Conjecture, contre-exemple, démonstration

Conjecture, contre-exemple,
démonstration
Exercice 1
Un élève a fait la conjecture suivante :
« Si n est un nombre premier, alors n² + n + 17 est aussi un nombre premier. »
Vérifie cette conjecture pour les nombres premiers 2, 3, 5, 7, 11, 13.
Et pour 17 ? Conclusion ?
Exercice 2
Conjecture : « Tout nombre impair peut s'écrire sous la forme de la différence des carrés de deux
nombres entiers. »
Ecrire les nombres 3, 5, 7, 9 sous la forme de différence des carrés de deux nombres entiers.
Et pour 537 ?
Comment démontrer que cette conjecture est exacte ?
Exercice 3
a) Ajouter 3 nombres entiers consécutifs. La somme est-elle un multiple de 3 ?
Recommencer avec d'autres exemples.
Quelle conjecture peut-on faire ? La démontrer.
b) Ajouter 5 nombres entiers consécutifs. La somme est-elle un multiple de 5 ?
Recommencer avec d'autres exemples.
Quelle conjecture peut-on faire ? La démontrer.
c) Peut-on généraliser les propriétés précédentes en disant que la somme de n entiers consécutifs est
un multiple de n ?
Exercice 4
1. Calculer le produit de quatre entiers consécutifs et ajouter 1. Que remarque-t-on ?
(Faire plusieurs essais)
2. Montrer que, pour tout réel x, on a x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 = (x2 + 3x + 1)2
Expliquer le résultat observé à la question 1.
Exercice 5
a) Calculer
1
56
1
5 1 6
, puis
1
425
1
4 1 25
.
b) Quelle conjecture peut-on faire ? Démontrer.
Exercice 6
Soit f la fonction définie par
fx= x
1xx2
.
a) Calculer
f
1
3
et f (3), puis
f −1
5
et f (– 5) .
b) Quelle conjecture peut-on faire ? Démontrer.