Petite introduction à la courbure des surfaces.

UNIVERSIT´ E DE VALENCIENNES
ET DU HAINAUT-CAMR´ ESIS
MASTER 1 DE MATH´ EMATIQUES
UE : Projet en Math´ematiques
par
Aziz El Kacimi
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Petite introduction `a la courbure des surfaces
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Domaine fondamental donnant une surface
hyperbolique compacte orientable de genre 2
Ann´ ee universitaire 2012-2013
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.
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CHAPITRE I
Surfaces diff´erentiables
L’espace euclidien R2a une particularit´e parmi les espaces topologiques : il poss`ede des
coordonn´ees globales (x1, x2). Celles-ci permettent d’y faire de l’analyse. Mais d’autres
n’ayant aucune structure lin´eaire se comportent toutefois localement comme R2; on les
appelle surfaces diff´erentiables. L’objet de ce chapitre est d’en donner la d´efinition, de
d´ecrire certaines de leurs propri´et´es et les divers objets qui leur sont rattach´es.
1. D´efinitions et exemples
Dans ce paragraphe Msera un espace topologique paracompact i.e. Mest s´epar´e et tel
que tout recouvrement ouvert admet un recouvrement ouvert plus fin et localement fini.
1.1. D´efinition. On dira que Mest une surface topologique si tout point x∈M
poss`ede un voisinage ouvert Uhom´eomorphe `a R2i.e. il existe une application bijective
ϕ:R2−→ Utelle que ϕet son inverse ϕ−1soient continues.
Pour connaˆıtre un point xde U, il suffit donc de connaˆıtre les coordonn´ees (x1, x2)
dans R2de son image r´eciproque ϕ−1(x). Pour cette raison, on dira que Uest un ouvert
de coordonn´ees locales de Mau voisinage de x. La paire (U, ϕ) est appel´ee carte locale et
(x1, x2) = ϕ−1(x) seront les coordonn´ees de x. Si (U, ϕ) et (V, ψ) sont deux cartes locales
telles que l’intersection U∩Vsoit non vide, alors un point x∈U∩Vsera rep´er´e par ses
coordonn´ees (x1, x2) dans Uet ses coordonn´ees (x01, x02) dans V. Comme le diagramme :
ϕ−1(U∩V)ϕ −→ U∩V
↓ ||
ψ−1(U∩V)ψ −→ U∩V
est commutatif, on doit avoir :
(I.1) (x01, x02) = ψ−1◦ϕ(x1, x2).
L’application ψ−1◦ϕest appel´ee changement de coordonn´ees de la carte (U, ϕ) `a la
carte (V, ψ). Souvent on a besoin d’une certaine r´egularit´e de cette application ; ce qui
nous am`ene `a d´efinir la notion de surface diff´erentiable. Dor´enavant Msera une surface
topologique.
1.2. D´efinition. Deux cartes locales (U, ϕ)et (V, ψ)sont dites compatibles si l’une des
conditions suivantes est remplie :
i) U∩V=∅,
ii) U∩V6=∅et ψ−1◦ϕest un diff´eomorphisme de classe C∞; ceci a un sens car cette
application est d´efinie sur un ouvert de R2et est `a valeurs dans R2.
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Un ensemble de cartes locales (Ui, ϕi)i∈Isur Mest appel´e atlas si (Ui)i∈Iest un
recouvrement de Met si deux cartes quelconques (Ui, ϕi) et (Uj, ϕj) sont compatibles.
Deux atlas (Ui, ϕi)i∈Iet (Vj, ψj)j∈Jsont dits ´equivalents si leur r´eunion est un atlas i.e.
pour tout i∈Iet tout j∈J, les cartes (Ui, ϕi) et (Vj, ψj) sont compatibles.
1.3. D´efinition. Une classe d’´equivalence d’atlas est appel´ee structure diff´erentiable
sur M. On dira que Mest une surface diff´erentiable.
(Pour simplifier, dans toute la suite on dira simplement “surface” au lieu de “surface
diff´erentiable”.)
Tout ouvert non vide d’une surface est une surface.
Une surface Mest dite orientable si elle peut ˆetre d´efinie `a l’aide d’un atlas (Ui, ϕi)
pour lequel les diff´eomorphismes (I.1) pr´eservent l’orientation de R2: pour x∈Ui∩Uj, le
d´eterminant de l’application lin´eaire d¡ϕ−1
j◦ϕi¢(ϕ−1 i(x)) est strictement positif.
Une surface Mest dite connexe, compacte... si l’espace topologique sous-jacent Mest
connexe, compact...
Dans toute la suite de cette section on ne consid´erera que les surfaces connexes.
1.4. Exemples
Souvent nous ne sp´ecifierons que la mani`ere d’obtenir les cartes. Le lecteur peut
v´erifier lui-mˆeme leur compatibilit´e. On peut obtenir des exemples de diff´erentes mani`eres.
Mais il est clair que le premier est l’espace R2lui-mˆeme puisqu’il constiue le mod`ele local.
i) Surfaces de R3
Une application diff´erentiable R3f −→ Rest dite de rang constant si le rang de
l’application lin´eaire dxf:R3−→ R(diff´erentielle de fau point x) ne d´epend pas de
x, donc ´egal `a 0 ou 1. On dira que fest une submersion si pour tout x∈M,dxfest
surjective, donc de rang 1. Pour tout c∈f(R3), posons :
M={x∈R3:f(x) = c}.
Supposons que fest une submersion. On montre alors, par le th´eor`eme des fonctions
implicites, que Mest une surface. On dira que fest une fonction definissant M.
On appelle surface de R3toute partie ferm´ee Mtelle que, pour tout x∈M, il existe
un voisinage ouvert Ude xet une application diff´erentiable Uf −→ Rd´efinissant M∩U.
ii) La sph`ere S2
C’est la partie ferm´ee de R3:S2=©(x1, x2, x3)∈R3:x2
1+x2 2+x2 3= 1ª.C’est
´evidemment une surface de R3d´efinie par une submersion ; mais on peut voir aussi sa
structure de surface en exhibant explicitement un atlas. Consid´erons le recouvrement
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ouvert suivant U1=S2\{N}et U2=S2\{S}o`u Net Ssont respectivement le pˆole nord
et le pˆole sud de la sph`ere. Alors l’application ϕ1:R2−→ U1⊂R3d´efinie par :
ϕ1(x1, x2) = µ2x1
1 + x2
1+x2 2
,2x2
1 + x2
1+x2 2
,−1 + x2
1+x2 2
1 + x2
2+x2 2¶
Fig. I.1
est un hom´eomorphisme de R2sur U1. L’application inverse est donn´ee par :
ϕ−1
1(X1, X2, X3) = µX1
1−X3
,X2
1−X3¶
De mˆeme l’application ϕ2:R2−→ U2donn´ee par :
ϕ2(x1, x2) = µ2x1
1 + x2
1+x2 2
,2x2
1 + x2
1+x2 2
,1−x2
1−x2 2
1 + x2
2+x2 2¶
est aussi un hom´eomorphisme ; l’inverse ϕ−1
2:U2−→ R2a pour expression :
ϕ−1
2(X1, X2, X3) = µX1
1 + X3
,X2
1 + X3¶.
L’application de changement de cartes :
ϕ−1
2◦ϕ1:ϕ−1 1(U1∩U2) = R2− {(0,0)} −→ R2− {(0,0)}=ϕ−1 2(U1∩U2)
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