Fiche d'exercices 11

PCSI
2
Suites réelles Fiche 11
Manipulation sur les limites
Exercice 1 Soit (u
n
)
n∈N
une suite de réels strictement positifs. On suppose qu’il existe k∈R
+
tel que u
n+1
u
n
−−−−−→
n→+∞
k.
1. Montrer que k < 1 =⇒u
n
−−−−−→
n→+∞
0.
2. Montrer que k > 1 =⇒u
n
−−−−−→
n→+∞
+∞.
Exercice 2 Soit (u
n
)
n∈N
une suite périodique. Montrer que (u
n
)
n∈N
converge si et seulement si (u
n
)
n∈N
est constante.
Exercice 3 Montrer qu’une suite réelle non majorée admet une sous suite divergente.
Exercice 4 On désire prouver que la suite (c
n
)
n
définie par c
n
= cos ndiverge. On raisonne par l’absurde, on note csa
limite.
1. Développer c
n+1
et en déduire que la suite (s
n
)
n
définie par s
n
= sin nconverge aussi. Quelle relation relie sa limite s
avec c?
2. A l’aide des suites de rangs pairs extraites des suites (c
n
)
n
et (s
n
)
n
aboutir à une contradiction.
Exercice 5 Soit (u
n
)
n∈N
une suite réelle telle que (u
2n
)
n∈N
,(u
2n+1
)
n∈N
et (u
3n
)
n∈N
convergent, montrer que (u
n
)
n∈N
converge.
Exercice 6 Soit a∈Ret (u
n
)
n∈N
,(v
n
)
n∈N
,(w
n
)
n∈N
trois suites réelles vérifiant u
n
+v
n
+w
n
−−−−−→
n→+∞
3aet u
2
n
+v
2
n
+
w
2
n
−−−−−→
n→+∞
3a
2.
Montrer que ces trois suites convergent vers a.
Exercice 7 Théorème de Césaro (Classique).
1. Montrer que si (u
n
)
n∈N
∗
est une suite convergente vers lalors la suite (v
n
)
n∈N
∗
définie par ∀n≥1,v
n
=u
1
+···+u
n
n=
1
n
n
k=1
u
k
converge aussi vers l.
2. Lemme de l’escalier : Montrer que si (w
n
)
n∈N
∗
est telle que w
n+1
−w
n
−−−−−→
n→+∞
lalors w
n
n−−−−−→
n→+∞
l.
3. Applications.
(a) On définit la suite (u
n
)
n∈N
∗
par u
1
>0et u
n+1
=
n
k=1
u
k
.Trouver, pour n≥2, une relation simple entre u
n
et
u
n+1
,étudier la monotonie de (u
n
)
n∈N
et sa nature. Montrer que u
n+1
−u
n
−−−−−→
n→+∞
1
2,en déduire un équivalent
de u
n
.
(b) Si (u
n
)est une suite de réels strictements positifs telle que u
n+1
u
n
−−−−−→
n→+∞
l > 0,montrer que
n
√u
n
−−−−−→
n→+∞
l.
Déterminer alors les limites des suites u
n
=
n
2n
net v
n
=
n
√n!
n.
(c) Montrer que si (u
n
)est bornée et si la suite (d
n
)définie par d
n
=u
n+1
−u
n
est croissante alors (u
n
)est
convergente.
Exercice 8 Soit (u
n
)
n∈N
une suite réelle telle que ∀n∈N,u
n
=−1.
1. Montrer que u
n
1 + u
n
−−−−−→
n→+∞
0 =⇒u
n
−−−−−→
n→+∞
0.
2. On suppose que u
n
1 + u
2
n
−−−−−→
n→+∞
0et que (u
n
)
n∈N
est bornée, montrer que u
n
−−−−−→
n→+∞
0. Est-ce encore vrai si on enlève
l’hypothèse (u
n
)
n∈N
bornée ?
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Suites réelles Fiche 11
Théorème d’encadrement
Exercice 9 Montrer que les suites de termes général suivant convergent vers zéro
1
(−1)
n
sin
2
n
n
2
2
1
k
+ 2
k
+··· +n
k
√nn
k+1
k∈N
3
1
k
−2
k
+··· + (−1)
n+1
n
k
√nn
k+1
k∈N
4
n
k=1
k
n
k=1
k
3
5
nsin(n)
n
2
+ 1
6
n!
n
n
7
n
k=1
1
(n+k)
2
8
2n
k=n
ke
−k
Exercice 10 Limite de
1
2n+1
k=1
1
√n
2
+k
2
1
n
2
n
k=1
⌊kx⌋où x∈R
Exercice 11 Soit (u
n
)
n
la suite définie par
u
n
=n
n
2
+n
n
2
+ 1 +... +n n
2
+ 2n+n n
2
+ 2n+ 1 =
2n+1
k=0
n
n
2
+k
Montrer que ∀n∈N
∗
,n(2n+ 2)
(n+ 1)
2
≤u
n
≤2n+ 2
n. En déduire la limite de (u
n
)
n
.
Exercice 12 On note pour n∈N
∗
, S
n
=
n
k=1
1
√k,u
n
=S
n
√net v
n
=S
n
−2√n
1. Montrer que ∀n∈N
∗
,2√n+ 1 −2≤S
n
≤√n+√n−1.
2. En déduire la nature de (S
n
)
n
,(u
n
)
n
et (v
n
)
n
ainsi qu’un équivalent de S
n
Exercice 13 Montrer que ∀x≥0, x −x
3
6≤sin x≤x. On pose alors pour n≥1,u
n
=
n
k=1
k
n
2
et v
n
=
n
k=1
sin k
n
2
.
Montrer que les deux suites (u
n
)
n∈N
et (v
n
)
n∈N
convergent.
Exercice 14
1. Soit (u
n
)une suite vérifiant
∃k∈]0,1[ ,∀n∈N,|u
n+1
| ≤ k|u
n
|
Montrer que la suite (u
n
)converge vers 0.
2. On définit la suite (u
n
)
n∈N
par u
0
= 1 et u
n+1
=1
8 + 2u
n
. Montrer que ∀n∈N,u
n
>0.Si (u
n
)
n∈N
converge, quelle
est sa limite l? Montrer alors que ∀n∈N,|u
n+1
−l| ≤ 1
32 |u
n
−l|et conclure.
3. Donner un exemple de suite telle qu’il existe k∈R
+
vérifiant ∀n∈N,|u
n+1
| ≤ k|u
n
|et qui ne converge pas.
4. Plus technique : Soit (u
n
)une suite telle que 
u
n+1
u
n
−−−−−→
n→+∞
lavec 0≤l < 1,montrer que u
n
−−−−−→
n→+∞
0.
Exercice 15 On définit (u
n
)
n∈N
∗
par u
1
= 3 et u
n+1
=e
−u
n
n.Etudier cette suite.
Exercice 16 On définit (u
n
)
n∈N
∗
par u
n
=
n
k=1
1 + k
n
2
.
1. Montrer que ∀x≥0, x −x
2
2≤ln (1 + x)≤x
2. En déduire que (u
n
)
n∈N
converge et la limite de (u
n
)
n∈N
∗
.
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Suites réelles Fiche 11
Théorème de la limite monotone
Exercice 17 Suites monotones : Déterminer la nature des suites de terme général :
1
n
k=1
1
n+k
2
n
k=1
1
k
2
3
n
k=0
1 + e
−k
4
n
k=0
1
k!
Pour (2) ,(utiliser
1
k
2
≤
1
k(k−1)
=
1
k−1
−
1
k
).Pour (3) ,ln (1 + x)≤xet pour (4) ,1
k!≤1 2
k
si k≥...
Exercice 18 On définit (u
n
)
n∈N
par u
0
∈Ret u
n+1
=u
n
+e
−u
n
.Etudier cette suite.
Exercice 19 Montrer que la suite (u
n
)
n∈N
, définie par u
n
=
n
k=1
1
(n+k) (n+k+ 1) est convergente.
Exercice 20 On définit la suite (u
n
)
n∈N
par u
0
= 1 et ∀n∈N,u
n+1
=u
n
+1
u
n
.
1. Montrer que ∀n∈N,u
n
≥1.Préciser la monotonie de (u
n
)
n∈N
et en déduire sa limite.
2. Montrer que ∀n∈N,2≤u
2
n+1
−u
2
n
≤2 + u
n+1
−u
n
puis que 2n≤u
2
n
−1≤2n+u
n
−1.
3. En déduire que u
n
∼√2n.
Suites adjacentes
Exercice 21 Suites adjacentes : Montrer que les suites (u
n
)
n
et (v
n
)
n
sont adjacentes :
1
u
n
=
n
k=1
1
k
2
et v
n
=u
n
+1
n.
2
u
n
=
n
k=1
1
k
2
(k+ 1)
2
et v
n
=u
n
+1
3n
2
.
Exercice 22 On pose, pour n∈N
∗
,S
n
=
n
k=1
(−1)
k
ket u
n
=S
2n
,v
n
=S
2n+1
.
Montrer que les suites (u
n
)
n
et (v
n
)
n
sont adjacentes. En déduire la convergence de (S
n
)
n
.
Exercice 23 Suites adjacentes : Montrer que les suites (u
n
)
n
et (v
n
)
n
sont adjacentes :
1. u
n
=
n
k=1
1
k
p
et v
n
=
n
k=1
1
k
p
+1
n
p−1
avec pentier fixé, p > 1.
2. u
n
=
n
k=1
1
√k−2√n+ 1 et v
n
=
n
k=1
1
√k−2√n.
3. u
n
=
n
k=1
1
k−1 n−ln(n)et v
n
=
n
k=1
1
k+1 n−ln(n).On pourra faire des études de fonctions pour l’étude des monotonies
Exercice 24 Soient aet bdeux réels strictement positifs tels que a < b. On définit deux suites (u
n
)
n
et (v
n
)
n
par u
0
=a,
v
0
=b,∀n∈N,2
u
n+1
=1
u
n
+1
v
n
et v
n+1
=u
n
+v
n
2.Montrer que ces deux suites sont adjacentes, calculer leur limite.
Exercice 25 Soient u
0
et v
0
deux réels positifs tels que u
0
< v
0
, on définit deux suites (u
n
)
n∈N
et (v
n
)
n∈N
par les relations
de récurrence
∀n∈N,u
n+1
=u
2
n
u
n
+v
n
et v
n+1
=v
2
n
u
n
+v
n
Etudier ces deux suites.
Suites u
n+1
=f(u
n
)
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Suites réelles Fiche 11
Exercice 26 On veut étudier étudier la suite (u
n
)
n
définie par u
0
∈[−2,+∞[et ∀n∈N,u
n+1
=√2 + u
n
.Déterminer α
tel que α=f(α)où f(x) = √2 + x. Montrer que si u
0
≥α, alors ∀n,u
n
≥αet que la suite est décroissante. Montrer que
si u
0
≤α, alors 0≤u
n
≤αsi n≥1et la suite est décroissante à partir du rang 1.Conclure.
Exercice 27 On veut étudier étudier la suite (u
n
)
n
définie par u
0
∈]0,+∞[et ∀n∈N,u
n+1
=
1
2
(u
n
+1
u
n
).Montrer que
pour n≥1,on a u
n
≥1et étudier la monotonie de (u
n
)
n≥1
et conclure.
Exercice 28 On veut étudier étudier la suite (u
n
)
n
définie par u
0
∈Ret u
n+1
=u
n
+e
−u
n
. Etudier la monotonie et
conclure.
Suites implicites
Exercice 29 On considère l’équation (E)x
n
−x−1 = 0 où n≥3, on pose f(x) = x
n
−x−1
1. A l’aide du binôme de Newton, montrer que f1 +
1
n
>0
2. En déduire que (E)admet une solution dans l’intervalle 1,1 + 1
n, on note x
n
cette solution. Montrer que (x
n
)
n
converge vers 1.Sans utiliser la monotonie de f, comment prouver l’unicité de x
n
?
3. A l’aide de nln(x
n
) = ln(1 + x
n
)montrer que x
n
= 1 + ln(2)
n+o1 n(i.e. x
n
−1∼
ln(2)
n
).
Exercice 30 Montrer que l’équation x−e
−x
=nadmet une unique solution u
n
dans l’intervalle [n, n + 1] .Donner un
développement asymptotique à deux termes de u
n
.
Exercice 31 Soit n∈N,n≥6,montrer que l’équation ln (x) = x
2
nadmet deux solutions u
n
< v
n
. Etudier les suites
(u
n
)
n∈N
et (v
n
)
n∈N
. Donner la limite ℓde u
n
et un équivalent de u
n
−ℓ.
Exercice 32 Pour tout entier n≥1,on définit P
n
(X) = X
n
+X
n−1
+···+X
2
+X−1
1. Montrer que P
n
admet une unique racine positive notée x
n
, et que 0≤x
n
≤1.
2. Déterminer le signe de P
n+1
(x
n
)et en déduire la monotonie puis la nature de (x
n
)
n≥1
.
3. Déterminer la limite de (x
n
)(Indication : Montrer que x
n+1
n
−−−−−→
n→+∞
0et modifier l’écriture de P
n
).
4. On pose u
n
=x
n
−1
2,montrer pour n≥2,0≤u
n
≤1
2
n
, puis que u
n
∼1
2
n+2
(Question
(∗∗)
).
Exercice 33 Soit n≥2,montrer que l’équation x
n
=x+nadmet une unique solution positive u
n
. Montrer que la suite
(u
n
)
n∈N
converge, préciser sa limite ℓ. Donner un équivalent de u
n
−ℓ.
Suites complexes
Exercice 34 Soit a∈C. Etudier la convergence et calculer la limite éventuelle de la suite z= (z
n
)
n≥0
définie par :
z
0
=aet, pour tout n≥0, z
n+1
=1
3(2z
n
−z
n
).(indication : z
n
=x
n
+iy
n
...)
Exercice 35 Expliciter le terme général de la suite (u
n
)définie par : θ∈R, u
0
∈Cet ∀n≥0, u
n+1
=e
iθ
u
n
+ sin θ.
Exercice 36 On définit la suite complexe (z
n
)par : z
0
∈Cet ∀n≥0,z
n+1
=z
n
+|z
n
|
2.
1. Etudier cette suite lorsque z
0
est réel.
2. On suppose désormais que z
0
∈C\Ret on pose z
0
=re
iθ
avec r=|z
0
|et θ∈]−π, 0[∪]0, π[. Pour tout n≥0, on pose
z
n
=r
n
e
iθ
n
avec r
n
=|z
n
|et θ
n
= arg z
n
dans ]−π, π[. Exprimer z
n+1
et r
n+1
à l’aide de z
n
et r
n
.
3. En déduire que : ∀n≥0,r
n
=rsin θ
2
n
sin
θ
2
n
et θ
n
=θ
2
n
.
4. Montrer que la suite (z
n
)converge vers un réel strictement positif à déterminer.
Exercice 37 Etudier les suites réelles (a
n
)et (b
n
)définies par : (a
0
, b
0
)∈R
2
et ∀n≥0,a
n+1
=a
n
a
2
n
+b
2
n
et b
n+1
=b
n
a
2
n
+b
2
n
.
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