Interrogation du 29 Février

Université François-Rabelais de Tours
Licence de Mathématiques
Interrogation du 29 Février
UE 6-3 Algèbre Semestre 6
Les trois exercices sont indépendants. La notation tiendra compte de la clarté de la rédaction. Toute affir-
mation doit être justifiée.
Question de cours. Soit Kun corps, α∈Ket P∈K[X].
1. Que signifie "αest racine de Pde multiplicité k" ?
2. On suppose que Pest de degré 2 ou 3. Montrer que si Pn’admet pas de racine dans K, alors Pest
irréductible dans K[X].
3. Trouver un contre exemple à l’implication suivante :
Si Pn’admet pas de racine dans Kalors Pest irréductible.
4. Que signifie "l’idéal Ide K[X]est principal" et "l’anneau K[X]est principal" ?
Exercice 1.
1. Soit Aun anneau commutatif et Iun idéal de cet anneau. On définit alors
√I:= {x∈A| ∃n∈N∗, xn∈I}.
(a) Montrer que si x∈√Iet a∈Aalors xa ∈√I.
(b) Montrer que si x∈√Iet y∈√Ialors x+y∈√I
[Aide : On pourra utiliser la formule du binôme de Newton (x+y)k=
k
P
i=0
k
ixiyk−i.]
(c) Conclure
2. On pose
I:= {P∈R[X]|P(1) = P0(1) = P(2) = 0}.
(a) Donner un polynôme R∈R[X]non-nul qui appartient à l’ensemble I.
(b) Montrer que Iest un idéal de R[X].
(c) Déterminer un polynôme unitaire Q∈R[X]tel que I= (Q)où (Q)désigne l’idéal engendré
par Q.
(d) Donner un polynôme S∈R[X]qui appartient à √Imais pas à I.
(e) Montrer que √Iest égal à l’idéal engendré par (X−1)(X−2).
3. Soit P∈K[X]un polynôme non nul unitaire et soit P=Pα1
1. . . P αk
ksa décomposition en facteurs
unitaires irréductibles. On suppose de plus que αi≥1pour tout i. Déterminer l’idéal p(P).
Exercice 2.
Soit n∈N∗. Dans la suite, Mn(C)désigne l’ensemble des matrices à coefficients complexes. Pour chaque
matrice A∈ Mn(C), on définit l’application
adA:Mn(C)−→ Mn(C)
X7→ AX −XA .
Si A= (ai,j )1≤i,j≤n∈ Mn(C), on rappelle que la trace de Aest définie par Tr(A) = Pn
i=1 ai,i.
1. Soit A∈ Mn(C).
(a) Montrer que adAest un endomorphisme de Mn(C).
(b) L’endomorphisme adAest-il injectif ? Surjectif ?
(c) On pose V:= {B∈ Mn(C)|Tr(B) = 0}. Montrer que Vest un sous-espace vectoriel Mn(C)
et déterminer sa dimension.
(d) Montrer que Im(adA)⊂V.
1

2. On définit l’application linéaire
Φ : Mn(C)−→ End(Mn(C))
A7−→ adA.
(a) Déterminer ker(Φ).
[Aide : On pourra utiliser le fait que les seules matrices qui commutent avec toutes les autres sont les matrices
de la forme λInavec λ∈C.]
(b) Montrer que Mn(C) = V⊕ker(Φ) (où Vest le sous-espace vectoriel défini en 1.(c)).
3. Dans tout cette question, on suppose que n= 2. On désigne par B= (E11, E21 , E12, E22 )la base
canonique de M2(C):
E11 =1 0
0 0, E12 =0 1 0 0, E21 =0 0 1 0, E22 =0 0 0 1.
On définit les matrices suivantes
X=0 1
−1 0, Y =0i i0et Z=1 0 0−1
et on pose B0= (X, Y, Z, Id2).
(a) Montrer que B0est une base de M2(C).
(b) Ecrire la matrice MatB(adX)de l’endomorphisme adXdans la base B.
(c) Ecrire la matrice MatB0(adX)de l’endomorphisme adXdans la base B0.
(d) Trouver une matrice Ptelle que MB(adX) = P MB0(adX)P−1.
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