Thème : Mécanique Chap1 : Etude de mouvements

Thème : Mécanique
Chap1 : Etude de mouvements
1) Mouvement de translation :
a) définition de la translation :
Un mobile est animé d’un mouvement de translation si, entre deux positions consécutives, tous les points
se sont déplacés d’un même vecteur
→
u :
exemples :
mouvement de translation rectiligne : véhicule en déplacement sur une route rectiligne (droite Ox)
mouvement de translation curviligne :
nacelle d’un manège
b) Position :
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé (O ;
→
i
;
→
j ;
→
k
), la position d’un mobile M est :
→
OM = x
→
i
+ y
→
j + z
→
k
Cas particulier : mouvement de translation rectiligne le long de l’axe (Ox) :
→
OM = x
→
i
« x » représente la distance en mètre ( m ) parcourue par M le long de l’axe (Ox)
x
O
u1 u2
u1

c) Vitesse v :
C’est la distance parcourue par unité de temps, unité : m.s
−
−−
−1
Vitesse instantanée :
vitesse instantanée au point Mn : vn =
1n1n
1n1n
-
t t -
M M
−
+
+
(distance en m, temps en s, vitesse en m.s−1)
Le vecteur vitesse
→
v
est tangent à la trajectoire dans le sens du mouvement.
Vitesse moyenne : v = total temps
totale distance (distance en m, temps en s, vitesse en m.s−1)
d) Accélération a :
C’est la variation de la vitesse par rapport au temps, unité : m.s
−
−−
−2
Accélération instantanée au point Mn : an =
1n1n
1n1n
-
t t -
v v
−
−
+
+
= (v)’ dérivée de la vitesse par rapport au
temps. (temps en s, vitesse en m.s−1, accélération en m.s−2)
Si la vitesse augmente au cours du temps, l’accélération est positive : le mouvement est accéléré
Si la vitesse diminue au cours du temps, l’accélération est négative : le mouvement est freiné, décéléré
Si la vitesse est constante au cours du temps, l’accélération est nulle : le mouvement est uniforme
2) Mouvement de rotation :
a) définition :
Un solide mobile autour d’un axe ( ∆ ) de centre O a un mouvement de rotation : tous ses points dérivent
une trajectoire circulaire de centre O et d’axe ( ∆ ).
Mo
Mn−1
Mn
M
n+1
M1
v
O

b) position :
c) vitesse linéaire v :
C’est la distance parcourue par unité de temps, unité : m.s
−
−−
−1
vitesse instantanée au point Mn : vn =
1n1n
1n1n
-
t t -
M M
−
+
+
(distance en m, temps en s, vitesse en m.s−1)
Le vecteur vitesse
→
v
est tangent à la trajectoire donc elle est perpendiculaire au rayon dans le sens du
mouvement.
Vitesse moyenne : v = total temps
totale distance (distance en m, temps en s, vitesse en m.s−1)
d) vitesse angulaire de rotation Ω :
C’est l’angle parcourue par unité de temps, unité : rad.s
−
−−
−1 :
Ω = R Rayon
v linéaire vitesse
temps
angle
= =
R
v soit v = R
Ω
angle en radian, temps en s, vitesse en m.s
−1
, Rayon en m,
O
M
o
M
n
R
R
M
n−1
M
n+1
α
Distance d
M
o
M
R
R
La distance d parcourue le long du cercle par le
point M est :
Distance = Rayon x angle
d = R α
αα
α
distance en m, rayon en m, angle en radian.
Pour un tour, la distance est : 2 π R

e) fréquence de rotation n :
C’est le nombre de tours effectués par le mobile par unité de temps : unité : tr.s
−
−−
−1
Avec les équivalences suivantes : 1 tour → angle de 2 π radians → distance : 2 π R
On obtient : Ω = 2 π n = R
v
Ω en rad.s
−1
, R en m , n en tr.s
−1
, v en m.s
−1
f) accélération a :
remarque : Si la vitesse est constante au cours du temps, la dérivée de la vitesse par rapport au temps (v)’
est alors nulle. Par conséquent, l’accélération tangentielle a
T
= 0 m.s
−2
.
g) entraînement de deux poulies par courroie, par engrenages ou par contact:
Dans les trois cas, les vitesses linéaires des points de la périphérie de la roue n°1, de la roue n°2 et de la
courroie sont égales : v
A
= v
B
= v
C
Soit : v
A
= R
A
Ω
A
= R
B
Ω
B
= v
B
= v
C
Par conséquent, la roue n°2 (« petite roue ») fera plus de tours que la roue n°1 (« grande roue ») en un
temps donné.
Les vitesses angulaires sont inversement proportionnelles aux rayons des roues : R
A
Ω
A
= R
B
Ω
B
Les fréquences de rotation sont proportionnelles aux rayons des roues : R
A
n
A
= R
B
n
B
O
α
M
o
M
R
e
T
e
N
R
1
R
2
R
1
R
2
Roue n°1 Roue n°1
Roue n°2 Roue n°2
courroie
Contact
Ou engrenages
A A
B
B
C
On définit la base de Frenet par deux vecteurs
unitaires liés au point M tournant :
e
T
(tangent à la trajectoire dans le sens du
mouvement)
et e
N
perpendiculaire à e
T
vers le centre de rotation
L’accélération globale est :
a = a
T
e
T
+ a
N
e
N
accélération tangentielle (en m.s
−2
) : a
T
= (v) ’
accélération normale (en m.s
−2
) : a
N
=
Rayon
v
2