Les entiers

PCSI1LES ENTIERS NATURELS - résumé de cours 2016-2017
Rappels :ℕ={0,1,2,3, . . .}est l’ensemble des entiers naturels.
ℕest ordonné par la relation d’ordre ⩽. C’est un ensemble infini qui a comme propriétés :
∙toute partie non vide de ℕpossède un plus petit élément.
(𝐴⊂ℕet 𝐴∕=∅)⇒(min(𝐴)existe)
∙toute partie non vide et majorée de ℕpossède un plus grand élément.
(𝐴⊂ℕet 𝐴∕=∅et 𝐴majorée) ⇒(max(𝐴)existe)
I - Division dans ℕ
Définition : soit deux entiers naturels 𝑎et 𝑏((𝑎, 𝑏)∈ℕ2).
On dit : 𝑏est un multiple de 𝑎ou 𝑎est un diviseur de 𝑏ou 𝑎divise 𝑏(noté 𝑎∣𝑏) s’il existe
un entier 𝑘∈ℕtel que 𝑏=𝑎×𝑘. Autrement dit :
(𝑎∣𝑏)⇔(∃𝑘∈ℕ, 𝑏 =𝑎×𝑘).
Remarque : tout nombre entier 𝑛∈ℕdivise 0, i.e 0est un multiple de chaque entier 𝑛(car 0 = 𝑛×0).
Propriétés élémentaires : si 𝑥∣𝑎et 𝑥∣𝑏alors 𝑥∣𝑎±𝑏et 𝑥∣𝑘𝑎 (pour tout 𝑘∈ℕ).
Théorème de la division euclidienne dans ℕ: pour tout couple (𝑎, 𝑏)d’entiers naturels, avec
𝑏∕= 0, il existe un unique couple d’entiers (𝑞, 𝑟)vérifiant les deux propositions suivantes :
𝑎=𝑏𝑞 +𝑟et 0⩽𝑟 < 𝑏 .
Autrement dit :
∀(𝑎, 𝑏)∈ℕ×ℕ∗,∃!(𝑞, 𝑟)∈ℕ2:𝑎=𝑏𝑞 +𝑟et 0⩽𝑟 < 𝑏 .
Vocabulaire :
𝑎=dividende,𝑏=diviseur,𝑞=le quotient,𝑟=le reste dans la division euclidienne de 𝑎par 𝑏.
II - PGCD
Définition : soit 𝑎∈ℕ.
On note 𝐷(𝑎) = l’ensemble des diviseurs de 𝑎dans ℕ. Donc 𝐷(𝑎) = {𝑛∈ℕ∣𝑛divise 𝑎}.
On a la caractérisation : (𝑛∈𝐷(𝑎)) ⇔(∃𝑘∈ℕ, 𝑎 =𝑘×𝑛).
Exemples : 𝐷(18) = {1,2,3,6,9,18},𝐷(1) = {1},𝐷(2) = {1,2},𝐷(5) = {1,5},𝐷(4) = {1,2,4}.
On observera : 𝐷(0) = ℕ! Mais si 𝑎∕= 0, alors 𝐷(𝑎)est un ensemble fini (car 𝑛∈𝐷(𝑎)⇒1⩽𝑛⩽𝑎).
Propriété : si 𝑎est un diviseur de 𝑏(i.e 𝑎∣𝑏), alors on a l’inclusion 𝐷(𝑎)⊂𝐷(𝑏).
Définition : soit 𝑎et 𝑏, deux entiers naturels non nuls. L’intersection de 𝐷(𝑎)et 𝐷(𝑏)(i.e
l’ensemble des diviseurs communs à 𝑎et à 𝑏) est une partie non vide de ℕ(car contient 1), majorée
(car 𝑛∈𝐷(𝑎)∩𝐷(𝑏)⇒𝑛⩽min(𝑎, 𝑏)), donc possède un plus grand élément. On l’appelle le PGCD
de 𝑎et 𝑏(plus grand commun diviseur de 𝑎et 𝑏), noté 𝑎∧𝑏. Ainsi :
(𝑑=𝑎∧𝑏=pgcd(𝑎, 𝑏)) ⇔(𝑑est le plus grand entier vérifiant 𝑑∣𝑎et 𝑑∣𝑏) .
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Conséquence : si 𝑘∣𝑎et 𝑘∣𝑏alors 𝑘∣(𝑎∧𝑏).
Remarque : par convention, si 𝑎∕= 0,𝑎∧0 = 0 ∧𝑎=𝑎, mais 0∧0n’existe pas.
Propriétés : on a : 𝑎∧𝑎=𝑎,𝑎∧1 = 1,𝑎∧𝑏=𝑏∧𝑎et l’équivalence (𝑎∣𝑏)⇔(𝑎∧𝑏=𝑎).
L’algorithme d’Euclide : pour déterminer le PGCD de deux entiers naturels 𝑎et 𝑏∕= 0, on
effectue la division euclidienne de 𝑎par 𝑏. Si le reste est non nul, on effectue la division euclidienne
du diviseur précédent par ce reste. On répète cette opération jusqu’à ce que le reste obtenu soit nul.
Le PGCD de 𝑎et 𝑏est le dernier reste non nul calculé.
Preuve : elle tient au théorème d’Euclide suivant,
« si 𝑎=𝑏𝑞 +𝑟, alors 𝐷(𝑎)∩𝐷(𝑏) = 𝐷(𝑏)∩𝐷(𝑟)donc 𝑎∧𝑏=𝑏∧𝑟».
et au fait que la suite des restes obtenus dans l’algorithme est strictement décroissante (dans ℕ),
donc est finie et de dernier terme nul (et 𝐷(𝑟)∩𝐷(0) = 𝐷(𝑟)∩ℕ=𝐷(𝑟)de plus grand élément 𝑟).
Conséquences :
∙pour tout 𝑛∈ℕ∗,(𝑛𝑎)∧(𝑛𝑏) = 𝑛(𝑎∧𝑏)
∙si 𝑑=𝑎∧𝑏, alors 𝑎
𝑑∧𝑏 𝑑= 1. On dit que les entiers 𝑎 𝑑et 𝑏 𝑑sont premiers entre eux.
III - PPCM
Définition : soit 𝑎et 𝑏, deux entiers naturels non nuls. L’ensemble des multiples communs (non
nuls) à 𝑎et à 𝑏est une partie de non vide de ℕ(car contient 𝑎𝑏) donc contient un plus petit élément.
On l’appelle le PPCM de 𝑎et 𝑏(plus petit commun multiple de 𝑎et 𝑏), noté 𝑎∨𝑏. Ainsi :
(𝑚=𝑎∨𝑏=ppcm(𝑎, 𝑏)) ⇔(𝑚est le plus petit entier non nul vérifiant 𝑎∣𝑚et 𝑏∣𝑚) .
Conséquence : si 𝑎∣𝑘et 𝑏∣𝑘alors (𝑎∨𝑏)∣𝑘.
Propriétés : on a : 𝑎∨𝑎=𝑎,𝑎∨1 = 𝑎,𝑎∨𝑏=𝑏∨𝑎et l’équivalence (𝑎∣𝑏)⇔(𝑎∨𝑏=𝑏).
Remarque : on peut prouver (𝑎∨𝑏)(𝑎∧𝑏) = 𝑎𝑏.
IV - Nombres premiers
Définition : on dit qu’un entier naturel 𝑝est un nombre premier s’il admet exactement deux
diviseurs (nécessairement 1et lui-même, 𝑝, appelés diviseurs stricts de l’entier 𝑝).
Autrement dit : (𝑝premier) ⇔(𝑝⩾2et 𝐷(𝑝) = {1, 𝑝}).
Notation : entre nous, on notera ℙ=l’ensemble des nombres premiers ={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29, . . .}.
Proposition : tout entier 𝑁⩾2possède au moins un diviseur premier.
Proposition : tout nombre entier 𝑁⩾2peut s’écrire, et d’une seule façon, sous la forme
𝑁=𝑝𝛼1
1×𝑝𝛼2 2× ⋅ ⋅ ⋅ × 𝑝𝛼𝑟
𝑟
où les 𝑝𝑖sont des nombres premiers tels que 𝑝1< 𝑝2< . . . < 𝑝𝑟et les 𝛼𝑖pris dans ℕ∗.
Exemples : 2015 = 51×131×311,2016 = 25×32×71,2017 = 20171∈ℙ,2018 = 21×10091.
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Remarque : cette décomposition permet de déterminer facilement le PGCD de deux entiers. En effet,
si on a la décomposition 𝑎=𝑝𝛼𝑖
𝑖et 𝑏=𝑝𝛽𝑖 𝑖alors 𝑎∧𝑏=𝑝min(𝛼𝑖,𝛽𝑖) 𝑖(et 𝑎∨𝑏=𝑝max(𝛼𝑖,𝛽𝑖) 𝑖).
Exemple : avec 𝑎= 1848 = 23×31×71×111et 𝑏= 4900 = 22×52×72, on peut les ré-écrire
𝑎= 23×31×50×71×111et 𝑏= 22×30×52×72×110, d’où l’on tire
𝑎∧𝑏= 22×30×50×71×110= 22×71= 28 et 𝑎∨𝑏= 23×31×52×72×111= 323400.
Avec cette présentation, il est clair qu’on a : (𝑎∧𝑏)×(𝑎∨𝑏) = 𝑎×𝑏.
Proposition : l’ensemble ℙdes nombres premiers est infini.
V - Principes de récurrence
Soit 𝐻(𝑛), une proposition mathématique dépendant d’un entier 𝑛
Récurrence simple :∙𝐻(0) est vérifiée
∙ ∀𝑛⩾0 : 𝐻(𝑛)⇒𝐻(𝑛+ 1) ⇒(∀𝑛⩾0,𝐻(𝑛)est vraie) .
Récurrence double :
∙𝐻(0) et 𝐻(1) sont vérifiées
∙ ∀𝑛⩾1:(𝐻(𝑛−1) et 𝐻(𝑛)) ⇒𝐻(𝑛+ 1) ⇒(∀𝑛⩾0,𝐻(𝑛)est vraie) .
Récurrence forte :
∙𝐻(0), 𝐻(1), . . . , 𝐻(𝑛0)sont vérifiées
∙ ∀𝑛⩾𝑛0: (𝐻(0), 𝐻(1), . . . , 𝐻(𝑛)) ⇒𝐻(𝑛+ 1) ⇒(∀𝑛⩾0,𝐻(𝑛)est vraie)
VI - Relations d’équivalences
Définition : on dit que ℛest une relation binaire sur un ensemble 𝐸si, pour 𝑥et 𝑦éléments de
𝐸,𝑥ℛ𝑦est une proposition vraie ou fausse, en fonction du couple (𝑥, 𝑦).
Exemples de relations binaires : «⩽» dans ℝ, «=» dans ℂ, «∕=» dans ℝ, « ∣» (divise) dans ℕ, «⊥»
dans l’ensemble des droites du plan, «♥» dans la PCSI1, etc...
Définition : soit ℛune relation binaire sur un ensemble 𝐸. On dit que :
∙ ℛ est réflexive si : ∀𝑥∈𝐸,𝑥ℛ𝑥.
∙ ℛ est symétrique si : ∀𝑥, 𝑦 ∈𝐸,(𝑥ℛ𝑦)⇒(𝑦ℛ𝑥).
∙ ℛ est antisymétrique si : ∀𝑥, 𝑦 ∈𝐸,(𝑥ℛ𝑦et 𝑦ℛ𝑥)⇒(𝑥=𝑦).
∙ ℛ est transitive si : ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈𝐸,(𝑥ℛ𝑦et 𝑦ℛ𝑧)⇒(𝑥ℛ𝑧).
Définition : on dit que ℛest une relation d’équivalence si ℛest
réflexive,symétrique et transitive.
Remarque : on dit que ℛest une relation d’ordre si ℛest réflexive,antisymétrique et transitive.
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Exemples : «⩽» dans ℝ, « ∣» dans ℕ, «⊂» (l’inclusion) sur l’ensemble des parties d’un ensemble.
Exemples de relations d’équivalence :
∙«=» dans ℝ,𝑧ℳ𝑧′si ∣𝑧∣=∣𝑧′∣dans ℂ, «//» i.e le parallèlisme sur l’ensemble des droites.
∙Soit 𝑛∈ℕ∗, un entier fixé. Dans ℕ, on définit 𝑎ℛ𝑛𝑎′si 𝑎et 𝑎′ont le même reste dans la division
euclidienne par 𝑛:ℛ𝑛est une relation d’équivalence sur ℕ. On a (𝑎ℛ𝑛𝑎′)⇔(𝑎=𝑎′[𝑛]).
Définition : si ℛest une relation d’équivalence sur un ensemble 𝐸, pour tout 𝑥∈𝐸on définit
la classe de 𝑥, noté cl(𝑥), par l’ensemble des éléments de 𝐸qui sont en relation avec 𝑥pour ℛ.
Ainsi : cl(𝑥) = {𝑦∈𝐸∣𝑥ℛ𝑦}.
Exemples
∙avec «=» dans ℝ, cl(𝑥) = {𝑥}.
∙Avec ℛ𝑛dans ℕ, on a cl(𝑎) = {𝑟, 𝑟 +𝑛, 𝑟 + 2𝑛, 𝑟 + 3𝑛, . . . , 𝑎 =𝑟+𝑞𝑛, . . .}, ensemble des entiers
égaux à 𝑎modulo 𝑛(ici, 𝑟est le reste dans la division euclidienne de 𝑎par 𝑛).
Exemple, avec 𝑛= 6 : cl(20) = {2,8,14,20,26,32,38, . . .}=cl(14) = cl(32) = cl(2).
Proposition :𝑦∈cl(𝑥)⇔cl(𝑥) = cl(𝑦)et cl(𝑥)∩cl(𝑦)∕=∅⇒cl(𝑥) = cl(𝑦).
VII - Sommes doubles
Définition : si 𝐼et 𝐽sont deux ensembles finis, et (𝑎𝑖,𝑗 )(𝑖,𝑗)∈𝐼×𝐽une famille de nombres (com-
plexes), alors 
(𝑖,𝑗)∈𝐼×𝐽
𝑎𝑖,𝑗 représente la somme des éléments de la famille (𝑎𝑖,𝑗 )(𝑖,𝑗)∈𝐼×𝐽.
Cas courant : 𝐼= [[ 𝑚;𝑛]] et 𝐽= [[ 𝑝;𝑞]], la somme double est alors indéxée par un rectangle, elle
s’écrit 
𝑚⩽𝑖⩽𝑛
𝑝⩽𝑗⩽𝑞
𝑎𝑖,𝑗 , et peut se calculer de deux façons (interversion de l’ordre de sommation : somme
en ligne puis en colonne ou somme en colonne puis en ligne) :
𝑚⩽𝑖⩽𝑛
𝑝⩽𝑗⩽𝑞
𝑎𝑖,𝑗 =
𝑛
𝑖=𝑚
𝑞
𝑗=𝑝
𝑎𝑖,𝑗 =
𝑞
𝑗=𝑝
𝑛
𝑖=𝑚
𝑎𝑖,𝑗 .
À rapprocher du calcul des sommes des termes d’une matrice rectangle en ligne ou en colonne.
Un cas très particulier : si les termes 𝑎𝑖,𝑗 s’écrivent comme des produits 𝑎𝑖,𝑗 =𝑏𝑖×𝑐𝑗, alors
𝑚⩽𝑖⩽𝑛
𝑝⩽𝑗⩽𝑞
(𝑏𝑖×𝑐𝑗) =
𝑛
𝑖=𝑚𝑞 𝑗=𝑝
(𝑏𝑖×𝑐𝑗)=
𝑛
𝑖=𝑚𝑏𝑖𝑞 𝑗=𝑝
𝑐𝑗=𝑛
𝑖=𝑚
𝑏𝑖×𝑞
𝑗=𝑝
𝑐𝑗.
Somme double indexée par un triangle : soit la famille de nombres (𝑎𝑖,𝑗 )𝑚⩽𝑖⩽𝑗⩽𝑛, indexées par
le triangle {(𝑖, 𝑗)∣𝑚⩽𝑖⩽𝑗⩽𝑛}. On peut calculer la somme de ces termes de deux façons (somme
en ligne ou en colonne) :
𝑚⩽𝑖⩽𝑗⩽𝑛
𝑎𝑖,𝑗 =
𝑛
𝑖=𝑚
𝑛
𝑗=𝑖
𝑎𝑖,𝑗 =
𝑛
𝑗=𝑚
𝑗
𝑖=𝑚
𝑎𝑖,𝑗 .
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