sujet

Lescalculatrices sontinterdites
d'aprµesGCP2002 PC,adapt¶eau nouveau programme
Notations
Soitnetpdesentiers sup¶erieursou¶egauxµa 1.Kd¶esignantle corpsdesr¶eelsouceluidescomplexes,on
noteMn;p(K)leK-espace vectorieldesmatricesµa coe±cientsdansKayantnlignesetpcolonnes.Lorsque
p=n,Mn;n(K)estnot¶eplus simplementMn(K)etestmunidesastructured'algµebre,Inrepr¶esentant
lamatrice identit¶e.
0n;pd¶esignelamatrice nulledeMn;p(K)et0nlamatrice nulledeMn(K).
GLn(K)d¶esignel'ensembledesmatricesinversiblesdeMn(K)etTn(K)l'ensembledesmatricescarr¶ees
d'ordrentriangulaires sup¶erieuresµa ¶el¶ementsdansK.
Toutvecteurx=(xi)1·i·ndeKnestidenti¯¶eµa un ¶el¶ementXdeMn;1(K) telquel'¶el¶ementdela
iemelignedeXsoitxi.Danstoutelasuite,nousnoteronsindi®¶eremmentX=(xi)1·i·nun ¶el¶ementde
Mn;1(K)aussibienquelevecteurdeKnqui luiestassoci¶e.
PourA=(ai;j)1·i·n
1·j·p
dansMn;p(K)etX=(xi)1·i·pdansKp,on note(AX)ile coe±cientdelaieme
lignedeAX.
Pour toutematrice AdeMn(K),on noteSp(A)l'ensembledesvaleursproprescomplexesdeAeton
appellerayonspectraldeAler¶eel½(A)d¶e¯nipar:
½(A)=max
¸2Sp(A)(j¸j)
Conform¶ementµa l'usage,on noteN1lanormed¶e¯niesurCnpar:
8X=(xi)1·i·n2Cn;N1(X)=max
1·i·n(jxij)
Onquali¯edenormematricielletoutenorme'd¶e¯niesurMn(K)v¶eri¯antlapropri¶et¶e:
8(A;B)2(Mn(K))2;'(AB)·'(A)¢'(B):
PARTIEI
1.Soitlamatrice G=0
@1 1 0
1¡1 1
2¡5 3 1
A.
1.Lamatrice Gest-ellediagonalisable?
2. Montrerqu'il existedes scalaires(®;¯;°) tellesqueGsoitsemblableµa T=0
@
®0 0
0¯1
0 0 °1
Aouµa
T=0
@
®1 0
0¯1
0 0 °1
A,etd¶eterminerunematrice PtellequeG=PTP¡1
3.calculerGn,n2N
4.Etudiez si lasuite(Tn)n2Nconverge.
2.SoitA2Mn(C).Enoncez leth¶eorµemepermettantdedirequeAestsemblableµa unematrice
triangulairesup¶erieureT.Querepr¶esententles¶el¶ementsdiagonauxdeT?
3.SoitS=(si;j)etT=(ti;j)deuxmatricestriangulaires sup¶erieuresdeMn(C).
1. MontrerqueSTestunematrice triangulairesup¶erieuredontlescoe±cientsdiagonauxsont
s1;1t1;1,s2;2t2;2, ..., sn;ntn;n.
2.Pourk2N¤,quels sontles¶el¶ementsdiagonauxdeTk?

4. Montrerquepour toutematrice AdeMn(C),½¡Ak¢=[½(A)]k.
5. Montrerquel'applicationÃ:Mn(C)!R;A=(ai;j)7! max1·i;j·n(jai;jj)estunenormesurMn(C),
maisn'estpaseng¶en¶eralunenormematriciellesurMn(C).
6.Enadmettantl'existence denormesmatricielles surMn(C) (lasuitedu problµememontrerae®ective-
mentcette existence),montrerquepour toutenormeNd¶e¯niesurMn(C),ilexisteune constanteC
r¶eellepositivetelleque:
8(A;B)2(Mn(C))2;N(AB)·CN(A)N(B):
7.
1.Soit (Ak)k2NunesuitedematricesdeMn(C),A2Mn(C)etP2GLn(C). Montrerquelasuite
(Ak)k2NconvergeversAsietseulementsi lasuite(P¡1AP)k2NconvergeversP¡1AP.
8.
1.SoitT=µ¸¹
0¸¶un ¶el¶ementdeM2(C).Pour toutk2N¤,calculerTketen d¶eduirequela
suite¡Tk¢k2N
¤convergesietseulementsi(j¸j<1)ou(¸=1et¹=0).
2.SoitA2M2(C)diagonalisable.Donnerune condition n¶ecessaire etsu±santesurlesvaleurs
propresdeApourquelasuite(Ak)k2Nsoitconvergente.
3.SoitA2M2(C)non diagonalisable. Montrerquelasuite(Ak)k2Nestconvergentesietseulement
si½(A)<1.Dansce cas,pr¶eciserlimk!+1¡Ak¢.
4.SoitA2M2(C).Donnerune condition n¶ecessaire etsu±santesur½(A)pourquelasuite(Ak)k2N
convergeverslamatrice nulle.
PartieII
SoitA=(ai;j)unematrice deMn(C)etNunenormequelconquesurCn.On pose:
MA=max
1·i·nÃn
X
j=1
jai;jj!
1.
1. Montrerquepour toutX2Cn:N1(AX)·MAN1(X).
2. Montrerqu'il existeune constanter¶eelleCAtelleque:
8X2Cn;N(AX)·CAN(X):
3. Montrerquel'ensemble½N(AX)
N(X)jX2Cnn f0g¾possµedeunebornesup¶erieuredansR.
On noteradanslasuite:
e
N(A)= sup
X2C
nnf0gµN(AX)
N(X)¶
4. Montrerque:g N1(A)·MA.
5.Onreprend danscettequestionlamatrice Gintroduite enI.1.D¶eterminerun vecteurX0deC3
telqueN1(X0)=1etN1(GX0)=10.En d¶eduirelavaleurdeg N1(G).
2

2.Soiti0un entiercomprisentre1etntelquePn
j=1(jai0;jj)=MA.Enconsid¶erantlevecteurYdeCn
de composantesyjd¶e¯niespar:
yj=(ai0;j
jai0;jjsiai0;j6=0
1siai0;j=1
1.montrerqueMA·g N1(A)eten d¶eduireg N1(A)=MA.
3. Montrer:
1.e N(A)=0,A=0n.
2.8¸2C;e N(¸A)· j¸je N(A).
3.En d¶eduire:8¸2C;e N(¸A)=j¸je N(A).
4.8B2Mn(C);e N(A+B)·e N(A)+e N(B).
5.8X2Cn;N(AX)·e N(A)N(X).
6.D¶eduirede cesr¶esultatsquee NestunenormematriciellesurMn(C).Onluidonnelenomde
normematriciellesubordonn¶ee µa lanormeN.
4.
1.Enconsid¶erantunevaleurpropre¸deAtellequej¸j=½(A),montrerque:
½(A)·e N(A):
2.Donnerun exemplesimpledematrice Anon nullev¶eri¯ant½(A)=g N1(A).
3. MontrerquesiAestnilpotentenon nulle,onal'in¶egalit¶estricte:
½(A)<e N(A):
5. Montrerquesi limk!+1¡Ak¢=0n,alors½(A)<1.
6.Onadmetdanscettequestionquetoutematrice Mestsemblableµa unematrice triangulaireTtelle
queT=D+N,Dmatrice diagonale,Nmatrice nilpotentetellequeDN=ND.On posepun
entier telqueNp=0n
1.Justi¯ez quepourk¸p:
Tk=
p¡1
X
i=0µk
i¶NiDk¡i
2.Soitx2Ctelquejxj<1.D¶eterminerlalimitedelasuite¡¡k
i¢xk¢
3. Montrerquesi½(A)<1 alorslimk!+1¡Ak¢=0n
7.
1. Montrerquepour toutkentiernaturelnon nul : ½(A)·he N¡Ak¢i1
k.
2. Montrerquepour tout®2C,½(®A)=j®j½(A).
3.Soit">0etA"=A
½(A)+".V¶eri¯erque½(A")<1eten d¶eduirel'existence d'un entiernaturel
k"telque:
8k2N;³k¸k")e N¡Ak¢·(½(A)+")k´:
3

4.En d¶eduirelimk!+1he N¡Ak¢i1
k=½(A).
PartieIII
Unematrice AdeMn;p(R)estditepositive(resp.strictementpositive)eton noteA¸0(resp.A>0)
sietseulementsitous sescoe±cients sontpositifsou nuls(resp.strictementpositifs).SiAetBsont
deuxmatricesdeMn;p(R),on noteA¸B(resp.A·B,A>B,A<B)sietseulementsiA¡B¸0(resp.
B¡A¸0,A¡B>0,B¡A>0).
Notonsquegr^ace µa l'identi¯cation deRnetMn;1(R),on pourraparlerdevecteurdeRnpositifou
strictementpositif.
1.Donnerun exempledematrice AmontrantquelesconditionsA¸0etA6=0n'impliquentpasn¶ecessairem
e
A>0.
2.A,B,A0,B0d¶esignentdesmatricesdeMn(R).
1. Montrerquesi0·A·Bet0·A0·B0,alors0·AA0·BB0.
2. Montrerquesi0·A·B,alorspour toutk2N¤,0·Ak·Bk.
3. Montrerquesi0·A·B,alorsg N1(A)·g N1(B).
4. Montrerquesi0·A·B,alors½(A)·½(B).
5. Montrerquesi0·A<B,ilexistec2]0;1[telqueA·cBeten d¶eduire½(A)<½(B).
3.SoitAunematrice positivedeMn(R) tellequelasommedestermesde chaquelignesoitconstante
¶egaleµa ®. Montrerque®estvaleurpropredeAetque:
½(A)=®=g N1(A):
4.SoitAunematrice positivedeMn(R).Pour touti2f1;:::;ng,on note®ilasommedestermesdela
iemelignedeAet®=min1·i·n®i.On d¶e¯nitlamatrice B=(bi;j)parB=0nsi®=0etbi;j=®
®i
ai;j
si®>0. Montrerµa l'aidedelamatrice Bainsiconstruiteque:
min
1·i·nÃn
X
j=1
ai;j!·½(A)·max
1·i·nÃn
X
j=1
ai;j!:
5.SoitAunematrice positivedeMn(R)etX=(xi)un vecteurstrictementpositifdeRn.
On noteDxlamatrice diagonaledeMn(R)ayantpour termesdiagonauxx1,x2, . . . , xn.Calculerles
¶el¶ementsdelamatrice D¡1
xADxeten d¶eduire:
min
1·i·nµ(AX)i
xi¶·½(A)·max
1·i·nµ(AX)i
xi¶
6.SoitAunematrice positivedeMn(R). MontrerquesiAadmetun vecteurproprestrictementpositif,
alorslavaleurpropreassoci¶ee est½(A)et:
½(A)= sup
X>0µmin
1·i·n
(AX)i
xi¶=inf
X>0µmax 1·i·n
(AX)i
xi¶:
4