article13 arithm et conjectures

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A la recherche des nombres premiers...
Ces fameux nombres qui ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes (2, 3, 5, 7, 11, ...) demeurent une
véritable énigme car personne n'a encore réussi à modéliser leur apparition d'apparition.
On sait juste que plus on avance, plus ces spécimens se raréfient.
Le plus grand d'entre eux, 2
74 207 281
− 1, vient d'être découvert par le Great Internet Mersenne Prime Search
grâce à un logiciel de calcul partagé utilisant les nombres de Mersenne.
Ce nombre qui aligne plus de 22 millions de chiffres a rapporté... 100000 dollars à ses dénicheurs.
La prochaine étape (mise à prix : 250000 dollars) est d'en débusquer un à 1 milliard de chiffres (la prime est
partagé entre l'internaute et les membres du Great Internet Prime Search.
Avis aux amateurs...
Il existe aussi un certain nombre de conjectures actuellement non démontrées. En voici quelques unes :
 La conjecture de Goldbach
Tout nombre entier pair supérieur à 3 peut s’écrire comme la somme de deux nombres
premiers.
Formulée en 1742 par Christian Goldbach , c’est l’un des plus vieux problèmes non résolus de la théorie des
nombres et des mathématiques.
4 = 2 + 2 (1 solution)
6 = 3 + 3 (1 solution)
8 = 3 + 5 (1 solution)
10 = 3 + 7 = 5 + 5 (2 solutions)
12 = 5 + 7 (1 solution)
14 = 3 + 11 = 7 + 7 (2 solutions)
50 = 19 + 31 = 13 + 37 = 7 + 43 = 3 + 47 (4 solutions)
La majorité des mathématiciens pense que la conjecture de Goldbach est vraie.
En 2013, les vérifications numériques publiées conduisent aux conclusions suivantes : la conjecture de
Goldbach est vérifiée pour tous les entiers pairs jusqu’à 4.10
18
.
 La conjecture de Syracuse
Soit n un nombre entier positif et soit la procédure suivante :
si n est pair, vous le divisez par 2 ;
s’il est impair, vous le multipliez par 3 et vous ajoutez 1.
On répète alors cette procédure au nombre ainsi obtenu, et ainsi de suite, pour fabriquer une séquence
de nombres.
Quel que soit le nombre choisi au départ, on finira par tomber à un certain rang sur le nombre 1.
Mystères et conjectures...

2
/2
ex : si
7
n
=
, voici la séquence que l'on obtient : 7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,4,2,1,…
rmq : à la fin, une fois que l’on est tombé sur 1, la suite finit par répéter indéfiniment le cycle 4, 2, 1
La conjecture de Syracuse est un merveilleux problème d’arithmétique relativement récent puisqu’il a été
popularisé par le mathématicien allemand Lothar Collatz vers 1937.
C’est à la suite d’un exposé à l’Université de Syracuse à New York qu’elle a acquis son surnom le plus
connu.
Les ordinateurs l’ont vérifiée jusqu’à
20
10
, et pourtant les mathématiciens n’ont toujours pas réussi à la
démontrer ou à l’infirmer.
En 2011
(*)
, une prépublication a annoncé sa démonstration… avant de se rétracter après la découverte d’une
faille dans un point du raisonnement.
(*)
voir là pour plus de détails : https://sciencetonnante.wordpress.com/2011/06/27/la-conjecture-de-
syracuse/
La deuxième conjecture de Hardy-Littlewood
Elle affirme qu’il y a toujours plus de nombres premiers entre 0 et N que dans tout autre intervalle de
longueur N
Par exemple, il y a 25 nombres premiers entre 0 et 100. Il n’y en a que 16 entre 1100 et 1000, et plus que 6
entre 100100 et 100000.
Cette conjecture (énoncée en 1923 par les mathématiciens John Littlewood et Godfrey Hardy) a de quoi
intriguer car on n’en a jamais trouvé un seul contre-exemple. Et pourtant les spécialistes sont convaincus
qu’elle est fausse. Mais ils estiment que pour trouver un contre-exemple, il faut aller chercher au-delà de
174
10
!
 La conjecture des nombres premiers jumeaux
Déf : Des nombres premiers jumeaux sont deux nombres premiers qui ne sont séparés que de 2 unités.
(par exemple 5 et 7, ou 17 et 19)
Conjecture : Il existe une infinité de nombres premiers jumeaux
D’ailleurs tant qu’on en cherche, on en trouve : les plus grands nombres premiers jumeaux connus à ce jour
sont
666669
3756801695685 2 1
× ±
.
On peut généraliser le cas des nombres premiers jumeaux : par exemple on parle de nombres premiers
« cousins » s’ils sont séparés de 4, ou de nombres premiers « sexy » s’ils sont séparés de 6.
On peut écrire toutes ces conjectures sous une forme un peu plus générale :
Conjecture (0,K) : il existe une infinité de nombres premiers p tels que p et p+K soient premiers.
La conjecture des nombres premiers jumeaux est donc la conjecture (0,2), celle des nombres premiers sexy
est la conjecture (0,6), etc.
On pense que pour toute valeur de
K paire, la conjecture (0, K ) est vraie mais on ne sait en démontrer aucune!