Les entiers

LES ENTIERS NATURELS - résumé de cours
PCSI1
2016-2017
Rappels : ℕ = {0, 1, 2, 3, . . .} est l’ensemble des entiers naturels.
ℕ est ordonné par la relation d’ordre ⩽. C’est un ensemble infini qui a comme propriétés :
∙ toute partie non vide de ℕ possède un plus petit élément.
(𝐴 ⊂ ℕ et 𝐴 ∕= ∅) ⇒ (min(𝐴) existe)
∙ toute partie non vide et majorée de ℕ possède un plus grand élément.
(𝐴 ⊂ ℕ et 𝐴 ∕= ∅ et 𝐴 majorée) ⇒ (max(𝐴) existe)
I - Division dans ℕ
Définition : soit deux entiers naturels 𝑎 et 𝑏 ((𝑎, 𝑏) ∈ ℕ2 ).
On dit : 𝑏 est un multiple de 𝑎 ou 𝑎 est un diviseur de 𝑏 ou 𝑎 divise 𝑏 (noté 𝑎 ∣ 𝑏) s’il existe
un entier 𝑘 ∈ ℕ tel que 𝑏 = 𝑎 × 𝑘. Autrement dit :
(𝑎 ∣ 𝑏) ⇔ (∃𝑘 ∈ ℕ, 𝑏 = 𝑎 × 𝑘) .
Remarque : tout nombre entier 𝑛 ∈ ℕ divise 0, i.e 0 est un multiple de chaque entier 𝑛 (car 0 = 𝑛×0).
Propriétés élémentaires : si 𝑥 ∣ 𝑎 et 𝑥 ∣ 𝑏 alors 𝑥 ∣ 𝑎 ± 𝑏 et 𝑥 ∣ 𝑘𝑎 (pour tout 𝑘 ∈ ℕ).
Théorème de la division euclidienne dans ℕ : pour tout couple (𝑎, 𝑏) d’entiers naturels, avec
𝑏 ∕= 0, il existe un unique couple d’entiers (𝑞, 𝑟) vérifiant les deux propositions suivantes :
𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟 et 0 ⩽ 𝑟 < 𝑏 .
Autrement dit :
∀(𝑎, 𝑏) ∈ ℕ × ℕ∗ , ∃!(𝑞, 𝑟) ∈ ℕ2 : 𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟 et 0 ⩽ 𝑟 < 𝑏 .
Vocabulaire :
𝑎 = dividende, 𝑏 = diviseur, 𝑞 = le quotient, 𝑟 = le reste dans la division euclidienne de 𝑎 par 𝑏.
II - PGCD
Définition : soit 𝑎 ∈ ℕ.
On note 𝐷(𝑎) = l’ensemble des diviseurs de 𝑎 dans ℕ. Donc 𝐷(𝑎) = {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 divise 𝑎} .
On a la caractérisation : (𝑛 ∈ 𝐷(𝑎)) ⇔ (∃𝑘 ∈ ℕ, 𝑎 = 𝑘 × 𝑛).
Exemples : 𝐷(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}, 𝐷(1) = {1}, 𝐷(2) = {1, 2}, 𝐷(5) = {1, 5}, 𝐷(4) = {1, 2, 4}.
On observera : 𝐷(0) = ℕ ! Mais si 𝑎 ∕= 0, alors 𝐷(𝑎) est un ensemble fini (car 𝑛 ∈ 𝐷(𝑎) ⇒ 1 ⩽ 𝑛 ⩽ 𝑎).
Propriété : si 𝑎 est un diviseur de 𝑏 (i.e 𝑎 ∣ 𝑏), alors on a l’inclusion 𝐷(𝑎) ⊂ 𝐷(𝑏).
Définition : soit 𝑎 et 𝑏, deux entiers naturels non nuls. L’intersection de 𝐷(𝑎) et 𝐷(𝑏) (i.e
l’ensemble des diviseurs communs à 𝑎 et à 𝑏) est une partie non vide de ℕ (car contient 1), majorée
(car 𝑛 ∈ 𝐷(𝑎) ∩ 𝐷(𝑏) ⇒ 𝑛 ⩽ min(𝑎, 𝑏)), donc possède un plus grand élément. On l’appelle le PGCD
de 𝑎 et 𝑏 (plus grand commun diviseur de 𝑎 et 𝑏), noté 𝑎 ∧ 𝑏. Ainsi :
(𝑑 = 𝑎 ∧ 𝑏 = pgcd(𝑎, 𝑏)) ⇔ (𝑑 est le plus grand entier vérifiant 𝑑 ∣ 𝑎 et 𝑑 ∣ 𝑏) .
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Conséquence : si 𝑘 ∣ 𝑎 et 𝑘 ∣ 𝑏 alors 𝑘 ∣ (𝑎 ∧ 𝑏) .
Remarque : par convention, si 𝑎 ∕= 0, 𝑎 ∧ 0 = 0 ∧ 𝑎 = 𝑎, mais 0 ∧ 0 n’existe pas.
Propriétés : on a : 𝑎 ∧ 𝑎 = 𝑎, 𝑎 ∧ 1 = 1, 𝑎 ∧ 𝑏 = 𝑏 ∧ 𝑎 et l’équivalence (𝑎 ∣ 𝑏) ⇔ (𝑎 ∧ 𝑏 = 𝑎).
L’algorithme d’Euclide : pour déterminer le PGCD de deux entiers naturels 𝑎 et 𝑏 ∕= 0, on
effectue la division euclidienne de 𝑎 par 𝑏. Si le reste est non nul, on effectue la division euclidienne
du diviseur précédent par ce reste. On répète cette opération jusqu’à ce que le reste obtenu soit nul.
Le PGCD de 𝑎 et 𝑏 est le dernier reste non nul calculé.
Preuve : elle tient au théorème d’Euclide suivant,
« si 𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟, alors 𝐷(𝑎) ∩ 𝐷(𝑏) = 𝐷(𝑏) ∩ 𝐷(𝑟) donc 𝑎 ∧ 𝑏 = 𝑏 ∧ 𝑟 ».
et au fait que la suite des restes obtenus dans l’algorithme est strictement décroissante (dans ℕ),
donc est finie et de dernier terme nul (et 𝐷(𝑟) ∩ 𝐷(0) = 𝐷(𝑟) ∩ ℕ = 𝐷(𝑟) de plus grand élément 𝑟).
Conséquences :
∙ pour tout 𝑛 ∈ ℕ∗ , (𝑛𝑎) ∧ (𝑛𝑏) = 𝑛(𝑎 ∧ 𝑏)
( ) ( )
( ) ( )
∙ si 𝑑 = 𝑎 ∧ 𝑏, alors 𝑎𝑑 ∧ 𝑑𝑏 = 1. On dit que les entiers 𝑎𝑑 et 𝑑𝑏 sont premiers entre eux.
III - PPCM
Définition : soit 𝑎 et 𝑏, deux entiers naturels non nuls. L’ensemble des multiples communs (non
nuls) à 𝑎 et à 𝑏 est une partie de non vide de ℕ (car contient 𝑎𝑏) donc contient un plus petit élément.
On l’appelle le PPCM de 𝑎 et 𝑏 (plus petit commun multiple de 𝑎 et 𝑏), noté 𝑎 ∨ 𝑏. Ainsi :
(𝑚 = 𝑎 ∨ 𝑏 = ppcm(𝑎, 𝑏)) ⇔ (𝑚 est le plus petit entier non nul vérifiant 𝑎 ∣ 𝑚 et 𝑏 ∣ 𝑚) .
Conséquence : si 𝑎 ∣ 𝑘 et 𝑏 ∣ 𝑘 alors (𝑎 ∨ 𝑏) ∣ 𝑘 .
Propriétés : on a : 𝑎 ∨ 𝑎 = 𝑎, 𝑎 ∨ 1 = 𝑎, 𝑎 ∨ 𝑏 = 𝑏 ∨ 𝑎 et l’équivalence (𝑎 ∣ 𝑏) ⇔ (𝑎 ∨ 𝑏 = 𝑏).
Remarque : on peut prouver (𝑎 ∨ 𝑏)(𝑎 ∧ 𝑏) = 𝑎𝑏.
IV - Nombres premiers
Définition : on dit qu’un entier naturel 𝑝 est un nombre premier s’il admet exactement deux
diviseurs (nécessairement 1 et lui-même, 𝑝, appelés diviseurs stricts de l’entier 𝑝).
Autrement dit : (𝑝 premier) ⇔ (𝑝 ⩾ 2 et 𝐷(𝑝) = {1, 𝑝}).
Notation : entre nous, on notera ℙ = l’ensemble des nombres premiers = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, . . .}.
Proposition : tout entier 𝑁 ⩾ 2 possède au moins un diviseur premier.
Proposition : tout nombre entier 𝑁 ⩾ 2 peut s’écrire, et d’une seule façon, sous la forme
𝑁 = 𝑝𝛼1 1 × 𝑝𝛼2 2 × ⋅ ⋅ ⋅ × 𝑝𝛼𝑟 𝑟
où les 𝑝𝑖 sont des nombres premiers tels que 𝑝1 < 𝑝2 < . . . < 𝑝𝑟 et les 𝛼𝑖 pris dans ℕ∗ .
Exemples : 2015 = 51 × 131 × 311 , 2016 = 25 × 32 × 71 , 2017 = 20171 ∈ ℙ, 2018 = 21 × 10091 .
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Remarque : cette décomposition permet de déterminer facilement le PGCD de deux entiers. En effet,
∏
∏ 𝛽
∏ min(𝛼 ,𝛽 )
∏ max(𝛼 ,𝛽 )
𝑖 𝑖
𝑖 𝑖
si on a la décomposition 𝑎 =
𝑝𝛼𝑖 𝑖 et 𝑏 =
𝑝𝑖 𝑖 alors 𝑎 ∧ 𝑏 =
𝑝𝑖
(et 𝑎 ∨ 𝑏 =
𝑝𝑖
).
Exemple : avec 𝑎 = 1848 = 23 × 31 × 71 × 111 et 𝑏 = 4900 = 22 × 52 × 72 , on peut les ré-écrire
𝑎 = 23 × 31 × 50 × 71 × 111 et 𝑏 = 22 × 30 × 52 × 72 × 110 , d’où l’on tire
𝑎 ∧ 𝑏 = 22 × 30 × 50 × 71 × 110 = 22 × 71 = 28 et 𝑎 ∨ 𝑏 = 23 × 31 × 52 × 72 × 111 = 323400.
Avec cette présentation, il est clair qu’on a : (𝑎 ∧ 𝑏) × (𝑎 ∨ 𝑏) = 𝑎 × 𝑏 .
Proposition : l’ensemble ℙ des nombres premiers est infini.
V - Principes de récurrence
Soit 𝐻(𝑛), une proposition mathématique dépendant d’un entier 𝑛
(
)
∙ 𝐻(0) est vérifiée
Récurrence simple :
⇒ (∀𝑛 ⩾ 0, 𝐻(𝑛) est vraie) .
∙ ∀𝑛 ⩾ 0 : 𝐻(𝑛) ⇒ 𝐻(𝑛 + 1)
Récurrence double :
(
)
∙ 𝐻(0) et 𝐻(1) sont vérifiées
∙ ∀𝑛 ⩾ 1 : (𝐻(𝑛 − 1) et 𝐻(𝑛)) ⇒ 𝐻(𝑛 + 1)
⇒ (∀𝑛 ⩾ 0, 𝐻(𝑛) est vraie) .
Récurrence forte :
(
)
∙ 𝐻(0), 𝐻(1), . . . , 𝐻(𝑛0 ) sont vérifiées
∙ ∀𝑛 ⩾ 𝑛0 : (𝐻(0), 𝐻(1), . . . , 𝐻(𝑛)) ⇒ 𝐻(𝑛 + 1)
⇒ (∀𝑛 ⩾ 0, 𝐻(𝑛) est vraie)
VI - Relations d’équivalences
Définition : on dit que ℛ est une relation binaire sur un ensemble 𝐸 si, pour 𝑥 et 𝑦 éléments de
𝐸, 𝑥ℛ𝑦 est une proposition vraie ou fausse, en fonction du couple (𝑥, 𝑦).
Exemples de relations binaires : «⩽» dans ℝ, «=» dans ℂ, «∕=» dans ℝ, « ∣ » (divise) dans ℕ, «⊥»
dans l’ensemble des droites du plan, «♥» dans la PCSI1 , etc...
Définition : soit ℛ une relation binaire sur un ensemble 𝐸. On dit que :
∙ ℛ est réflexive si : ∀𝑥 ∈ 𝐸, 𝑥ℛ𝑥.
∙ ℛ est symétrique si :
∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸,
∙ ℛ est antisymétrique si :
∙ ℛ est transitive si :
(𝑥ℛ𝑦) ⇒ (𝑦ℛ𝑥).
∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸,
∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐸,
(𝑥ℛ𝑦 et 𝑦ℛ𝑥) ⇒ (𝑥 = 𝑦).
(𝑥ℛ𝑦 et 𝑦ℛ𝑧) ⇒ (𝑥ℛ𝑧).
Définition : on dit que ℛ est une relation d’équivalence si ℛ est
réflexive,
symétrique
et
transitive.
Remarque : on dit que ℛ est une relation d’ordre si ℛ est réflexive, antisymétrique et transitive.
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Exemples : «⩽» dans ℝ, « ∣ » dans ℕ, «⊂» (l’inclusion) sur l’ensemble des parties d’un ensemble.
Exemples de relations d’équivalence :
∙ «=» dans ℝ, 𝑧ℳ𝑧 ′ si ∣𝑧∣ = ∣𝑧 ′ ∣ dans ℂ, «//» i.e le parallèlisme sur l’ensemble des droites.
∙ Soit 𝑛 ∈ ℕ∗ , un entier fixé. Dans ℕ, on définit 𝑎ℛ𝑛 𝑎′ si 𝑎 et 𝑎′ ont le même reste dans la division
euclidienne par 𝑛 : ℛ𝑛 est une relation d’équivalence sur ℕ. On a (𝑎ℛ𝑛 𝑎′ ) ⇔ (𝑎 = 𝑎′ [𝑛]).
Définition : si ℛ est une relation d’équivalence sur un ensemble 𝐸, pour tout 𝑥 ∈ 𝐸 on définit
la classe de 𝑥, noté cl(𝑥), par l’ensemble des éléments de 𝐸 qui sont en relation avec 𝑥 pour ℛ.
Ainsi : cl(𝑥) = {𝑦 ∈ 𝐸 ∣ 𝑥ℛ𝑦}.
Exemples
∙ avec «=» dans ℝ, cl(𝑥) = {𝑥}.
∙ Avec ℛ𝑛 dans ℕ, on a cl(𝑎) = {𝑟, 𝑟 + 𝑛, 𝑟 + 2𝑛, 𝑟 + 3𝑛, . . . , 𝑎 = 𝑟 + 𝑞𝑛, . . .}, ensemble des entiers
égaux à 𝑎 modulo 𝑛 (ici, 𝑟 est le reste dans la division euclidienne de 𝑎 par 𝑛).
Exemple, avec 𝑛 = 6 : cl(20) = {2, 8, 14, 20, 26, 32, 38, . . .} = cl(14) = cl(32) = cl(2).
Proposition : 𝑦 ∈ cl(𝑥) ⇔ cl(𝑥) = cl(𝑦) et cl(𝑥) ∩ cl(𝑦) ∕= ∅ ⇒ cl(𝑥) = cl(𝑦) .
VII - Sommes doubles
Définition : si 𝐼 et 𝐽 sont deux ensembles finis, et (𝑎𝑖,𝑗 )(𝑖,𝑗)∈𝐼×𝐽 une famille de nombres (com∑
plexes), alors
𝑎𝑖,𝑗 représente la somme des éléments de la famille (𝑎𝑖,𝑗 )(𝑖,𝑗)∈𝐼×𝐽 .
(𝑖,𝑗)∈𝐼×𝐽
Cas courant : 𝐼 = [[ 𝑚 ; 𝑛 ]] et 𝐽 = [[ 𝑝 ; 𝑞 ]], la somme double est alors indéxée par un rectangle, elle
∑
s’écrit
𝑎𝑖,𝑗 , et peut se calculer de deux façons (interversion de l’ordre de sommation : somme
𝑚⩽𝑖⩽𝑛
𝑝⩽𝑗⩽𝑞
en ligne puis en colonne ou somme en colonne puis en ligne) :
𝑞
𝑞
𝑛 ∑
𝑛
∑
∑
∑
∑
𝑎𝑖,𝑗 =
𝑎𝑖,𝑗 =
𝑎𝑖,𝑗 .
𝑚⩽𝑖⩽𝑛
𝑖=𝑚 𝑗=𝑝
𝑗=𝑝 𝑖=𝑚
𝑝⩽𝑗⩽𝑞
À rapprocher du calcul des sommes des termes d’une matrice rectangle en ligne ou en colonne.
Un cas très particulier : si les termes 𝑎𝑖,𝑗 s’écrivent comme des produits 𝑎𝑖,𝑗 = 𝑏𝑖 × 𝑐𝑗 , alors
[ 𝑞
]
[ ( 𝑞
)] [ 𝑛 ] ( 𝑞
)
𝑛
𝑛
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
(𝑏𝑖 × 𝑐𝑗 ) =
(𝑏𝑖 × 𝑐𝑗 ) =
𝑏𝑖
𝑐𝑗
=
𝑏𝑖 ×
𝑐𝑗 .
𝑚⩽𝑖⩽𝑛
𝑖=𝑚
𝑗=𝑝
𝑖=𝑚
𝑗=𝑝
𝑖=𝑚
𝑗=𝑝
𝑝⩽𝑗⩽𝑞
Somme double indexée par un triangle : soit la famille de nombres (𝑎𝑖,𝑗 )𝑚⩽𝑖⩽𝑗⩽𝑛 , indexées par
le triangle {(𝑖, 𝑗) ∣ 𝑚 ⩽ 𝑖 ⩽ 𝑗 ⩽ 𝑛}. On peut calculer la somme de ces termes de deux façons (somme
en ligne ou en colonne) :
∑
𝑚⩽𝑖⩽𝑗⩽𝑛
𝑎𝑖,𝑗 =
𝑛 ∑
𝑛
∑
𝑎𝑖,𝑗 =
𝑖=𝑚 𝑗=𝑖
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𝑗
𝑛 ∑
∑
𝑎𝑖,𝑗 .
𝑗=𝑚 𝑖=𝑚
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