Mécanique Premières ondes Chapitre 3

Mécanique
Chapitre 3
Premières ondes

PC⋆, Fabert (Metz)
Premières ondes
Cette année nous allons étudier un thème transversal : les ondes. Ces ondes apparaissent en effet
dans quasiment tous les domaines de la physique :
➜en mécanique avec les ondes le long des cordes ;
➜en mécanique des fluides avec les ondes sonores ;
➜en optique où le caractère ondulatoire de la lumière engendrera interférence et diffraction ;
➜en thermodynamique où nous effleurerons les ondes thermiques ;
➜enfin en électromagnétisme avec tout ce qui est « radiation » ;
C’est la raison pour laquelle ce chapitre est important puisqu’il fixe les bases de la phénoménologie
des ondes et donc de la propagation. Pour les mêmes raisons, il est assez lourd et est divisé en cinq
parties :
➜la première est destinée à arriver à l’équation régissant les ondes tout en faisant comprendre
les raisons profondes qui sont à l’origine de la propagation ;
➜dans la 2enous verrons quelles sont les solutions de l’équation d’onde et leurs interprétations ;
➜ensuite dans la 3enous étudierons comment tenir compte des conditions aux limites et verrons
ainsi comment résoudre un problème propagatif ;
➜après, dans la 4epartie, nous nous intéresserons à l’aspect énergétique des ondes, aspect qui
recèle quelques aspects pas forcément intuitifs ;
➜enfin dans la dernière partie nous verrons ce qui se passe dans la propagation n’est pas parfaite
mais qu’il existe des phénomènes dits de dispersion ou d’atténuation.
©Matthieu Rigaut 2 / 98 Version du 29 déc. 2013

PC⋆, Fabert (Metz) TABLE DES MATIÈRES
Table des matières
Biographies succinctes 8
I Vers l’équation d’onde 9
I·1 Oscillateur mécanique à un degré de description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
I·1·irégimelibre .................................... 9
modèle....................................... 9
équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
solution dans le plan de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
I·1·ii régimeforcé .................................... 11
modèle....................................... 11
équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
solution ...................................... 12
passageencomplexe ............................... 12
I·1·iii résonance en élongation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
résultats ...................................... 13
graphe ....................................... 14
I·1·iv résonanceenvitesse................................ 14
résultats ...................................... 14
graphe ....................................... 15
I·1·vaspectsénergétique ................................ 15
énergiecinétique.................................. 15
énergiepotentielle................................. 16
lien avec l’énergie mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
théorème de la puissance mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
I·1·vi résonance en puissance fournie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
puissance moyenne dissipée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
qualitédurésonateur ............................... 18
I·2 Couplage de deux oscillateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
I·2·isituation...................................... 18
présentation .................................... 18
miseenéquation.................................. 18
I·2·ii découplage : vers les modes propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
de nouvelles inconnues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
de nouvelles équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
interprétation ................................... 20
retour sur les oscillateurs couplés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
I·2·iii couplagefaible................................... 22
expression des pulsations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
solution ...................................... 22
un phénomène qui reviendra : les battements . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
I·2·iv oscillationsforcées................................. 24
modificationdumodèle.............................. 24
solutionsencomplexe............................... 24
résonance et antirésonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
couplagefaible................................... 25
pour M2...................................... 26
avecfrottement .................................. 26
I·3 Chaîned’oscillateurs .................................... 27
©Matthieu Rigaut 3 / 98 Version du 29 déc. 2013

PC⋆, Fabert (Metz) TABLE DES MATIÈRES
I·3·imodèle....................................... 27
I·3·ii équationdecouplage ............................... 27
I·3·iii approximation des milieux continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
idée......................................... 28
transformation de l’équation de couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
équation de d’Alembert ............................ 29
I·4 Ondes longitudinales dans un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
I·4·ieffort interne à un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
I·4·ii sondansunsolide................................. 30
modélisation.................................... 30
force à l’échelle mésoscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
équation de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
I·4·iii expression phénoménologique du module d’Young .............. 32
Approche microscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
céléritédesondes ................................. 33
II Solutions de l’équation de d’Alembert 34
II·1 Équation de propagation le long d’une corde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
II·1·ipas n’importe quelle corde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
II·1·ii miseenéquation.................................. 34
TCI......................................... 34
projection sur ~ux................................. 35
projection sur ~uy................................. 35
réécriture du terme d’accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
couplagegéométrique............................... 36
rassemblementetfin ............................... 36
II·2 Solutions en Ondes Planes Progressives (OPP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
II·2·iformedessolutions ................................ 37
expression ..................................... 37
vérification..................................... 37
II·2·ii imagedessolutions ................................ 37
uneonde...................................... 37
interprétation de f(x−c t)............................. 38
interprétation de g(x+c t)............................. 39
résumé....................................... 39
philosophiedel’onde ............................... 40
II·2·iii quelques applications numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
propagation dans le fer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
cordedeguitare.................................. 40
II·3 Solutions en Ondes Planes Progressives Monochromatiques (OPPM) . . . . . . . . . . 41
II·3·ic’estuncasparticuler............................... 41
forme........................................ 41
nouveauvocabulaire................................ 42
relationdedispersion............................... 42
II·3·ii intérêtdel’OPPM................................. 43
c’estunmodèle... ................................ 43
. . . et un intermédiaire de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
II·4 Ondes Stationnaires (OS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
II·4·ic’est encore un cas particulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
définition...................................... 44
©Matthieu Rigaut 4 / 98 Version du 29 déc. 2013

PC⋆, Fabert (Metz) TABLE DES MATIÈRES
OS pour une équation de d’Alembert ..................... 44
II·4·ii visualisation.................................... 45
II·5 Changement de description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
II·5·iàpartird’uneOS ................................. 46
versOPPM .................................... 46
versOPP...................................... 46
II·5·ii àpartird’uneOPPM............................... 47
versOS....................................... 47
versOPP...................................... 47
II·5·iii àpartird’uneOPP ................................ 47
II·5·iv superpositions................................... 48
II·6 L’équation de d’Alembert n’est qu’une équation différentielle . . . . . . . . . . . . . 48
III Tenir compte des conditions aux limites 49
III·1 Équation de propagation dans un câble coaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
III·1·iprésentation .................................... 49
lafindel’ARQS.................................. 49
le modèle mésoscopique ou le retour de la l’ARQS . . . . . . . . . . . . . . . 49
III·1·ii équation de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
le«circuit».................................... 50
loidesmailles ................................... 50
loidesnœuds ................................... 51
équations de d’Alembert ............................ 51
III·2Grandeursduales ...................................... 52
III·2·iéquationscouplées................................. 52
pourlecâble.................................... 52
pourlacorde ................................... 52
demanièregénérale................................ 53
III·2·ii impédance d’un milieu propagatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
pourlecâblecoaxial ............................... 53
pourlacorde ................................... 55
III·3 Réflexion et transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
III·3·ià l’extrémité d’un milieu propagatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
câblecoaxial.................................... 56
applicationauxTP ................................ 58
traduire les conditions aux limites pour une corde . . . . . . . . . . . . . . . 59
cas à retenir parmi tous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
III·3·ii jonction entre deux milieux propagatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
situation...................................... 60
une autre forme de solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
conditionsauxlimites............................... 61
coefficients de réflexion et transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
III·4Vibrationsd’unecorde ................................... 64
III·4·iprésentation de la corde de Melde ....................... 64
dispositif...................................... 64
analyse....................................... 64
III·4·ii modespropres................................... 65
solution a priori .................................. 65
utilisation des conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
résultatàconnaître ................................ 65
©Matthieu Rigaut 5 / 98 Version du 29 déc. 2013