Devoir surveillé : UE12 - th`eme 1 (Alg`ebre linéaire)

Devoir surveill´e : UE12 - th`eme 1 (Alg`ebre lin´eaire)
- 2 heures -
Questions de cours
Ed´esigne un espace vectoriel de dimension de dimension finie sur un corps K(suppos´e commutatif).
Rappeler les notions suivantes.
1. La d´efinition d’une famille libre de E.
Une famille pviqiPIest libre si pour toute partie finie de I- que l’on peut assimiler `a v1, nw, n PN˚,
on a :
@pλiq P Kn,
n
ÿ
i“1
λivi“0Eñλi“0K,@iP v1, nw.
2. Le th´eor`eme du rang.
@fPLpEq,dimpKerfq ` dimpImfq “ dim E.
3. La formule de Grassmann.
@F, G sev de E, dimpF`Gq “ dim F`dim G´dimpFXGq.
4. Une d´efinition de la propri´et´e : !les trois sous-espaces vectoriels de E, not´es F, G et Hsont en
somme directe ".
Plusieurs d´efinitions possibles :
–@xPF`G`H, D!pxF, xG, xHq P FˆGˆHtel que x“xF`xG`xH.
– L’application de FˆGˆHdans Ed´efinie par : pu, v, wq ÞÑ u`v`west injective.
–FXG“ t0Euet pF`Gq X H“ t0Eu.
Probl`eme : Matrices stochastiques
Soit nun entier naturel non nul. On dit qu’une matrice M“ pMi,j qpi,jqPv1,nw2de MnpRqest stochastique
en ligne si
@iP v1, nw, Mi,j ě0 et
n
ÿ
j“1
Mi,j “1.
Une matrice MPMnpRqest stochastique en colonnes si tMest stochastique en lignes.
1. Montrer que si MPMnpRqest stochastique en lignes, alors 1 est valeur propre de Met que le vec-
teur de Rndont toutes les coordonn´ees sont ´egales `a 1 est vecteur propre associ´e `a la valeur propre 1.
´
Evident.
2. Pensez-vous que 1 soit valeur propre d’un matrice de MnpRqstochastique en colonnes ? Justifier.
Puisque 1 est vp de Mstochastiche en lignes, 1 est racine du polynˆome detpM´xInq. Mais, le
d´eterminant d’une matrice est ´egal au d´eterminant de sa transpos´ee. Il en r´esulte que 1 est racine
de detptM´xtInq “ detptM´xInq, o`u tMest stochastique en colonnes.
1

Le r´eel 1 est donc aussi vp de toute matrice stochastique en colonnes.
3. Montrer que le produit de deux matrices stochastiques en lignes est une matrice stochastique en
lignes. Que pensez-vous du produit de deux matrices stochastiques en colonnes ? Justifier. Que
pensez-vous du produit d’une matrice stochastique en lignes et d’une matrice stochastique en co-
lonnes ? Justifier.
Soit Met Pdeux matrices stochastiques en lignes. La positivit´e des coefficients de la matrice produit
est claire puisque chaque coefficients de cette matrice est une somme de produits de nombres positifs.
Explicitions la somme de la ligne kP v1, nwde la matrice produit MP :
n
ÿ
l“1pMP qkl “
n
ÿ
l“1˜n
ÿ
j“1
Mkj Pjl¸“
n
ÿ
j“1
Mkj ˜n
ÿ
k“1
Pjl¸.
La somme
n
ÿ
k“1
Pjl est la somme des coefficients de la ligne jde la matrice P, elle donc ´egale `a 1.
Mais alors, la somme des coefficients de la ligne kde la matrice produit est ´egale `a
n
ÿ
j“1
Mkj - qui
est la somme des coefficients de la ligne kde M. D’o`u le r´esultat.
Si Met Psont stochastiques en colonnes, alors tMet tPsont stochastiques en lignes et leur pro-
duit, d’apr`es ce qui vient d’ˆetre vu, tMtPaussi. Mais, alors tptMtPq “ P M est stochastique en
colonnes. Le produit de deux matrices stochastiques en colonnes est donc une matrice stochastique
en colonnes.
Un contre-exemple suffit `a justifier que le produit d’une matrice stochastique en lignes par une
matrice stochastique en colonnes, n’est pas en g´en´eral une matrice stochastique.
¨
˝
0.2 0.8
0.3 0.5˛
‚ˆ¨ ˝
0.6 0.2
0.4 0.˛
‚“¨ ˝
0.44 0.68
0.46 0.62˛
‚.
4. On note Snl’ensemble des matrices stochastiques en lignes de MnpRq; on note SppMqpĂ Cqle
spectre de M, (l’ensemble des valeurs propres de M) et on munit Rnde la norme du sup, d´efinie
par
@X“ pxiqiPv1,nwPRn,}X}8“sup
iPv1,nw|xi|.
Pour all´eger les notations, on note d´esormais }.}cette norme et on admet que l’application de
MnpRqdans R`d´efinie par
MÞÑ sup
XPRn,}X}“1}MX}
est une norme sur MnpRq. On l’appelle la norme de matrice subordonn´ee `a la norme du sup sur Rn
et on la note |||.|||.
4.a) Justifier que @XPRn,}MX} ď |||M|||.}X}.
Si Xest le vecteur nul, le r´esultat est trivial, les membres de l’in´egalit´e ´etant nuls.
Si Xn’est pas nul, alors }MX
}X}} ď |||M||| puisque la norme de Mest le sup des }M U}pris sur
2

les vecteurs Ude norme 1. D’o`u, }MX}
}X}ď |||M||| ñ }M X} ď |||M|||.}X}.
4.b) Montrer que si MPSn, alors |||M||| ď 1.
Soit MPSnet Xde norme 1. Alors, }M X}est la plus grande valeur absolue des coordonn´ees
de M X. Soit iP v1, nw, la coordonn´ee d’indice iest ´egale `a
n
ÿ
j“1
Mij xjet
|
n
ÿ
j“1
Mij xj|ď}X}
n
ÿ
j“1
Mij “ }X}.
Donc, }M X}ď}X} “ 1. Mais alors, le sup du membre de gauche, pris sur les Xde norme 1,
reste inf´erieur ou ´egal `a 1, ce qui revient `a dire que la norme de Mest inf´erieure ou ´egale `a 1.
4.c) Soit λPSppMq. En consid´erant un vecteur propre de Mde norme ´egale `a 1, justifier que
|λ| ď 1.
Soit λune vp de Met Xun Vp associ´e de norme 1. On a
M X “λ X ñ }M X}“|λ|}X} “ |λ|,
mais, }M X} ď |||M|||.}X} ď 1ˆ1“1. d’o`u, |λ| ď 1.
5. Soit MPSntelle que 1 soit valeur propre simple et que @λPSppMq, λ ‰1,|λ| ă 1.
5.a) Montrer que si Mest diagonalisable, alors la suite pMnqnPNest convergente (sous-entendu
”lorsque ntend vers `8”).
M´etant diagonalisable, il existe une matrice de passage, not´ee P, telle que P´1M P “D, o`u
Dest la matrice diagonale des vp de M. On en d´eduit que @kPN, Mk“P´1DkP. Mais, les
´el´ements diagonaux de Dksont des nombres r´eels de valeurs absolues strictement inf´erieures `a 1
`a l’exception de 1, leurs puissances tendent donc vers 0, ou vers 1, lorsque ktend vers `8. On
en d´eduit que lim
kMk“P´1¨
˝
1p0q
p0q p0q˛
‚P.
5.b) Montrer que si SppMq Ă R, alors la suite pMnqnPNest convergente.
(Il sera commode d’utiliser la d´ecomposition de Dunford de M- dont on rappelera l’´enonc´e pr´ecis.)
Lorsque Madmet toutes ses vp dans R(i.e. lorsque son polynˆome caract´eristique est scind´e), si
Mest diagonalisable, le r´esultat est acquis d’apr`es le 5.a). Sinon, Mest trigonalisable et il existe
alors une matrice de passage Ptelle que
P´1M P “¨
˝
1p0q
p0qA˛
‚
o`u Aest une matrice triangulaire sup´erieure `a n´1 lignes et n´1 colonnes dont les vp sont
les vp de M, `a l’exception de la vp simple 1. Ainsi, toutes les vp de Asont, en valeurs absolues,
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strictement inf´erieures `a 1. On en d´eduit que pour tout entier naturel k,P´1MkP“¨
˝
1p0q
p0qAk˛
‚
(c’est une cons´equence de la d´efinition du produit matriciel).
Montrons maintenant que la suite de matrices pAkqkPNtend vers 0 lorsque ktend vers `8.
La matrice Aa toutes ses (n´1) valeurs propres r´eelles, elle admet donc une d´ecomposition de
Dunford (elle n’est pas diagonalisable, car Mle serait, ce qui est exclu dans le cas ´etudi´e). Cela
signifie que A“D`N, avec Ddiagonalisable, Tnilpotente et DN “N D.
Alors, il existe une matrice inversible Qtelle que :
Q´1A Q “Q´1pD`NqQ“∆`N1,∆ diagonale et N1nilpotente.
On en d´eduit que
pQ´1A Qqk“Q´1AkQ“ p∆`N1qk“∆k`ˆk
1˙∆k´1N1` ¨¨¨ˆk j´1˙∆k´j`1N1j´1,
o`u jest l’indice de nilpotence de N(et de N1). La formule du binˆome est applicable car ici les
deux matrice commutent, c’est une propri´et´e essentielle de la d´ecomposition de Dunford.
Lorsque ktend vers `8, les ´el´ements diagonaux de ∆ ´etant strictement inf´erieurs `a 1 en valeurs
absolues, ∆ktend vers 0. Pour les autres termes de la somme - en nombre fini -, par exemple
ˆk
i˙∆k´iN1ipour iP v1, j ´1w, on a :
}ˆk
i˙∆k´iN1i}ď}N1}i}ˆk i˙∆k´i}.
Mais, dans cette expression }N1}ine d´epend pas de k(c’est une constante) et les ´el´ements non nuls
de la matrice diagonale ˆk
i˙∆k´isont tous de la forme !pun polynˆome en kqˆλk", o`u |λ| ă 1.
Un tel produit, c’est bien connu, tend vers 0 lorsque ktend vers `8 (la fonction exponentielle
impose sa limite `a la fonction puissance). Ainsi, tous les coefficients de cette matrice tendent vers
0 et la matrice tend elle-mˆeme vers 0. Ce r´esultat vaut pour chaque terme de la somme finie ´egale
`a Q´1AkQ. On en d´eduit que cette matrice a pour limite la matrice nulle lorsque ktend vers
`8 et donc que pAkqtend vers la matrice nulle aussi.
En revenant `a la matrice M, on a
lim
kP´1MkP“lim k¨
˝
1p0q
p0qAk˛
‚“¨ ˝
1p0q
p0qO˛
‚
et lim
kMk“P¨
˝
1p0q
p0qO˛
‚P´1.
5.c) On consid`ere la matrice
MҬ
˚
˚
˝
0,1 0,2 0,7
0,4 0,4 0,2
0,1 0,6 0,3
˛
‹
‹
‚
.
Cette matrice est-elle stochastique en lignes ou en colonnes ? D´eterminer SppMq. L’´etude de la
convergence de la suite pMnqnPNrel`eve-t-elle des des cas pr´ec´edemment ´etudi´es ?
Conjecturer le comportement de la suite pMnqnPNdans ce cas. Comment pourriez-vous justifier ?
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La matrice est trivialement stochastique en lignes. Pour d´eterminer ”`a la main” son spectre, on
peut multiplier la matrice par 10 et chercher le spectre de 10M. Bien entendu, si λest une vp de
M, 10 λest une vp de 10M.
On a :
detp10M´xI3q “
1´x2 7
4 4 ´x2
1 6 3 ´x
“ p1´xq4´x2
6 3 ´x´42 7 6 3 ´x`2 7 4´x2.
Le d´eveloppement de ce d´eterminant (qui peut, ´evidemment, ˆetre avantageusement calculer avec
une machine) donne
detp10M´xI3q“´x3`8x2`8x´120.
Il est facile d’observer que 10 est vp (puisque 1 est vp de Mqui est stochastique en lignes), d’o`u
χ10Mpxq “ ´px´10qpx2`2x`12q.
Le trinˆome x2`2x´12 n’admet pas de racines r´eelles et le polynˆome caract´eristique de 10M,
comme celui de M, n’est donc pas scind´e. L’´etude de la convergence de la suite pMnqnPNne rel`eve
donc pas des deux cas trait´es pr´ec´edemment.
Un calcul des puissances successives de Mconduit `a conjecturer que la suite converge aussi dans
ce cas. Avec une calculatrice, d`es le calcul de M6, les coefficients ”stationnent `a 10´3pr`es” (i.e.
les trois premi`eres d´ecimales des coefficients de le matrice restent inchang´ees d’un puissance `a la
suivante).
La d´etermination des vp complexes de Mva fournir une justification de cette convergence. Un
calcul facile montre que ces vp sont 1,´1`?11
10 et ´1´?11 10 . Les deux racines commplexes sont
de modules strictement inf´erieurs `a 1. Si on consid`ere Mcomme une matrice `a coefficients com-
plexes, ses trois vp ´etant simples, elle est C-diagonalisable et on peut lui appliquer la d´emarche
du 5.a). Il en r´esulte que la suite pMkqkPNconverge vers P¨
˝
1p0q
p0qO˛
‚P´1. Dans ce cas, la
matrice de passage est `a coefficients dans C, mais la matrice Met toutes ses puissances
´etant r´eelles, la convergence de la suite justifie que la matrice limite est r´eelle (les coefficients de
Mksont des suites r´eelles qui convergent, R´etant ferm´e dans C, elles convergent vers un r´eel).
6. Lorsque la suite pMnqnPNconverge, justifier que si X0PRnest un vecteur de probabilit´e (i.e. toutes
ses coordonn´ees sont positives et leur somme ´egale `a 1), alors le vecteur MnX0converge vers un
point fixe de l’application XÞÑ M X.
On a, pour tout kPN, Mk`1X0“MpMkX0q. Si on note Fl’application qui `a Xassocie M X - qui
est trivialement continue sur Rn, alors Mk`1X0“FpMkX0q. La suite pMkq´etant convergente,
en passant `a la limite sur k, on obtient
lim
kMk`1X0“Fplim kMkX0q
et, en notant Mla matrice limite, on a M X0“FpM X0q. Le vecteur M X0est donc un point fixe
de F.
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