corrigé

E3AMP2002
épreuveB,exercice 1
1)Onsupposeran¸2defaçonàce quelenoyau nesoitpasréduitauvecteurnul. Sin=1onaKer(u)=n¡! 0o,et
Im(u)=E(inclusionetégalitédesdimensions)etlesrésultats sont tousévidents.
(i)
uestderang1doncImu\keruestun sousespace deIm(u)estun doncsous-espace vectorieldedimension0 ou1.
²SidimImu\keru=0,alorsImu\keru=f0getdonclasommeIm(u)©Ker(u)estdirecte.d’aprèslethéorèmedu
rangladimensionestlabonne,onaE=Imu©keru.
²SidimImu\keru=1,onaImu\keru½ImuetégalitédesdimensionsetdoncImu\keru=Imuce quiéquivautà
Imu½keru.
(ii)
eestnon nul, donc(e)estunefamillelibredel’espace vectorieldedimension …nieE.On peutlacompléteren unebasede
Eparlethéorèmedelabaseincomplète.
e2keru,doncdansunetellebase, lapremière colonnedelamatrice deuseranulle.et touteslesautrescolonnes seront
dansImudonc colinéairesàed’où unematrice delaforme
0
B
B
@
0a2¢¢¢ an
00¢¢¢ 0
.
.
..
.
..
.
.
00¢¢¢ 0
1
C
C
A
Latrace de cettematrice estnulledoncdansle casoùImu½keruonabienTru=0
(iii)
uestderang1donc0estvaleurpropredeuetE0=keruestdedimensionn¡1.
²a))b)uestdiagonalisable etdimE0=n¡1doncil existeunesecondevaleurpropreaavec dimEa=1.
Dansunebaseadaptée àlasommedirecteE=Ea©E0lamatrice deuest
0
B
B
@
a0¢¢¢ 0
00¢¢¢ 0
.
.
..
.
..
.
.
00¢¢¢ 0
1
C
C
A
Onremarquesurlamatrice queImu=Ea.OnadoncbienE=Imu©keru
²b))c)eta):commerg(u)=1Imuestun sous-espace vectorieldedimension1.
Soiteun vecteurgénérateurdeImu.u(e)2Imudoncu(e)estcolinéaireàe: il existeun réelatelqueu(e)=a:e,
deplus,commeImuetkerusontensommedirecte,e62kerueta6=0.Dansunebaseadaptée àlasommedirecte
E=Imu©kerulamatrice deuest
0
B
B
@
a0¢¢¢ 0
00¢¢¢ 0
.
.
..
.
..
.
.
00¢¢¢ 0
1
C
C
A.
OnadoncTru=a6=0etudiagonalisable
²c))b)OnsupposequeTr(u)6=0.Delaquestion(ii),on déduitqueImu6½kerupuisdelaquestion(i),on déduit
E=Imu©keru
2
(i)
²FAestuneforme:c’estuneapplication deMn(C)dansle corpsdebaseC
²FAestlinéaire:8(X;Y)2Mn(C)2;8(¸;¹)2C2
FA(¸X+¹Y)=Tr(A:(¸X+¹Y)) =¸Tr(AX)+¹Tr(AY)
=¸FA(X)+¹FA(Y)
(linéaritédelatrace etbilinéaritédu produitmatriciel.)
FAestdoncuneformelinéairesurMn(C)
(ii)
8(A;B)2Mn(C)2;8(¸;¹)2C2F¸A+¹B=¸FA+¹FB.Ene¤etpourtoutematrice carrée X:
F¸A+¹B(X)=Tr((¸A+¹B)X)=¸Tr(AX)+¹Tr(BX)=¸FA(X)+¹FB(X)

(linéaritédelatrace etbilinéaritédu produitmatriciel.)Festdoncuneapplicationlinéaire
(iii)
AEijestlamatrice dontlajème colonne estégaleàlaième colonnedeAetdont touteslesautrescolonnes sontnulles.Sa
trace estdonc égaleàaji:FA(Eij)=aji
Festlinéairedonc estinjectivesietseulementsi lenoyauestréduitàf(0)g
SiFAestnulle,alors,pourtout(i;j),aji=FA(Eij)=0.Lamatrice Aestdoncnulle,onen déduitqueFestinjective
(iv)
FestuneapplicationlinéaireinjectivedeMn(C)dansMn(C)¤etdimMn(C)=dimMn(C)¤=n2.
Festdoncun isomorphisme
3)
(i)
Festun isomorphismedeMn(C)dansMn(C)¤etf2Mn(C)¤.Ilexistedoncuneuniquematrice A2Mn(C)telleque
f=FAc’estàdire8X2Mn(C);f(X)=Tr(AX).
9!A,8X2Mn(C),f(X)=Tr(AX)
(ii)
Ãf(X)=0,f(X)J=0,f(X)=0(J6=0).donc
kerÃf=kerf
Ãf(X)=f(X)J2Vect(J)quiestunedroitevectorielle carJ6=(0)
l’imagedeÃfestnulleouestlesous-espace-vectorieldeMn(C)engendréparJ
Orfestnon nulledoncil existeX0telquef(X0)6=0etdoncÃf(X0)6=(0)
Im(Ãf)=Vect(J)
lerangdeÁfestégalà1
(iii)
onfaitle calcul: On doitfairelasommedestermesdiagonauxdelamatrice deÃfdanslabase(Ei;k):
Oncherchedonclacoordonnée surEi;kdeÃf(Ei;k)or:
Ãf(Eik)=Tr(AEi;k)J=ak;iJd’aprèsle calculdu 2)iii
Lacoordonnée surEi;kestdoncak;iji;ketdoncTr(Ãf)=P(i;k)ak;iji;k=Pk(Piak;ijk;i)onreconnaîtlasommedes
termesdiagonauxdeAJ:
Tr(Ãf)=Tr(AJ)
(iii)peuaussisefaire en utilisantlapremièrequestion(etontraitealorsenmêmetepslesquestions3.iii et3.iv:
²SiIm(Ãf)½ker¡Ãf¢onaTr(Ãf)=0(1.ii).OrIm(Ãf)=Vect(J)doncsiÃf(J)=Tr(AJ)J=0alorsTr(Ãf)=0
Tr(AJ)=0)Tr¡Ãf¢=0
²Sinon(calculdu 1.iii)latrace deÃfestl’uniquevaleurproprenon nulledeÃfetlesousespace propreassocié est
Im¡Ãf¢:
OnregardedoncÃf(J)=f(J)J=Tr(AJ)J: lavaleurproprenon nulle estTr(AJ)
(iv)
Delaquestion1.iii, on déduitqueÃfestdiagonalisablesietseulementsiTr(AJ)6=0
2