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Université François-Rabelais de Tours
2017
L3 Mathématiques
Probabilités et Statistiques
Feuille 3
Variables aléatoires réelles, loi d’une variable aléatoire, fonctions de répartition
Exercice 1
On lance deux dés.
1) Proposer un modèle probabiliste.
2) Définir une variable aléatoire X désignant la plus grande des deux valeurs obtenues. Déterminer
sa loi PX .
3) La variable aléatoire Y vaut 1 si les deux dés sont égaux et 0 sinon. Quelle est sa loi ?
Exercice 2
Soient X et Y deux variables aléatoires suivant la même loi et Z une troisième variable aléatoire. Les
variables XZ et Y Z suivent-elles nécessairement la même loi ?
Exercice 3
On joue à pile ou face et on note X le rang du premier pile obtenu et Y le rang du second pile obtenu.
1) Déterminer les lois de X et de Y .
2) Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ?
3) Les variables aléatoires X et Y − X sont-elles indépendantes ?
Exercice 4 (Absence de mémoire)
Montrer qu’une variable aléatoire X à valeurs dans N∗ suit une loi géométrique si et seulement si elle
possède la propriété dite “d’absence de mémoire”, à savoir que
P[X > n + m | X > m] = P[X > n],
∀m, n > 0.
Exercice 5 (Somme aléatoire de variables aléatoires)
Montrer que si (Xn )n≥1 est une suite de v.a. indépendantes, toutes de loi de Bernoulli de paramètre
p et si N est une v.a. de loi de Poisson de P
paramètre λ indépendante de la suite (Xn )n≥1 , alors la
somme aléatoire de variables aléatoires S = N
k=1 Xk suit une loi de Poisson de paramètre λp.
Exercice 6
Soit X une variable aléatoire réelle de loi PX = 31 δ0 + 16 δ1 + 21 δ2 et Y une variable aléatoire réelle de
densité f (x) = (x + 1)−2 1lR+ (x).
1) Déterminer les fonctions de répartition de X et de Y .
2) On pose U = (X − 1)2 . Donner la loi de U .
√
3) On pose V = Y . Donner un sens à la définition de V et déterminer sa loi.
Exercice 7
Les fonctions suivantes de R dans R sont-elles des fonctions de répartition ?

 0
1/2
si t ≤ 1
0
si t ≤ 1
1−
F (t) =
,
G(t)
=
,
H(t)
=
1
1
1 − 1+t
si t > 1
1 − 1+t
si t > 1

1
1
1
t
si t ≤ 1
si 1 < t < 2 .
si t ≥ 2
Exercice 8 (Autour de la loi uniforme)
Soit X une variable aléatoire de loi uniforme sur l’intervalle [−1, 1].
1) Donner la densité et la fonction de répartition de X.
2) On considère le trinôme aléatoire P (t) = t2 + Xt + 1/5. Quelle est la probabilité que P (t) ait
deux racines réelles distinctes ?
3) Les évènements {X ≥ 0} et {|X| ≤ 1/2} sont-ils indépendants ?
4) Soit la variable aléatoire Y = 2X. Donner sa fonction de répartition et sa densité.
5) Écrire la fonction de répartition et la densité de Z = X 2 .
Exercice 9 (Minimum de deux variables exponentielles)
On considère deux variables aléatoires exponentielles indépendantes X1 et X2 de paramètres respectifs
λ1 et λ2 . Soit Y = min{X1 , X2 } le minimum de ces deux variables.
1) Calculer les fonctions de répartion de X1 et X2 .
2) En déduire celle de Y et déterminer sa loi.
3) Deux guichets sont ouverts à une banque : le temps de service au premier (respectivement
second) guichet suit une loi exponentielle de moyenne 20 (respectivement 30) minutes. Alice et
Bob arrivent ensemble à la banque : Alice choisit le guichet 1, Bob le 2. Quelle est la loi du
temps auquel sort le premier ?
Exercices supplémentaires
Exercice 10 (Somme de Poisson)
Soient X1 , X2 des variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètres λ1 > 0 et λ2 > 0,
et soit S = X1 + X2 . Déterminer la loi de S.
Exercice 11
Soit X une v.a. de loi normale N (0, 1) et Y une v.a indépendante de X de loi PY =
Déterminer la loi de Z = XY .
1
2 (δ−1
+ δ1 ).
Exercice 12
Soit X une variable aléatoire de loi uniforme sur [1, 4]. Construire à partir de X une nouvelle variable
aléatoire suivant une loi uniforme sur [0, 1].
Exercice 13 (Loi de Cauchy)
Soit X une variable aléatoire de loi de Cauchy de paramètre 1, c’est-à-dire de densité
f (t) =
1 1
,
π 1 + t2
∀t ∈ R.
1) Calculer la fonction de répartition de X.
2) En déduire P[X ≥ 1]. En déduire également, pour tout x > 0, la valeur de P[−1/x ≤ X ≤ x].
3) Soit Y une variable aléatoire de loi uniforme sur ] − π/2, π/2[. Déterminer la loi de tan Y .
Exercice 14
Soient X1 de loi géométrique de paramètre p1 ∈]0, 1[ et X2 de loi géométrique de paramètre p2 ∈]0, 1[,
avec X1 et X2 indépendantes. Notons Y = min{X1 , X2 } le minimum de ces deux variables.
1) Quelles sont les valeurs que peut prendre la variable aléatoire Y ?
2) Soit n ∈ N. Exprimer P[Y > n] en fonction de p1 , p2 et n. En déduire la loi de Y .
3) On a en main deux dés qu’on lance en même temps jusqu’à ce qu’apparaisse le numéro 2 sur au
moins l’un des deux dés. Quelle est la loi du nombre de doubles lancers nécessaires ?
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