Applications lin aires

PCSI1Résumé - Applications linéaires entre espaces vectoriels 2016-2017
I - Applications linéaires
∙Si 𝐸et 𝐹sont deux 𝕂-ev, une application 𝑓:𝐸→𝐹est une application linéaire si :
∀(⃗𝑥, ⃗𝑦)∈𝐸2,∀(𝜆, 𝜇)∈𝕂2,𝑓(𝜆⃗𝑥 +𝜇⃗𝑦) = 𝜆𝑓(⃗𝑥) + 𝜇𝑓(⃗𝑦).
(l’image d’une combinaison linéaire est la même combinaison linéaire des images)
Définitions équivalentes :
1) ∀(⃗𝑥, ⃗𝑦)∈𝐸2,∀𝜆∈𝕂,𝑓(⃗𝑥 +⃗𝑦) = 𝑓(⃗𝑥) + 𝑓(⃗𝑦)et 𝑓(𝜆⃗𝑥) = 𝜆𝑓(⃗𝑥).
2) ou ∀(⃗𝑥, ⃗𝑦)∈𝐸2,∀𝜆∈𝕂,𝑓(𝜆⃗𝑥 +⃗𝑦) = 𝜆𝑓(⃗𝑥) + 𝑓(⃗𝑦)
Condition nécessaire : si 𝑓:𝐸→𝐹est une application linéaire, alors 𝑓(⃗ 0𝐸) = ⃗ 0𝐹.
Exemples : 𝑓:
ℝ[𝑋]−→ ℝ
𝑃7−→ 𝑓(𝑃) = 1
0
𝑃(𝑡)d𝑡,𝑓:ℝℕ−→ ℝ2
𝑢7−→ 𝑓(𝑢) = (𝑢0, 𝑢1)
𝑓:𝕂𝑛−→ 𝕂
(𝑥1, . . . , 𝑥𝑛)7−→ 𝑓(𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) = 𝑎1𝑥1+⋅ ⋅ ⋅ +𝑎𝑛𝑥𝑛
,𝜑:ℝℝ−→ ℝ[𝑋]
𝑓7−→ 𝜑(𝑓) = 𝑓(1)𝑋+𝑓(0)𝑋2
∙Un endomorphisme d’un ev 𝐸est une application linéaire 𝑓:𝐸→𝐸.
Exemples : 𝑓:
ℝ2−→ ℝ2
𝑥
𝑦7−→ 𝑓𝑥 𝑦=2𝑥−3𝑦 𝑥+𝑦,Δ : 𝐶∞(ℝ,ℝ)−→ 𝐶∞(ℝ,ℝ)
𝑓7−→ Δ(𝑓) = 𝑓′
𝑓:𝕂[𝑋]−→ 𝕂[𝑋]
𝑃7−→ 𝑓(𝑃) = 𝑃(𝑋+ 1) −𝑃(𝑋),𝜑:ℝ[𝑋]−→ ℝ[𝑋] 𝑃7−→ 𝜑(𝑃) = (2𝑋+ 1)𝑃′−𝑋2𝑃
∙Notations : l’ensemble des applications linéaires de 𝐸vers 𝐹est noté ℒ(𝐸, 𝐹 ).
L’ensemble des endomorphismes de l’ev 𝐸vers 𝐸est noté ℒ(𝐸)(au lieu de ℒ(𝐸, 𝐸)).
∙Endomorphismes particuliers d’un ev 𝐸
♥l’application nulle de 𝐸,˜ 0 : 𝐸−→ 𝐸
⃗𝑢 7−→ ˜ 0(⃗𝑢) = ⃗ 0𝐸
est un endomorphisme de 𝐸.
♥l’application identité de 𝐸, Id𝐸:𝐸−→ 𝐸
⃗𝑢 7−→ Id𝐸(⃗𝑢) = ⃗𝑢 est un endomorphisme de 𝐸.
♥Soit 𝛼∈𝕂,𝛼∕= 0. L’application ℎ𝛼:𝐸−→ 𝐸
⃗𝑢 7−→ ℎ𝛼(⃗𝑢) = 𝛼⃗𝑢 est un endomorphisme de
𝐸, appelé homothétie (vectorielle) de rapport 𝛼. On a ℎ𝛼∈ ℒ(𝐸), et Id𝐸=ℎ1.
II - Opérations sur les applications linéaires
∙Si 𝑓et 𝑔sont des applications linéaires de 𝐸vers 𝐹,𝛼un scalaire de 𝕂, alors les applications
𝑓+𝑔et 𝛼𝑓 sont encore des applications linéaires de 𝐸vers 𝐹.
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Conséquence : l’ensemble ℒ(𝐸, 𝐹 )est stable par combinaison linéaire, contient l’application
nulle ˜ 0, donc est un sev de l’ev 𝐹𝐸(espace des applications de l’ensemble 𝐸vers l’ev 𝐹). Donc
ℒ(𝐸, 𝐹 )et ℒ(𝐸)sont des ev, de vecteur nul ˜ 0.
∙Soit 𝐸,𝐹et 𝐺trois 𝕂-ev. Si 𝑓:𝐸→𝐹et 𝑔:𝐹→𝐺sont des applications linéaires, alors la
composée 𝑔∘𝑓:𝐸→𝐺est aussi une application linéaire.
Autrement dit : (𝑓∈ ℒ(𝐸, 𝐹 )et 𝑔∈ ℒ(𝐹, 𝐺)) ⇒(𝑔∘𝑓∈ ℒ(𝐸, 𝐺)), i.e
une composée d’applications linéaires est encore une application linéaire .
Conséquence : (𝑓∈ ℒ(𝐸)et 𝑔∈ ℒ(𝐸)) ⇒(𝑔∘𝑓∈ ℒ(𝐸)).
l’ensemble des endomorphismes ℒ(𝐸)est aussi stable par la composition d’applications .
Remarque : on peut donc parler de «polynômes d’endomorphismes de 𝐸». Si
𝑃=𝑎0+𝑎1𝑋+𝑎2𝑋2+⋅ ⋅ ⋅ +𝑎𝑛𝑋𝑛=𝑎0𝑋0+𝑎1𝑋+𝑎2𝑋2+⋅ ⋅ ⋅ +𝑎𝑛𝑋𝑛
est un polynôme de 𝕂[𝑋], alors, pour tout endomorphisme 𝑓de 𝐸(𝑓∈ ℒ(𝐸)), on définit
𝑃(𝑓) = 𝑎0𝑓0+𝑎1𝑓1+𝑎2𝑓2+⋅ ⋅ ⋅ +𝑎𝑛𝑓𝑛=𝑎0Id𝐸+𝑎1𝑓+𝑎2𝑓2+⋅ ⋅ ⋅ +𝑎𝑛𝑓𝑛
où on définit 𝑓0=Id𝐸,𝑓2=𝑓∘𝑓,𝑓3=𝑓∘𝑓∘𝑓, etc.... Ainsi 𝑃(𝑓)∈ ℒ(𝐸).
∙Calculs dans ℒ(𝐸).
♥Si 𝑓∈ ℒ(𝐸): Id𝐸∘𝑓=𝑓∘Id𝐸=𝑓(toujours vrai) et ˜ 0∘𝑓=˜ 0(toujours vrai) et 𝑓∘˜ 0 = ˜ 0.
ATTENTION : (𝑓∘𝑔=˜ 0) n’entraîne PAS FORCÉMENT (𝑓=˜ 0ou 𝑔=˜ 0) !
♥Si 𝑓, 𝑔, ℎ ∈ ℒ(𝐸),𝛼, 𝛽 ∈𝕂, on a (bilinéarité de la composition dans ℒ(𝐸)) :
(𝛼𝑔 +𝛽ℎ)∘𝑓=𝛼(𝑔∘𝑓) + 𝛽(ℎ∘𝑓)(toujours vrai) et 𝑓∘(𝛼𝑔 +𝛽ℎ) = 𝛼(𝑓∘𝑔) + 𝛽(𝑓∘ℎ).
♥Si 𝑓, 𝑔 ∈ ℒ(𝐸)sont deux endomorphismes de 𝐸qui commutent i.e vérifiant 𝑓∘𝑔=𝑔∘𝑓,
alors, pour tout entier 𝑛∈ℕ, on a (formule du binôme) :
(𝑓+𝑔)𝑛=
𝑛
𝑘=0 𝑛
𝑘𝑓𝑘∘𝑔𝑛−𝑘=
𝑛
𝑘=0 𝑛
𝑘𝑓𝑘𝑔𝑛−𝑘.
♥Si 𝑓, 𝑔 ∈ ℒ(𝐸)sont deux endomorphismes de 𝐸qui commutent i.e vérifiant 𝑓∘𝑔=𝑔∘𝑓,
alors, pour tout entier 𝑛∈ℕ, on a :
𝑓𝑛−𝑔𝑛= (𝑓−𝑔)∘𝑛−1
𝑘=0
𝑓𝑘∘𝑔𝑛−𝑘−1=𝑛−1
𝑘=0
𝑓𝑘∘𝑔𝑛−𝑘−1∘(𝑓−𝑔).
♥Exemples : si 𝑓∘𝑔=𝑔∘𝑓, alors
(𝑓2−𝑔2) = (𝑓−𝑔)∘(𝑓+𝑔) = (𝑓+𝑔)∘(𝑓−𝑔)=(𝑓−𝑔)(𝑓+𝑔)=(𝑓+𝑔)(𝑓−𝑔),
(𝑓3−𝑔3) = (𝑓−𝑔)(𝑓2+𝑓𝑔 +𝑔2)=(𝑓2+𝑓𝑔 +𝑔2)(𝑓−𝑔),
(𝑓4−𝑔4) = (𝑓−𝑔)(𝑓3+𝑓2𝑔+𝑓𝑔2+𝑔3)=(𝑓3+𝑓2𝑔+𝑓𝑔2+𝑔3)(𝑓−𝑔).
III - Image, noyau d’une application linéaire
Soit 𝑓:𝐸→𝐹, une application linéaire entre les 𝕂-ev 𝐸et 𝐹(𝑓∈ ℒ(𝐸, 𝐹 )).
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∙Image directe d’un sev par une application linéaire : si 𝐴est un sev de 𝐸, alors 𝑓(𝐴), l’image
directe de l’ensemble 𝐴par l’application 𝑓, est un sev de 𝐹. Autrement dit :
l’image directe d’un sev (de ...) par une application linéaire est encore un sev (de ...) .
On rappelle que 𝑓(𝐴)désigne l’ensemble des images des éléments de 𝐴par l’application 𝑓, i.e
𝑓(𝐴) = {𝑓(⃗𝑥)∣⃗𝑥 ∈𝐴}. Caractérisation : (⃗𝑦 ∈𝑓(𝐴)) ⇔(∃⃗𝑎 ∈𝐴, ⃗𝑦 =𝑓(⃗𝑎)) .
∙Image d’une application linéaire : on définit Im(𝑓), appelé l’image de l’application li-
néaire 𝑓, par Im(𝑓) = 𝑓(𝐸). C’est l’ensemble de toutes les images, par 𝑓, des vecteurs de 𝐸.
Im(𝑓) = 𝑓(𝐸) = {𝑓(⃗𝑥)∣⃗𝑥 ∈𝐸}. Caractérisation : (⃗𝑦 ∈Im(𝑓)) ⇔(∃⃗𝑒 ∈𝐸, ⃗𝑦 =𝑓(⃗𝑒)) .
Propriété : si 𝑓∈ ℒ(𝐸, 𝐹 ), Im(𝑓) = 𝑓(𝐸)est un sev de 𝐹.
Proposition : si 𝑓∈ ℒ(𝐸, 𝐹 ), on a la caractérisation évidente (𝑓est surjective) ⇔(Im(𝑓) = 𝐹) .
Un résultat important : si (⃗ 𝑏1,⃗ 𝑏2,...,⃗ 𝑏𝑝)est une famille génératrice de 𝐸(par exemple une
base de 𝐸), alors la famille (𝑓(⃗ 𝑏1), 𝑓(⃗ 𝑏2), . . . , 𝑓(⃗ 𝑏𝑝)) est une famille génératrice de Im(𝑓).
Autrement dit :
si 𝑓∈ ℒ(𝐸, 𝐹 )et 𝐸=Vect(⃗ 𝑏1,...,⃗ 𝑏𝑝)alors Im(𝑓) = Vect(𝑓(⃗ 𝑏1), . . . , 𝑓(⃗ 𝑏𝑝)) .
∙Noyau d’une application linéaire : on définit Ker(𝑓), appelé le noyau de l’application
linéaire 𝑓, par Ker(𝑓) = {⃗𝑥 ∈𝐸∣𝑓(⃗𝑥) = ⃗ 0𝐹}. C’est donc l’ensemble de tous les vecteurs de 𝐸
qui ont le vecteur nul de 𝐹comme image par 𝑓.
Ker(𝑓) = {⃗𝑥 ∈𝐸∣𝑓(⃗𝑥) = ⃗ 0𝐹}. Caractérisation : (⃗𝑥 ∈Ker(𝑓)) ⇔(𝑓(⃗𝑥) = ⃗ 0𝐹).
Propriété : si 𝑓∈ ℒ(𝐸, 𝐹 ), Ker(𝑓)est un sev de 𝐸.
Proposition (caractérisation de l’injectivité d’une application linéaire) : si 𝑓∈ ℒ(𝐸, 𝐹 ),
(𝑓est injective)⇔(Ker(𝑓) = {⃗ 0𝐸}) .
Remarque (un résultat à retenir) : 𝑓(⃗𝑎) = 𝑓(⃗ 𝑏)⇔⃗𝑎 −⃗ 𝑏∈Ker(𝑓).
∙Un résultat à connaître : si 𝑓et 𝑔sont des endomorphismes de 𝐸, leurs noyaux et images sont
des sev de 𝐸. On a alors l’équivalence suivante :
(𝑔∘𝑓=˜ 0)⇔(Im(𝑓)⊂Ker(𝑔))
∙Un autre résultat à retenir : si 𝑓:𝐸→𝐸est un endomorphisme de 𝐸(𝑓∈ ℒ(𝐸)), et 𝛼un
scalaire (𝛼∈𝕂), on a alors l’équivalence suivante :
(⃗𝑥 ∈Ker(𝑓−𝛼Id𝐸))⇔(𝑓(⃗𝑥) = 𝛼⃗𝑥) .
∙D’autres résultats :
♥si 𝑓, 𝑔 :𝐸→𝐹sont des applications linéaires :
Im(𝑓+𝑔)⊂Im(𝑓) + Im(𝑔)et Ker(𝑓)∩Ker(𝑔)⊂Ker(𝑓+𝑔)(pas égalité en général)
Et avec 𝜆un scalaire non nul (𝜆∈𝕂,𝜆∕= 0) :
Ker(𝜆𝑓) = Ker(𝑓)et Im(𝜆𝑓) = Im(𝑓).
♥si 𝑓:𝐸→𝐹et 𝑔:𝐹→𝐺sont des applications linéaires :
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Im(𝑔∘𝑓)⊂Im(𝑔)et Ker(𝑓)⊂Ker(𝑔∘𝑓)(pas égalité en général)
♥si 𝑓:𝐸→𝐸et 𝑔:𝐸→𝐸sont des endomorphismes de 𝐸, alors :
(𝑓et 𝑔commutent i.e 𝑓∘𝑔=𝑔∘𝑓)⇒(ker(𝑓)et Im(𝑓)sont stables par 𝑔.
IV - Isomorphismes d’espaces vectoriels
∙Un isomorphisme de l’ev 𝐸vers l’ev 𝐹est une application linéaire 𝐸→𝐹qui est bijec-
tive. Si un isomorphisme existe entre 𝐸et 𝐹, on dit que les ev 𝐸et 𝐹sont isomorphes.
Rappel : (𝑓:𝐸→𝐹est bijective) ssi (il existe 𝑔:𝐹→𝐸telle que 𝑔∘𝑓=Id𝐸et 𝑓∘𝑔=Id𝐹).
Dans ce cas, on note 𝑔=𝑓−1, la bijection réciproque de 𝑓.
Autre rappel : (𝑓:𝐸→𝐹est bijective) ssi (𝑓est injective et surjective).
Conséquence : pour 𝑓∈ ℒ(𝐸, 𝐹 ),
(𝑓est un isomorphisme de 𝐸vers 𝐹)⇔(Ker(𝑓) = {⃗ 0𝐸}et Im(𝑓) = 𝐹) .
ATTENTION : avoir 𝑔∘𝑓=Id𝐸ne suffit pas à affirmer 𝑓et 𝑔bijectives. Par exemple, si
𝐸=𝐶∞(ℝ), et, pour tout ℎ∈𝐸,𝐷(ℎ) = ℎ′et 𝑃(ℎ) =«la primitive de ℎnulle en 0», alors 𝑃
et 𝐷sont des endomorphismes de 𝐸vérifiant 𝐷∘𝑃=Id𝐸, mais 𝑃et 𝐷ne sont pas bijectifs
(vérifier : 𝐷n’est pas injective, 𝑃n’est pas surjective et, en plus, 𝑃∘𝐷∕=Id𝐸!)
∙Un automorphisme de l’ev 𝐸est une application linéaire 𝐸→𝐸qui est bijective.
Autrement dit : (automorphisme de 𝐸) = (endomorphisme de 𝐸) ET (bijectif).
∙Si 𝑓:𝐸→𝐹est un isomorphisme d’ev, alors la réciproque 𝑓−1:𝐹→𝐸est un isomorphisme.
Autrement dit, la réciproque d’un isomorphisme est un isomorphisme .
∙Si 𝑓:𝐸→𝐹et 𝑔:𝐹→𝐺sont des isomorphismes d’ev, alors la composée 𝑔∘𝑓:𝐸→𝐺est un
isomorphisme d’ev et (𝑔∘𝑓)−1=𝑓−1∘𝑔−1: la composée d’isomorphismes est un isomorphisme .
∙Cas des automorphismes : on note
GL(𝐸) = {𝑓∈ ℒ(𝐸)∣𝑓est bijective }= l’ensemble des automorphismes d’un ev 𝐸.
L’étude générale des isomorphismes permet d’affirmer : si 𝑓, 𝑔 ∈GL(𝐸), alors 𝑔∘𝑓∈GL(𝐸)
(stabilité par composition de GL(𝐸)) et 𝑓−1∈GL(𝐸)(stabilité par passage à l’inverse dans
GL(𝐸)). De plus, Id𝐸appartient à GL(𝐸). Ces propriétés confèrent une structure de groupe à
l’ensemble GL(𝐸)(appelé le groupe linéaire de l’ev 𝐸).
V - Applications linéaires et bases
∙Une application linéaire 𝑓:𝐸→𝐹est entièrement déterminée par l’image d’une base de 𝐸.
Conséquence : pour démontrer que deux applications linéaires 𝑓, 𝑔 :𝐸→𝐹sont égales (𝑓=𝑔),
il suffit de vérifier qu’elles coïncident sur une base de 𝐸(si elle existe).
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Exemple : preuve de la formule de Taylor pour les polynômes de 𝕂𝑛[𝑋],
∀𝑎∈𝕂,∀𝑃∈𝕂𝑛[𝑋],𝑃(𝑋) =
𝑛
𝑘=0
𝑃(𝑘)(𝑎)
𝑘!(𝑋−𝑎)𝑘.
∙Si 𝑓:𝐸→𝐹est une application linéaire et ℬ= (⃗
𝑏1,...,⃗ 𝑏𝑝)est une base de 𝐸, alors
Im(𝑓) = Vect 𝑓(⃗ 𝑏1), . . . , 𝑓(⃗ 𝑏𝑝).
Autrement dit : si elle existe,
l’image d’une base de 𝐸(ev de départ) est génératrice de l’image de l’application linéaire 𝑓∈ ℒ(𝐸, 𝐹 ).
Par conséquent, si on dispose d’une base de 𝐸, il est aisé de donner un système générateur de
Im(𝑓)(attention, ce n’est pas, en général, une base de Im(𝑓)).
∙Si on dispose d’une base ℬ= (⃗ 𝑏1,...,⃗ 𝑏𝑛)de l’ev 𝐸, alors une application linéaire 𝑓:𝐸→𝐹
est bijective si et seulement si 𝑓(ℬ)=(𝑓(⃗ 𝑏1), . . . , 𝑓(⃗ 𝑏𝑛)) est une base de 𝐹.
En résumé, sous réserve d’existence d’une base de 𝐸:
(𝑓∈ ℒ(𝐸, 𝐹 )est bijective) ⇔(l’image d’une base de 𝐸est une base de 𝐹) .
∙Si 𝐸1et 𝐸2sont deux sev supplémentaires de 𝐸(𝐸=𝐸1⊕𝐸2), alors une application linéaire
𝑓:𝐸→𝐹est entièrement déterminée par ses restrictions 𝑓1et 𝑓2à𝐸1et 𝐸2, où
𝑓1:𝐸1−→ 𝐹
⃗𝑥 7−→ 𝑓1(⃗𝑥) := 𝑓(⃗𝑥)et 𝑓2:𝐸2−→ 𝐹 ⃗𝑥 7−→ 𝑓2(⃗𝑥) := 𝑓(⃗𝑥).
Autrement dit : si 𝐸=𝐸1⊕𝐸2et 𝑓application linéaire, alors savoir calculer 𝑓(⃗ 𝑡)pour ⃗ 𝑡∈𝐸1
et pour ⃗ 𝑡∈𝐸2permet de connaître 𝑓(⃗ 𝑡)pour tout ⃗ 𝑡∈𝐸.
Pratique : pour tout ⃗𝑥 ∈𝐸=𝐸1⊕𝐸2, on décompose ⃗𝑥 =⃗𝑥1+⃗𝑥2(où ⃗𝑥1∈𝐸1et ⃗𝑥2∈𝐸2),
puis 𝑓(⃗𝑥) = 𝑓(⃗𝑥1+⃗𝑥2) = 𝑓(⃗𝑥1) + 𝑓(⃗𝑥2) = 𝑓1(⃗𝑥1) + 𝑓2(⃗𝑥2).
Conséquence : si 𝐸=𝐸1⊕𝐸2, une application linéaire 𝑓:𝐸→𝐹est entièrement définie par
l’image par 𝑓d’une base de 𝐸1et d’une base de 𝐸2(si elles existent).
Un exemple : si 𝐸=𝐸1⊕𝐸2, l’endomorphisme 𝑓𝛼de 𝐸défini par
∀(⃗𝑥1, ⃗𝑥2)∈𝐸1×𝐸2,𝑓𝛼(⃗𝑥1) = ⃗𝑥1et 𝑓𝛼(⃗𝑥2) = 𝛼⃗𝑥1
s’appelle affinité vectorielle sur 𝐸1dans la direction 𝐸2de rapport 𝛼(où 𝛼∈𝕂est fixé).
Par exemple : 𝑓1=Id𝐸,𝑓0=le projecteur sur 𝐸1de direction 𝐸2,𝑓−1=la symétrie par
rapport à 𝐸1dans la direction 𝐸2(voir paragraphe suivant).
VI - Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel
Soit 𝐸1et 𝐸2, deux sev supplémentaires d’un ev 𝐸:𝐸=𝐸1⊕𝐸2. Pour tout vecteur ⃗𝑥 ∈𝐸, il
existe donc un unique couple de vecteurs (⃗𝑥1, ⃗𝑥2)où ⃗𝑥1∈𝐸1et ⃗𝑥2∈𝐸2tel que ⃗𝑥 =⃗𝑥1+⃗𝑥2.
∙L’application 𝑝:𝐸−→ 𝐸
⃗𝑥 7−→ 𝑝(⃗𝑥) = ⃗𝑥1
, qui à tout vecteur de 𝐸associe sa composante sur 𝐸1,
est appelée : projecteur sur 𝐸1parallèlement à 𝐸2(ou encore projecteur de base 𝐸1et de
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