Conjecture, contre-exemple, démonstration Exercice 1 Un élève a fait la conjecture suivante : « Si n est un nombre premier, alors n² + n + 17 est aussi un nombre premier. » Vérifie cette conjecture pour les nombres premiers 2, 3, 5, 7, 11, 13. Et pour 17 ? Conclusion ? Exercice 2 Conjecture : « Tout nombre impair peut s'écrire sous la forme de la différence des carrés de deux nombres entiers. » Ecrire les nombres 3, 5, 7, 9 sous la forme de différence des carrés de deux nombres entiers. Et pour 537 ? Comment démontrer que cette conjecture est exacte ? Exercice 3 a) Ajouter 3 nombres entiers consécutifs. La somme est-elle un multiple de 3 ? Recommencer avec d'autres exemples. Quelle conjecture peut-on faire ? La démontrer. b) Ajouter 5 nombres entiers consécutifs. La somme est-elle un multiple de 5 ? Recommencer avec d'autres exemples. Quelle conjecture peut-on faire ? La démontrer. c) Peut-on généraliser les propriétés précédentes en disant que la somme de n entiers consécutifs est un multiple de n ? Exercice 4 1. Calculer le produit de quatre entiers consécutifs et ajouter 1. Que remarque-t-on ? (Faire plusieurs essais) 2. Montrer que, pour tout réel x, on a x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 = (x2 + 3x + 1)2 Expliquer le résultat observé à la question 1. Exercice 5 1 1 1 1 1 1 , puis 56 5 6 425 4 25 b) Quelle conjecture peut-on faire ? Démontrer. a) Calculer . Exercice 6 x . 1xx 2 1 1 a) Calculer f et f (3), puis f − et f (– 5) . 3 5 b) Quelle conjecture peut-on faire ? Démontrer. Soit f la fonction définie par f x=