Recherche d`un contre-exemple de conjecture par

1.3
MATÉRIEL NÉCESSAIRE
• une calculatrice
• une règle
• un compas
EXPLORATION
• Six, trente, huit… Conjecture :
« On utilise toutes les lettres
du mot MATHS, sauf une,
pour épeler les nombres. »
Recueille des éléments de
justification qui appuieront ou
contrediront cette conjecture.
Recherche d’un contre-exemple
de conjecture par raisonnement
BUT
Réfuter une conjecture en trouvant une contradiction.
THÉORIE des calculs
Camille a tracé une série de cercles. Elle a marqué des points sur la
circonférence de chacun et elle les a reliés par des cordes.
À mesure que le nombre de points augmentait, Camille a remarqué une
régularité dans le nombre de régions formées par les cordes.
Nombre de points
2
3
4
Nombre de régions
2
4
8
Elle a formulé cette conjecture : « Quand le nombre de points reliés sur
la circonférence d’un cercle augmente de 1, le nombre de régions créées
à l’intérieur du cercle est multiplié par 2. »
?
Comment Camille peut-elle vérifier la validité de sa conjecture ?
exemple
1
Vérifier la validité d’une conjecture
Vérifie la conjecture de Camille avec d’autres éléments de justification.
La solution de Zohal
Je trace un cercle et j’identifie cinq
points sur sa circonférence. Puis je
relie les paires de points par des
cordes. Ensuite, je colorie les régions
produites pour qu’elles soient plus
faciles à compter.
Nombre
de points
Nombre
de régions
18
2
3
4
5
2
4
8
16
Chapitre 1 Raisonnements inductif et déductif
Mon diagramme compte 16 régions.
Cela appuie la conjecture de Camille
parce que la régularité des régions est la suivante : 21, 22, 23, 24.
Je trace un autre cercle et
j’identifie six points sur sa
circonférence. Ensuite, je relie les paires de points par des
cordes et je colorie les régions.
Nombre
de points
2 3 4
Nombre
de régions
2 4 8 16 31
5
Quand je compte les régions, il n’y en a que 31, et non pas 25 ou 32, ainsi que le prévoyait
la conjecture de Camille.
6
Le nombre de régions n’a pas été
multiplié par 2. Ce contre-exemple
réfute la conjecture de Camille.
contre-exemple
Exemple qui réfute une
conjecture.
Réflexion
A. À ton avis, pourquoi Zohal a-t-elle commencé sa recherche d’autres
éléments de justification en marquant cinq points sur la circonférence
d’un cercle ?
B. Pourquoi un seul contre-exemple suffit-il à réfuter une conjecture ?
APPLICATION des calculs
exemple
2Établir des liens avec des conjectures antérieures
À la leçon 1.1, à la page 9, Francesca et Steffan ont formulé des conjectures à propos de la différence
entre des carrés consécutifs.
La conjecture de Steffan : « La différence entre
des carrés parfaits consécutifs est toujours un
nombre impair. »
La conjecture de Francesca : « La différence entre
des carrés parfaits consécutifs est toujours un
nombre premier. »
Comment peut-on vérifier ces conjectures ?
La solution de Luc : Expliquer la conjecture de Steffan et faire d’autres essais
La conjecture de Steffan était vraie pour les paires de carrés consécutifs qu’il
avait choisies : 2 3 2 et 3 3 3 ; 3 3 3 et 4 3 4 ; 5 3 5 et 6 3 6.
Je commence par les paires 1 3 1 et 2 3 2. Je forme les mêmes carrés de tuiles
que Steffan. Si je ne tiens pas compte du carré jaune, il reste une paire de tuiles
qui ont une arête commune avec le carré jaune, plus une tuile dans le coin
supérieur droit.
1.3 Recherche d’un contre-exemple de conjecture par raisonnement
19
Je prends ensuite les carrés de 4 3 4 et 5 3 5, étant donné que Steffan a omis
ces valeurs. Il reste deux rangées de tuiles orange, chacune de la même longueur
que le côté du carré jaune, plus une autre tuile dans le coin supérieur droit.
Je vérifie ensuite les carrés consécutifs de 6 3 6 et 7 3 7. Une fois de plus,
la différence présente la même régularité : deux rangées de tuiles de même
longueur que le carré jaune, plus une tuile dans le coin supérieur droit.
Ces trois exemples
appuient la conjecture
de Steffan.
Je visualise à quoi ressemblerait la différence pour n’importe quelle paire de carrés
consécutifs. Il y aurait toujours deux rangées de tuiles orange, chacune de la
même longueur que le côté du carré jaune, plus, dans le coin, un carré orange
ne faisant pas partie d’une paire. Le total des deux rangées égales serait toujours
un nombre pair puisque le produit de tout nombre multiplié par 2 est pair. La
différence devrait être impaire à cause de la tuile ne faisant pas partie d’une paire.
Tous ces éléments de justification renforcent la conjecture de
Steffan. Cependant, ils ne la prouvent pas puisque je n’ai pas
vérifié tous les cas possibles.
La solution de Pierre : Apporter plus d’éléments de justification à la conjecture
de Francesca
Francesca a utilisé
les carrés consécutifs
de 1 et 2, 3 et 4, ainsi
que 8 et 9.
Je choisis des valeurs pour pouvoir commencer à remplir les écarts entre celles que Francesca a choisies.
3 2 2 22 5 5
Le nombre 5 est premier.
5 2 2 42 5 9
L’écart suivant est 4 et 5. Et 9 n’est pas un nombre premier.
La conjecture de Francesca, « La différence entre des carrés parfaits
consécutifs est toujours un nombre premier », a été réfutée par un
contre-exemple.
À toi de jouer !
a) Trouve un autre contre-exemple pour la conjecture de Francesca.
b) Peux-tu trouver un contre-exemple pour la conjecture de Steffan ? Explique ta réponse.
20
Chapitre 1 Raisonnements inductif et déductif
exemple
3
Chercher un contre-exemple de conjecture par raisonnement
Matt a découvert une régularité numérique intéressante :
1#81159
12 # 8 1 2 5 98
123 # 8 1 3 5 987
1 234 # 8 1 4 5 9 876
Matt pense que cette régularité se poursuivra.
Cherche un contre-exemple pour la conjecture de Matt.
La solution de Kublu
1#81159
12 # 8 1 2 5 98
123 # 8 1 3 5 987
1 234 # 8 1 4 5 9 876
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
181
12 8 2
123 8 3
1 234 8 4
12 345 8 5
123 456 8 6
1 234 567 8 7
12 345 678 8 8
123 456 789 8 9
La régularité semble associée au premier facteur
(le facteur qui n’est pas 8), au nombre qui est
additionné et au produit.
B
9
98
987
9 876
98 765
987 654
9 876 543
98 765 432
987 654 321
J’utilise un tableur pour voir si la régularité se
poursuit.
C’est ce que le tableur démontre.
12 345 678 910 # 8 1 10 5 98 765 431 290
1 234 567 890 # 8 1 10 5 9 876 543 130
12 345 678 910 # 8 1 0 5 98 765 431 280
1 234 567 890 # 8 1 0 5 9 876 543 120
Au dixième élément de la suite, je dois choisir entre utiliser 10 ou 0 dans le premier facteur et
comme nombre à additionner. Je choisis de vérifier
les deux façons possibles de représenter 10 et 0.
La régularité semble vraie pour les nombres
de 1 à 9. Mais pour le 10e nombre, on trouve
un contre-exemple.
Puisque la régularité ne se prolonge pas, la
conjecture n’est pas valide.
Conjecture corrigée : « Si la valeur du nombre
additionné est de 1 à 9, la régularité se
poursuivra. »
Je choisis de corriger la conjecture de Matt en la limitant.
À toi de jouer !
Si Kublu n’avait pas trouvé de contre-exemple à la dixième étape, aurait-elle dû continuer sa recherche ?
À quel moment serait-il sensé d’arrêter de collecter des éléments de justification si tous les exemples
appuient la conjecture ? Justifie ta réponse.
1.3 Recherche d’un contre-exemple de conjecture par raisonnement
21
En résumé
Idée principale
• Une conjecture est réfutée dès qu’on lui trouve un contre-exemple. Cela montre que la conjecture n’est pas valide.
• Tu peux parfois te servir d’un contre-exemple pour corriger une
conjecture.
Ce qu’il faut savoir
• Un seul contre-exemple suffit pour réfuter une conjecture.
• Même si tu ne peux pas trouver de contre-exemple, rien ne garantit
qu’il n’y en a pas. Cependant, tout élément de justification que tu peux apporter en cherchant un contre-exemple augmente la probabilité
que la conjecture soit vraie.
VÉRIFIE ta compréhension
1. Montre que chaque énoncé est faux en trouvant un contre-exemple.
a) Un nombre qui n’est pas négatif est positif.
b) Tous les nombres premiers sont impairs.
c) Tous les joueurs de basket-ball sont grands.
d) La hauteur d’un triangle se mesure à l’intérieur du triangle.
e) Sur une carte, la flèche qui indique le nord pointe toujours
vers le haut.
f ) La racine carrée d’un nombre est toujours inférieure à ce nombre.
g) La somme de deux nombres est toujours supérieure au plus grand
des deux nombres.
h) Plus tu vas vers le nord, plus il fait froid.
2. Seth affirme que tous les quadrilatères dont les côtés sont égaux sont
des carrés. Es-tu d’accord ? Justifie ta réponse.
Mise en APPLICATION
3. Jim prétend que, si on multiplie deux nombres naturels, le produit
sera plus grand que l’un ou l’autre des deux facteurs. Es-tu d’accord ?
Justifie ta réponse.
4. Rachelle affirme que la somme d’un multiple de 3 et d’un multiple
de 6 doit être un multiple de 6. Es-tu d’accord ? Justifie ta réponse.
5. Hannah a étudié ces multiples de 9 : 18, 45, 63, 27, 81, 108, 216. Elle
affirme que la somme des chiffres de tout multiple de 9 totalisera 9.
Es-tu d’accord ? Justifie ta réponse.
6. Colin a formulé la conjecture suivante : « Si deux angles opposés d’un
quadrilatère sont des angles droits, ce quadrilatère est un rectangle. »
Es-tu d’accord ? Justifie ta réponse.
22
Chapitre 1 Raisonnements inductif et déductif
7. Claire a observé que les chiffres 4, 5, 6 et 7 permettent d’exprimer
chaque valeur de 1 à 5, comme dans le tableau ci-contre. Elle a
conjecturé que ces chiffres pourraient servir à exprimer chaque
valeur de 1 à 20. Explique, à l’aide d’exemples, si la conjecture
de Claire est sensée.
8. George a remarqué une régularité semblable
1#41155
à celle de Matt dans l’Exemple 3. George a
12 # 4 1 2 5 50
conjecturé que le dernier chiffre des produits
123 # 4 1 3 5 495
formerait une suite de 0 et de 5. Recueille
1 234 # 4 1 4 5 4 940
des éléments de justification portant sur la
conjecture de George. Tes éléments de justification renforcent-ils
la conjecture de George ou la réfutent-ils ? Explique ta réponse.
9. Parmi les questions nos 2 à 8, choisis une conjecture que tu as réfutée.
Sers-toi de ton contre-exemple pour rendre la conjecture valide.
10. Après examen du tableau ci-dessous, Patrice a formulé cette conjecture :
« Les sommes des carrés des nombres entiers séparés par une valeur
de 2 seront toujours paires. »
1 21 2 2 1 12 5 2 22 1 42 5 20
1232 2 1 1252 2 5 34
Nombre
Expression
1
725
624
2
7261524
3
617 2 52
4
4
7162524
5
5 1 !64 2 7 2
42 1 62 5 52 02 1 22 5 4
La conjecture de Patrice est-elle sensée ? Explique ta réponse.
A
11. Geoff a formulé cette conjecture : « Si les diagonales d’un
quadrilatère sont perpendiculaires, alors ce quadrilatère
E
est un carré. » Établis la validité de sa conjecture. Explique
tes résultats.
12. Émy a formulé cette conjecture : « Le produit de tout nombre B
multiplié par lui-même sera plus grand que le nombre
multiplié. » Par exemple, le produit de la multiplication 2 # 2,
soit 4, est plus grand que le nombre de départ, 2. Mégane ne partage
pas l’avis d’Émy parce que 12 # 12 5 14 et que 14 vaut moins que 12.
Comment la conjecture d’Émy pourrait-elle être améliorée ? Explique
comment tu la modifierais.
13. Formule un énoncé général qui sera vrai dans certains cas, mais pas
toujours. Apporte des exemples à l’appui de ton énoncé. Fournis un
contre-exemple.
14. En se basant sur les exemples ci-dessous, Tim a conjecturé que tous
les nombres naturels strictement positifs peuvent s’écrire sous la forme
d’une somme de nombres naturels strictement positifs consécutifs :
10 5 1 1 2 1 3 1 4
12 5 3 1 4 1 5
9 5 4 1 5
94 5 22 1 23 1 24 1 25
Es-tu d’accord avec la conjecture de Tim ? Justifie ta réponse.
15. Julien a affirmé que tous les nombres impairs peuvent être exprimés
sous la forme d’une somme de trois nombres premiers. Explique, à
l’aide d’éléments de justification, si sa conjecture est sensée.
D
C
Conseil de communication
Une expression est un énoncé
mathématique comportant des
nombres, des variables et des
symboles d’opération. Par
3d
exemple, 2 est une expression.
Une équation est un énoncé
mathématique qui comporte
un signe d’égalité et au moins
une variable ou inconnue.
3d
Par exemple, 5
5 est une
2
équation.
1.3 Recherche d’un contre-exemple de conjecture par raisonnement
23
16. Le mathématicien allemand Christian Goldbach a formulé cette
conjecture : « Tout nombre pair supérieur à 2 équivaut à la somme de
deux nombres premiers. » Par exemple :
14 5 3 1 11
30 5 7 1 23
Cette conjecture porte le nom de conjecture de Goldbach. Personne n’a
jamais été capable de prouver qu’elle était vraie pour tous les nombres
pairs, mais aucun contre-exemple n’a jamais été trouvé non plus.
a) Cherche trois autres exemples à l’appui de la conjecture de
Goldbach.
b) Si un contre-exemple existait, décris à quoi il ressemblerait.
17. Jarrod a découvert ce truc algébrique dans un livre qu’il lisait :
Choisis un nombre. Double-le. Additionnes-y 6. Double-le encore.
Soustrais-en 4. Divise le résultat par 4. Soustrais-en 2.
a) Essaie le truc à plusieurs reprises. Formule une conjecture à propos
de la relation entre le nombre choisi et le résultat final.
b) Peux-tu trouver un contre-exemple pour ta conjecture ? Si oui,
quelle conséquence cela a-t-il ?
Les mathématiques dans l’histoire
Le raisonnement en sciences
Bon nombre de découvertes scientifiques reposent sur le raisonnement
inductif. Les scientifiques formulent des conjectures après avoir étudié tous
les éléments de justification qu’ils ont en main. Ils vérifient leurs conjectures
en effectuant des expériences qui leur permettent de tester si l’univers
se comporte de la façon prédite. Si les expériences donnent les résultats
attendus, les conjectures des scientifiques sont renforcées. Si les résultats
contredisent les conjectures, les scientifiques s’en servent pour modifier
celles-ci ou pour en formuler de nouvelles.
Plusieurs conjectures scientifiques ont été modifiées au fil des ans
à mesure que de nouvelles données ont été connues. L’une de ces
conjectures a trait à la Terre. Autrefois, on croyait que la Terre était
plate. Cette conjecture a été tenue pour vraie jusqu’à ce que des contreexemples imposent de la modifier. Vers 330 avant notre ère, Aristote a
été l’un des premiers à conjecturer que la Terre n’était pas un disque plat,
mais bien une sphère. Plus tard, au Ier siècle de notre ère, Pline l’Ancien a
pu affirmer que la conjecture de la Terre plate n’était plus valide à cause
des éléments de justification avancés pour la contredire. Pline avançait
l’hypothèse d’une sphère imparfaite. Des éléments de justification
modernes, obtenus à partir de satellites et de vaisseaux spatiaux, n’ont
jamais fourni de contre-exemple à la théorie de la sphère. Aujourd’hui,
cette théorie est généralement admise comme un fait.
Si la Terre était un disque
plat, elle pourrait avoir cette
apparence à partir de l’espace.
Voici toutefois de quoi elle a
vraiment l’air.
A. Quelles autres conjectures relatives à notre univers ont pu être corrigées après l’apparition de nouveaux
éléments de justification ?
B. Quel rôle le raisonnement inductif joue-t-il dans nos croyances et dans notre compréhension de l’univers ?
24
Chapitre 1 Raisonnements inductif et déductif
Conclusion
18. Quelle relation existe-t-il entre le raisonnement inductif, les éléments
de justification et les contre-exemples ?
Prolongement
19. Serge a formulé cette conjecture : « Si on soustrait 3 d’un carré parfait
supérieur à 4, la différence est toujours un nombre composé. » Par exemple :
152 2 3 5 222
Le nombre 222 est composé parce qu’il est divisible par des facteurs autres
que 1 et lui-même. Es-tu d’accord avec la conjecture de Serge ? Justifie ta
réponse.
20. Selon Environnement Canada, les prévisions en matière de précipitations
sont des estimations subjectives. Ces prévisions ou estimations sont en
réalité des conjectures fondées sur des éléments de justification numériques
et sur la topographie des régions. Elles sont importantes pour les gens
qui travaillent dehors (en construction, en agriculture, en arpentage, etc.)
et pour quiconque doit planifier des activités à l’extérieur. Plus s’approche
le moment des précipitations, plus la conjecture est corrigée pour refléter
de nouvelles données et une précision accrue.
a) Le tableau d’Environnement Canada ci-dessous semble avoir été
rédigé à l’intention d’adultes qui vivent dans une ville ou en banlieue.
Modifie le tableau comme s’il était écrit pour toi en incluant des
activités qui sont les tiennes.
b) Explique tes changements. Comment as-tu déterminé quelles
probabilités de précipitations pourraient avoir un effet sur tes activités ?
Guide approximatif de l’usager sur la probabilité de précipitations
0% Pas de précipitations, mais présence éventuelle de nuages.
10% Faible probabilité de précipitations : une seule chance de neige ou
de pluie sur dix.
20% On s’attend encore à du temps sec.
30% Si vous exécutez vos activités de plein air, surveillez le temps.
40% Apportez votre parapluie. Concevez des plans de rechange pour
les activités de plein air sensibles à la pluie. Pas la meilleure journée
pour revêtir l’entrée du garage. Touchez du bois !
50% 50 chances de précipitations, 50 chances de temps sec.
60% Voulez-vous arroser votre pelouse ? Il y a de fortes chances que
Dame Nature vous vienne en aide.
70% Songez à l’effet de précipitations sur vos projets d’activités en plein
air. Il ne reste plus que trois chances de temps sec sur dix !
80% Probabilité de pluie ou de neige.
90% Quasi-certitude de précipitations.
100% Précipitations certaines.
Environnement Canada, Probabilité de précipitations
21. Mohammed affirme que la somme de l’addition n 2 1 n 1 2 ne sera jamais
un nombre impair si n est un nombre entier positif. Es-tu d’accord ? Justifie
ta réponse.
1.3 Recherche d’un contre-exemple de conjecture par raisonnement
25
Application de stratégies de résolution de problèmes
Analyse d’un jeu de raisonnement mathématique
Un arithmogone est un jeu de raisonnement mathématique qui porte sur
l’addition. Il est formé de polygones qui contiennent des cercles à chaque
sommet et un carré sur chaque côté.
Le jeu
Le nombre inscrit dans chaque carré d’un arithmogone égale la somme
des deux nombres inscrits dans les cercles adjacents au carré.
1
4
3
2
3
5
A. Résous les trois arithmogones triangulaires ci-dessous.
a)
b)
17
18
19
c)
9
12
15
38
48
68
B. Conçois ton propre arithmogone. Échange-le avec celui d’un ou une
autre élève. Résolvez vos arithmogones.
La stratégie
C. Quelles régularités as-tu remarquées ?
D. Quelle relation existe-t-il entre les nombres dans les cercles et les
nombres dans les carrés qui leur sont opposés ?
E. Décris la stratégie que tu as utilisée pour résoudre l’arithmogone de
ton ou ta partenaire.
F. Parmi les arithmogones que tu as résolus, lequel était le plus facile ?
Explique ta réponse.
26
Chapitre 1 Raisonnements inductif et déductif