Thème : Mécanique Chap1 : Etude de mouvements

Thème : Mécanique
Chap1 : Etude de mouvements
1) Mouvement de translation :
a) définition de la translation :
Un mobile est animé d’un mouvement de translation si, entre deux positions consécutives, tous les points
→
se sont déplacés d’un même vecteur u :
u1
u2
u1
exemples :
mouvement de translation rectiligne : véhicule en déplacement sur une route rectiligne (droite Ox)
O
x
mouvement de translation curviligne :
nacelle d’un manège
b) Position :
→
→
→
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé (O ; i ; j ; k ), la position d’un mobile M est :
→
→
→
→
OM = x i + y j + z k
Cas particulier : mouvement de translation rectiligne le long de l’axe (Ox) :
→
→
OM = x i
« x » représente la distance en mètre (m) parcourue par M le long de l’axe (Ox)
c) Vitesse v :
C’est la distance parcourue par unité de temps, unité : m.s−1
Vitesse instantanée :
M1
Mo
v
Mn
Mn+1
Mn−1
vitesse instantanée au point Mn :
vn =
Mn+1 Mn-1
t n+1 − t n-1
(distance en m, temps en s, vitesse en m.s−1)
→
Le vecteur vitesse v est tangent à la trajectoire dans le sens du mouvement.
Vitesse moyenne : v =
distance totale
temps total
(distance en m, temps en s, vitesse en m.s−1)
d) Accélération a :
C’est la variation de la vitesse par rapport au temps, unité : m.s−2
v n+1 − v n-1
= (v)’ dérivée de la vitesse par rapport au
t n+1 − t n-1
(temps en s, vitesse en m.s−1, accélération en m.s−2)
Accélération instantanée au point Mn :
temps.
an =
Si la vitesse augmente au cours du temps, l’accélération est positive : le mouvement est accéléré
Si la vitesse diminue au cours du temps, l’accélération est négative : le mouvement est freiné, décéléré
Si la vitesse est constante au cours du temps, l’accélération est nulle : le mouvement est uniforme
2) Mouvement de rotation :
a) définition :
Un solide mobile autour d’un axe (∆) de centre O a un mouvement de rotation : tous ses points dérivent
une trajectoire circulaire de centre O et d’axe (∆).
O
b) position :
M
La distance d parcourue le long du cercle par le
point M est :
Distance d
R
α
Distance = Rayon x angle
Mo
R
d=Rα
distance en m, rayon en m, angle en radian.
Pour un tour, la distance est : 2π R
c) vitesse linéaire v :
C’est la distance parcourue par unité de temps, unité : m.s−1
Mn+1
Mn
Mn−1
R
O
vitesse instantanée au point Mn :
vn =
Mo
R
Mn+1 Mn-1
t n+1 − t n-1
(distance en m, temps en s, vitesse en m.s−1)
→
Le vecteur vitesse v est tangent à la trajectoire donc elle est perpendiculaire au rayon dans le sens du
mouvement.
Vitesse moyenne : v =
distance totale
temps total
(distance en m, temps en s, vitesse en m.s−1)
d) vitesse angulaire de rotation Ω :
C’est l’angle parcourue par unité de temps, unité : rad.s−1 :
Ω =
angle
vitesse linéaire v
v
=
=
temps
Rayon R
R
angle en radian, temps en s, vitesse en m.s−1 , Rayon en m,
soit v = R Ω
e) fréquence de rotation n :
C’est le nombre de tours effectués par le mobile par unité de temps : unité : tr.s−1
Avec les équivalences suivantes : 1 tour →
angle de 2π radians
→
distance : 2πR
v
R
−1
−1
Ω en rad.s , R en m , n en tr.s , v en m.s−1
Ω = 2π n =
On obtient :
f) accélération a :
eT
On définit la base de Frenet par deux vecteurs
unitaires liés au point M tournant :
eT (tangent à la trajectoire dans le sens du
mouvement)
et eN perpendiculaire à eT vers le centre de rotation
M
eN
L’accélération globale est :
α
O
R
Mo
a = aT eT
+
aN eN
accélération tangentielle (en m.s−2) :
accélération normale (en m.s−2) :
aT = (v)’
aN =
v2
Rayon
remarque : Si la vitesse est constante au cours du temps, la dérivée de la vitesse par rapport au temps (v)’
est alors nulle. Par conséquent, l’accélération tangentielle aT = 0 m.s−2.
g) entraînement de deux poulies par courroie, par engrenages ou par contact:
Contact
Ou engrenages
courroie
R1
R1
R2
B
A
C
Roue n°1
R2
B
A
Roue n°2
Roue n°2
Roue n°1
Dans les trois cas, les vitesses linéaires des points de la périphérie de la roue n°1, de la roue n°2 et de la
courroie sont égales :
vA = vB = vC
Soit :
vA = RA ΩA = RB ΩB = vB = vC
Par conséquent, la roue n°2 (« petite roue ») fera plus de tours que la roue n°1 (« grande roue ») en un
temps donné.
Les vitesses angulaires sont inversement proportionnelles aux rayons des roues : RA ΩA = RB ΩB
Les fréquences de rotation sont proportionnelles aux rayons des roues : RA nA = RB nB