- CONCOURS ESIM Session Filière MP

J. 4784
CONCOURS ESIM Entrepreneur Industrie - Session 2003
Filière MP
EPREUVE DE MATHEMATIQUES
1 (algèbre)
Durée : 3 heures
Calculatrices interdites
Mn(%) désigne l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n.
O(n) désigne le groupe orthogonal d'ordre n et fn l'application de Mn(%) dans % définie par :
t/ M = (mij)l<ij- E Mn(%), fn(M) =
On désigne par II II la norme définie sur Mn(%) par llMll= Mm Imijl.
1 GjSn
(dl,d2, ...., dk, .... dn) étant un Clément de %n, on désigne par Diag(dk) la matrice diagonale dont
la diagonale est (dl,d2 ,...., dk ,.... dn).
Résultats préliminaires :
1) Démontrer que fn est une forme linéaire sur Mn(%).
Est-elle continue ?
2) a) Démontrer que : b' M E O(n), IlMll I 1.
cmij .
1 <iljln
b) Montrer que O(n) est un fermé dans l'espace vectoriel normé (Mn(%),ll II).
3) Justifier l'existence d'une matrice An appartenant à O(n) telle que :
b' M E O(n), fn(M) 5 fn(An).
Le but du problème est de déterminer un équivalent de fn(An) quand n tend vers l'infini.
1) Dans cette partie n est fixé.
On désigne par A,,, An2, ..., A,, les colonnes de la matrice A, et on note :
On fixe deux indices i et j tels que 1 5 i < j 5 n, et on désigne par Bn la matrice carrée d'ordre
n dont les colonnes sont égales à Bn1, Ba, ..... B, , avec :
Bk = A& si k est différent de i et j
A, = [A,,, A,,, ---Y A,,].
Bni = (COS(t))Ani - (sin(t))Anj
Bnj = (sin(t))Ani + (COS(t))Anj.
1) Démontrer que la matrice Bn appartient à O(n).
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Tournez la page S.V.P.

2) Déterminer deux réels h et p tels que :
fn(An) - fn(Bn) = h( 1 -cos(t)) + psin(t).
3) En considérant un équivalent de l'expression précédente quand t tend vers O, démontrer que
p = o.
1 j
Endéduireque C%j = caki .
Pour toute la suite du problème, le nombre réel précédent est noté Oij.
k=l k=l
II) On désigne par C, la matrice carrée d'ordre n telle que :
Cij = O si j>i, CU = 1 si jri.
On désigne par Jn la matrice carrée d'ordre n dont la sous-diagonale est formée de 1 et tous les
autres coefficients sont nuls.
1) a) Exprimer Cn sous la forme d'un polynôme en Jm
b) Montrer que Cn est inversible et que (CJ-1 = In - Jn , où In désigne la matrice identité
d'ordre n.
2) a) Montrer que pour tout M E Mn(%), fn(M) = Trwe(CnM).
b) Montrer que CnAn = (Oij)l<ija .
En déduire que CnAn est une matrice symétrique.
3) On pose Un = f((Cn)-')An .
a) Démontrer que la matrice Un est symétrique.
b) Montrer que fn(An) = Trace((U3-l).
4) On pose V, =
la diagonale est formée de 2, sauf le dernier Clément qui est égal à 1, la sur-diagonale et la
sous-diagonale sont formées de -1 et les autres coefficients sont nuls.
Montrer que V, est la matrice carrée d'ordre n telle que :
Vn =
. O -1 2 -1
. .O-11
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III) 1) On désigne par P, le polynôme caractéristique de V,.
On pose Poo = 1, Pl(X) = 1 - X pour tout X réel.
Montrer que : Pn(X) = (2 - X)Pn,lO<) - Pna(X), pour tout X réel et tout entier naturel n
supérieur ou égal à 2.
cos(2n+1)8
2) On pose x = 4sin28 . Montrer que Pn(X) =
cos(e)
.
3) En déduire les zéros du polynôme Pn, puis les valeurs absolues des valeurs propres de la
matrice (Un>-'.
4) a) Justifier que (Un)-' est diagonalisable et que (Un)-l= PDP-1 où P est une matrice
orthogonale et D = Diag(dk).
b) On suppose que certains dk sont négatifs.
Soit D = diag()dk)). On définit une matrice A' par CnA' = PD'P-l.
i) Vérifier que Trace (C,A') > Trace (C,A,).
ii) Montrer que A' est orthogonale.
iii) Conclure.
n-1 1
1 1
5) En déduire que fn(An) = 5 2k+l It .
k=O sin(=?)
1 It
IV) on pose +(O = sin(t) et h = 2pn+1) -
n-1
k=O
1) Montrer que 2fn(An) = C+((2k+l)h) .
2) Montrer que :
(2n+ 1 )h (2n-l)h
h h
l+(t)dt I4hfn(An) I2h+(h) +
j+(t)dt .
dt
3) Déterminer un équivalent quand h tend vers O de /- .
h
4) Déterminer un équivalent de fn(An) quand n tend vers l'infini.
Fin de l'énoncé
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