u v KE
u v Im uKer u v
fKE
pIm pKer p f
EKf g E
fg=gf
Ker fIm f g g(Ker f)Ker f
g(Im f)Im f
p E
p f Im pKer p f
uKE
N=
[
p=0
Ker upI=
\
p=0
Im up
nNN= Ker unI= Im un
N I
u u N I
E=FG F G
u u F G
F=N G =I
u∈ L(E) dim E < +pNup= 0
k∈ {1, . . . , p}Fk
E
Ker uk= Ker uk1Fk
E=F1⊕ ··· ⊕ Fp
u
ERn f ∈ L(E)
f2=IdE
aE(a, f(a))
F(a) = Vect (a, f(a))
E a1, . . . , ap
E=F(a1)⊕ ··· ⊕ F(ap)
E
E f
ERu E
u3+u= 0
Im u u
xIm u u2(x)
v u Im u
v
u
u v KnN
uv=vu v
det(u+v) = det u
n1
n= 1 v= 0
n2v6= 0 u v
Im v
u v
Im v
E=E1E2K
Γ = {u∈ L(E)|Ker u=E1Im u=E2}
uΓ ˜u=uE2E2
φ: Γ GL(E2)φ(u) = ˜u
Γ
φ,) (GL(E2),)
φ
,)
E=C(R,R)fE x R
T f(x) = f(x) + Zx
0
f(t) dt
T E
E
T
A= (ai,j )∈ Mn(R)s
iJ1 ; nK,
n
X
j=1
ai,j =sjJ1 ; nK,
n
X
i=1
ai,j =s
U U =t1··· 1∈ Mn,1(R)
A λ
µ
AU =λU tUA =µtU
λ µ
D= Vect(U)H={X∈ Mn,1(R)|tUX = 0}
AMn(R)
D H
Mn(R)
RE=R[X]
H f
H p N
kp, Ker fk+1 = Ker fk
F E D
F
DRn[X]nN
mNF=Rm[X]
F F =R[X]
g∈ L(E)g2=kId + D k Rk
A∈ M3(R)A2= 0 A6= 0
A
B=
000
100
000
A∈ Mn(K)
An16= OnAn= On
A
B=
0 1 (0)
1
(0) 0
A∈ Mn(K)A2= 0 r > 0
A
B=0Ir
0 0 .
M∈ M4(R)M2+I= 0
M
01 0 0
1000
0001
0010
A∈ Mn(K)
A n 1
A2= tr(A).A det(In+A) = 1 + tr A
n
diag(1,2, . . . , n)
f:Mn(C)C
(A, B)∈ Mn(C)2, f(AB) = f(A)f(B)
A∈ Mn(C)
Af(A)6= 0
A∈ M3(R)A2=O3
C={M∈ M3(R)|AM MA =O3}
A=
3 6 52
16 5 2
110 8 3
03 2 0
B=
12621
0 2 2 5
0 0 3 2
0 0 0 5
GMn(R)
(G, ×)rN
(G, ×) (GLr(R),×)
A∈ M2(C)AtA
fKE
0/Sp(f)f
fKnN
0Sp(fn)
0Sp(f)
uKE
Sp u1=λ1|λSp u
EKu∈ L(E)aGL(E)v=aua1
Sp uSp v Eλ(u)Eλ(v)
uKE
u
u v
λ6= 0 uv v u
PE=R[X]
u(P) = P0v(P) = ZX
0
P(t) dt
E
Ker(uv) Ker(vu)
λ= 0
E
f g CE
n1
fggf=f
f
fn16= 0 e E λ C
Matef=
0 1 (0)
1
(0) 0
Mateg= diag(λ, λ + 1, . . . , λ +n1)
ECu, v L(E)a, b
C
uvvu=au +bv
a=b= 0
u v
a6= 0 b= 0
u
unvvunu
u v
a, b 6= 0
u v
EC(a, b)C2f g
L(E)
fggf=af +bg
f g
E u v
E[u;v] = uv vu
[u;v]=0 u v
[u;v] = λu λ Cu u
v
α β [u;v] = αu +βv
u v
f g KE
fggf=I
n1fnggfn=nfn1
f g f ggf=I
E=K[X]f g f(P) = P0
g(P) = XP
E f g
E
fggf=f
fnggfn
P P (f)=0 fP0(f) = 0
f
A∈ Mn(C)TMn(C)
T(M) = AM MA
A
T
A, B, C ∈ Mn(R)
AB BA =C
C A B
A C
C
C
A∈ Mp(R) : M∈ Mp(R)7→ AM MA
Mp(R)
nN,(M, N )∈ Mp(R)2,n(M N ) =
n
X
k=0 n
kk(M)∆nk(N)
B= ∆(H)A
2(H) = 0 n+1(Hn) = 0
n(Hn) = n!Bn
k.k Mp(R)kBnk1/n
n+0
B
ECu v
E
uvvu=u
Ker(u)v
Ker(u)6={0}
u v
uvvuVect (u, v)
E u v
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