenfunctions,
relation,
space.
eigenfunctions
Laguerre
the
the
plus
clas-
for
obtained
the
formula :
Dougherty's
m(1-x)+
the
distri-
perturbated
with
in
analysis
Hermite
expansion.
relation
dispersion
(2)
7f+(3-(ikv-j)f
effective
solving
0
= E.
B*).
Af+(vV^ x
q{cos24�
-xcos(2�P
-tg�D In
x) )xS/V'i+7?"1.dx
= f exp(
where uDebye
gation
which
linear
plasma
Second
March
Il[Wok sin P2 19 cos(DI
�D . Arctg(� )
and
D
the
length.
The
* *Title
;
g �2
of
new
permitsan
a
and
in
easier
the
1975 -
results
Congress
Innsbruck,
consist
in
of
the
computation
investigation
communication -
International
17-21,
interesting
of
the
Book
of
abstracts
on
Waves
and
Austria
the
analytic
classical
prolonproblems
limits.
(M3) -
Instabilities
in
Plasmas
in
IV
Notations
1 -
Symboles
mathématiques
indication
(sans
I f (v)d v
utilisées
une
contraction
des
de
bornes
d'intégration)
l'écriture
correcte :
00 00 00
JiJiJif(Vl.V2.V3)dVl.dV2.dV3
deux
A
tenseur
de
8
produit
tensoriel
D
dérivée
convective :
rang
d d-r^d dv_d_
dt d t rr t à v-
f
f
A
=grad(f)
gradient
=div
A
divergence
_ A
rotationnel
or
�=rot
(A,B,C)
^^i»^o�
11011
produit
mixte :
produit
hermitique
norme
de
de
valeur
D
opérateur
asymptotique
linéaire
A
(AAB).C
�o
\\�I)\\2=«I�,�P�
fonctionnelle :
o(f)
A
de
la
fonction
f
est
V
2 -
Fonctions
usuelles
H (x)
polynôme
d'Hermite
La(x)
polynôme
de
n
d'ordre
d'ordre
Laguerre
n,
généralisé
rang a
r(x)
fonction
eulerienne
Im(x)
fonction
modifiée
d'ordre
3 -
Notations
réservées
de
de
aux
principales
grandeurs
tu
pulsation
de
s
pulsation
complexe,
D
longueur
q,
fréquence
gyromagnétique
fréquence
de
de
rayon
�
fréquence
�angle
k"
1er
espèce
physiques
d'onde
P
B
de
m
vecteur
w0
espèce
Bessel
k
ai
2e
de
vitesse
l'onde
de
Laplace
Debye
plasma
électronique
Larmor
de
collision
moyenne
thermique
induction
variable
magnétique
uniforme
extérieure
azimutal
composante
de
k
dans
la
direction
B
au
VI
kx
de
composante
à
k
dans
la
direction
perpendiculaire
B
o
-
les
de
-
termes
E
les
de
par
rapport
termes
E
par
le
à
rapport
texte.
à
transversal
sont
relatifs
aux
positions
k
et
parallèle
Les
dans
et
longitudinal
perpendiculaire
sont
relatifs
aux
positions
B
grandeurs
intermédiaires
sont
définies
ou
explicitées
- 1 Introduction
L'étude
dilués
dans
à
tes
la
ces
individuelles
ainsi
té
les
que
démarches
ont
du
est
malaisée
le
bon
de
telle
accord
ou
auteurs
les
et
le
telle
ou
dans
les
bes
obtenues,
non
collisionnelle
nelle
méthode
en
en
une
gros
L'excès
sions
rôle
plier
se
plaisent
semble
les
de
rendre
coefficients
donne
l'expérience!!
en
à
sens
en
de
faire
faveur
certains
que
dans
phénoménologique
le
seul
le
rôle
iv
tous
à
la
les
relève
des
de
la
origiCette
termes).
plus
cour-
théorie
pulsation
du
colli-
des
lissage
équations
w+
froid
plasma
en
plaider
vrai
est
les
dans
logique,
physique.
que
dans
complexi-
proposés
cohérence
terme
rôle
modèles
modèles
moins
pas
premières
la
de
peuvent
complexe
après
est
opposé
compliquer
des
prédominantes
numérique
le
Krook)
la
d'onde
substituer
des
tenu
ioni-
les
Après
!),
reste
propagation
pas
justifiable
particules
Compte
convaincus
pulsation
faut-il
les
interactions
pur
empirisme
chaud.
plasma
auteurs
à
les
différents
leur
l'ionosphère.
par
entre
présence
mal
de
joué
(physique
physiciens,
bornent
ne
(encore
la
direc-
applications
de
Gross -
entre
n'en
s'expliquent
se
rôle
expérimentales
de
problèmes
des
de
(GORDEYEV-BERNSTEIN)
étudiés.
sens
Il
encore
Quelques
sions
bon
théorie.
s'étonnent
équations
ou
données
les
physique
(Bathnagar -
discrimination
avec
la
plasmas
considérable
électrons-neutres.
proposés
seul
raison
le
les
nombre
en
collisions)
interactions
la
problème,
dans
magnetoplasmas
appelées
été
à
d'élucider
phénoménologiques
élaborés
plus
tenté
(encore
et
des
d'un
l'objet
décennies
l'étude
ont
physiciens
sées
fait
dernières
Après
les
a
thermonucléaire
fusion
linéaires
perturbations
ionisés
fortement
travaux
des
termes
impossible
le
aussi
en
problème
d'interactions
les
de
ces
aux
surajoutant
dont
multiples,
Un
Certains
regrettable.
résolutions
phénoménologiques.
ajustement
tout
analytiques
lourd
coefficients
et
pénible
un
bon
colli-
le
et
seul
de
multi-
calcul
accord
avec
-
Le
des
processus
Fokker
et
étudié
par
modèle
meilleur
Amorcé
Lénard
et
à
proposé
et
stokastiques
Planck.
2 -
est
une
ce
Bernstein,
il
a
présent
travail
de
adaptation
Chandrasekhar
par
dérive
jour
été
aux
étendu
théorie
de
l'équation
Mod.
(Rev.
la
de
15.l(l943))
Phys.
par
magnétoplasmas
Dougherty.
but
Le
des
plète
numérique
de
propagation
d'utilisation
être
le
réalité
à
meilleur
compromis
physique
de
justifications
la
théorie
ces
premier
l'élaboration
les
la
théoriques
de
cinétique
en
plus
Ce
deuxième
Le
troisième
la
modèle,
résolution
com-
analytique
la
construction
aux
principaux
d'un
program-
problèmes
magnétoplasmas.
la
vue
grande
la
entre
du
justification
des
gamme
problèmes
l'aisance
théorie,
modèle
choisi
envisagés
d'emploi
la
et
conséquences.
chapitre
des
ce
est
l'application
ainsi
dans
semble,
Le
et
avons
à
et
d'ondesdans
Nous
nous
inhérentes
équations
me
qui
du
sera
équations
à
qui
l'aide
de
consacré
le
à
la
Nous
gouvernent.
la
théorie
formulation
de
en
du
modèle
donnerons
Fokker-Planck
et
Frey-Salmon.
chapitre
sera
consacré
aux
résolutions
analy-
tiques.
chapitre
sera
consacré
au
traitement
numéri-
que.
Enfin
le
dernier
chapitre
sera
consacré
aux
applications.
deux
de
- 3 -
CHAPITRE
Formulation
La
l'ensemble
^ex,
des
Bex
Eex,
induction
rée
ion
désigne
distribution
équations
ou
électron,
la
population
du
d'un
modèle
et
respectivement
extérieure,
Z
la
de
valence
neutres
à
plasma
cinétiques
désignent
magnétique
I
h
est
de
une
des
équations
les
potentiel,
l'indice
l'ion
restants.
est
composante
de
de
correspondant
par
Maxwell.
champ
la
régie
électrique,
population
et
considé-
l'indice
o
-
Si
l'absence
de
les
gnent
e
et
A -
Les
modèles
1 -
Modèle
l'équation :
alléger
l'écriture,
les
expliciter
Dans
but
ce
E
B
et
dési-
d'interaction
termes
nous
examinerons
électron-
les
principaux
plasma
sont
Markovien
d'interaction
forces
électron
subit
ce
de
convient
de
à
leur
un
fait
markovien
processus
est
décrire
ce
à
action
est
grand
nombre
longue
de
au
assimilable
type
du
l'intérieur
Un
portée.
déviations.
petites
mouvement
d'interaction
d'ori-
par
brownien
et
l'équation
Fokker-Planck.
écrivant
alors
quantité
de
maxwellienne
(Lenard -
les
équations
mouvement
à
et
de
l'équilibre,
Bernstein -
de
conservation
l'énergie
le
terme
et
de
de
analogie
collision
théorie
des
charge,
une
prend
de
avec
plasmas.
les
leur
fréquences
dimension
de
'ee
leur
collisions
la
solution
la
forme
Dougherty) :
phénoménologiques ;
certaine
la
exigeant
o
constantes
en
où
en
régie,
proposés :
électromagnétique,
l'on
et
est
statistiques
Les
gine
par
suppose-
auto-compatibles).
alors
électron-ion.
statistiques
de
pour
induction
faut
modèles
Ce
omis
nous
que
d'électrons
population
extérieur,
été
et
champ
Il
électron
a
la
ce
ionisé
complètement
de
cinétique
potentiel
l'indice
est
plasma
l'évolution
rons,
(où
le
4 -
e1.
confère
une
habituelles
- 5 -
En
sont
toute
dans
2 -
la
de
pendre
la
en
anisotropes
une
vitesse
et
mesure
large
véritable
de
présence
un
de
doit
être
au
développement
doivent
et
magnétique
I-A-1-2
l'équation
comme
équation
champ
diffusion
de
et
de friction
coefficients
les
rigueur
dé-
considérée
ordre
premier
de
Fokker-Planck.
Modèle cinétique
On
et
renoncer
peut
introduire
qui
à
des
d'interaction
potentiels
au
retour
le
permet
brownienne
l'interprétation
formalisme
des
phénomènes
ce
interparticulaires
de
classique
la
hiérarchie
BBGKY .
La
fermeture
la
de
fonction
s'effectue
dans
la
mières
où
en
zone
un
de
temps
de
d'interaction
B
est
une
):
la
relaxation
Le
potentiel.
est
passage
de
forme
(cf
du
dépendant
est
local
linéaire
deux
assuré
[21]
et
l'électron
des
ainsi
Valton
l'hypothèse
équilibre
f123
couplage
BBGKY
hiérarchie
la
pseudo
triple
de
à
grâce
au
durée
moyen-r,
prend
intégrale
la
s'effectue
distribution
du
répulsive
équations
terme
hiérarchie
( [22] à [251
Frey-Salmon
0
la
de
preet
le
).
d'interaction
potentiel
envisagé.
Si
l'on
il
vient :
les
,
*
se
termes
complète
Bogolioubov -
contente
�
w ( tB) sont
analogie
Born -
des
avec
Green -
termes
des
du
premier
constantes
I-A-1-2..
Kirkwood -
Yvon
ordre
et
on
significatifs,
retrouve
ainsi
une
- 6 -
Enfin
aussi
à
notons
l'équation
Dans
lisions
triples
sous
particules
distribution
On
traduit
par
forme
consistent
(ou
de
Lénard -
moire
ou
de
On
de
en
par
D
forme
dû
le
à
le
fonction
de
adiabatiques)
Balescu,
d'écran
effet
de
la
la
trajectoire
de
densité
que
rapides
se
d'interaction.
potentiel
admettre
du
l'influence
mouvement
fluctuations
Gernsey -
à
Cet
sur
sur
général
les
hypothèses
tions
col-
trois
entre
la
et
des
compte
de
développement
d'écran
hypothèses
perturbée
cortège
tient
rattache
Lénard
par
corrélations
"particule-test".
facteur
test"
peu
d'un
l'effet
la
quelques
est
les
se
s'écrit :
alors
un
on
cinétique
la
Moyennant
qui
équation
collision
étudiée
générale
introduisant
entoure
qui
de
opérateur
en
qui
calcule
cet
cinétique
cette
Balescu.
nuage
que
on
est
de
Fokker-Planck
conduit
"particule-
à
de
des
équa-
avec
mé-
Silin.
le
trouvera
détail
de
ces
dans
théories
les
ouvrages
suivants :
- R.L.
"The
GERNSEY :
kinetic
theory
of
-Thèse-University
- A.
LENARD :
- R.
BALESCU :
-
PRIGOGINE -
I.
(On
trouvera
bibliographie).
Ann.
Phys.
Phys.
R.
les
10
Fluids
390
2 52
BALESCU :
ouvrages
sur
of
fully
Michigan
ionized
gases" -
(60)
(60)
(60)
Phys.
1)
25. 281
302
2)
26
(60)
la
théorie
146
(59)
Frey-Salmon
son
dans
la
- 7 -
B -
des
Equation
Nous
habituel
dilué
nous
des
turbations
apportées
B
tribution
de
La
en
se
qui
Maxwell
du
de
Dans
ne
ces
Debye
les
et
équations
des
charges
que
masses
très
un
nous
fond
du
perseront
L'induc-
linéaire.
B
extérieure
sera
il
l'on
et
plasma.
décrit
une
par
la
est
tout
la
dis-
de
au
à
les
l'équilibre.
longitudi-
terme
prédominant
la
de
d'ions,
nuage
envisagés.
problèmes
le
Notons
que
possible
au
prix
exigées
pour
le
sa
de
de
sphère
est
électron-électron
L'interaction
fait
ionique
propagation
que
apparaît
électronique
population
toujours
dans
négligerons.
à
population
peu
que
due
l'électron.
nous
la
continu
occuperons
électron-ion,
ordre
second
domaine
induction
n'affectera
conditions,
"habille"
qui
Toutes les
thermodynamique,
une
caractéristique
plus
l'interaction
est
dans
la
loin
cadre
homogène,
ionisé.
thermodynamique
des
comme
nous
le
linéaire,
l'équilibre
le
dans
globale.
rapport
comportera
Enfin
nale,
par
d'équilibre
infini,
dans
d'induction
perturbation
raison
à
entrant
créée
suit
qui
complètement
plasma,
sera
effets
les
L'état
du
au
ce
plasma
presque
faibles
magnétique
négligera
et
ou
perturbations
tion
de
approximations
complètement
tout
dans
placerons
et
des
binaires
plasmas
en
prise
calculs
compte
sup-
plémentaires.
1 -
Linéarisation des équations
tenu
Compte
du
terme
se
réduit
de
à
des
conditions
collision
l'ensemble :
I-A-1-2,
le
système
plasma
général
et
1-0-1,
du
choix
1-0-2
-
Toutes
les
il
vient
en
rappelant
et
8 -
étant
pertubations
en
ne
conservant
waB
que
que
que
^(M)
� \-� s=o en
la
fonction
de
du
termes
raison
distribution
w
d'ordre
sera
les
posons:
de
premier
la
ordre
et
de
colinéarité
de
Notons
de
faibles,
asymptotique
l'équation,
utile
lors
si
du
o(e ~ 2)
l'on
y
f^ 'est
comme
il
résulte
immédiatement
o
fait/3=o ;
traitement
perturbée
2
Bo=ô\
mathématique.
Cette
remarque
nous
- 9 -
2 -
du
Justification
Résumons
terme
de
collision
manifestement
rend
l'équation
de
de
et
de
la
le
de
en
vient
conservation
Il
de
la
de
irréversible
Vlasov
a
plus
sur
le
n'y
charge
ce
fond
de
la
de
I-B-1-3
de
asIl
et
crois-
quantité
des
ions
mouvement
de
l'équation
wd w
par
la
continu
quantité
à
la
assure
qui
il
électrique.
infini,
conformément
l'équation
d'abord
conservation
dissipation
cinétique,
Tout
1-0-2.
du
physiques
propriétés
Langevin.
il
intégrant,
posant
qui
est
des
pressions
précisément
Enfin
terme
la
ou
de
l'équation
le
Langevin. ( f est
tenseur
interparticulaires)
ce
nologique :
Planck
la
friction
Multipliant
principales
Fokker-Planck
mécanisme
l'énergie
les
de
l'entropie.
mouvement ;
assure
choisi
brièvement
sure
sance
modèle
de
ne
contient
de
fréquence
Frey-Salmon
qu'une
seule
La
collision .
permet
en
principe
constante
théorie
de
de
calculer
phénoméFokkercette
fréquence.
estimations
(Diverses
dre
de
de
ce
paramètre
permettent
grandeur:
SPITZER :
A2) -1
/} =:(ll.44T3'2
ou
et
A=
A
(3/2e3)
est
la
�~
(k3T3AN)^
masse
FOKKER-PLANCK :
4*e N/m w )
NiogA
atomique
considérée.
d'en
fixer
l'or-
-
une
Faisons
des
isotrope
est
plasma
peut
le
dernière
plus
Dougherty -
du
remarque
coefficients
sensiblement
raisonnablement
tuations
10 -
champ
fréquent.
Physics
choisis.
plus
faire
E
est
ce
Si
petite
isotrope
Fluids
Hubbard (1964)).
qui
la
que
l'hypothèse
(Thompson,
of
en
longueur
le
que
et
concerne
ce
Rev.
rayon
le
cas
le
de
de
Mod.
du
Debye
on
Larmor,
spectre
est
caractère
on
Phys.
des
le
fluc-
sait
(i960),
- 11 CHAPITRE
Traitement
A -
du
Résolution
Il
système
système
existe
méthodes
principales
Elle
consiste
pour
une
,t )
h(r ,w
Ce
à
de
par
a
for
pour
ponctuelle
5
pour
résoudre
peut
its
le
l'équation
fonction
de
0
déduire
de
Green
,w
G(r,w,t,r
et
(w-w ) . 5(t-t )
à
Boltzmann.
la
d'en
vraie
source
faudra
encore
,t )
déduire
sextuple :
purement
Laplace
"Model
solution"[8]
résoudre
(r-r
convolution
étant
and
dans
Dougherty
f associée
distribution
la
par
plasma
la
de
l'on
développée
déterminer
résultat
transformées
d'où
été
procédure
source
fonction
a
équation
V :
paragraphe
grale
deux
première
Fokker-Planck
les
mathématique
intégro-différentiel :
La
la
II
et
il
formel,
Fourier
conduisent
qui
l'expression
de
la
à une
prendre
inté-
fonction
diélectri-
trois
principales
que.
Nous
raisons :
n'utiliserons
pas
cette
méthode
pour
-
de
raison
culs
la
très
générale.
. Il
faut
varie
(t,k,v)
montrer
tous
la
une
t(v)
est
qui
de
zéros
semble
cette
il
intégrale,
de
deçà
pour
de
l'équation
dans
le
la
que
des
cadre
la
d'une
convolution
suffit
(il
obtenue
dispersion
la
cal-
fonction
utiliser
limiter
peu
nécessite
a posteriori,
justifiable
quelque
sont
de
généralité
de
lentes
tion
bien
séries
déduire
son
de
convergence
qu'étant
le
pour
de
numérique
ces
prolongement
la
séries
les
de
au
formes
de
sujet
du
remarques
en
Ce
Laplace.
plusieurs
représenter(voir
résultat...
analytique
variable
admet
unique,
comme
Chapitre
la
équivamanipula-
III-para-
l).
graphe
La
seconde
fonctions
ne
Fourier.
la
et
Elle
la
fonction
un
donne
de
que
nous
valeurs
comme
nécessite
assurer
pour
requises
méthode,
propres
Elle
pour
de
donnant
intégrale
technique
faut en
l'abscisse
prolongement,
et
e
Ce
et
développés
comme
en
méthode.
. Enfin
les
été
l'hypothèse
mais
simples)
ont
il
compliqué,
particulière
magnétique
ensuite
les
que
antisymétrique
tenseur
qui
extrêmement
faire
II-A-0-2.
sextuple
de
délicats
est
employer
algèbre
du
présence
et
longs
théorie
f
une
développer
de
à
formalisme
. Le
exige
12 -
hypothèse
validité
des
distribution
ce
les
que
fonctions
qui
permet
conditions
de
propres
d'en
calculer
système.
seules
transformations
de
ensemble
au
associées
propres
à
consiste
adopterons,
Laplace
complètes
calculer
les
moments.
Enfin
fournit
la
méthode
solution
le
d'emblée
Les
de
la
paragraphes
et
aux
sous
s'exprime
analytique
prolongement
suivants
détails
forme
sont
des
consacrés
calculs.
d'une
correct
au
série
ce
cherché.
développement
qui
- 13 -
1 -
Transformations intégrales
Introduisons
et
les
définissons
les
étant
Appliquées
à
II-A-1-5
réduites :
transformations
intégrales
nouveau
variables
les
définies
(lI-A-0-l)
de
pour
ces
Laplace
et
Fourier :
Ré(s)�0
transformations
conduisent
système :
entraîne
peut
alors
r
la
colinéarité
s'écrire :
des
vecteurs
k
et
e le
terme
au
- 14 -
Dans
duisons
où
les
autre
définissons
Cette
fonction
simplifier
"sans
que
la
la
quelque
fréquence
n'est
e2
fv ' (t,r , v) (resp.f
est
(resp.f )
d'ordre
valide
qui
en
plicative
la
dont
autre
le
seul
')
donc
la
Or
)
est
de
est
simplifier
Fourier
la
fo).
fonction
o(e
A
de
l'intégrale
que
II-A-l-10,en
l'intégrant.
rôle
w =� B
f1(s,k,v)(resp.e2
asymptotique :
de
b,K
intégrale :
transformation
o(exp(-� ))
intro-
l'écriture,
gyromagnétique :
transformation
fonction
peu
dimension"
la
transformation
à
appliquée
gence
de
vecteurs
o»
n'est
puis
ce
but
le
f (s,k,v)
(cf
raison
une
i),
chapitre
de
la
constante
les
convermulti-
expressions
obtenues :
Appliquant
II-A-1-4,
il
cette
vient :
transformation
aux
équations
II-A-1-3
et
- 15 -
tiellement
et
facteurs
deux
deux
(ces
dans
fonction
inconnue
il
vient
ainsi
où
l'on
a
posé :
Afin
de
bien
définissons
vecteurs,
après
de
et
sont
le
changement
auxiliaire :
en
évidence
la
structure
l'opérateur :
2A
A
ou
et I
(b,cr,-r^») est
est
l'opérateur
l'opérateur
de
simplification :
mettre
A ^ /* - d
essen-
orthogonaux),
II-A-1-13
variable
fait
en
l'équation.
manifestement
II-A-1-12
et
qui
de
intégrants
étant
vecteurs
effectuons
deux
alors
Introduisons
unitaire.
défini
par
l'identité :
de
l'équation,
- 16 -
puis
posons :
Ce
symbolisme
permet
d'écrire
sous
II-A-1-17
forme
opéra-
torielle :
L'intégrale
réciproque
se
II-A-1-13
L'équation
Je
d'une
transforme
étant
d�d
transformée
également,
uniformément
de
comme
convergente
on
Fourier,
posant :
peut
écrire :
Soit
l'intégrale
d y
fsse-2 V+
est
bien
connue
et
vaut
(2n)
d'où
Soit compte
tenu des transformations
Soit encore
(on rappelle
2 1
f
2
II-A-1-15
2
l'orthogonalité
de
et II-A'-l-l6 :
e.-et e0)
- 17 -
Par suite la relation
où
a
l'on
Tous
ments
calculs
II-A-0-1
sont
ou
fonctions
exécuter
qu'à
s'écrit
simplement :
posé :
ces
de
II-A-1-13
et
quelque
de
se
simples,
Il
variables.
ont
l'avantage
de
peu
encombrantes,
à
résumant
sont
des
change-
longs
plus
substituer
aux
le
opératoriel
système
à
décrire
équations
équivalent :
2 -
Solution aux valeurs propres
Il
faut
montrer
à
semble
complet
de
fonctions
il
nécessaire
est
de
présent
que
propres
résoudre
l'opérateur D
orthogonales.
admet
A
cet
un
en-
effet
l'équation :
Dt/1= \�l�
Soit
sous
forme
explicite :
Choisissons
pour
e2'
e3
par
l'égalité :
r=rCosé�
II-A-2-2
lequel
ë\ + rSin0
s'écrit
un
cartésien
repère
et
des
de
coordonnées
e_=r~
vecteur
cylindriques
ë* +ze_
dans
ce
système
de
unitaire
coordonnées :
i\ ,
définies
- 18 -
On
V=
(lI-A-2-4)
pose
II-A-2-4
puis
L'équation
réduction
il vient
z ( z).Vl (r,#)
du
facteurz 01 :
par
substitution
dans
classique :
dz2
_1, 2
Z=e 2
où
H (z)
fonction
comme
se
II-A-2-5
On
d2
dr
en
réduit
le
à
associée
tenu
compte
d'Hermite
polynôme
de
la
valeur
cette
d'ordre
n,
-2n.
solution
on
mais
II-A-2-26).
obtient
écrivant 02:
V-3+(2JaUi
Le
drait
propre
est
à
l'équation :
ensuite :
pose
Enfin
H (z)
choix
=
.2r)^I
de Iml n'est
conduirait
à
(3+
+2^1*0*2
pas
arbitraire,
des
intégrales
après
réduction :
Iml )
la
valeur
divergentes(cf
-m
convienci-après
- 19 -
Le
à
bien
l'équation
admet
qui
de
changement
variable
premier
membre
connue :
fonction
comme
le
r 2 =u ramène
propre
le
polynôme
il
vient
de
Laguerre
généra-
lisé :
associe
la
à
valeur
propre
-41,
donc :
Soit :
En
remontant
les
transformations
fonctionnelles
à
dans
on
trouve
en
définitive :
Soit
en
revenant
Enfin
effet
où^"*
il
faut
désigne
la
montrons
variable a,
l'orthogonalité
le
de
repère
ces
ë*. , ël , ël :
fonctions.
calculer :
le
conjugué
deO (produit
hermitique).
A
cet
-
Prenant
du
tégrale
utilisant
On
en
ne
converge
leur
il
des
membre
les
20 -
coordonnées
il
droit,
résultats
cylindriques
pour
calculer
l'in-
vient :
bien
connus :
déduit :
absolue
vient
que
de
si
m
Ré(a)�-1
dans
le
ce
qui
changement
justifie
de
le
fonction
choix
de
la
II-A-2-11,
va-
-
Où
est
S, * '
k,P,q
Enfin
notons
n'est
autre
le
de
symbole
le
que
que
21 -
le
Kronecker
généralisé :
produit
carré
de
la
norme
associée
au
produit
hermitique :
Il
nous
faut
cet
utiliser
ces
résultats
pour
résoudre
II-A-1-28.
système
A
alors
effet,
Substituant
posons :
ces
valeurs
dans
la
première
II-A-1-28 :
utilisant
alors
l'égalité
II-A-2*-30:
équation
de
le
- 22 -
II-A-2-31
Multipliant
En
vertu
de
par �j� K � P . G et
il
l'orthogonalité
sur
intégrant
vient
{a} :
alors :
d' où
Ce
résultat
sance
analytique
tions
inverses
tribution
en
de
du
bien
f(^)
sûr
les
de
fondamental
permet
en
puisque
effectuant
1 d'expliciter
paragraphe
espace
étant
ë*. , ë*9
les
est
les
la
la
connais-
transforma-
fonction
de
dis-
Fourier-Laplace :
vecteurs
intégrants
en
exprimés
II-A-1-14
3 - Calcul formel de la fonction diélectrique
Nous
n'avons
fonction
effet
en
vue
diélectrique
calculer
Dans
propres :
ce
but
dans
ce
travail
longitudinale.
seulement
décomposons
l'intégrale
l'intégrant
que
Il
la
d'expliciter
faut
nous
donc
à
cet
II-A-1-28.
sur
la
base
des
fonctions
-
Posons
=
¥?
a
k�P�q
et
On
substituons
en
Soit
déduit
mêmes
en
formation
terme
Shafranov
Sans
donc :
l'intégrale :
l'égalité :
et
En
de
de
le
la
de
cette
admet-
expression
=0
À -
que
outre
les
le
fonction
source
dénominateur
,+V
pôles :
résulte
dénominateur.
un
dans
numérateur
les
Il
à
à,
k,p,q rk,p,q
encore :
Le
tent
23 -
seuls
pôles
numérateur,
de
de
charge
sont
provient
qui
f
perturbation
densité
ike
de
(k,v)
extérieure
les
de
est
zéros
la
trans-
équivalent
(cf
1963).
excitation
extérieure
l'équation
II-A-3-3
du
s'écrit
- 24 -
et
on
doit
en
déduit
se
la
de
des
Calcul
Reste
la
dans
rappelant
formelle
4 -
fonction
cette
formule
diélectrique
longitudinale
la
électronique
s'écrire :
Introduisant
en
la
que
à
K 2 = 2W 0 2 on
k
que
fonction
fréquence
obtient
ainsi
de
l'expression
diélectrique
longitudinale
coefficients
qui
de
plasma :
coefficients
calculer
les
interviennent
dans
série.
Le
premier
hermitique
sur
a(o)
n
s'obtient
l'égalité
aisément
II-A-2-32 :
en
formant
le
produit
- 25 -
et
remarquons
Le
second
produit
l'on
que
coefficient
Q
sur
hermitique
aussi
peut
n,m, 1
écrire :
s'obtient
II-A-3-1»
puis
de
en
même
par
conjugant
formation
le
du
produit
obtenu :
d'où
l'on
L'intégrale
effet
les
Il
la
déduit :
est
à
de
Si
II-A-4-5.
l'on
définit
fonction :
coefficients
suffit
rapprocher
donc
se
de
déduiront
calculer
de
g(a)
l'intégrale
par
les
II-A-4-8
formules :
en
- 26 -
A cet effet posons :
Il
vient
Utilisant
fonction
dans
ce
alors
système
de
l'identité
des
génératrice
variables :
bien
polynômes
connue
de
définition
de
la
d'Hermite :
d'où
Utilisons
(où
I (
espèce
encore
la
la
) désigne
d'ordre
k).
formule
fonction
classique :
modifiée
de
Bessel
de
première
- 27 -
0
il
vient :
le
changement
C'est
une
tions
de
(Le
de
intégrale
Hankel
calcul
l'appendice
d'où
en
Pour
achever
dans
le
un
x =
variable
dont
peu
se
qui
long
la
r 2
rattache
valeur
et
sans
il
suffit
à
la
théorie
des
transforma-
est
intérêt
est
dans
explicité
l)
définitive :
repère
le
calcul
cylindrique
de
"positionner"
correspondant
(fig. l)
les
vecteurs
-
Ce
qui
et
d'en
Enfin
Eu
déduire
un
d'où
d'écrire
permet
il
égard
la
d'emblée
de
les
décompositions :
utile :
relation
immédiat
calcul
28 -
g
(e 3) :
vient :
aux
formules
II-A-4-3,
on
en
déduit
en
définitive :
-
Fig.
1
29 -
- 30 -
5 -
Expression du prolongement analytique
Tous
sont
maintenant
et
les
de
se
de
plasma,
calculés
des
Dans
aux
nous
repère
des
fonctions
et
colinéaire
Rapprochant
de
l'expression
ou
connus.
notations
dans
les
en
dans
repère
coordonnées
effet
de
formules
des
les
ce
les
qui
la
par
Afin
problèmes
suit
R,�,Z
b
vecteurs
II-A-1-14,
les
figure
vecteurs
aux
regrouper
variables.
dans
tout
II-A-3-8
donc
cylindriques
respectivement
les
faut
défini
b,*^*,,
composantes
colinéaire
Il
classiques
donc
le
formelle
uniforme
système
exprimerons
vecteurs
ce
un
dans
exprimer
rattacher
sants
des
coefficients
les
(2).
sont
et k antiB
et
II-A-1-17
II-A-4-21 :
On
en
déduit :
Z. K,,
Soit
en
revenant
aux
grandeursw
et
k(lI-A-l-8,
compo-
II-A-1-9) :
k.
et
- 31 -
Calculons
D'après
à
le
présent
II-A-1-17
et
dénominateur
de
l'expression
II-A-2-16 :
Or
d'où
Substituant
ces
valeurs
dans
la
série
II-A-3-8 :
II-A-3-8.
- 32 -
Et
notons
Ce
qui
La
première
tat
que
permet
d'écrire :
série
se
calcule aisément,
compte
II-A-2-29
(Z2+R2Cos2ç�)=(Z2+R2(i::\))=(l6«2+8b2'c/2+b4^_4b2/f?)=e?-e^
4+b
tenu
du
résul-
- 33 -
d'où
Afin
d'alléger
l'écriture,
introduisons
les
notations
suivantes :
La
série
alors
s'écrit
(en
la
effectuant
permutation
m---m)
p
remarquons
complexe
des points :
à l'exception
où elle possède
des pôles
sente donc le prolongement
e(s,k)
de la fonction
cnnvprffcnp.p
pour tous les s du plan
que cette série converge
dp
la
simples.
analytique,
diélectrique
vari.ahlp
La formule
rlp
II-A-5-17
que nous noterons :
en deçà de l'abscisse
Tianlap.fi.
repré-
de
- 34 -
6 -
Il
la
et
est
aisé
à
de
partir
En
effet
si
la
série
étant
Ré(s)
formules
de
e(s,k)
� -(/u+77 )/J on
peut
uniformément
obtenues
de
II-A-5-17
l'expression
intégrale
représentation
des
résumé
Expression intégrale -
Ré(s)�0
pour
poser :
convergente,
il
est
d'écrire :
et
en
vertu
de
d'où
finalement :
Nous
noterons:
l'identité
cette
déjà
expression
déduire
mentionnée
(lI-A-4-15)
légitime
- 35 -
Les
formules
II-A-5-17
Elles
cherché.
des
et
k,
D.
paraît-il
II-A-6-5
la
forme
de
longitudinale
diélectrique
plan
donnent
et
constituent
analytique
plasma,
s pour
toutes
les
valeurs
Nous
ferons
sans
cesse
les
résumer :
bon
y
de
des
le
de
valable
la
résultat
fonction
dans
tout
le
paramètres 0, /5,aic ,a�p
référence
par
la
suite
aussi
- 36 -
B - Etude
des
principales
limites
fonction
diélectrique
La
et
en
particulier
wc,
de
la
paramètres,
magnétique
obtenue
de
la
de
fréquence
de
dépend
valeur
de
collision^,
nombreux
la
fréquence
de
l'angle
gyrod'
6
azimut .
Il
semble
dier
les
tats
classiques
valeurs
est
examiné
les
cas
la
la
reprise
Afin
duirons
de
du
présence
de
les
résul-
l).
s'agissait
nous
que
le
cet
Dougherty,
problème.
ne
pas
alourdir
pas
prolongement
techniques
du
non
l'étude
ainsi
d'étu-
exposé,
retrouver
ne
s'il
cet
de
que
la
montrerons,
auteur
en
limites.
mêmes
susceptible des
site
"H"
l'intégrale
Toutefois
pas
qui
de
chapitre
inutile
(II-A-7-8),
à
équivalente
(cf
de
stade
fi=o afin
et
s'avérait
ET
intégrale
ayant
^=0
mentionnés
étude
au
nécessaire
limites
déjà
Cette
forme
alors
sur
e
de
passage
exagérément
et e mais
analytique
à
la
limite
les
fonctions
n'est
néces-
nous
l'écriture,
sur
qui
con-
équiva-
lentes :
1 -
Collisions
Tout
grale
"H"
évanescentes
de
Effectuons
variable :
montrons
d'abord
l'équivalence
de
D (s)
et
de
l'inté-
Dougherty.
à
cet
effet
dans
II-A-7-8
le
changement
de
- 37 -
-fit
0
est
qui
exactement
�p=�-� pour
le
trouvé
Effectuons
dans
les
petits
j6:
qui
n'est
dans
formule
97).
signe
est
de
angle
aux
modes
de
de
l'intégrale
finie
de
la
collision
procédé
série
triple
Bernstein
se
que
raccorde
Gordeyev-Bernstein.
l'intégrant
Gordeyev
infinie
le
difficilement
définit
qui
6= n /2,
l'on
étudiera
à
prolongation
la
l'on
que
sous
divergente
Pour
pour
(cfBERNSTEIN
mathématique
quelconque.
et
)
asymptotique
manifestement
est
d'un
est
un
est
de
intégrale
développement
cas
limite
célèbre
qu'un
cas
poser
1797
de
développement
clair
dernière
la
le
sans
au
Cette
respond
la
page
faut
Dougherty.
traitement
d'intégration
le
dans
que
65
le
transposable
D(s).
par
(il
près
formule
II-B-1-2
autre
obtient
notations
la
retrouver
résultat
Il
aux
pour
ce
fi-o
qui
cor-
ultérieurement,
analytique
- 38 -
0=
Posant
en
en
une
double
série
Or
on
pour
/5-�o :
a
effet
dans
n/2
II-A-7-7
qui
s'écrit :
célèbre
relation
la
triple
série
dégénère
d' où
C'est
2 -
la
très
ment
remarquable
qu'elle
Nous
reviendrons
sur
Limite
amagnétique w -
Effectuons
il
vient :
dans
soit
fait
ce
la
dans
de
Bernstein.
Il
"sans
collision"
limite
des
l'étude
modes
est
de
finalede
Bernstein.
o
II-A-7-8
le
passage
à
la
limite
w -
D(s).
o,
- 39 -
est
qui
le
dans
formule32)
Notons
de
degré
le
liberté
de
3 -
cette
la
dans
valeur
le
Lenard
et
on
dispose
on
peut
alors
0=
savoir,
d'un
choisir
9.
circonstance,
formule
exactement
est
à
(
amagnétique.
magnétique,
champ
de
Bernstein
collisionnel
supplémentaire,
la
Utilisant
qui
le
et
Lenard
par
traitement
qu'annulant
arbitrairement
t} = o)
obtenu
résultat
posons
Il
II-A-7-7.
(donc
vient
analytique
prolongement
o
de
l'intégrale
Bernstein.
Ondes parallèles
PourO = oe
amagnétique.
par
le
est
satisfaisant
que.
champ
on
La
les
retrouve
seule
du
anisotropie
magnétique(puisque
de
résultats
la
voir
la
problème
diffusion
disparaitre
du
précédents
avec
étant
est
cas
celle
isotrope)
l'azimut
créée
il
magnéti-
-
Enfin
n'ont
0 -0)
commutent
sultat
limites
de
comme
bien
monstration
(LENARD
les
connu
qui
et
successives
sens
il
que
est
de
est
40 -
pour
aisé
de
Landau.
BERNSTEIN -
la
forme
le
vérifier
Nous
aujourd'hui
W -
0
n'en
très
o) ;
D .
intégrale
et
(/5-»o
Elles
conduisent
reproduirons
pas
au
la
classique.
DOUGHERTY)
4 - Diagramme des limites
Le
les
resp(
diagramme
diverses
f ,
e ).
suivant
commutations
résume
la
discussion
séries-intégrales.
en
distinguant
rédé-
- 41 -
- 43 -
C -
des
Propriétés
de
L'équation
traduit
1.
est
du
à
égard
mode
la
dispersion
forme
se
l'équation :
par
cette
des
�,= o,
longitudinal
II-B-0-2,
numériquement
sur
conclusions
quelques
k
d'étudier
de
l'équation
dispersion
eu
simplement,
Avant
de
racines
on
équation
du
racines,
tirer
peut
moins
lorsque
réel.
Unicité
la
de
Considérons
ne
qu'il
de
Laplace
où
est
S.
En
un
notons
effet
f.
une
raison
racines
et
la
de
montrons
Ré(s) �0.
lesquelles
pour
l'inversion
que
réel
de
transformée
s'écrit :
racine
de
arbitraire
terme
de
exister
k
avec
II-C-0-1,
l'équation
saurait
cet
A
amortie
solution
la
n
d'ordre
linéarité
de
la
de
des
série
II-C-0-1.
l'équation
il
équations
II-C-1-1
pour
suffit
d'étudier
conduire
monstration.
Soit
un
avec
alors :
tel
terme
qui
correspond
à
l'harmonique
E.
du
champ :
la
dé-
- 44 -
solution
de
en
prenant
ce
qui
ment
ne
les
des
nuit
autres
Enfin
de
la
en
telles
la
à
rien
II-C-1-6
termes
étant
l'expression
additionnons
relation
d3v
par
encore
Multipliant
conjugant
unités
le
système
II-A-0-1
que :
et
démonstration
allège
sensible-
notations.
multipliant
les
dans
II-C-0-1. Substituant
intégrant :
puis
manifestement
II-C-1-6
par
II-C-1-8,
II-C-1-9
précédente :
avec
nuls.
g * d 3 v
puis
il
son
intégrant :
vient :
conjugué
en
tenant
compte
- 45 -
où
la
le
montre
dernière
une
intégration
.
On
en
d'où
par
Il-
parties,
ainsi
nulle,
il
vient
que
donc :
119
clairement :
toutes
doivent
être
strictement
tenu
Compte
les
de
solutions
l'équation
avoir
c'est-à-dire
"amorties",
négatif.
Ce
résultat
était
du
collisionnel
tout
le
dans
page
2 -
9
manifestement
déduit :
Ainsi
son
est
intégrale
terme
ne
plasma
peut
décroître
amplitude
avec
que
perdre
le
temps.
de
dispersion
un
argument
prévisible.
physiquement
mode
de
réel
libre
qui
l'énergie,
se
donc
Symétrie des zéros de c,,
Signalons
par
la
Eu
cette
simplement
propriété
que
nous
utiliserons
suite :
égard
à
la
forme
de
D(s) :
si
S.
est
racine
à
k
réel,
si
k
racine
à
S
imaginaire,
S.
J
aussi
est
racine.
*
est
k
est
aussi
racine.
provoir
- 46 -
D -
sur
Remarques
On
de
la
a
le
obtenu
constante
un
constitue
férents
à
l'aide
diélectrique
résultat
cas
II
chapitre
d'un
formalisme
sous
forme
limites
et
les
a
On
nouveau.
original
d'une
triple
aux
ce
série,
étudié
soigneusement
raccordements
l'expression
théories
les
qui
dif-
exis-
déjà
tantes.
En
prolongement
la
série
calcul
s'avèrant
des
pour
o)
Le
coupant
cas
et
dans
numérique
tous
presque
de
le
cas /3 = o
tandis
se
retrouve
directement
champ
certains
données
dualité
Cette
apparaître
dans
série
triple
développée
manipulation
sans
celles
d'exploiter
intégrale
indispensable
simple
Gordeyev
série
cette
que
était
par
Dougherty
les
cas
le
le
pour
pôles.
( e = n/2 ;
la
a montré
d'une
analytique
Une
de
on
particulier
dans
très
qui
par
entre
certains
clairement
fait
l'objet
par
Lenard
dès
du
à
l'une
qu'il
prochain
le
de
Bernstein
partir
de
notre
traité
ces
l'intégrale,
et
redonne
ondes
être
peut
calcul
série.
toujours
par
re-
expressions
Bernstein.
et
l'intégrale
cas
les
que
magnétique
cas
nous
l'intégrale
ou
la
série
l'autre
s'agira
de
et
ces
d'aborder
chapitre.
la
nécessité
formes
la
vont
partie
- 47 III
CHAPITRE
Traitement
Ce
de
calcul
tement
chapitre
de
numérique
Cet
de
principaux
de
calcul
se
substituer
de
la
aux
C'est
de
son
le
variations
le
risque
Nous
souci
calcul
de
d'un
grave
ici
la
déficit
convergence,
les
domaine
de
précision,
l'intégrant
paramètres,
étant
étant
peu
une
la
Il
précision
de
des
magné-
problèmes.
la
choisi
souci
la
pour
d'aborder
avons
même
réso-
nous
que
avons
en
décomposition
fractions
exponentiels,
se
révèle
Il
la
de
temps
résultats
très
obtenue
zone
de
d'ailleurs
physiques
Cette
oscillante,
est
peu
à
à
effet
essentielle
dans
est
en
prête
toutefois
intéressants .
fonction
se
7
continuité.
série
ce
programme
physique
nous
précédent,
outre,
avons
de
la
buts
diélectrique.
elle
relais.
prend
ses
II-A-7-
le
gration
de
triple
paramètres,
trai-
des
opérationnel
utilisateur
polynômes,
fonction
En
que
d'un
point
étendue
dans
chapitre
efficace.
un
dans
son
assez
c'est
la
de
associée.
programme
au
et
le
au
dans
pour
calculables" :
série
des
intégrale
"pousser"
le,
dans
simples
élégante
existants
gamme
et
au
l'un
essentiel,
misé
"numérique"
propres,
et
plasma
suffisamment
l'avantage
pensant
''aisément
La
mation
en
la
effet
déjà
une
ici
est
négligé
en
de
programme
dispersion.
diélectrique,
dans
l'extrême,
rationnelles
de
est
avec
fonctions
fonctions
diélectrique
standards
collisionnel
à
fonction
fonction
l'aspect
poussé
la
travail
ce
linéaires
en
à
souvent
aspect
toplasmas
lution
consacré
l'équation
d'un
l'élaboration
est
de
automatique
numérique
dans
l'usage
une
cette
serait
en
Le
remarquable
exigent
circonstance
pour
stable.
gamme
souple
que
dernière
effet
dans
de
absurde
de
convergence
calcul.
program-
large
plus
inclus
de
une
l'intégrad'inté-
programme
dans
que
notamment
est
certaines
son
moins
heureuse,
valeurs
de
- 48 -
Nous
utilisé.
Cet
FORTRAN,
devrait
1 -
allons
les
étude,
en
étudier
détail
organigrammes
faciliter
une
la
joints
éventuelle
structure
du
ainsi
les
que
programme
programmes
utilisation.
Problèmes liés au traitement numérique
Tous
té
réside
les
dans
le
que
des
au
point"
et
de
a
résultats.
du
les
préciser
L'une
série
triple.
monotone
couvrir
cul
de
l'ordre
peut
CDC
6400).
calcul
Ce
s'effectue
si
mes
à
on
la
en
les
relief
la
se
peut
faire
"mise
baptisée
peut
contraintes
6
de
les
cas
0,05
et
m,
100
termes
termes
des
temps
précision
de
plus
d'Alembert
et
la
série
en
1,
en
pour
La
la
exprimer
un
temps
(sur
un
ordinateur
moyen
pour
pour
simple
n,
pour
raisonnables.
seconde,
0,02
jusqu'à
de
celle
pour
difficiles
en
absolument
étant
pour
significatifs
plus
seconde,
critère
la
de
précision.
50
en
chiffres
les
décroît
temps
de
d'utilisation
est
le
la
étant
sommations ;
appliquer
et
troncature
dernière
des
suffit
en
nécessaire
cette
l'ordre
qu'il
série
la
que
convergence
montre
le
des
grâce
sommer
lisée
arguments
des
soit :
la
à
factorielle
prend
devient
devient
est
contraintes
numérateur
précision
10,
mettre
de
temps
de
cal-
un
"normal".
L'une
que
optimum
pudiquement
est
permuter
de
de
phase
de
remarquer
e dans
de
cette
peut
gammeutile
valeur
ne
On
obtenue
précision
de
limitations
pour
la
recherche
calcul
limitations.
l'ordre
termes
La
ces
L'usage
100
garant
l'avantage
décroissante,
fixer
pour
indispensable,
cet
difficul-
de
temps
précision
de
on
convergente,
le
entre
la
que
la
mais
moins
savent
l'informatique
indispensable
et
tâtonnements,
par
de
compromis
limité
nécessairement
fiabilité
familiers
des
important,
mauvaise.
des
liée
du
du
trop
erreurs
L'expérience
monômes
la
et
grandes
il
que
doit
est
se
la
clair
nombre
le
d'arrondi
montre
numérateur
Celle-ci
convergence.
dénominateur
valeurs
les
à
cumulant
valeur
être
de
bornée
terla
normapar
- 49 -
Cette
bien
la
des
valeur
Elle
cas.
série
et
donne
est
aussi
dernière
est
si
assurée :
de
plus
l'intégrale
il
faut
alors
ce
cas
soit
le
premier
est
critère
dans
trois
dans
majorée
critère
d'interface
méthode
de
entre
numériques
le
constitue
une
ROMBERG
de
l'interface
111-1-1
de
zone
et
la
n'est
satisfait
pas
au
faiblesse
du
pas
comet
si
divergence :
simplement
structural
n'est
calcul
et
du
principale
il
programme,
a
bien
que
programme.
utile
semblé
modules :
initialise
variables
sa
constitue
l'aspect
en
par
continuité
purement
il
rare,
scinder
second
le
renoncer
Abordant
le
comme
calculée
la
Malheureusement
de
utilisée
être
peut
satisfaction.
pleinement
plètement
elle
minimale,
l'intégrale.
Cette
qui
est
et
mémorise
les
k
principales
le
programme
et
paramètres
s
des
indépendants
(iNIT),
à
principal
proprement
parler
(EPSI),
en
utilisant
auxilliaire
de
la
troisième
(B(l,n,m))
module
dont
le
qui
rôle
est
est
une
essentiellement
le
calcul
du
terme
fonction
dominant
série.
En
dérivées
c'est
le
modifiant
cette
seule
on
fonction,
a
aisément
accès
successives :
donc
principal.
par
raison
de
commodité
qu'on
l'a
détachée
du
programme
aux
- 50 -
Enfin
des
débranchements
cas
particuliers
double
2 -
qui
de
à
du
l'intérieur
programme
d'accélérer
permettent
la
de
dégénérescence
Bernstein
par
suivantes
contiennent
le
principal
calcul
série
triple
dans
à
les
une
série
exemple).
Organigrammes de calcul
pages
nécessaires
à
l'élaboration
des
les
organigrammes
principaux
programmes.
Programmes FORTRAN utilisés
Les
IV,
tes
suivantes
pages
ne
Elles
sont
Enfin
d'encombrement.
sur
exploitable
pas
la
contiennent
D'autres
utilisée.
CDC)
succès.
4 -
effectué
de
(modes
Les
3 -
a
on
versions
ordinateur
ont
optimisées
ici
reproduites
il
standard
version
existe
une
des
pour
version
(FORTRAN
été
testées
raisons
avec
éviden-
double
précision
de
dispersion
IBM.
Résolution de l'équation de dispersion
Nous
la
avons
méthode
qui
bien
consiste
somme
des
utilisé
connue
la
en
modules
analytique (sauf
Cette
calcul
de
10-5._.pans
4 minutes
racines.
des
recherche
le
e(k,s)
les
de
l'équation
Bach
(Journal
of
minimum
de
du
parties
réelles
s'effectue
complexe,
pour
une
limites
calcul
et
Mathematics)
applied
la
fonction :
de
imaginaires
la
fonction
ponctuellement) :
plan
cas
temps
résoudre
recherche
peut-être
dans
gulation
de
pour
par
ce
racine,
les
qui
avec
plus
(d'ordinateur
une
méthode
en
exige
une
moyenne
on
6400)
50
de
trianle
fois
relative
précision
exigeants,
CDC
itérative
de
doit
compter
3
pour
environ
30
à
- 51 -
- 53 -
- 55 -
INIT
SUBROUTINE
C
*
C
*
INITIALISATION
C
*
DE K
C
*
*
C
*
*
*
C *
OU
INFAC
DE
*
INVERSES
C
*
EPSO
EST
COMMON
S POUR
UN
EST
C
DES
TERMES
LE
BLOC
DE
CALCUL
*
INDEPENDANTS
DU
S/P
EPSI.
FACTORIELLES
UN
BLOC
D'EXPOSANTS
COMPLEXES
AO,EXPO,K2,IX,OMEGAO,A01,AAO,ABO,INFAC,PHI
COMMON/FNT/AB,LAM,LMCOS,TGPHI,DPHI,WBTA
COMMON/INIT/WP,WO,WC,THETA,RHO
COMPLEX
K,EPS,OMEGA,AO,K2,EXPO(30),IX,S,SB,AB,LAM
1,LMCOS,WBTA
REAL
INFAC(55)
IX=CMPLX(0.,1.)
INFAC (l)-l.
INFAC(2)=1.
DO 11 1=3,55
J=I-1
INFAC(I)=INFAC(J)/FLOAT(J)
THEDE=THETA
THETA=THETA*3.14159265358979/180.
WP2=WP*WP
W02=WO*WO
DEBYE=WO/WP
BETA=BETA*WP
WC=WC*WP
WC2=WC*WC
SN=SIN(THETA)
CN=COS(THETA)
AO=-IX*WC/BETA
TGPHI=WC/BETA
PHI=ATAN(TGPHI)
DPHI=2.*PHI
EXPO(l)=l.
EXPO ( 2 )=CEXP ( IX*DPHI )
DO 12 1=3,30
J=I-1
12
EXPO(I)=EXPO(J)*EXPO(2)
A01=¥02*SN*SN/(¥C2+BETA2)+¥02*CN*CN/BETA2
OMEGAO=WO2/WP2
AA0=-¥02*SN*SN/(2. (WC2+BETA2) )
AB0=-¥02*CN*CN/BETA2
B0=W02/BETA2*(CN*CN+SN*SN*C0S(PHl)*C0S(PHl)*C0S(DPHl))
RHO=WO/WC
HUP=SQRT(WP2+WC2)
HUP1=HUP*¥P/¥C
RETURN
END
*
*
1,BO,SB,BETA2,BETA
11
*
*
- 57 SUBROUTINE
C
C
C
EPSl(K,EPS, S)
*
*
*
*
*
*
C *
LES
C *
*
C
DE
CALCUL
LA
TERMES
FONCTION
DIELECTRIQUE
INDEPENDANTS
DANS
LE S/P
INITIALISES
DE
K
OU
DE
S
SONT
INIT.
*
*
*
C
COMMON
AO,EXPO,K2,IX,OMEGAO,A01,AAO,ABO,INFAC,PHI,
1B0,SB,BETA2,BETA
COMMON/FNT/AB , LAM, LMCOS , TGPHI , DPHI , ¥BTA
COMPLEX
ABL,AA2N,BZ,IX,B,PSUM,QSUM,AUX(257),SUMN,SUML
1,SUMM,TERMM,TERML,TERMN,AAM,YEP,YET,FUNCT,K,EPS,
20MEGA,AO,K2,EXPO(30),AA,AB,AA2,LAM,LMCOS,S,SB,WBTA
REAL
INFAC(55)
EXTERNAL
FUNCT
C
SB=S/BETA
WBTA=IX*SB
K2=K*K
AA=AAO*K2
AB=ABO*K2
AA2=AA*AA
OMEGA=OMEGAO*K2
BZ=BO*K2
C
C
DEBRANCHEMENT
C
CONVERGENCE
SUIVANT
DE
LA
LA
SERIE
C
if((cabs(aa).gt.io.).or.(cabs(ab).gt.io.)
C
C
CALCUL
DE
LA
TRIPLE
SERIE
C
SUMN=0.
DO 115
N=1,55
SUML=0.
DO 111
1=1,100
SUMM=0.
DO 105
Ml=l,100
M=M1-1
MN=M+N
101
101,101,102
IF(M)
AAM=INFAC(N)
TERMM=AAM*B(L,N,M)
TMO=CABS(TERMM)
SUMM=TERMM/TMO
PSUM=0.
GO TO 105
102
AAM=AAM*AA/FLOAT(MN-1)
termm=aam*b(l,n,m)/tmo
103
IF(MOD(M,2) )
PSUM=TERMM
GO
TO
105
103,103,104
)GOTO
119
- 59 -
104
SUMM=SUMM+(PSUM+ TERMM )
TM1=CABS(TERMM)
105
IF(TM1-1.E-8)106, 106, 105
CONTINUE
K
WRITE(6,199)
106
SUMM=SUMM*TMO
C
C
DEBRANCHEMENT
C
L'AZIMUT
SUIVANT
MAGNETIQUE
C
TO 1120
IF(AB.EQ.O.)GO
C
107
IF(L-l)l07,107,108
ABL=1.
TERML=ABL*SUMM
TLO=CABS(TERML)
SUML=TERML/TLO
LT=L-1
109
110
111
112
IF(MOD(LT,2)
QSUM=TERML
GO TO 111
)109,109,H0
SUML=SUML+(QSUM+TERML)
TL1=CABS(TERML)
E-7)112,112,111
IF(TL1-1.
CONTINUE
K
¥RITE(6,198)
SUML=SUML*TLO
GO TO 1121
1120
SUML=SUMM
1121
CONTINUE
113
IF(N-l)ll3,113,114
AA2N=1.
TERMN=AA2N*SUML
TNO=CABS(TERMN)
SUMN=TERMN/TNO
GO TO 115
114
AA2N=AA2N*AA2/FL0AT(N-l)
TERMN=AA2N*SUML/TNO
SUMN=SUMN+TERMN
TN1=CABS(TERMN)
115
IF(TNl-l.E-6)ll6,ll6,115
CONTINUE
K
WRITE(6,197)
116
SUMN=SUMN*TNO
C
C
DEBRANCHEMENT
C
MAGNITUDE
SUIVANT
DE
LA
K
C
IF(
CABS(K)-l.E-8
)117,H7,118
C
117
EPS=1.+0MEGA-SUMN*CEXP(BZ)
RETURN
118
EPS=1.+1./0MEGA-SUMN*CEXP(BZ) /OMEGA
RETURN
- 61 -
119
CONTINUE
C
C
PAR
CALCUL
INTEGRATION
C
LMCOS=BZ+AB
LAM=LMCOS/COS(DPHI)
WBTA=WBTA+LAM-AB-1.
C
C
C
DE
VERIFICATION
DE L'INTEGRALE:
CONVERGENCE
LA
C
REAL(WBTA+1.) )
WBTA
IF(
202
203
C
C
C
202,202,203
¥RITE(6,20l)
202
STOP
CONTINUE
INTEGRATION
DE ROMBERG.
PAR
LA
METHODE
C
YET=0.
XHL=1.
XHD=5.E-3
XHS=XHL-XHD
DO
120
IL=1,190
CALL
DQATR(XHL,XHS,1.E-7,257,FUNCT,YEP,IERR,AUX)
YET=YET+YEP
200
if(il.lt.100)g0t0
TESTF=CABS(YEP/YET)
C
C
C
C
121
120
IF(TESTF.LT.l.E-9)GOTO
CONTINUE
XHL=XHS
XHS=XHS-XHD
121
IF(CABS(K)-1.E-8)122,122,123
200
DEBRANCHEMENT
MAGNITUDE
122
SUIVANT
DE
LA
K
EPS=1.+0MEGA+IX*YET*SB
WRITE(6,195)
RETURN
123
EPS=1.+1./OMEGA+IX*YET*SB/OMEGA
RETURN
195
FORMAT (2X,*LA
197
198
199
201
C
VALEUR
DE
K
EST
0.*)
CONVERGENCE
N*,2F10.5)
FORMAT (2X,*MAUVAI SE
FORMAT
CONVERGENCE
2X,*MAUVAISE
L*,2F10.5)
CONVERGENCE
FORMAT
(2X,*MAUVAI SE
M*,2F10.5)
FORMAT
EST
(2X,*L' INTEGRALE
DIVERGENTE*, 2X, 2E13. 6)
END
COMPLEX
FUNCTION
B(L,N,M)
DU TERME
GENERAL
DE LA
CALCUL
COMMON
A0,EXP0,K2,IX,0MEGA0,A01
SERIE
COMMON/FNT/AB,LAM,LMCOS,WBTA
COMPLEX
K,EPS,AO,K2,EXPO(30),IX,AB,LAM,LMCOS,WBTA,A
M1=M+1
- 63 -
A=K2*A01+(A0-3. )*FLOAT(M)+L+N+N
200
201
IF(M)201,201,200
B=EXP0(M1)/(a/¥BTA+1.)+1./(EXP0(M1)*((A-2.*M*A0)/¥BTA+1.))
RETURN
B=1./(A/WBTA+1.)
RETURN
END
COMPLEX
FUNCTION
FUNCT(X)
C
C
C
CALCUL
DE
L'INTEGRANT
COMMON/FNT/AB,LAM,LMCOS,TGPHI,DPHI,WBTA
COMPLEX
AB,LAM,LMCOS,Z,WBTA
LNX
REAL
LNX=ALOG(X)
z=-ab*(l.-x)+lmcos+lam*(-x*cos(dphi-tgphi*lnx))+
1¥BTA*LNX
FUNCT=CEXP(Z)
RETURN
END
- 65 -
CHAPITRE
Etude
les
de
l'étude
de
d'ondes
dans
nous
les
blèmes
tifs
dans
dans
de
propagation
ce
dernier
les
sur
chapitre
d'entreprendre
de
problèmes
propagation
magnetoplasmas.
la
tâche
investigation
à
de
l'ampleur
notre
seront
qu'ils
de
permettre
sur
de
collisions
et
limiter
l'espoir
nous
pour
des
tenu
collisions
problèmes
plasmas
de
contraints
des
proposons
l'influence
Compte
été
l'influence
principaux
Nous
IV
assez
formuler
trois
avons
de
groupes
sinon
représentatifs
des
nous
envisagée,
pro-
exhaus-
suffisamment
conclusions
syn-
thétiques.
Nous
des
directe
des
pôles
sur
les
tester
traitrerons
collisions
de
Landau
validité
termes
champ
le
second
et
fonction
des
problème
premier
l'influence
groupe
diélectrique
du
oscillations
forcées.
doit
magnétique
le
plasma,
suivi
Cette
étude
essentiellement
permettre
de
obtenus.
nous
nous
groupe
des
le
dans
facteurs
de
sommes
au
attachés
corrélations
avec
calcul
et
sans
magnétique.
collisions
sur
rôle
le
caractéristique
des
des
échos
du
pour
des
déphasage
le
essentiel
destruction
a
étude
Enfin
[6].
la
résultats
d'excitation
Cette
le
le
champ
des
Dans
des
et
sans
plasmas
la
sur
ainsi
troisième
but
de
groupe
sur
linéaires.
Le
collisionnel
doit
les
mode
en
de
fréquences
collisions
modèle
mettre
évidence
de
adopté
des
résonances. -
de
permettre
ondes
l'influence
de
Bernstein
destruction
est
mettre
un
de
résultat
et
ces
en
relief
dans
échos
original
la
- 66 -
A -
sur
Influence
champ
1 -
les
du
caractéristiques
en
plasma
l'absence
de
magnétique
Influence sur la fonction diélectrique du plasma
L'influence
la
modification
Cette
la
de
de
/5=o et
�=o,
Fried
sants
structure
une
des
collisions
est
de
mathématique
le
les
visible
et
imaginaire
2
la
évidemment
fonction
sont
úJ=1.2wp
On
[201.
courbures
voit
les
(donc
graphe
de
e en
où
1,
di-
et
calculés
à
clairement
sont
gradients)
nombre
mt-is
grandeurs
des
résultats
les
pour
de
La
0.4.
partir
que
du
3 valeurs
pour
mêmes
les
a
l'on
fonction
cjp) : 0.,0.2,
donnent
qui
le
o�= l.loip
�(normalisée
graphe
Conte
sur
fréquence
collision
co=l.lajp,
et
est
réelle
pour
fréquence
pour
la
parties
k/O ,
courbe
de
immédiate
modification
les
d'ondes
plus
longitudinale.
électrique
porté
la
/Jcroi.s-
nettement
dimi-
nuées.
2 -
Suivi des pôles de Landau
La
k
du
de
pôle
L'allure
même
CJJp) pour
l'ordre
peut-être
pour
3 -
de
l'évolution
courbes
fréquences
0.1
top, la
les
fi. On
de
petits
courbe
k)
est
avec
par
cor.tre
élevées :
(mais non
négligeables)
confondue
donnée
IL
croîi.
reste
collisions
presque
celle
k
d'ondes
que
s'aperçoit
de
faibles
plus
nombre
l'amortissement
fonction
fréquences
des
pour
en
du
fonction
que
avecp tandis
des
pour
en
différents
pour
des
générale
identique
de
Landau,
úJr décroît
fréquence
(0.8
3 montre
figure
par
(sauf
Canosa
[?]
/5=o.
Oscillations forcées
On
peut
oscillations
obtenir
forcées.
un
second
On
fixe
suivi
une
du
pôle,
fréquence
dans
úJ, et
le
l'on
cas
des
cherche
67
FIG. 1 -COMPARAISON
AVEC
FRIED ET CONTE
69
FIG. 2 -FRIED ET CONTE
71
FIG. 3 - SUIVI DES POLES DE LANDAU
- 73 -
la
de
solution
k.
Le
sur
le
graphe
un
forment
de
quence
des
n°
avec � .
collisions.
Le
à
donnent
les
collisions
l'allure
Enfin
de
B -
Influences
1 -
Les
sur
facteurs
Sans
tation
Dans
dans
(on
plasma
manière
croître
que
l'autre
une
par
à
près
peu
pro-
de
champ
de
spectres
diminuent
Elles
manière
obtenues
de
fréquenseulement
sensible).
se
déduisent
des
continue
remarquablement
la
d'apprécier
bonne
en
cas
fi.
cohérence
d'excitation
champ
le
détail
des
de
Maxwell
fournissent
le
courant
d'une
part
leur
et
théorie
des
par
exemple
à
in
plasma -
ce
académie
facteurs
sujet
d'exciSitenko :
press).
définition :
variables
la
la
de
consultera
fluctuations
brièvement
le
du
d'excitation
Electro-magnetic
Rappelons
contraire
choisi.
termes
entrer
du
les
peu
(mais
permettent
modèle
les
peut
module
fré-
s'explique
l'absence
phénomènes.
courbes
de
(�=o)
du
de
qu'en
modifient
différentes
constatations
physique
penser
d'atténuation
référence
Ces
à
des
général
les
kim
de
la
de
/5.
résultats
distances
ne
porté
réel)
au
allure
(donckim)
des
est
w(k
présente
l'une
complexe
valeurs
Cette
déduisent
l'axe
courbes
w(kim)
séparées.
à
parallèle
magnétique
les
faisceau
se
les
plan
résultat
différentes
spatial
branches
Les
le
le
et
que
pour
distinctement
protionnelle
et
continuité
s'aperçoit
compact
translation
ce
On
4.
dans
dispersion
par
l'amortissement
que
Ces
fait
faisceau
branches
fait
se
suivi
des
de
l'équation
de
Fourier-Laplace,
relation
entre
l'équation
de
le
champ
propagation
les
équations
électrique
d'autre
et
part.
75
FIG. 4 - OSCILLATIONS
FORCEES
- 77 -
�Convention
Or
un
dans
sions
en
homogène
les
séparant
Si
l'on
le
tenseur
des
milieu
définit
de
alors
sommation
on
isotrope
vient
en
mais
alors
d'où
en
écrire
et
longitudinale
parties
conductivité,
de
la
l'équation
ces
expres-
transversale :
courant
relation
dans
de
un
substituant
d'après
définitive :
dans
IV-B-1-1
de
quantique
gaz
continuité
Fourier-Laplace).
il
peut
d'Einstein)
par
fluctuations
utilisons
de
IV-B-1-5 :
à IV-B-1-4
de
bosons
(en
corrélation
s'écrit :
variables
de
- 78 -
0
�P2� ~
2 -
2
cette
près)
sous
Les
et
différents
tableau
=
k
= 0.1 ,
leur
de
la
le
w;
résume
les
les
'""
excitation).
(ou
le
valeurs
des
caractéristiques
de
est
magnétique
champ
excitations
valeurs
différentes
pour
où
cas
constante
de
ces
2.
,
k,
nul.
Le
courbes :
ce
et
=
que
avec
des
pour
0.5
hautes
pure
seules
on
,
courbes
constants
bien
mis
a représenté
et
les
simple
des
un
lent
la
élargissement
des
gauche
et
des
en
évidence
sur
excitations
en
les
collision
résonances,
k � 1 n'indiquaient
3.
1.5
fréquences
Ce
fi croissants.
0.1,
(0.001 ,
de
fréquences
,
vers
décalage
k
est
des� croissants
pour
fréquence
très
ces
particulièrement
k
pour
1.
0.5 ,
de
1.
0.8 ,
0.5 ,
le
fonction
0.25,0.5).
(/}= 1.5
fig.6)
quelque
soit
pas
de
graphe
résonances
il
y
k
pour
fi inférieurs).
Notons
lent
dans
la
collisionnel
représentent
fréquence
résonance
disparition
les
7
(à
a'excitation
facteur
0.25 ,
est
les
(alors
et
générale
de
où
Pour
la
0.001 ,
phénomène
8
classique :
calculerons
amortissement
0.2 ,
résonance
N°
mécanique
0
pics
de
de
5-6
�,
tendance
des
a
et
ci-après
Bo
La
vocable
de
fonction
nous
que
le
graphes
en
la
|kj|2
quantité
Résonances
à
passage
Im( c )
2n w
C'est
fi =
le
alors
effectuons
que
moyen
le
décalage
des
fréquences
de
résonances
de
calculer
les
fréquences
de
collisions :
est
un
la
excelmesure
79
FIG. 5 - EXCITATION
EN FONCTION
DE BETA (1)
81
FIG. 6 - EXCITATION
EN FONCTION
DE BETA (II)
83
FIG. 7 -EXCITATION
EN FONCTION
DE BETA (III)
85
FIG. 8 - EXCITATION
A k CONSTANT
EN FONCTION
DE BETA
- 87 -
expérimentale
après
la
été
réseaux
fie /3(Jù�,k) une
estimation
(et
du
complète
dans
de� P 2 � fournirait
incohérente
construction
envisagée
machine
3 -
des
comparaison
Toutefois
pas
diffusion
par
travail
ce
précise)
du
raison
en
de
/}.
n'a
réseau
coûteux
temps
nécessaire.
de
Etude
l'amortissement
des
excitations
en
de
présence
champ
magnétique
Les
la
de
à
(normées
On
de
à
0,
intéressant
il
fréquence
0.8
wp
relativement
principale
fréquences
les
grands
k
des
et
les
l'angle
pour
Cette
maximum
La
des
l'élargissement
la
droite
des
vers
pics
fré-
(0=
le
dans
tous
figure
décalées
la
gauche
et
12
les
20°,
cas
les
pour
de
et
k
40°,
60°,
due
et
d'un
fixées
pour
(respec-
valeurs
deuxième
développe
artefact
k.
différentes
La
pour
excitations
les
90°).
suivant :
droite
petits
collisions
se
précédent
la
raison
qu'en
résonance
curieux
vers
en
résume
le
fonction
un
effet
collectif).
au
champ
magnétique
devient
un
(0.2)
phénomène
pour
k
donné
de
résonance
0=900.
13
à
maximum
Ce
wp.
la
fait
représentent
k�D"(donc
résonance
au
longueurs
secondaire
0.6
dominer
par
différents
0.1)
deuxième
pour
11
de
l'ordre
w
tandis
grandes
résonance
alors
sont
les
pour
d'une
w
de
finit
gyromagnétiques
azimutal
observée
déjà
gyromagnétiques
vers
signaler
et
On assiste
grands
figures
w=9 ;
l'angle
un
résonances
les
fréquences
tivement
à
décalage
apparition
pour
décalées
sont
a
y
w=1.5.
de
à
est
avec w
pour
les
Enfin
un
k,
1.5
tendance
un
ici
une
pour
différents
pour
fréquences
0.9,
une
adjoindre
peut
résonances.
�.2.)
elles
des
wp,
on
excitations
des
/$=.l
0.6,
avec
(k
croît
0.3,
mais
fait
d'ondes
à
et
20°,
nettement
résonances,
Un
la
cop) de
valeurs
égale
égal
aperçoit
quences
les
collision
azimutal
angle
et 10 auxquelles
9
5 représentent
figure
fréquence
de
suivantes
figures
de
89
FIG. 9 - EXCITATION
EN FONCTION
DE Bo (I)
91
FIG. 10 - EXCITATION
EN FONCTION
DE Bo (II)
93
FIG. 11 - EXCITATION
EN FONCTION
DE L'AZIMUT (1)
95
FIG. 12 - EXCITATION
EN FONCTION
DE L'AZIMUT (II)
97
FIG. 13- RESEAU
D'EXCITATION
EN FONCTION
DE L'AZIMUT
- 99 -
inférieur
apparaît
vers
première
oscille
largeur
diminuer.
nance
C -
D", on
à
Propagation
Bernstein
le"
pour
1 -
a
y
croît
et
ainsi
tandis
que
fréquence
et
0,
en
résonance
du
"reconstruction"
o
(qui
la
voit
de
pic
dispersion
de
D(S,0
C
de
=
seront
Bernstein
non
sa
réso-
le
plasma
pour
mode
B)
ne
qu'il
R(s)�o
ici
que
que /$^
o.
implique
dès
amortis
nécessairement
sans
"naturel-
limite
lesquelles
circonstance
ou
paragraphe
montré
également
per-
théorie
amorti
la
était
est
la
II
(chapitre
a
On
Cette
II).
chapitre
dans
obtient
Bernstein
90°).
dans
d'ondes
montré
d'onde
vecteur
remarquable,
reste
de
exister
de
du
on
Bo,
propagation
a
On
au
colinéaire
magnétique
de
[3].
(paragraphe
modes
champ
formule
saurait
Il
de
croissance
amplitude
champ E,
un.mode
collision,
la
la
deuxième
90°.
le
au
pendiculaire
que
en
la
développer
perpendiculaire
Lorsque
de
se
avec
20°)
6=
pour
voit
les
Les modes de Bernstein en plasma collisionnel
La
14
les
courbes
et pour p = 0.001
=-§-a�p
à celles
de Buckley
ques
wp.
Les
l'allure
conservée,
figure
montre
w
des
croissance
(grands
de
plus
la
les
k
rapide
figure
au
"Gap"
avecp.
On
en
leur
sens
dans
le
de
La
de
la
déduit
on
wp
note
pour
sont
identi15),
(graphe
seulement
longueurs
petites
plan
en
haute.
O.l).
La
et
l'on
note
que
hybride
La
figure
S ,
fonction
pour
de
constate
kp,
courbes
décroissance
des
de
On
les
croissance
avecp.
complexe
0.0150)
et
fréquence
la
d'inflexion
l'hybride
ces
obtenues
0.01
a représenté
on
16,
importante
respond
à
les
pour
grands /} =(0. 05
devient
0.0125,
courbes
[5].Pour/5 =
est
dispersionw(k)
dé-
une
d'onde
k).
Sur
pour
courbe
de
le
l'allure
le
fonction
maximum
(qui
est
wH)
courbures
différents
pour
en
haute
17
obtenues
montre
croissant
quelque
soit
l'évolution
/5(0.001,
"Gap"
cor-
0.010,
correspondant
hyperbolique
marquée
courbes.
figure
18
décrit
la
variation
de
l'amortissement
r(nor-
101
FIG. 14 - MODE
DE BERNSTEIN
(1)
103
FIG. 15- MODE
DE BERNSTEIN
(II)
105
FIG. 16 - MODE
DE BERNSTEIN
(III)
107
FIG. 17 - EVOLUTION
DE S DANS
LE PLAN COMPLEXE
109
FIG. 18 - EVOLUTION
DE
EN FONCTION
DE kp POUR 4 HARMONIQUES
- 111 à
malisé
pour
lw ,
harmoniques
dit
(autrement
k
et
(2co )
la
a
adonnés,
fonction
et
3w
2w,
haute
l'hybride
en
/J=0.01
le
solution
de
kp,
autres
de
dans
une
le
la
que
des
l'équation
différents
pour
constate
faisceau
dont
2 racines
On
qw.
coupe
de
courbe
harmoniques
dispersion
de
"Gap"
de
ces
pour
l'hybride
haute).
Enfin
S
le
pour
fixé
kp
intervalle
par
La
et
ce
maximum
Faisons
cet
une
du
leur
lement,
du
ordre
où
ces
blent
2 -
double
ainsi
en
sur
théorie
magnétique
par
en
Cet
effet
phase
écho,
cessivement
Physics
une
non
modes
Il
échos
calcule
Lorsqu'on
pour
les
Landau
après
amorti
avec
Letters -
leur
de
aura
y
la
que
du
1'
(de
pour
=
kp
Ce
renforcement.
fréquence
d'autre
temporel-
distinct
clair
3wi
et
part
coexister
peuvent
observations
variation
0.8,
renfor-
maximum
sem-
(DEBRIE).
expérimentales
un
la
aussi
une
période
par
A
de
n°
effet
�
1
Landau
et
à
si
15
le
particules
en
champ
amorti
reviennent
gyromagnétique.
apparaît
ce
électri-
constate
E(t,k),
trajectoire
(cf
(73)
signal
les
lorsque
sur
lui
le
champ
on
E(t»k)
d'échos
phénomène
reconstitue
45
E =
faible :
parcours
du
temporelle
donnée
d'onde
Vol.
correspondant
situés
alors
est
fré-
hautes
fréquence tu �{2 co ,
sensiblement
de
suffisamment
se
dispersion
une
ne
il
collisionnelle
est
les
de
linéaires
la
longueur
0.06
à
l'intervalle
vers
et
étant
les
de
k
l'élévation
avec
accord
Influence
que
ces
de
k
coïncider,
que
0.002
�.
de
qu'à
possible
environ).
vont
de
complexe
de
maximum
décalage
courbe
clair
amortissement
modes
cement,
la
Toutefois
maximum.
le
fonction
est
2 modes
correspondent
au
constate
en
il
plan
ap.
remarque,
intervalle,
en
de avariant
correspond
on
haute
de
quences
0.8
l'évolution
fonction
2.10-3
=
kp
en
0.8,
de
valeur
l'hybride
à
à
montre
19
graphe
sujet
).
alors
Navet,
sucFeix :
113
- 115 -
tout
Calculons
transformée
de
d'abord
à
Laplace
le
l'aide
et
appliquant
la
théorie
est
une racine
de
l'équation
Wagner
la
de
des
la
Inversant
E(t,k).
champ
formule
de
il
résidus,
Bromwichvient
classi-
quement :
où
Sm
normalisation
du
des
�=o,
de
=
kp
la
donne
Eo
une
de
la
20
figure
de
le
dans
représentation
et
f3=2.10-3
celle
dans
3.5
niveaux
différents
f3=10-3,
racines
Sm
plan
correspondant
à
au
nécessaires
(=3.10-3,
complexe
calcul
E/Eo.
On
notera
le
La
a
l'amortissement
porté
que
west
duit
au
On
et
Enfin
sur
différentes
tion
du
£ =o
(ce
la
Le
a
été
cas
la
pas
pas
amortis
2e
alors
une
la
écho.
on
23
de
résultat
calculé
de
à
Mais
tout
l'aide
pour
dans
Pour
fait
de
la
les
cas
ses
a
le
qui
pro-
sur
la
échos
en
non
théorie
et
y
et
se
C = o.
remarquable :
f3=1.10
il
pour j
collisions,
échos
f3=3.10-3
tous
à
LD
(noté
signal
de
nette
plus
cassure
Landau
les
Bernstein)
amortis.
Cette
le
porté
fréquences
est
et
w e =0.1 arp
discontinuité
a
on
semblable :
(d'autant
de
véritable
effet
pôles.
Landau
fréquence
f3, pour
cassure
l'amortissement
figure
et
un
de
des
ligne
une
formule
sont
n IU-t 2 ne
fortement
fonction
de
pôle
reste
en
valeurs
temps.
par
du
de
devient
pour
tion
de
petit),
du
illustre
remarque
voisinage
figure)
nelle
22
figure
w c =0.2 wp.
du
"ralentissement"
avec .
à
et
0.7
21
figure
s des
=
est
obtenu
signal
kp
cas /}= o,
La
et
dispersion
arbitraire.
L'allure
le
de
foncpour
collision-
apparaissent
ils
f3=2.10
destruc-
pratiquement
lui-même
signal
sont
n'est
amorti.
Ce
choisi.
sèment
phénomène
Il
via
est
s'effectue
du
caractéristique
une
l'exponentielle :
complexe
modèle
compensation
e - Kitet
le
mélange
collisionnel
entre
de
l'amortis-
phase
117
FIG.20 - ALLURE
DU SIGNAL
119
FIG. 21 -RACINES Sm POUR
DIFFERENTS
0
121
FIG. 22 - AMORTISSEMENT
EN FONCTION
DE 0 ET DU CHAMP
MAGNETIQUE
123
FIG.23 - DESTRUCTION
DES ECHOS LINEAIRES
- 125 -
du
à
l'écartement
Cette
signal.
la
en
phase.
termes
il
a
y
de
duiraient
ici
des
plus
pour
perturbée
et
vitesses
démontre
les
processus
ne
l'exponentielle
irréversible
dans
l'altération
empêche
des
les
échos :
par
la
les
friction
reviennent
pas
n'est
com-
plus
échos.
de
l'importance
la
forme
BGK
équations.
Les
modèles
de
qui
altéreraient
Poisson
du
des
conle
lui-même.
signal
Un
mode
mis
en
relief
du
2ème
de
Fokker-Planck.
amplitude
de
analogue
en
que
plasma
la
estimation
des
techniques
nécessaires
et
leur
et
mise
en
Denavit
à
pourrait
de
collisions.
oeuvre
sont
par
pas
trop
l'aide
de
linéaires,
ne
par
[19]dans
expérimentale
fréquences
a
d'échos
non-linéaire,
mesure
échos
des
destruction
Rathmann
par
ordre
Notons
sées
par
inédit
à
joue
des
spectre
collisions
qui
trajectoire
destruction
phénomène
ce
ne
L'amortissement
et
Ce
leur
du
diffusion
pensé
racines
compensation
voient
particules
et
des
cas
d'un
modèle
même
en
conduire
Malheureusement,
parfaitement
délicate.
été
d'échos
l'amortissement
également
encore
le
ailleurs
à
les
maîtri-
une
- 126 -
Conclusions
avons
Nous
aux
modèles
mathématiques
Dans
dont
certaines
modèle
dans
modèle,
qui
la
Il
une
base
semble
plasmas
de
nombreux
en
voie
nous
Dans
sur
ne
se
rendre
la
théorie
de
nous
Fokker
en
généraliser
des
et
un
établi
avons
de
phénomènes
linéaires
tant
actuels
physiques
d'hypothèses
compte
magnétoplasmas
travaux
de
l'aide
et
les
à
est
Planck,
du
reste
numériques.
que
dans
particulier
colCe
homogènes.
théoriques
de
but
ce
une
solution
nous
ne
sont
avons
en
les
calculs
entachés
pas
à
fonctions
du
l'étude
de
un
Ce
formalisme
d'erreurs
original,
orthonormales
à
intermédiaires
fonction
Fourier-Laplace.
résultat
modèle
la
déduire
propres
exacte.
un
en
espace
développé
raisonnablement
si
que
en
plasma
analytique
tester
conséquences
attachés
alors
décompositions
saurait
dernières
sommes
longitudinale
diélectrique
on
de
s'inspire
Nous
conduit
de
inhérente
méthodologie
physique.
phénoménologique,
susceptible
les
à
phase,
d'ordre
la
à
appliqués
la
suivi
d'échos.
phénomène
basé
travail
ce
première
sont
simplifié,
lisions
à
dans
la
essentiel :
validité
de
ses
à
ces
relient
ou
numériques
qui
est
le
qui
et
suspectés
d'ap-
proximations .
Nous
avec
les
champ
avons
dûment
modèles
La
magnétique.
tant
critère
de
Nous
la
fonction
La
ment
continuité
le
théorie
les
raccordements
modèle
physique
raccordements
ou
collision
sans
ces
de
pour
la
de
éprouvés
cohérence
étudié
soigneusement
un
est
et
un
très
test
sans
impor-
mathéma-
décisif.
tique
de
ensuite
facilitée
conduit
à
des
avons
crée
ensuite
un
de
programme
calcul
automatique
diélectrique.
mise
par
au
le
algorithmes
point
de
traitement
simples
ce
programme
mathématique
et
précis.
numérique
en
ayant
fonctions
été
propres
grandequi
- 127 -
terme
Au
la
fonction
des
6
de
problèmes
des
étude
où
constate
phénomène
de
mesure
la
de
ce
En
nous
plitude
très
du
mode
perpendiculaire
la
disparition
des
est
les
bles
et
plasma.
plasmas
en
de
échos
théorie
ce
qui
en
de
un
champ
concerne
de
une
la
considérer
ne
mesure
autonome
et
"fermé".
magnétique
des
semble
mais
modes
la
dans
absolument
le
in-
même
collisions
dont
où
expérimentale
diffusion
rôle
de
magnétique).
de
important
un
facteurs
méthode
les
rôle
champ
collisionnel
modèle
l'étude
réso-
fréquences
possibilité
linéaires,
la
à
les
des
décalage
présence
et
collisionnelle
de
un
modèle
propagation
dans
des
soit
concerne
qui
magnétique,
temporels
et
l'in-
que
l'atténuation
par
par
le
jouer
du
ce
plus
collision
champ
linéaires,
l'absence
en
de
caractéristique
La
de
groupes
semblerait
gradients
à
outre
rendre
semblent
faible,
pour
lissage.
en
aussi
de
présence
et
faire
en
de
achève
que
de
fournit
fréquence
qui
manifeste
à
est
l'on
dernier
résultat
suivantes :
il
magnétique
processus
assiste
Ce
principaux
constatations
courbures
l'on
(que
dans
un
champ
se
des
réserve
résonances
truction
de
ne
comme
d'excitation
ce
utilisé
trois
fonction
0 £ .
w,
wp,
avons
sur
aux
conduit
réduction
Une
cohérente,
collisions
l'absence
essentiellement
phase,
en
analytique
kD,
utiliser
pouvions
d'ondes.
collisions
la
et
nécessité
nous
propagation
En
prolongement
seconde
des
Cette
son
nous
phase
s,
la
l'influence
fluence
et
première
fondamentaux :
paramètres
étudier
cette
diélectrique
Dans
nances
de
d'am-
stabilité
dans
majeur
de
processus
des-
adopté.
donc
les
nous
de
pas
fondamentale
collisions
sont
à
concluerons
Bernstein
en
faisa
magnéto-
- 129 -
Appendice
On veut calculer
où
m
et
1
sont
des
ralisés
puis
de
modifiées
à
l'ordre
intégrant
par
la valeur
de l'intégrale :
entiers
positifs
ou
nuls.
les
relations
de
définition
et
des
Utilisant
Bessel
1
première
espèce
m :
parties
cette
relation :
polynômes
des
fonctions
de
Laguerre
de
géné-
- 130 -
en
poursuivant
la
d'après
comme
110
il
par
formule
récurrence :
d'Euler,
est
manifeste.
par
suite
et
- 131 -
posant
d'où
en
q = n-1 et substituant
définitive
On
che
à
la
particulier.
peut
classe
la
noter
des
formule
par
dans 110
II-A-4-19
ailleurs
transformées
de
que
Hankel
cette
dont
intégrale
elle
n'est
J
se
ratta-
qu'un
cas
- 133 Bibliographie
Revues
et
[1]-
W.Allan
publications
modes
and
in
the
and
[2] - W.Allan
acoustic
high
Sanderson -
J.J.
[31 - I.R.Bernstein -
[4]-
Vol.109
in
processes
Press
[6] - J.R.Burgan,
ion
767 -
field -
1974
Physical
1958
A
M.Krook -
model
for
in
processes
Review
Physical
in
to
pp753
a magnetic
amplitude
waves
driven
and
space
Vol.94
in
collision
charged
and
Mai
1954
N°3 -
the
neutral
laboratory -
Edinburgh
Numerical
of
M.R.
solution -
Model
the
with
N°14 -
[lu] - Innsbruck plasmas -
Physics
and
A.Gonfalone
connected
solution
computational
[8j - J.P.Dougherty -
in
in
plasma
and
E.Filjalkow,
J.Canosa -
Vol.31
a
Bernstein
Feix -
Collisional
of
damping
Bernstein
echoes
Journal
[9]-
Janvier
Plasma
University
[7]-
N°l -
Systems -
R.Buckley -
linear
in
gases.I.Small
one-component
[5]-
Waves
the
communication.
Vol.16
Physics
of
gradient
Température
Plasma
E.P.Gross
P.L.Bhatnagar,
destruction
Private
régime -
frequency
instability -
Revieuw
Collisional
J.J.Sanderson -
Physics
octobre
Second
Book
of
Fluids
Vol.
Bernstein
dispersion
13
N01 -
N°ll -
Vol.7
of
modes -
équation 1973
septembre
for
équation
Excitation
a
plasma
novembre
and
its
1964
waves
quasicylindrical
Physical
Review
on
and
Letters
1973
International
of
Landau's
Fokker-Planck
C.Beghin électron
of
Abstracts -
Congress
Mars
1975
waves
instabilities
- 134 -
and
[il] - A.Lenard
in
velocity
space -
a
lorentzian
Mai
wave
et
ondes
de
and
and
of
Physics
1958
oscillations
Fluids
Vol.14
of
N°5 -
Observation
T.M.O'Neil -
Fluids
N°6 -
Vol. 11
wave
Science
Vol.9
discret
modèle
inter-
N010
de
thèse
The
water-
1973
and
N01 -
Coulomb
écho -
spectre
Temporal
Vol.11
of
de
plasma
Janvier
Of
Physics
echoes -
1968
and
collisions
wave
plasma
spatial
Fluids
on
microturbulence
Ncll -
Vol. 11
1968
Plasma
plasma -
and
[19] - C.E.Rathmann
Journal
plasmas -
and
[20] - K.Suchy
Journal
of
1868 -
1971
J.
to
the
Atmospheric
J.Frey
part.l
The
électron
of
équations
J.Salmon -
pp
collisional
18 -
of
Physics -
cinétiques
1974-
Thèse
for
équation
11-35
in
effects
187 -
165 -
collision
conductivity
Terrestrial
des
et
physics
définitive
and
of
Simulation
computational
Etablissement
théorie
(l974)Vol.ll
Denavit -
of
Fokker-Planck
Dougherty'smodel
Physics
K.Rower -
relation
M.Valton -
of
Extension
[18] - R.J.Papa -
en
Radio
Bersntein
1974
Fluids
wave
and
cône
a magnetoplasma -
R.W.Gould -
Effect
plasma
their
Résonance
Bernstein -
of
Physics
novembre
res
The
Oscillations
T.M.O'Neil the
in
octobre
T.M.O'Neil
The
[2l]-
of
Physics
diffusion
Décembre
N°5 -
Longitudinal
R.W.Gould
echoes -
patterns
873-880 -
bag
a
Vol.112
The
gas -
A.Gonfalone -
D.B.Muldrew,
[15] - M.Navet -
[17]-
Review
with
1968
férence
[l6]-
oscillations
J.Denavit -
C.B.Wharton,
plasma
pp
Plasma
1971
juin
[14]-
and
électron
J.H.Malmberg,
of
Physical
R.H.Hirsch
[12] - W.W.Lee,
[13]-
I.B.Bernstein -
1975
and
frequencies
the
ionosphère -
Vol.33
de
pp
mélanges
1853
binai-
- 135 -
Publications
[22]-
H.Dormont,
21
[23]-
[25]-
mai
Frey-Salmon
J.Salmon
Etablissement
doctorat
et
d'une
d'Etat -
M.Valton -
et
J.Lasalle
juillet
1972 -
C.R.
Acad.Sci.Paris -
J.Frey,
J.Salmon
et
M.Valton -
no6(74) -
p.
457
équation
Février
J.Salmon -
639 -
pp
nouvelle
Paris -
J.Frey,
Ouvrages
thèse
cinétique -
1970
de
Rev.Gén.
Therm. N°
127 -
645
of
Journal
statistical
physics -
généraux
Introduction
J.L.Delcroix -
Dunod -
monographies
[27]-
théorie
264
1967,
Vol.11
[26]-
la
J.Frey,
J.Frey de
[24]-
sur
J.L.Delcroix -
à
la
théorie
des
gaz
ionisés -
1959
des
Physique
Dunod
plasmas -
Tomes
1 et
2 -
et
1963
1966
[28]-
J.F.Denisse,
J.L.Delcroix -
monographies
Dunod
and
[29] - Fried
[30 -
NY
[31]-
R.Jancel,
The
Kinetic
plasma
function -
dispersion
processes
in
gases
and
plasmas
Acad.Press
NY
Acad.Press
plasmas -
Th.Kahan -
Electrodynamique
des
plasmas -
MIR
et
Lifchitz -
Electrodynamique
des
milieux
Tome
[33] - D.C.Montgomery,
NY
les
Dunod
Tome
1963
Landau
Ed.
dans
ondes
69
Paris
[32]-
des
1961
Conte -
A.R.Hochstim -
Théorie
1964
8 -
continus -
1969
D.A.Tidman -
Plasma
kinetic
theory -
M.C.Graw-Hill
1
6l
- 136 -
dans
[34]-
D.Quemada -
Ondes
[35]-
L.Spitzer -
Physique
Dunod
Ouvrages
[36]-
les
des
Ed.
plasmas -
gaz
Hermann
ionisés -
complètement
monographies
1959
de
généraux
mathématique
and
M.Abrahamowitch
I.A.
Stegun -
of
Handbook
1964
mathematical -
MBC
[37]-
H.Cartan -
Théorie
plusieurs
variables
and
[38] - A.Kolmogorov
de
and
[39] - M.Lavrentiev
[40]-
variable
M.Parodi Vol. 1-5 -
des
S.Fomine -
B.Chabat -
complexe -
Mathématiques
SEDES
Ed.
complexes -
fonctions
Ed.
de
la
théorie
des
fonctions
de
la
théorie
des
fonctions
MIR
Méthodes
Ed.
d'une
analytiques
MIR
appliquées
ou
Hermann
Eléments
fonctionnelle -
l'analyse
d'une
élémentaire
à
l'art
de
l'ingénieur -
et