Interrogation du 29 Février

Université François-Rabelais de Tours
Licence de Mathématiques
Interrogation du 29 Février
UE 6-3 Algèbre
Semestre 6
Les trois exercices sont indépendants. La notation tiendra compte de la clarté de la rédaction. Toute affirmation doit être justifiée.
Question de cours. Soit K un corps, α ∈ K et P ∈ K[X].
1. Que signifie "α est racine de P de multiplicité k" ?
2. On suppose que P est de degré 2 ou 3. Montrer que si P n’admet pas de racine dans K, alors P est
irréductible dans K[X].
3. Trouver un contre exemple à l’implication suivante :
Si P n’admet pas de racine dans K alors P est irréductible.
4. Que signifie "l’idéal I de K[X] est principal" et "l’anneau K[X] est principal" ?
Exercice 1.
1. Soit A un anneau commutatif et I un idéal de cet anneau. On définit alors
√
I := {x ∈ A | ∃n ∈ N∗ , xn ∈ I}.
√
√
(a) Montrer que si x ∈ I et a ∈ A alors xa ∈ I.
√
√
√
(b) Montrer que si x ∈ I et y ∈ I alors x + y ∈ I
[Aide : On pourra utiliser la formule du binôme de Newton (x + y)k =
k
P
i=0
(c) Conclure
k i k−i
xy
.]
i
2. On pose
I := {P ∈ R[X] | P (1) = P 0 (1) = P (2) = 0}.
(a) Donner un polynôme R ∈ R[X] non-nul qui appartient à l’ensemble I.
(b) Montrer que I est un idéal de R[X].
(c) Déterminer un polynôme unitaire Q ∈ R[X] tel que I = (Q) où (Q) désigne l’idéal engendré
par Q.
√
(d) Donner un polynôme S ∈ R[X] qui appartient à I mais pas à I.
√
(e) Montrer que I est égal à l’idéal engendré par (X − 1)(X − 2).
3. Soit P ∈ K[X] un polynôme non nul unitaire et soit P = P1α1 . . . Pkαk sa décomposition
p en facteurs
unitaires irréductibles. On suppose de plus que αi ≥ 1 pour tout i. Déterminer l’idéal (P ).
Exercice 2.
Soit n ∈ N∗ . Dans la suite, Mn (C) désigne l’ensemble des matrices à coefficients complexes. Pour chaque
matrice A ∈ Mn (C), on définit l’application
Mn (C) −→
Mn (C)
adA :
.
X
7→ AX − XA
Si A = (ai,j )1≤i,j≤n ∈ Mn (C), on rappelle que la trace de A est définie par Tr(A) =
Pn
i=1
ai,i .
1. Soit A ∈ Mn (C).
(a) Montrer que adA est un endomorphisme de Mn (C).
(b) L’endomorphisme adA est-il injectif ? Surjectif ?
(c) On pose V := {B ∈ Mn (C) | Tr(B) = 0}. Montrer que V est un sous-espace vectoriel Mn (C)
et déterminer sa dimension.
(d) Montrer que Im(adA ) ⊂ V .
1
2. On définit l’application linéaire
Φ : Mn (C) −→
A
7−→
End(Mn (C))
adA .
(a) Déterminer ker(Φ).
[Aide : On pourra utiliser le fait que les seules matrices qui commutent avec toutes les autres sont les matrices
de la forme λIn avec λ ∈ C.]
(b) Montrer que Mn (C) = V ⊕ ker(Φ) (où V est le sous-espace vectoriel défini en 1.(c)).
3. Dans tout cette question, on suppose que n
canonique de M2 (C) :
1 0
0
E11 =
, E12 =
0 0
0
On définit les matrices suivantes
0
X=
−1
= 2. On désigne par B = (E11 , E21 , E12 , E22 ) la base
1
0
, E21 =
0
1
1
0
, Y =
0
i
0
0
, E22 =
0
0
i
1
et Z =
0
0
0
−1
et on pose B 0 = (X, Y, Z, Id2 ).
(a) Montrer que B 0 est une base de M2 (C).
(b) Ecrire la matrice MatB (adX ) de l’endomorphisme adX dans la base B.
(c) Ecrire la matrice MatB0 (adX ) de l’endomorphisme adX dans la base B 0 .
(d) Trouver une matrice P telle que MB (adX ) = P MB0 (adX )P −1 .
2
0
.
1