Chapitre 6 - MPSI

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Chapitre 6
Équations différentielles
Sommaire
I
II
III
IV
Équations différentielles linéaires du premier ordre .
1)
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2)
Étude de l’équation homogène . . . . . . . . . . .
3)
Étude de l’équation avec second membre . . . .
Équations différentielles linéaires du second ordre . .
1)
Étude de l’équation homogène . . . . . . . . . . .
2)
Étude de l’équation avec second membre . . . .
Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1)
Équations à variables séparées . . . . . . . . . . .
2)
Équation de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . .
3)
Méthode d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Solution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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58
58
59
60
Dans ce chapitre, la lettre K désigne l’ensemble R ou bien l’ensemble C (K = R ou K = C), et les fonctions
considérées sont définies sur un intervalle I de R.
I
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES DU PREMIER ORDRE
Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction y : I → K intervenant sous
forme dérivée (première ou supérieure). On rencontre ce genre d’équations en mécanique (lois de Newton),
en électricité (circuits RLC), ... etc.
1)
Définitions
Définition 6.1
Une équation différentielle scalaire linéaire d’ordre 1 est une équation différentielle de la forme :
(E) : ∀t ∈ I, a(t )y 0 (t ) + b(t )y(t ) = c(t ), notée plus simplement : a(t )y 0 + b(t )y = c(t )
où a, b, c : I → K sont trois fonctions définies continues sur un intervalle I de R et y : I → K une
fonction dérivable inconnue. On suppose de plus que la fonction a n’est pas la fonction nulle. On
appelle équation homogène associée à (E) l’équation différentielle :
(H) : ∀t ∈ I, a(t )y 0 + b(t )y = 0.
La fonction c est souvent appelée second membre de l’équation (E).
Dans la pratique on a souvent en plus une condition sur la fonction inconnue y du type : y(t 0 ) = α où t 0
et α sont des données. Cette condition est appelée condition initiale, et on appelle problème de Cauchy 1 le
1. CAUCHY Augustin-Louis (1789 – 1857) : un des plus grands mathématiciens français.
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Équations différentielles linéaires du premier ordre
Chapitre 6 : Équations différentielles
système :
(
∀t ∈ I, a(t )y 0 + b(t )y = c(t )
y(t 0 ) = α
.
ZExemple : L’équation différentielle : y 0 − y = 0 avec y(0) = 1 est utilisée en terminale pour introduire l’exponentielle.
2)
Étude de l’équation homogène
Théorème 6.1
Soit S I (H) l’ensemble des solutions sur I de l’équation homogène (H), alors on a les propriétés :
– 0 ∈ S I (H) (la fonction nulle est dans S I (H)).
– ∀ f , g ∈ S I (H), f + g ∈ S I (H).
– ∀ α ∈ K, ∀ f ∈ S I (H), α f ∈ S I (H).
Preuve : Celle-ci est simple et laissée en exercice.
Résolution de (H)
On se place sur un intervalle I où la fonction a ne s’annule pas, on a alors ∀ t ∈ I, y 0 = − ba y. Soit F une
primitive de la fonction − ba sur I, on a alors :
y ∈ S I (H) ⇐⇒ y 0 = F0 y ⇐⇒ y 0 e −F − F0 e −F y = 0 ⇐⇒
d ¡ −F ¢
ye
= 0 ⇐⇒ ∃ λ ∈ K, ∀ t ∈ I, y(t ) = λe F(t ) .
dt
On peut donc énoncer :
Théorème 6.2
Lorsque la fonction a ne s’annule pas sur l’intervalle I alors les solutions de (H) sont les fonctions :
y : t 7→ λe F(t ) ,
où F désigne une primitive de la fonction − ba sur I, et λ un élément quelconque de K.
À retenir
Si la fonction a ne s’annule pas sur I :
- Le problème de Cauchy pour l’équation (H) a une unique solution. Car la condition initiale détermine
complètement la constante λ.
- L’unique solution sur I qui s’annule en un point donné est la fonction nulle. Par conséquent toutes
les autres solutions ne s’annulent jamais sur I, lorsque K = R elles ont toutes un signe constant (car
elles sont continues).
ZExemples :
– y 0 + ωy = 0 où ω ∈ K est une constante : les solutions sont les fonctions définies sur R par y(t ) = λe −ωt
avec λ ∈ K quelconque.
– t y 0 = y sur R : on se place d’abord sur I =]0; +∞[, sur cet intervalle on a y 0 = 1t y d’où y(t ) = αt (α ∈ K
quelconque). Puis on se place sur J =]−∞; 0[, sur cet intervalle on a encore y 0 = 1t y d’où y(t ) = λ|t | = βt
(β = −λ ∈ K quelconque). Soit maintenant y une solution sur R, alors y est en particulier solution
sur I donc il existe α tel que ∀ t > 0, y(t ) = αt , de même y est solution sur J, donc il existe β tel que
∀t < 0, y(t ) = βt , mais y doit être dérivable en 0, ce qui entraîne α = β, finalement ∀t ∈ R, y(t ) = αt . On
vérifie pour terminer que cette fonction est bien solution.
3)
Étude de l’équation avec second membre
On revient au cas général : (E) : a(t )y 0 + b(t )y = c(t ).
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Équations différentielles linéaires du second ordre
Chapitre 6 : Équations différentielles
Théorème 6.3 (structure des solutions)
Si l’ensemble des solutions de (E) n’est pas vide, et si y 1 est une solution de (E), alors les solutions
de (E) sont les fonctions s’écrivant comme somme de y 1 avec une solution de (H), c’est à dire les
fonctions de la forme : y : t 7→ y 1 (t ) + y H (t ) avec y H solution quelconque de (H).
Preuve : Soit y une solution de (E), posons f = y − y 1 , alors a f 0 + b f = a y 0 − a y 10 + b y − b y 1 = c − c = 0 donc f ∈ S I (H).
Réciproquement, soit f ∈ S I (H) et soit y = y 1 + f , alors a y 0 + b y = a y 10 + a f + b y 1 + b f = 0 + c = c, donc y ∈ S I (E).
Pour déterminer toutes les solutions de (E) on est donc ramené à résoudre l’équation homogène puis à
trouver une solution particulière de (E).
Recherche d’une solution particulière : on se place de nouveau sur un intervalle I où la fonction a ne
s’annule pas et on applique la méthode de la variation de la constante :
Soit F une primitive de − ba sur I, on cherche une solution particulière sous la forme y = λe F où λ est une
fonction dérivable sur I. La fonction y est solution de (E) si et seulement si a[λ0 e F + λF0 e F ] + bλe F = c, ce qui
équivaut à aλ0 e F + λ[aF0 e F + be F ] = c ou encore λ0 = ac e −F , car e F est solution de (H). Donc λ doit être une
primitive de la fonction ac e −F , celle-ci est continue sur l’intervalle I, elle admet donc des primitives sur cet I,
ce qui prouve l’existence de λ. Une solution de (E) est donc :
Z t
Z t
c(s) −F(s)
b(s)
y 1 = λe F avec λ(t ) =
e
d s et F(t ) =
−
d s,
a(s)
a(s)
t0
t0
et les solutions de (E) sont les fonctions :
y = y 1 + αe F avec α ∈ K quelconque [et y(t 0 ) = α].
À retenir
Lorsque la fonction a ne s’annule pas sur l’intervalle I, le problème de Cauchy a une unique solution.
ZExemples :
– t y 0 + y = sin(t ) sur R : sur l’intervalle I =]0; +∞[ les solutions de (H) sont les fonctions y = λt avec λ ∈ K
quelconque. On cherche une solution particulière de la forme y = λt avec λ dérivable sur I ce qui donne
)
λ0 = sin(t ), une solution particulière est donc y 1 = − cos(t
t , et les solutions de (E) sur I sont les fonctions
)
y = λ−cos(t
avec λ ∈ K quelconque. On se place ensuite sur l’intervalle J =] − ∞; 0[ où le raisonnement
t
est le même. On vérifie ensuite que la seule solution sur R est la fonction :
y : t 7→
1 − cos(t )
1
avec y(0) = 0 et y 0 (0) = .
t
2
– cos(t )y 0 −sin(t )y = t 2 sur I =]− π2 ; π2 [ : les solutions de l’équation homogène sont les fonctions y =
avec λ ∈ K quelconque. On cherche une solution particulière sous la forme y =
λ
cos(t )
2
avec λ dérivable
sur I, ce qui donne λ = t . On peut donc prendre comme solution particulière y 1 =
solutions de (E) sont les fonctions :
0
y : t 7→
λ
cos(t )
t3
3 cos(t ) ,
et les
λ+ t3
avec λ ∈ K.
3 cos(t )
Remarque 6.1 – Résoudre de telles équations différentielles revient donc à calculer des intégrales, d’où les
expressions que l’on rencontre parfois comme : « intégrer une équation différentielle », ou « solution intégrale
d’une équation différentielle ».
FExercice 6.1 Résoudre sur R l’équation |x|y 0 + (x − 1)y = x 2 .
II
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES DU SECOND ORDRE
On s’intéressera uniquement au cas où les coefficients sont des constantes, c’est à dire aux équations
différentielles de la forme : a y 00 + b y 0 + c y = f où a, b, c ∈ K, a 6= 0, et f : I → K une fonction continue (second
membre). L’équation homogène associée est (H) : a y 00 + b y0 + c y = 0.
00
0


a y + b y + c y = f
Pour de telles équations, le problème de Cauchy est :
y(t 0 ) = α


 y 0 (t ) = β
0
, où t 0 , α et β sont des don-
nées.
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Équations différentielles linéaires du second ordre
1)
Chapitre 6 : Équations différentielles
Étude de l’équation homogène
Théorème 6.4
Soit S I (H) l’ensemble des solutions sur I de l’équation homogène (H), alors on a les propriétés :
– 0 ∈ S I (H) (fonction nulle).
– ∀ f , g ∈ S I (H), f + g ∈ S I (H).
– ∀ α ∈ K, ∀ f ∈ S I (H), α f ∈ S I (H).
Preuve : Celle-ci est simple et laissée en exercice.
Résolution de (H)
On cherche les solutions de la forme y = e λt avec λ ∈ K, on obtient alors y ∈ S R (H) ⇐⇒ aλ2 + bλ + c = 0,
λ doit donc être solution de l’équation ax 2 + bx + c = 0, que l’on appelle équation caractéristique de (H). Il
faut donc distinguer plusieurs cas :
– K=C:
• Si ∆ = b 2 − 4ac 6= 0 : il y a deux solutions distinctes à l’équation caractéristique : λ1 et λ2 . On
y
pose φ1 (t ) = e λ1 t . Soit y deux fois dérivable, posons z = φ , on a alors y = zφ1 , en remplaçant dans
1
l’équation on obtient que y est solution de (H) si et seulement si az 00 +(2aλ1 +b)z 0 +(aλ21 +bλ1 +c)z =
0, c’est à dire az 00 + (2aλ1 + b)z 0 = 0 car λ1 est racine de l’équation caractéristique. En posant Z = z 0
on a une équation différentielle linéaire homogène en Z, dont les solutions sont Z(t ) = z 0 (t ) =
γe −(2λ1 +b/a)t = γe (λ2 −λ1 )t , ce qui équivaut à z(t ) = βe (λ2 −λ1 )t + α, et donc y(t ) = αe λ1 t + βe λ2 t avec
α, β ∈ C des constantes quelconques.
• Si ∆ = b 2 −4ac = 0 : alors il y a une solution double à l’équation caractéristique : λ. Posons φ1 (t ) = e λt
y
et z = φ1 i.e. y = zφ1 . Le calcul précédent montre que y ∈ S(H) ⇐⇒ z 00 = 0 c’est à dire il existe α, β ∈ C
tels que z(t ) = βt + α, ce qui donne y(t ) = (α + βt )e λt .
– K = R (a, b, c ∈ R, avec a 6= 0) : la démarche est la même, on cherche les solutions de l’équation
caractéristique, d’où la discussion :
• Si ∆ > 0 : deux racines distinctes λ1 et λ2 , comme dans le cas complexe, on montre que les solutions
de H sont les fonctions y : t 7→ αe λ1 t + βe λ2 t avec α, β ∈ R.
• Si ∆ = 0 : une racine double λ, comme dans le cas complexe, on montre que les solutions de H sont
les fonctions y : t 7→ (α + βt )e λt avec α, β ∈ R.
• Si ∆ < 0 : deux racines complexes non réelles conjuguées λ = r + i ω et λ. Les solutions complexes
de (H) sont les fonctions y(t ) = αe λt + βe λt avec α, β ∈ C, une telle solution est réelle ssi y(t ) = y(t ) =
αe λt + βe λt , ce qui équivaut à α = β. Les solutions réelles sont donc les fonctions y(t ) = αe λt + αe λt =
2Re(αe λt ) = e r t [u cos(ωt ) + v sin(ωt )], avec u = Re(α)/2 et v = −Im(α)/2 réels quelconques (car α est
un complexe quelconque). On a encore que les solutions de (H) sont les fonctions y = uφ1 + vφ2
avec u, v ∈ R et φ1 (t ) = e r t cos(ωt ) et φ2 (t ) = e r t sin(ωt ).
À retenir : solutions de l’équation homogène
Soit x 2 + ax + b = 0 l’équation caractéristique et ∆ = b 2 − 4ac son discriminant :
– Si K = C (a, b et c sont complexes avec a 6= 0) :
• Si ∆ 6= 0, l’équation caractéristique à deux solutions distinctes : λ1 et λ2 . Les solutions sont les
fonctions : t 7→ αe λ1 t + βe λ2 t avec α, β ∈ C.
• Si ∆ = 0, l’équation caractéristique à une solution double : λ1 = λ2 . Les solutions sont les fonctions : t 7→ (α + βt )e λ1 t avec α, β ∈ C.
– Si K = R (a, b et c sont réels avec a 6= 0) :
• Si ∆ > 0, l’équation caractéristique à deux solutions distinctes : λ1 et λ2 . Les solutions sont les
fonctions : t 7→ αe λ1 t + βe λ2 t avec α, β ∈ R.
• Si ∆ = 0, l’équation caractéristique à une solution double : λ1 = λ2 . Les solutions sont les fonctions : t 7→ (α + βt )e λ1 t avec α, β ∈ R.
• Si ∆ < 0, l’équation caractéristique possède deux solutions complexes non réelles et conjuguées :
λ et λ, en posant λ = r + i ω (forme algébrique), les solutions sont les fonctions :
t 7→ (α cos(ωt ) + β sin(ωt ))e r t = A cos(ωt + ϕ)e r t avec α, β, A, ϕ ∈ R
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Équations différentielles linéaires du second ordre
Chapitre 6 : Équations différentielles
Théorème 6.5
Soient a, b, c ∈ R avec a 6= 0, les solutions réelles de l’équation a y 00 +b y 0 +c y = 0 sont les parties réelles
des solutions complexes.
Preuve : Celle-ci est simple et laissée en exercice.
2)
Étude de l’équation avec second membre
Théorème 6.6 (structure des solutions)
Si f : I → K est une fonction continue, alors l’équation (E) : a y 00 + b y 0 + c y = f admet des solutions
sur I. Si y 1 est une solution de (E), alors les solutions de (E) sont les fonctions définies sur I par
y : t 7→ y 1 (t ) + y H (t ) avec y H solution quelconque de (H). De plus, le problème de Cauchy a une
unique solution.
Preuve : L’existence dans le cas général d’une solution particulière est admise. Soit y 1 une solution de (E), soit g ∈ S I (H),
il est facile de vérifier que y 1 + g est solution de (E), réciproquement, si g est solution de (E), il est facile de vérifier
que g − y 1 est solution de (H). Les solutions au problème de Cauchy sont les fonctions de la forme y = y 1 + αφ1 + βφ2
vérifiant y(t 0 ) = c 1 et y 0 (t 0 ) = c 2 . Ce qui donne le système :
(
αφ1 (t 0 ) + βφ2 (t 0 ) = c 1 − y 1 (t 0 )
.
αφ01 (t 0 ) + βφ02 (t 0 ) = c 2 − y 10 (t 0 )
Lorsque φ1 (t ) = e λ1 t et φ2 (t ) = e λ2 t avec λ1 et λ2 les racines distinctes de l’équation caractéristique, le déterminant du
système est D = (λ2 − λ1 )e (λ1 +λ2 )t0 6= 0. Lorsque les deux racines sont confondues, alors φ1 (t ) = e λt et φ2 (t ) = t φ1 (t ),
dans ce cas, le déterminant du système est D = e 2λt0 6= 0, dans les deux cas, le système a une unique solution.
Remarque 6.2 – Dans le cas réel avec ∆ < 0, l’unique solution complexe au problème de Cauchy est une
solution réelle.
Dans la suite on s’intéressera seulement au cas où le second membre est de la forme f (t ) = P(t )e λt où P
est une fonction polynomiale à coefficients dans K, et λ ∈ K.
Théorème 6.7
L’équation a y 00 + b y 0 + c y = P(t )e λt admet une solution particulière de la forme y(t ) = Q(t )e λt où Q
est une fonction polynomiale.
Preuve : On pose y(t ) = Q(t )e λt , y est solution si et seulement si aQ00 (t ) + (2aλ + b)Q0 (t ) + (aλ2 + bλ + c)Q(t ) = P(t ),
d’où la discussion :
– Si λ n’est pas racine de l’équation caractéristique : on cherche un polynôme Q de même degré que P, par la
méthode des coefficients indéterminés et identification ce qui donne un système, on admet à ce stade qu’il y a
toujours au moins une solution à ce système.
– Si λ est solution de l’équation caractéristique et 2aλ + b 6= 0 : on cherche Q0 de même degré que P par la méthode
des coefficients indéterminés et identification, puis on prend une primitive.
– Si λ est solution de l’équation caractéristique et 2aλ+b = 0 (i.e. λ est racine double de l’équation caractéristique) :
on a aQ00 = P d’où Q00 = a1 P, on en déduit Q’ (en prenant une primitive) puis Q (en reprenant une primitive).
Théorème 6.8
P
• Lorsque le second membre est de la forme f (t ) = ni=1 Pi (t )e λi t , on cherche une solution particulière
y i à l’équation a y 00 + b y 0 + c y = Pi (t )e λi t pour i allant de 1 à n, la fonction y = y 1 + · · · + y n est une
solution particulière de a y 00 + b y 0 + c y = f , c’est le principe de superposition.
• Si a, b, c sont réels et si y 0 est solution de a y 00 + b y 0 + c y = f (t ) alors Re(y 0 ) est solution de a y 00 +
b y 0 + c y = Re( f ) et Im(y 0 ) est solution de a y 00 + b y 0 + c y = Im( f )
Preuve : Celle-ci est simple et laissée en exercice.
ZExemples :
– y 00 + ω2 y = t 2 + 1 avec ω ∈ R∗ , ici λ = 0, cherchons une solution particulière de la forme y 1 = Q
(polynôme), on obtient en remplaçant : Q00 + ω2 Q = t 2 + 1, on cherche donc Q sous la forme Q(t ) =
2
at 2 +bt +c, ce qui donne par identification : a = ω12 , b = 0, et c = ωω−2
4 . Les solutions réelles de l’équation
homogène sont les fonctions y(t ) = α cos(ωt ) + β sin(ωt ), (α, β ∈ R), et les solutions de l’équation sont
2
2
donc les fonctions : y(t ) = ωt 2 + ωω−2
4 + α cos(ωt ) + β sin(ωt ).
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Compléments
Chapitre 6 : Équations différentielles
– y 00 − 4y 0 + 4y = 3(1 + sin(t ) + e 2t ) sur R : l’équation caractéristique est x 2 − 4x + 4 = 0 = (x − 2)2 , il y
a une solution double 2, les solutions de l’équation homogène sont les fonctions y(t ) = (α + βt )e 2t .
Cherchons une solution particulière en prenant comme second membre :
– f 1 (t ) = 3 : il y a une solution particulière constante y 1 (t ) = 34 .
– f 2 (t ) = 3e 2t : on chercher une solution particulière de la forme y = Q(t )e 2t , ce qui donne Q00 (t ) = 3 et
donc on peut prendre y 2 (t ) = 32 t 2 e 2t .
– f 3 (t ) = 3 sin(t ) : on prend en fait f 3 (t ) = 3e i t puis on prendra la partie imaginaire d’une solution
particulière. On cherche y sous la forme y(t ) = Q(t )e i t ce qui donne Q00 (t )+(2i −4)Q0 (t )+(3−4i )Q(t ) = 3,
3
3+4i i t
9
12
d’où Q(t ) = 3−4i
= 3 3+4i
25 . Une solution particulière est donc y 3 (t ) = Im(3 25 e ) = 25 sin(t ) + 25 cos(t ).
Les solutions sont donc les fonctions :
y(t ) =
12
3
3 9
+
sin(t ) +
cos(t ) + (α + βt + t 2 )e 2t .
4 25
25
2
FExercice 6.2 Résoudre y 00 − y 0 − 6y = 10e 3x + xe −2x .
III
COMPLÉMENTS
1)
Équations à variables séparées
Définition 6.2
Une équation différentielle à variables séparées est une équation de la forme : y 0 b(y) = a(t ) où a, b
sont deux fonctions continues données.
À retenir : méthode de résolution
Si a est continue sur un intervalle I et b sur un intervalle J, on peut considérer une primitive A de
a sur I et une primitive B de b sur J, dans ce cas l’équation équivaut à : ddt [B(y)] = A0 (t ), et donc
B(y) = A(t ) + λ où λ désigne une constante. On regarde ensuite si la fonction B est localement ou
globalement bijective, auquel cas on pourra écrire y(t ) = B−1 (A(t ) + λ).
ZExemple : t 3 y 0 + y 3 = 0 avec y(1) = −1, y ne doit pas être constamment nulle, si une telle solution existe, il doit
exister un intervalle I sur lequel y ne s’annule pas, un tel intervalle ne peut pas contenir 0 et sur I l’équation
y0
= −1
, c’est une équation à variable séparée. Elle est équivalente à : − y12 = t12 + λ, ce
y3
t3
t2
qui donne y 2 = − 1+λt
2 , on voit que la condition initiale donne la constante λ = −2. Comme y ne s’annule
q
2
pas sur I, y garde un signe constant et donc ∀ t ∈ I, y(t ) = − 2tt2 −1 . Cette solution est définie sur l’intervalle
] p1 ; +∞[.
2
est équivalente à :
2)
Équation de Bernoulli
Définition 6.3
Une équation de Bernoulli 2 est une équation différentielle de la forme y 0 = a(t )y λ + b(t )y où a et b
sont deux fonctions continues sur un intervalle I, et λ ∈ R∗ \ {1}.
À retenir : méthode de résolution
La fonction nulle est solution. S’il existe une solution y non constamment nulle, alors il doit exister
un intervalle J sur lequel y ne s’annule pas, sur un tel intervalle y est de signe constant, on peut donc
faire le changement de fonction y = εz α avec ε = ±1 suivant le signe de y, l’équation devient alors :
1
αz 0 = b(t )z + a(t )z α(λ−1)+1 , en prenant α = 1−λ
, on a une équation différentielle linéaire du premier
ordre, on sait donc la résoudre.
2. BERNOULLI Jakob (1654 – 1705) : c’est le plus illustre d’une grande famille de mathématiciens suisses.
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Compléments
Chapitre 6 : Équations différentielles
ZExemple : t 2 y 0 + y + y 2 = 0 avec y(1) = 1 : y est une solution non constamment nulle, on pose z =
donne : z 0 =
1
z + t12 .
t2
Les solutions de l’équation homogène sont les fonctions z(t ) = λe
− 1t
1
y
ce qui
et une solution
− 1t
particulière est z 1 (t ) = −1, les solutions générales sont donc les fonctions z(t ) = −1 + λe , la condition
1
; +∞[.
initiale donne λ = 2e d’où y(t ) = 1−11 . Cette solution est définie sur l’intervalle ] 1+ln(2)
2e
t
−1
FExercice 6.3 Résoudre y 0 = x y 2 + y avec y(0) = 1.
3)
Méthode d’Euler
On ne dispose pas de méthode générale pour résoudre n’importe quelle équation différentielle.
Même pour des équations différentielles linéaires il se peut que les solutions ne s’expriment pas à l’aide
2
2
des fonctions usuelles, par exemple : y 0 = e −t y ⇐⇒ y : t 7→ λe F(t ) avec F une primitive de t 7→ e −t , on
sait qu’une telle primitive existe sur R mais on peut démontrer qu’il est impossible de l’exprimer avec les
fonctions usuelles.
Pour des applications numériques (par exemple dans les sciences appliquées), la formule qui donne les
solutions n’est donc pas toujours satisfaisante. On a alors imaginé des méthodes de calculs approchés des
solutions d’équations différentielles, la plus simple d’entre elles étant la méthode d’Euler :
Considérons l’équation différentielle y 0 (t ) = f (t , y(t )) où f est une fonction de deux variables. On cherche
une solution approchée vérifiant la condition initiale y(t 0 ) = α. On considère un nombre h assez proche de 0
(par exemple h = 10−6 ), ce nombre est appelé le pas de la méthode, puis on construit deux suites (t n ) et (y n )
où y n est censé être une valeur approchée de y(t n ), dans la méthode d’Euler on pose :
(
y 0 = α, et ∀n ∈ N,
t n+1
= tn + h
y n+1
= y n + h × f (t n , y n )
On peut ensuite représenter dans un repère les points de coordonnées (t n , y n ) ce qui donnera une
approximation de la courbe représentative de la solution y.
Cette méthode repose sur le principe suivant : lorsque h est proche de 0, on peut approcher la fonction y
sur l’intervalle [t n , t n +h] par la tangente à C y au point d’abscisse t n , c’est à dire y(t ) ≈ y 0 (t n )[t −t n ]+ y(t n ). Par
conséquent y(t n + h) ≈ y(t n ) + h × y 0 (t n ), or y(t n ) est approché par y n et y 0 (t n ) = f (t n , y(t n )) donc y 0 (t n ) peut
être approché par f (t n , y n ) et finalement y(t n+1 ) ≈ y n + h × f (t n , y n ) on pose donc y n+1 = y n + h × f (t n , y n )
et c’est une valeur approchée de y(t n+1 ).
La théorie montre que sous certaines hypothèses il existe une constante K telle que :
|y n − y(t n )| 6 K × |h|
pas h = 0.4
tn+1 = tn10+ 0.4
y 0 = f (t, y) = y
ecart max =2.012
yn+1 = yn + 0.4f (tn , yn )
t0 = 0 y0 = 1
tn
yn
0
0.4
0.8
1.2
1.6
2
2.4
2.8
1
1.4
1.96
2.744
3.842
5.378
7.53
10.541
9
8
y6
7
6
y5
5
4
y4
3
y3
y2
2
y1
y0
1
t0
−1
0
0
t1
t2
t3
1
t4
t5
t6
2
F IGURE 6.1: Méthode d’Euler
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Solution des exercices
IV
Chapitre 6 : Équations différentielles
SOLUTION DES EXERCICES
Solution 6.1 Équation différentielle linéaire d’ordre 1. Le coefficient de y 0 s’annule en 0.
– Résolution sur I1 =]0; +∞[ : l’équation homogène est (H) : y 0 = ( x1 − 1)y, ses solutions sont les fonctions y H : x 7→
λe ln(x)−x = λϕ(x) avec λ ∈ R et ϕ(x) = xe −x . Une solution particulière est y 0 : x 7→ x, donc les solutions sur I1 sont
les fonctions y : x 7→ x + λxe −x .
– Résolution sur I2 =] − ∞; 0[ : l’équation homogène est (H) : y 0 = (− x1 + 1)y, ses solutions sont les fonctions y H : x 7→
1 x
λe − ln(−x)+x = λϕ(x) avec λ ∈ R et ϕ(x) = −x
e . On cherche une solution particulière de la forme y 1 = λϕ avec λ
dérivable (variation de la constante), ce qui donne λ0 =
x 2 +2x+2
x2
|x|ϕ(x)
= x 2 e −x , on peut prendre alors λ = −(x 2 +2x +2)e −x ,
2
x
. Les solutions sur I2 sont les fonctions y : x 7→ x +2x+2+λe
.
x

x 2 +2x+2+λe x

si x < 0
y(x) =

x


y(x) = x + µxe −x si x > 0
. Ce qui donne λ = −2 et
– Résolution sur R : y est solution sur R si et seulement si

y(0) = 0



y dérivable en 0
ce qui donne y 1 =
x
2
µ = −1 car 1 − e x = −x − x2 + x 2 ε(x), avec lim ε(x) = 0, on a alors y 0 (0) = 0.
x→0
Solution 6.2 Équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants. L’équation caractéristique est x 2 − x − 6 = 0
et ses racines sont 3 et −2, les solutions de l’équation homogène sont les fonctions y : x 7→ αe 3x βe −2x avec α, β ∈ R.
Cherchons une solution particulière en prenant comme second membre :
– 10e 3x , en posant y 1 (x) = Q(x)e 3x où Q est un polynôme. On obtient la condition Q00 + 5Q0 = 10, Q doit donc être de
degré 1, ce qui donne (par exemple) Q = 2x et donc y 1 (x) = 2xe 3x .
– xe −2x , en posant y 2 (x) = Q(x)e −2x où Q est un polynôme. On obtient la condition Q00 − 5Q0 = x, Q0 doit donc être
1
x2
x
de degré 1, ce qui donne Q0 = − x5 − 15
et donc y 2 (x) = (− 10
− 25
)e −2x .
2
x
x
− 25
)e −2x (principe de superposition).
Les solutions générales sont les fonctions y : x 7→ (α + 2x)e 3x + (β − 10
Solution 6.3 Équation de Bernoulli, on cherche une solution y qui ne s’annule par sur un intervalle I contenant 0. On
0
pose z = 1y ce qui donne − zz2 = zx2 + 1z ou encore z 0 = −z + x avec la condition z(0) = 1. C’est une équation différentielle
linéaire d’ordre 1, les solutions de l’équation homogène sont les fonctions z : x 7→ λe −x et la fonction z 1 : x 7→ 1 − x est
solution particulière. Les solutions générales sont les fonctions z : x 7→ 1 − x + λe −x , la condition z(0) = 1 donne λ = 0, d’où
1
z(x) = 1 − x et donc y : x 7→ 1−x
, définie sur I =] − ∞; 1[.
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