Complexes et géométrie : TICE

Complexes et g´eom´etrie : TICE page 1 de 2
Complexes et g´eom´etrie : TICE
1. Figure. Distances et angles
a) Avec Geogebra : soit Ol’origine du rep`ere, Aet Bdeux points quelconques.
Tracer le triangle isoc`ele rectangle en Odirect OAA0, le triangle isoc`ele rec-
tangle en Oindirect OBB0.
Tracer les milieux C, D, E, F de [AB],[AA0],[A0B0],[B0B].
Tracer le quadrilat`ere CDEF . Observer sa forme lorsque Aet Bvarient. Faire
une conjecture.
b) D´emontrer cette conjecture en utilisant les nombres complexes : appeler aet
bles affixes de Aet Bet calculer les affixes des autres points en fonction de a
et b. Traduire la propri´et´e `a d´emontrer et prouver qu’elle est v´erifi´ee.
c) Tracer la droite (OE). Comparer sa direction avec celle de (AB).
Conjecturer une propri´et´e restant vraie lorsque Aet Bvarient. D´emontrer
cette propri´et´e avec les affixes.
d) Faire afficher par Geogebra les distances OE et AB. Conjecturer une rela-
tion entre OE et AB restant vraie lorsque Aet Bvarient. D´emontrer cette
propri´et´e avec les affixes.
2. Figure, angle polaire, cosinus
a) Le plan est rapport´e `a un rep`ere orthonormal direct O;−→ i , −→ j. On appelle
Ale point associ´e au nombre complexe zA=√3 + i. On construit les points
Bet Cde telle mani`ere que OABC soit un carr´e direct. Faire une figure.
Sur la figure, mesurer l’angle polaire de Aet celui de B
b) D´emontrer que l’angle polaire de Aest bien celui qui a ´et´e conjectur´e (pour
cela, utiliser la distance OA)
De mˆeme pour celui de B(utiliser des propri´et´es g´eom´etriques)
Calculer ensuite l’affixe de B.
En d´eduire la valeur exacte du cosinus de l’angle polaire de B.
3. Triangles
a) Le plan complexe est rapport´e `a un rep`ere orthonormal direct (O;−→ u , −→ v). Les
points A, B et Csont d´efinis par leurs affixes respectives a=√3−3i, b =
2√3, c = 3√3 + i. Soit Gle centre de gravit´e du triangle OAB.
Soit Dle point d’affixe dtel que OGCD soit un parall´elogramme.
Tracer le triangle OAB et conjecturer sa nature.
Conjecturer une propri´et´e concernant les points B, C et G.
Tracer le triangle OAD et conjecturer sa nature.
Tracer le cercle passant par O, G et B, et conjecturer une propri´et´e.
b) D´emontrer les propri´et´es conjectur´ees
4. Rotation, homoth´etie, suite de points
a) Soit M0le point d’affixe 4. Tracer le point M1tel que le triangle OM0M1soit
rectangle en M1, isoc`ele direct.
Pour cela on pourra effectuer une rotation de centre Osuivie d’une homoth´etie
de centre O.
On continue ensuite le proc´ed´e :
OM1M2est rectangle en M2, isoc`ele direct.
OM2M3est rectangle en M3, isoc`ele direct.
Conjecturer l’affixe de M3.
b) D´emontrer la propri´et´e conjectur´ee en calculant les affixes des points
M1, M2, M3. Pour faciliter les calculs, on pourra d’abord d´eterminer la for-
mule g´en´erale qui donne l’affixe de Mn+1 en fonction de celle de Mn.
5. Fonction complexe. Lieu d’un point
a) Soit fla fonction d´efinie sur Cpar f(z) = z−1−i
Soit Aun point quelconque d’affixe zet Ble point d’affixe f(z). Tracer B`a
partir de Apar une construction g´eom´etrique (sym´etrie, translation).
Soit Mle milieu de [AB] Tracer le lieu de Mlorsque Avarie dans tout le
plan. Pour cela, s´electionner le point Met choisir activer la trace. Puis faire
bouger le point Aet observer la figure ainsi form´ee.
Conjecturer le r´esultat.
b) D´emontrer la propri´et´e conjectur´ee
6. Triangle isoc`ele rectangle, homoth´etie, milieu

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a) Soit Ale point d’affixe 3iet Ble point d’affixe 1 + i.
Tracer Ctel que ABC soit un triangle isoc`ele rectangle direct en C.
Soit Dl’image de Apar l’homoth´etie de centre Cet de rapport √3.
Soit Ele milieu de [BD].
Que peut-on conjecturer pour le triangle BCE ?
b) D´emontrer la conjecture
7. Division
a) Soit Ale point d’affixe a=√3−i,Bd’affixe b= 1 −i. et Cd’affixe c=a
b.
Soit B0le point d’affixe b2.
Tracer les points A, B, B0et Cet les triangles OAB0et OBC.
Conjecturer la nature de ces triangles, ainsi que celle des triangles OBB0et
OAC.
b) D´emontrer la propri´et´e conjectur´ee en utilisant les affixes des points.
On pourra commencer par le triangle OAB0, puis remarquer que les nombres
bet cs’obtiennent en divisant respectivement b0et apar un mˆeme nombre.
La nature de OAC se d´eduit de celle de OBB0par un proc´ed´e analogue.
8. Cercle
a) Soit Aun point quelconque du cercle de diam`etre [OV ] avec Vd’affixe i.
Soit zl’affixe de A,A0le point d’affixe z0=z−i, et A00 le point d’affixe
z00 =iz.
Tracer les points A0et A00 d’affixes z0et z00 (utiliser des transformations).
En observant la figure, conjecturer une propri´et´e concernant les points O,A0
et A00 .
b) D´emontrer la propri´et´e conjectur´ee en utilisant les affixes des points.
9. Inversion
a) Avec Geogebra : soit Ol’origine du rep`ere. Tracer le cercle trigonom´etrique,
puis la droite d’´equation x= 1. Tracer un point mobile Asur cette droite.
Le but est de tracer le point A0de la demi-droite [OA) tel que OA0=1
OA
et de conjecturer son lieu g´eom´etrique (l’ensemble de ses positions) lorsque A
varie sur la droite.
On pourra d’abord exprimer le vecteur −−→ OA0en fonction du vecteur −→ OA et de
la distance OA. Puis, avec Geogebra, d´efinir le vecteur −→ OA, la distance OA,
le vecteur −−→ OA0et finalement le point A0.
Tracer le lieu de A0. Conjecturer la nature et les ´el´ements de ce lieu.
b) D´emontrer la propri´et´e conjectur´ee en utilisant les affixes des points.