td 3

Universit´e Fran¸cois-Rabelais de Tours L3 Math´ematiques
2017 Probabilit´es et Statistiques
Feuille 3
Variables al´eatoires r´eelles, loi d’une variable al´eatoire, fonctions de r´epartition
Exercice 1
On lance deux d´es.
1) Proposer un mod`ele probabiliste.
2) D´efinir une variable al´eatoire Xd´esignant la plus grande des deux valeurs obtenues. D´eterminer
sa loi PX.
3) La variable al´eatoire Yvaut 1 si les deux d´es sont ´egaux et 0 sinon. Quelle est sa loi ?
Exercice 2
Soient Xet Ydeux variables al´eatoires suivant la mˆeme loi et Zune troisi`eme variable al´eatoire. Les
variables XZ et Y Z suivent-elles n´ecessairement la mˆeme loi ?
Exercice 3
On joue `a pile ou face et on note Xle rang du premier pile obtenu et Yle rang du second pile obtenu.
1) D´eterminer les lois de Xet de Y.
2) Les variables al´eatoires Xet Ysont-elles ind´ependantes ?
3) Les variables al´eatoires Xet Y−Xsont-elles ind´ependantes ?
Exercice 4 (Absence de m´emoire)
Montrer qu’une variable al´eatoire X`a valeurs dans N∗suit une loi g´eom´etrique si et seulement si elle
poss`ede la propri´et´e dite “d’absence de m´emoire”, `a savoir que
P[X > n +m|X > m] = P[X > n],∀m, n > 0.
Exercice 5 (Somme al´eatoire de variables al´eatoires)
Montrer que si (Xn)n≥1est une suite de v.a. ind´ependantes, toutes de loi de Bernoulli de param`etre
pet si Nest une v.a. de loi de Poisson de param`etre λind´ependante de la suite (Xn)n≥1, alors la
somme al´eatoire de variables al´eatoires S=PN
k=1 Xksuit une loi de Poisson de param`etre λp.
Exercice 6
Soit Xune variable al´eatoire r´eelle de loi PX=1
3δ0+1 6δ1+1 2δ2et Yune variable al´eatoire r´eelle de
densit´e f(x) = (x+ 1)−21lR+(x).
1) D´eterminer les fonctions de r´epartition de Xet de Y.
2) On pose U= (X−1)2. Donner la loi de U.
3) On pose V=√Y. Donner un sens `a la d´efinition de Vet d´eterminer sa loi.
Exercice 7
Les fonctions suivantes de Rdans Rsont-elles des fonctions de r´epartition ?
F(t) = 1/2 si t≤1
1−1
1+tsi t > 1, G(t) = 0 si t≤1
1−1
1+tsi t > 1, H(t) = 
0 si t≤1
1−1
tsi 1 <t<2
1 si t≥2
.
1

Exercice 8 (Autour de la loi uniforme)
Soit Xune variable al´eatoire de loi uniforme sur l’intervalle [−1,1].
1) Donner la densit´e et la fonction de r´epartition de X.
2) On consid`ere le trinˆome al´eatoire P(t) = t2+Xt + 1/5. Quelle est la probabilit´e que P(t) ait
deux racines r´eelles distinctes ?
3) Les ´ev`enements {X≥0}et {|X| ≤ 1/2}sont-ils ind´ependants ?
4) Soit la variable al´eatoire Y= 2X. Donner sa fonction de r´epartition et sa densit´e.
5) ´ Ecrire la fonction de r´epartition et la densit´e de Z=X2.
Exercice 9 (Minimum de deux variables exponentielles)
On consid`ere deux variables al´eatoires exponentielles ind´ependantes X1et X2de param`etres respectifs
λ1et λ2. Soit Y= min{X1, X2}le minimum de ces deux variables.
1) Calculer les fonctions de r´epartion de X1et X2.
2) En d´eduire celle de Yet d´eterminer sa loi.
3) Deux guichets sont ouverts `a une banque : le temps de service au premier (respectivement
second) guichet suit une loi exponentielle de moyenne 20 (respectivement 30) minutes. Alice et
Bob arrivent ensemble `a la banque : Alice choisit le guichet 1, Bob le 2. Quelle est la loi du
temps auquel sort le premier ?
Exercices suppl´ementaires
Exercice 10 (Somme de Poisson)
Soient X1, X2des variables al´eatoires ind´ependantes de loi de Poisson de param`etres λ1>0 et λ2>0,
et soit S=X1+X2. D´eterminer la loi de S.
Exercice 11
Soit Xune v.a. de loi normale N(0,1) et Yune v.a ind´ependante de Xde loi PY=1
2(δ−1+δ1).
D´eterminer la loi de Z=XY .
Exercice 12
Soit Xune variable al´eatoire de loi uniforme sur [1,4]. Construire `a partir de Xune nouvelle variable
al´eatoire suivant une loi uniforme sur [0,1].
Exercice 13 (Loi de Cauchy)
Soit Xune variable al´eatoire de loi de Cauchy de param`etre 1, c’est-`a-dire de densit´e
f(t) = 1
π
1
1 + t2,∀t∈R.
1) Calculer la fonction de r´epartition de X.
2) En d´eduire P[X≥1]. En d´eduire ´egalement, pour tout x > 0, la valeur de P[−1/x ≤X≤x].
3) Soit Yune variable al´eatoire de loi uniforme sur ] −π/2, π/2[. D´eterminer la loi de tan Y.
Exercice 14
Soient X1de loi g´eom´etrique de param`etre p1∈]0,1[ et X2de loi g´eom´etrique de param`etre p2∈]0,1[,
avec X1et X2ind´ependantes. Notons Y= min{X1, X2}le minimum de ces deux variables.
1) Quelles sont les valeurs que peut prendre la variable al´eatoire Y?
2) Soit n∈N. Exprimer P[Y > n] en fonction de p1,p2et n. En d´eduire la loi de Y.
3) On a en main deux d´es qu’on lance en mˆeme temps jusqu’`a ce qu’apparaisse le num´ero 2 sur au
moins l’un des deux d´es. Quelle est la loi du nombre de doubles lancers n´ecessaires ?
2