Recherche d`un contre-exemple de conjecture par

18 Chapitre 1 Raisonnements inductif et déductif
Recherche d’un contre-exemple
de conjecture par raisonnement
Réfuter une conjecture en trouvant une contradiction.
THÉORIE des calculs
Camille a tracé une série de cercles. Elle a marqué des points sur la
circonférence de chacun et elle les a reliés par des cordes.
À mesure que le nombre de points augmentait, Camille a remarqué une
régularité dans le nombre de régions formées par les cordes.
Nombre de points 234
Nombre de régions 248
Elle a formulé cette conjecture: «Quand le nombre de points reliés sur
la circonférence d’un cercle augmente de 1, le nombre de régions créées
à l’intérieur du cercle est multiplié par 2.»
Comment Camille peut-elle vérifier la validité de sa conjecture?
exemple 1 Vérifier la validité d’une conjecture
Vérifie la conjecture de Camille avec d’autres éléments de justification.
La solution de Zohal
Nombre
de points 2 3 4 5
Nombre
de régions 2 4 8 16
?
BUT
MATÉRIEL NÉCESSAIRE
• une calculatrice
• une règle
• un compas
1.3
EXPLORATION
• Six, trente, huit… Conjecture :
«On utilise toutes les lettres
du mot MATHS, sauf une,
pour épeler les nombres.»
Recueille des éléments de
justification qui appuieront ou
contrediront cette conjecture.
Je trace un cercle et j’identifie cinq
points sur sa circonférence. Puis je
relie les paires de points par des
cordes. Ensuite, je colorie les régions
produites pour qu’elles soient plus
faciles à compter.
Mon diagramme compte 16 régions.
Cela appuie la conjecture de Camille
parce que la régularité des régions
est la suivante : 21, 22, 23, 24.

19
1.3 Recherche d’un contre-exemple de conjecture par raisonnement
Je commence par les paires
131
et
232
. Je forme les mêmes carrés de tuiles
que Steffan. Si je ne tiens pas compte du carré jaune, il reste une paire de tuiles
qui ont une arête commune avec le carré jaune, plus une tuile dans le coin
supérieur droit.
Nombre
de points 2 3 4 5 6
Nombre
de régions 2 4 8 16 31
Le nombre de régions n’a pas été
multiplié par 2. Ce contre-exemple
réfute la conjecture de Camille.
Réflexion
A. À ton avis, pourquoi Zohal a-t-elle commencé sa recherche d’autres
éléments de justification en marquant cinq points sur la circonférence
d’un cercle?
B. Pourquoi un seul contre-exemple suffit-il à réfuter une conjecture?
contre-exemple
Exemple qui réfute une
conjecture.
APPLICATION des calculs
exemple 2 Établir des liens avec des conjectures antérieures
À la leçon 1.1, à la page 9, Francesca et Steffan ont formulé des conjectures à propos de la différence
entre des carrés consécutifs.
La conjecture de Steffan: «La différence entre
des carrés parfaits consécutifs est toujours un
nombre impair.»
La conjecture de Francesca: «La différence entre
des carrés parfaits consécutifs est toujours un
nombre premier.»
Comment peut-on vérifier ces conjectures?
La solution de Luc : Expliquer la conjecture de Steffan et faire d’autres essais
La conjecture de Steffan était vraie pour les paires de carrés consécutifs qu’il
avait choisies:
232
et
333 ; 3 33
et
434
;
535
et
636
.
Je trace un autre cercle et
j’identifie six points sur sa
circonférence. Ensuite, je relie
les paires de points par des
cordes et je colorie les régions.
Quand je compte les régions,
il n’y en a que 31, et non pas
25 ou 32, ainsi que le prévoyait
la conjecture de Camille.

20 Chapitre 1 Raisonnements inductif et déductif
Ces trois exemples
appuient la conjecture
de Steffan.
Tous ces éléments de justification renforcent la conjecture de
Steffan. Cependant, ils ne la prouvent pas puisque je n’ai pas
vérifié tous les cas possibles.
La solution de Pierre : Apporter plus d’éléments de justification à la conjecture
de Francesca
Francesca a utilisé
les carrés consécutifs
de 1 et 2, 3 et 4, ainsi
que 8 et 9.
3222255
5224259
La conjecture de Francesca, «La différence entre des carrés parfaits
consécutifs est toujours un nombre premier», a été réfutée par un
contre-exemple.
À toi de jouer!
a) Trouve un autre contre-exemple pour la conjecture de Francesca.
b) Peux-tu trouver un contre-exemple pour la conjecture de Steffan? Explique ta réponse.
Je prends ensuite les carrés de
434
et
535
, étant donné que Steffan a omis
ces valeurs. Il reste deux rangées de tuiles orange, chacune de la même longueur
que le côté du carré jaune, plus une autre tuile dans le coin supérieur droit.
Je vérifie ensuite les carrés consécutifs de
636
et
737
. Une fois de plus,
la différence présente la même régularité : deux rangées de tuiles de même
longueur que le carré jaune, plus une tuile dans le coin supérieur droit.
Je visualise à quoi ressemblerait la différence pour n’importe quelle paire de carrés
consécutifs. Il y aurait toujours deux rangées de tuiles orange, chacune de la
même longueur que le côté du carré jaune, plus, dans le coin, un carré orange
ne faisant pas partie d’une paire. Le total des deux rangées égales serait toujours
un nombre pair puisque le produit de tout nombre multiplié par 2 est pair. La
différence devrait être impaire à cause de la tuile ne faisant pas partie d’une paire.
Le nombre 5 est premier.
Je choisis des valeurs pour pouvoir commencer à remplir les écarts entre celles
que Francesca a choisies.
L’écart suivant est 4 et 5. Et 9 n’est pas un nombre premier.

21
1.3 Recherche d’un contre-exemple de conjecture par raisonnement
exemple 3 Chercher un contre-exemple de conjecture par raisonnement
Matt a découvert une régularité numérique intéressante:
1#81159
12 #812598
123 #8135987
1 234 #81459 876
Matt pense que cette régularité se poursuivra.
Cherche un contre-exemple pour la conjecture de Matt.
La solution de Kublu
1#81159
12#812598
123#8135987
1 234#81459 876
A B
1 1 8 1 9
982 12
8 2
9873 123
8 3
9 8764 1 234
8 4
98 7655 12 345
8 5
987 6546 123 456
8 6
9 876 5437 1 234 567
8 7
98 765 4328 12 345 678
8 8
987 654 3219 123 456 789
8 9
12 345 678 910 #8110 598 765 431 290
1 234 567 890#8110 59 876 543 130
12 345 678 910 #810598 765 431 280
1 234 567 890#81059 876 543 120
La régularité semble vraie pour les nombres
de 1 à 9. Mais pour le 10e nombre, on trouve
un contre-exemple.
Conjecture corrigée: «Si la valeur du nombre
additionné est de 1 à 9, la régularité se
poursuivra.»
À toi de jouer!
Si Kublu n’avait pas trouvé de contre-exemple à la dixième étape, aurait-elle dû continuer sa recherche?
À quel moment serait-il sensé d’arrêter de collecter des éléments de justification si tous les exemples
appuient la conjecture? Justifie ta réponse.
La régularité semble associée au premier facteur
(le facteur qui n’est pas 8), au nombre qui est
additionné et au produit.
J’utilise un tableur pour voir si la régularité se
poursuit.
C’est ce que le tableur démontre.
Au dixième élément de la suite, je dois choisir
entre utiliser 10 ou 0 dans le premier facteur et
comme nombre à additionner. Je choisis de vérifier
les deux façons possibles de représenter 10 et 0.
Puisque la régularité ne se prolonge pas, la
conjecture n’est pas valide.
Je choisis de corriger la conjecture de Matt en
la limitant.

22 Chapitre 1 Raisonnements inductif et déductif
VÉRIFIE ta compréhension
1. Montre que chaque énoncé est faux en trouvant un contre-exemple.
a) Un nombre qui n’est pas négatif est positif.
b) Tous les nombres premiers sont impairs.
c) Tous les joueurs de basket-ball sont grands.
d) La hauteur d’un triangle se mesure à l’intérieur du triangle.
e) Sur une carte, la flèche qui indique le nord pointe toujours
vers le haut.
f ) La racine carrée d’un nombre est toujours inférieure à ce nombre.
g) La somme de deux nombres est toujours supérieure au plus grand
des deux nombres.
h) Plus tu vas vers le nord, plus il fait froid.
2. Seth affirme que tous les quadrilatères dont les côtés sont égaux sont
des carrés. Es-tu d’accord? Justifie ta réponse.
Mise en APPLICATION
3. Jim prétend que, si on multiplie deux nombres naturels, le produit
sera plus grand que l’un ou l’autre des deux facteurs. Es-tu d’accord?
Justifie ta réponse.
4. Rachelle affirme que la somme d’un multiple de 3 et d’un multiple
de 6 doit être un multiple de 6. Es-tu d’accord? Justifie ta réponse.
5. Hannah a étudié ces multiples de 9: 18, 45, 63, 27, 81, 108, 216. Elle
affirme que la somme des chiffres de tout multiple de 9 totalisera 9.
Es-tu d’accord? Justifie ta réponse.
6. Colin a formulé la conjecture suivante: «Si deux angles opposés d’un
quadrilatère sont des angles droits, ce quadrilatère est un rectangle.»
Es-tu d’accord? Justifie ta réponse.
En résumé
Idée principale
• Une conjecture est réfutée dès qu’on lui trouve un contre-exemple.
Cela montre que la conjecture n’est pas valide.
• Tu peux parfois te servir d’un contre-exemple pour corriger une
conjecture.
Ce qu’il faut savoir
• Un seul contre-exemple suffit pour réfuter une conjecture.
• Même si tu ne peux pas trouver de contre-exemple, rien ne garantit
qu’il n’y en a pas. Cependant, tout élément de justification que tu
peux apporter en cherchant un contre-exemple augmente la probabilité
que la conjecture soit vraie.