corrigé

MINESPONT2003
Epreuve communePC-PSI
Premièrepartie
1.SiEetFsontdeuxK-espacesvectorielsdedimensions…nies,E£Festun espace vectorieldedimension …nie
etdim(E£F)=dim(E)+dim(F):Si(ei)n
i=1estunebasedeEet(fj)p
j=1unebasedeFunebasedeE£Fest
n³ei;¡!
0´on
i=1[n³¡!
0;fj´op
j=1
DonciciC=M3(R)£M3(R)estdedimensionet
dim(C)=18
2.critèred’algèbre:
²Cestun R–espace vectorield’élémentneutre est(0;0).
²(C;+;¤)estun anneau unitaire:
–leproduit¤estuneloide compositioninterne
–associative:(attentionàl’ordredestermesleproduitmatricieln’estpascommutatif)
((P;P0)¤(Q;Q0)) ¤(R;R0)=(PQ;PQ0+P0Q)¤(R;R0)=(PQR;PQR0+PQ0R+P0QR)
(P;P0)¤((Q;Q0)¤(R;R0)) =(P;P0)¤(QQ0;QR0+Q0R)=(PQR;PQR0+PQ0R+P0QR)
–d’élémentneutree=(I3;0)(à gauche etàdroite). .
²En…n,ona¸³_ (P;P0)¤(Q;Q0)´=(¸(P;P0)) ¤(Q;Q0)=(P P 0)¤(¸(Q;Q0)) . lestroisexpressionsvalant
(¸PQ;¸PQ0+¸P0Q)
CestuneR-algèbrededimension18
3.revenonsàladé…nition d’un groupe:(pasde critèredesousgroupeunealgèbresn’étantpasun groupemultiplicatif)
²Laloi¤estinternedansG.Si(P;P0)2G;(Q;Q0)2Galorson doitmontrer(PQ;PQ0+P0Q)2G:
–PR2SO(R3)(carSO(R3)estun groupe)
–et
t(PQ)(PQ0+P0Q)+t(PQ0+P0Q)PQ=tQtP P Q0+tQtPP0Q+tQ0tP P Q+tQtP0PQ
orPestorthogonaledonctP P =In:
t(PQ)(PQ0+P0Q)+t(PQ0+P0Q)PQ=tQ Q0+tQtP P 0Q+tQ0Q+tQtP0PQ
=¡tQ Q0+tQ0Q¢+tQ¡tP P 0+tP0P¢Q=0+tQ0Q=0
²Laloi¤estassociative commerestriction d’uneloiassociativeàun sousensemble.
²toutélément(P;P0)admetun inversedansM3(R):
–analyse:Si(P;P0)¤(Q;Q0)=(I3;0)ona
PQ=I3doncQ=tP:PétantorthogonalePestinversibled’inverseP¡1.
etPQ0+P0Q=0doncQ=tPetQ0=¡tP P 0Q=¡P¡1P0tP=¡tP P 0tP=tP0PtP=tP0(n’oubliez pasque
(P;P0)estdansGdonctP P 0=tP0P)
–synthèse:On pose(Q;Q0)=(tP;tP0).
Ona alorsd’aprèsle calculprécédent(P;P0)¤(Q;Q0)=(I3;0)
Onvéri…esansproblèmeque(Q;;Q0) (P;P0)=(I3;0)
Ilresteàvéri…erque(tP;tP0)2G.Ene¤et,commePestorthogonaledirectetPestaussiorthogonaledirecte et:
t¡tP¢tP0+t¡tP0¢tP=PtP0+P0tP

cen’estpascommutatif: il fautfaireun e¤ort:tP P 0+tP0P=0donctP0=¡tP P 0tPetdonc:
t¡tP¢tP0+t¡tP0¢tP=¡PtP P 0tP+P0tP=0carPestorthogonale
Gestun groupe(nonabélien)deneutre(I3;0)et(P;P0)¡1=t(P;P0)
4.Hestun sous–groupedeG:
²c’estun sousensembledeG
²nonvide: il contient(I3;0)
²etsi(P;0)et(Q;0)sontdansHalors(P;0)¤(Q;0)¡1=(PtQ;0)estdansH.
En…n l’application'dé…niesurSO(R3)par
':P7¡!(P;0)
estun morphismebijectifdegroupesentreSO(R3)etH(démonstrationévidente).
Hestun sousgroupedeGisomorpheàSO(R3)
5.Ona(I3;Q)2GsietseulementI3estorthogonaledirecte(évident) ettI3Q+tQI3=0(Qestantisymétrique).Ona
bienunsousgroupedeG:
²sousensembledeG
²nonvide(contient(I3;0))
²etsi(I3;P)et(I3;Q)sontdansA:(I3;Q)¤(I3;Q0)¡1=(I;Q+tQ0)=(I;Q¡Q0)2A(ladi¤érence dedeuxmatrices
antisymétriquesestantisymétrique)
Aestun sous–groupedeG
6.
²Si(P;Q)2GP2SO(R3)(doncdet(P)=1)ettPQ+tQP=0donct(P;Q)¤(P;Q)=(tP P +tPQ+tQP)=(I3;0)
²Sit(P;Q)¤(P;Q)=(I3;0)OnatP P =I3(etcommedet(P)=1,Pestunematrice orthogonaledirecte)ettPQ+tQP=
0(P;Q)2G,(det(P)=1ett(P;Q) (P;Q)=(I3;0))
Deuxièmepartie
Si¡! a=0
@
u
v
w
1
Alamatrice dep¡!
aest0
@
0¡wv
w0¡u
¡vu0
1
A
8.SoitB=(ei)3
i=1unebaseorthonormée directe.L’applicationrétantunerotation directer(B)estunebaseorthonormale
directedeR3;doncpourtoutcouple(i;j),r(ei^ej)=r(ei)^r(ej):
²sii=jonadeuxfoislevecteurnul
²sinonr(ei)^r(ej)estl’uniquevecteurftelque(r(ei);r(ej);f)formeunebaseorthonormaledirecte.C’estdoncr(ei^ej)
etdoncpourtousvecteurs¡! x=P3
i=1xiei;¡!
y=P3
i=1yiei,ona
r(¡! x^¡! y)=0
@X
i;j
xiyjr(ei^ej)1
A=X
i;j
xiyjr(ei)^r(ej)=r(¡! x)^r(¡! y)
r(¡! x)^r(¡! y)=r(¡! x^¡! y)
2

9.rétantinversibleon peutintroduirer¡1etcalculerr±par¡1en utilisantlerésultatprécédent:
8¡! x2R3:r±pa±r¡1(¡! x)=r(a^r¡1(¡! x)) =r(¡! a)^¡! x
Donc¡!
b=r(¡! a)
10.(cf…gure)SoitM2D.¡¡! AMestdonc colinéaireà¡! u:9k2R,¡¡! AM=k¡! u.Onadonc
¡¡!
OM^¡! u=³¡! OA+¡¡! AM´^¡! u=¡! OA^¡! u+k¡! u^¡! u=¡! OA^¡! u
Levecteur¡¡! OM^¡! uestconstantetégalà¡! v=¡! OA^¡! u,vecteurorthogonalà¡! uet¡! vparpropriétédu produitvectoriel.
11.
²si¡! v=0l’équation¡! x^¡! u=0apoursolutionladroitevectorielle engendrée par¡! u.
²si¡! v6=0.Lafamille(¡! u;¡! v;¡! u^¡! v)estlibredeR3.C’estestunebase(orthogonalemaispasorthonormale).
Soit¡! x=®¡! u+¯¡! v+°(¡! u^¡! v)ona alors
¡!
x^¡! u=¡¯(¡! u^¡! v)+°¡! v=¡! v,¯=0;°=1
Donc¡!
x=®¡! u+¡! u^¡! v;®2R
Danslesdeuxcas, l’ensembledes solutionsest
¡!
x=®¡! u+¡! u^¡! v;®2R
On peutaussiutiliserledoubleproduitvectorielpourmontrerque¡! u^¡! vestsolution,puisprouverque¡! xestsolution
ssi¡! x¡¡! u^¡! v2Vect(¡! u)
12.C’estlaquestion précédenteavec ¡! x=¡¡! OMen prenantcommeoriginesurladroiteAtelque¡! OA=¡! u^¡! v:
¡¡!
OM^¡! u=¡! v,¡¡! OM=¡! u^¡! v+¸¡! u=¡! OA+¸¡! u,M2D(A;¡! u)
Danstoutelasuitedu problèmeil fautbiencomprendre cettedé…nition desdroitesparun couple(¡! u;¡! v),¡! uétantun
vecteurdirecteurunitairedeladroite et¡! vun vecteurtelqueM2D,¡¡! OM^¡! u=¡! v.Le couple estindépendantdela
base choisiedansl’espace vectorieleuclidien,maisdépend del’origine0del’espace a¢ne.
13.(cf…gure)Ona¡¡! OM^¡! u=¡! vSoitsiM=0
@
x
y
z
1
Alesystème8
<
:
0=0
z=b
¡y=c
D=8
<
:
0
@
¸
¡c
b
1
Aj¸2R9
=
;
14.Lescouples(¡! u;¡! v)et(¡! u0;¡! v0)déterminentlamêmedroitesietseulementsi(¡! u;¡! u0)sontliés(comme
ils sontunitaires¡! u0=§¡! u)etlepointA0déterminéparOA0=¡! u0^¡! v0appartientàD,soit(¡! u0^¡! v0)¡
¡!
v2Vect(¡! u)
²si¡! u0=¡! u,(¡! u0^¡! v0)¡¡! v=(¡! u^¡! v0)¡¡! v,vecteurorthogonalà¡! u.Donc(¡! u0^¡! v0)¡¡! v2Vect(
¡!
u)sietseulementsiilestnuldonc(¡! u0^¡! v0)=¡! v
²si¡! u0=¡¡! u,demême¡! v¡¡! v0.
lesdeuxcouplesdé…nissentlemêmedroitesietseulementsi³¡! u0;¡! v0´=§(¡! u;¡! v)
révision deSup:Sivousnel’avez pasfaiten préparantledevoir(maisjemetrompesûrement) il estindispensablederevoir
votre coursdeSup .Savoirquetoutdéplacementdel’espace estunerotation,unetranslationouunvissageaideàse
représenterleschosesetàfairedes…gures.
15.L’imaged’unedroiteD(A;¡! u)parun déplacementdestladroiteD(A0;¡! u0)oùA0=d(A)et¡! u0=r(¡! u):
²AestélémentdeladroiteDdoncA0=d(A)estélémentdeD0:
3

²B=A+¡! uestélémentdeDdoncB0=d(A+¡! u)dé…nipar¡¡! OB0=¡!
¡!
a+r(¡! OB)=¡!
¡!
a+r(¡! OA)+r(¡! u)=A0+r(
¡!
u)estun pointdeD0etdoncr(¡! u)estun vecteurdirecteurdeD0.
AinsiD0estassociée aucouple(¡! u0;¡! v0)avec ¡! v0=¡¡! OA0^¡! u0.Donc
¡!
v0=(¡! a+r(¡! OA)) ^r(¡! u)=¡! a^r(¡! u)+r(¡! OA^¡! u)=¡! a^r(¡! u)+r(¡! v)
Ainsi
®=r;¯=p¡!
a±r
etondet (®)=1>0car®estun endomorphismeorthogonaldirect.
Mêmesi lesujetneledemandepasil estfacilededéduiredu 15 l’unicitédeladécomposition précédente.
16.Dansunebaseorthonormée BsoitA=Mat(®),B=Mat(¯),Mcelledep®calculée àlaquestion10.
²®étantun endomorphismeorthogonaldirectAestunematrice estorthogonalededéterminant1,
²B=AM.oùMestunematrice antisymétrique etdonc
t
AB+tBA=tAMA+t A(¡M)A=0
17.Supposonsquedeuxdéplacementsd=t¡!
a±r;d0=t¡!
b±r0,possèdentlamêmeimage: lemême couple(A;B).
Ona alors
²r=r0(mêmematrice A)
²¡! a=¡! b:p¡!
a±r=p¡!
b±r(mêmematrice B)etdoncp¡!
a=p¡!
b.Onadoncpourtoutvecteur¡!
x:³¡! a¡¡! b´^
¡!
x=¡! 0,¡! a¡¡! bestorthogonalàtoutvecteur¡! xdonc¡! a¡¡! b=0
²Onadoncd=d0
L’applicationJestdoncinjective
18.(cf…gure)OnapourcetexempleA=0
@
0
y0
0
1
Aet¡!
u=0
@
1
0
0
1
Adonc¡!
v=¡! OA^¡! u=0
@
0
0
¡y0
1
A
d’aprèsle calculdelaquestion15 ona:
²®=rdematrice A=0
@
cos(µ)¡sin(µ)0
sin(µ)cos(µ)0
0 0 1
1
A
²¯=p¡!
a±rdematrice B=0
@
0¡1 1
1 0 0
¡100
1
A:0 @
cos(µ)¡sin(µ)0
sin(µ)cos(µ)0
0 0 1
1
A=0 @
¡sin(µ)¡cos(µ)1
cos(µ)¡sin(µ)0
¡cos(µ)sin(µ)0
1
A
donc¡! u0=r(¡! u)=0
@
cos(µ)
sin(µ)
0
1
Aet¡!
v0=®(¡! v)+¯(¡! u)=0
@
0
0
¡y0
1
A+0 @
¡sin(µ)
cos(µ)
¡sin(µ)
1
A=0 @
¡sin(µ)
cos(µ)
¡y0¡cos(µ)
1
A
19.Onsaitquel’applicationJestinjective.d’aprèslaquestion17.
Montronsqu’elle estsurjective:Soit(A;B)2GOnchercheret¡! atelsquesid=t¡!
a±ralorsJ(d)=(A;B)
²analyse:
²Aestunematrice orthogonaledirecte;c’estdonclamatrice d’unerotationrdansunebaseorthonormée.
–SoitC=Bt A(lamatrice dep¡!
a).Lamatrice Cestantisymétrique.Ene¤et,comme(A;B)2G,ona(tA;tB)2G
(c’estl’inversede(A;B)),soitparladé…nition deG:
Bt A=¡At B=¡t(Bt A)
–Cettematrice antisymétrique estdelaforme0
@
0¡°¯
°0¡®
¡¯®0
1
Aetdoncd’aprèslaquestion7¡!
a=0
@
®
¯
°
1
A.
4

²véri…cation
Soitrdematrice ¡! a,¡! a=0
@
®
¯
°
1
A,etd=t¡!
a±r. lesmatricesassociée auxapplications®et¯dé…niedanslaquestion
15,sontAetB.(véri…cationsévidentes)
JestbijectivedefdéplacementdeEgdansG
20.(cf…gures)SoitDinvariantepard.SiDestdé…nieparle couple(¡! u;¡! v)alorsDestaussidé…niparle couple
(®(¡! u);®(¡! v)+¯(¡! u))
D’aprèslaquestion14 onadonc
(®(¡! u);®(¡! v)+¯(¡! u)) =§(¡! u;¡! v)
etdonc®(¡! u)=§¡! u.On distinguedeuxcas selonque¡1estvaleurproprede®=rou non.
²Danstouslescas®(¡! u)=¡! uestpossible et¡! uestun vecteurpropreunitaireder
Ona alors®(¡! v)+¯(¡! u)=¡! vor¯(¡! u)=p¡!
a±r(¡!
u)=p¡!
a(¡!
u)=¡! a^¡! u.On doitdoncrésoudre(r¡Id) (
¡!
v)=¡¡! a^¡! u.
Or¡! vestorthogonalà¡! u.Ilfautdonc étudierl’endomorphismeinduitparrsur¡! u?:Doncdistinguerdeuxcas selon
que1estvaleurpropreou non de cetendomorphisme:
–Siµ=0[2¼](etdonc¡! a6=¡! 0card6=Id):r=Iddonc®(¡! u)=¡! uest toujoursvéri…é etona¡! a^¡! u=(r¡Id)(
¡!
v)=0;¡! uestdoncun desvecteursunitairescolinéairesà¡! a.Parcontre¡! vestquelconque(orthogonalà¡! u)
.
siµ=0[2¼]touteslesdroitesdedirection¡! asontsolutionsdu problème etu=§
¡!
a
k¡! ak
dansce casdestunetranslationLerésultatpeutsetrouverdirectement.
–Siµ6=0[2¼]¡! uestun vecteurdirecteur(unitaireparhypothèse)del’axedelarotation,l’endomorphismeinduitsur
¡!
u?estunerotation d’angleµquin’apaslavaleurpropre1,doncquiestbijectivedonc¡! v=(Id¡r)¡1(¡! a^¡! u)
.Onadeux vecteurunitaires¡! upossiblesquisontopposésquidonnedeux vecteurs¡! vopposés.Ilyadoncune
seuledroiteinvariante(question14)
Siµ6=0[¼],ilexisteuneuniquedroiteinvariante et¡! uestvecteurdirecteurdel’axedelarotation
C’estl’axedelarotationoul’axedu vissage.
²Siµ=¼[2¼]alors¡1estaussivaleurpropreder(restunesymétrieorthogonalepar rapportàunedroite).Outrela
solution précédenteonadoncaussi les solutions:
r(¡! u)=¡¡! u;(r+Id) ( ¡! v)=¡¡! a^¡! u
r(¡! u)=¡¡! udonc¡! uestorthogonalàl’axedelarotation.
Soitalors¡! u1un vecteurunitairedirecteurdel’axe estlabaseorthonormée directe(¡! u1;¡! u2=u;¡! u3).
Danscettebaselamatrice derest0
@
1 0 0
0¡1 0
00¡1
1
Adonc(r+Id) ( ¡!
v)estcolinéaireà¡! u1donc¡! a^¡! uestcolinéaire
à¡! u1.Donc
–si¡! an’estpasorthogonalàl’axederotationil n’yapasd’autresolutionquel’axedu vissage.
–si¡! aestorthogonalàl’axeil existedes solutionset¡! vestcolinéaireàl’axe etdonc(r+id) (¡! v)=2¡! vdonc
¡!
v=¡¡!
a^¡! u
2
Dansce second casil semblequedsoitunerotationetqueladroiteinvariante coupel’axedelarotation.Véri…ons
qu’il existeun pointMdeladroite…xepard.OnaMinvariantsietseulementsiM=M0donc¡¡! OM=¡! a+r(¡¡! OM)
.
Sionfaitle calculdanslabaseprécédente en posant¡! a=0
@
0
®
¯
1
Acar¡!
aestorthogonalàl’axe et¡¡! OM=0
@
x
y
z
1
A
ontrouve¡¡! OM=0
@
x
®=2
¯=2
1
AMestsurladroitesietseulementsi¡¡!
OM^¡! u=¡! v(question12)=¡¡!
a^¡! u
2.Ce
quidonnex=0.Ladroite coupel’axeau pointMtelqueOM=¡!
a
2:
siµ=¼[2¼]alorssi¡!
an’estpasorthogonalàl’axedelarotation uneseulesolutionet¡! uestvecteurdirecteurde
si¡! aestorthogonalàl’axeona aussitoutelesdroitesquicoupentl’axeà angledroit.
5