Tutoriel Maxima pour enseigner les mathématiques en BTS

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Thomas BRÉLIVET
12 juin 2014

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Document en cours d’élaboration.
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Table des matières
1 Première prise en main de Maxima 7
2 Les nombres 9
2.1 Opérationssurlesnombres ............................... 9
2.1.1 Sommeetdifférence ............................... 9
2.1.2 Produitetdivision................................ 9
2.1.3 Arrondis...................................... 9
2.2 Des fonctions sur les entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.1 Factorisation ................................... 10
2.2.2 Racinecarrée................................... 10
2.2.3 Puissances..................................... 10
2.2.4 Valeurabsolue .................................. 11
2.2.5 Factorielle..................................... 11
2.3 Représentation des nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Les variables 13
3.1 Lesvariables ....................................... 13
3.2 Lesconstantes ...................................... 14
3.3 Substitutionsdevariables ................................ 15
4 Les équations 17
4.1 Leséquations....................................... 17
4.1.1 Définition d’une équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.1.2 Résolution exacte d’une équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.1.3 Utilisation des solutions obtenues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.1.4 Résolution approchée d’une équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.1.5 Résolution d’équations polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2 Lesinéquations...................................... 19
3

4TABLE DES MATIÈRES
5 Les fonctions 21
5.1 Définitiond’unefonction................................. 21
5.2 Tableau de valeurs d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.3 Courbe représentative d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.4 Dérivéed’unefonction.................................. 23
5.5 Limitesd’unefonction.................................. 24
5.6 Fonctionsaffines ..................................... 25
5.7 Fonctionsduseconddegré................................ 26
5.8 Fonctionexponentielle.................................. 27
5.9 Fonction logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.10 Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.11 Primitives et intégrales d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.11.1 Primitives..................................... 34
5.11.2 Intégrales ..................................... 34
5.12Développementslimités ................................. 35
6 Les suites 37
6.1 Définitiond’unesuite .................................. 37
6.2 Expression explicite d’une suite définie par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.3 Représentation géométrique d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.4 Suitesarithmétiques ................................... 38
6.5 Suitesgéométriques ................................... 39
6.6 Limited’unesuite .................................... 39
6.7 Sommed’unesuite.................................... 40
6.8 Lemodulefuncts..................................... 40
7 Les nombres complexes 41
7.1 Forme algébrique d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.2 Représentation géométrique d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7.3 Nombrecomplexeconjugué ............................... 42
7.4 Forme trigonométrique d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7.5 Formeexponentielle ................................... 44
7.6 Équations du second degré à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
8 Listes et statistiques descriptives 47
8.1 Listes ........................................... 47
8.2 Statistiquesdescriptives ................................. 48
8.3 Listesavecpondérations................................. 49

TABLE DES MATIÈRES 5
9 Probabilités 51
9.1 Simulations ........................................ 51
9.1.1 Simulation du lancer de pièce et loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . 51
9.1.2 Simulation du lancer de dé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
9.1.3 Simulation de la loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
9.1.4 Simulation de la loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
9.2 Distributions ....................................... 57
9.2.1 SchémadeBernoulli............................... 58
9.2.2 Loibinomiale................................... 58
9.2.3 LoidePoisson .................................. 60
9.2.4 Loinormale.................................... 62
9.2.5 Approximation d’une loi binomiale par une loi normale . . . . . . . . . . . 64
9.2.6 Approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson . . . . . . . . . . 65
10 Algorithmique et programmation 67
10.1BoucleTantque ..................................... 67
10.2BouclePour........................................ 67
10.3Test ............................................ 68
10.4 Logique (utile pour les tests) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
10.5 Structure d’une fonction/procédure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
10.6 Affichage de chaînes de caractères. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
10.7Utilisationsd’hypothèses................................. 71
10.8Typesdevariables .................................... 72
10.9Commentaires....................................... 73
11 Équations différentielles 75
11.1 Équations différentielles du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
11.2 Équations différentielles du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
11.3 Exemple : masse - ressort - frottement visqueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
12 Séries de Fourier 79
12.1 Définition de la fonction périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
12.2 Courbe de la fonction étudiée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
12.3 Calcul des coefficients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
12.3.1 Calcul de la moyenne sur une période : a_0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
12.3.2 Calcul des coefficients a_n et b_n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
12.4 Somme de Fourier partielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
12.5Spectre .......................................... 81
12.6 Valeur efficace et formule de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
12.7 Utilisation du package piecewise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82