2017 PC* Espaces préhilbertiens réels I. Produit scalaire et norme associée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1 Produit scalaire dans un espace vectoriel réel . . . . . . . . . . I.2 Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski . . . . . . . . . I.3 Norme euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4 Continuité du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II. Orthogonalité dans un espace préhilbertien réel . . . . . . . . . . . . . II.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.2 Orthogonal d’un sev de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III. Espaces vectoriels euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.1 Expression matricielle du produit scalaire en dimension finie . . III.2 Bases orthonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.3 Construction de bases orthonormales . . . . . . . . . . . . . . . III.4 Coordonnées dans une base orthonormale . . . . . . . . . . . . IV. Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie IV.1 Supplémentaire orthogonal d’un sous-espace de dimension finie IV.2 Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie . IV.3 Distance à un sous-espace vectoriel de dimension finie . . . . . IV.4 Algorithme d’orthonormalisation de Gram-Schmidt . . . . . . . 2016-2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 5 5 6 6 6 7 8 8 8 9 9 9 9 10 11 12 1/16 2017 PC* Espaces préhilbertiens réels Tester ses connaissances 1. (a) Qu’est-ce qu’un produit scalaire ? (b) Qu’est-ce qu’une norme ? Lien entre produit scalaire et norme ? (c) Donner des exemples de produits scalaires et de normes. 2. Soit (E , h , i) un espace préhilbertien réel ; n p n p soit (n , p)∞∈ N∗2 , (λ1 , . . . , λ∫ n ) ∈ R , (µ1 , . . . , µp ) ∈ R , (x1 , . . . , xn ) ∈ E , (y1 , . . . , yp ) ∈ E , que vaut n X i=1 λi xi , p X µj yj ? j=1 3. Qu’est-ce que l’inégalité de Cauchy-Schwarz ? 4. (a) Expression du produit scalaire dans une b.o.n. (e1 , . . . , en ). Et la norme ? (b) Expression des coordonnées du vecteur x dans cette b.o.n. ? 5. Comment définit-on deux vecteurs orthogonaux ? Et l’orthogonal d’un sev ? 6. Méthodes pour montrer qu’une famille de vecteurs est libre ? 7. Qu’est-ce que le théorème de Pythagore ? 8. Si a est un vecteur non nul, comment construire un vecteur unitaire colinéaire à a ? 9. (a) Expression du projeté orthogonal du vecteur x sur la droite vectorielle D = Vect(a) ? (b) Soit F un sev dont on connaît une b.o.n. (e1 , . . . , eq ) ; expression du projeté orthogonal de x sur F ? (c) Procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt ? Dans tout ce chapitre, E désigne un R -ev. 2/16 2016-2017 2017 I. I.1 I.1.a PC* Espaces préhilbertiens réels Produit scalaire et norme associée Produit scalaire dans un espace vectoriel réel Définition Définition Soit E un R-ev. On appelle produit scalaire sur E toute application ϕ : E 2 → R telle que : • ∀(x , y) ∈ E 2 , ϕ(x , y) = ϕ(y , x) (ϕ est symétrique) • ∀λ ∈ R , ∀(x , y , y 0 ) ∈ E 3 , ϕ(x , y + λy 0 ) = ϕ(x , y) + λϕ(x , y 0 ) (linéarité ./. à la 2ème variable ou linéarité à droite) • ∀λ ∈ R , ∀(x , x0 , y) ∈ E 3 , ϕ(x + λx0 , y) = ϕ(x , y) + λϕ(x0 , y) (linéarité ./. à la 1ère variable ou linéarité à gauche) • ∀x ∈ E , ϕ(x , x) > 0 (ϕ est positive) • ∀x ∈ E , ϕ(x , x) = 0 ⇐⇒ x = 0 (ϕ est définie). (E , ϕ) est appelé espace préhilbertien réel. Si E est de dim. finie, (E , ϕ) est dit euclidien. Soient x et y quelconques dans E : on ne sait rien, pour ϕ forme bilinéaire positive, du signe de ϕ(x , y) ! Remarque. Dans la pratique, on commence par vérifier le caractère symétrique de ϕ, et alors (ii) implique (iii) et réciproquement. Donc on ne fait que l’une des deux vérifications. Notations. On note (x|y) ou hx , yi ou x .y le produit scalaire de x par y. Remarque de calcul. Si (E , h , i) est un espace préhilbertien réel, alors ∀(n , p) ∈ N∗2 , ∀(λ1 , . . . , λn ) ∈ Rn , ∀(µ1 , . . . , µp ) ∈ Rp , ∀(x1 , . . . , xn ) ∈ E n , ∀(y1 , . . . , yp ) ∈ E p , * n + p p n X X X X X λ i xi , µj yj = λi µj hxi , yj i = λi µj hxi , yj i i=1 I.1.b j=1 i=1 j=1 i,j Exemples de référence Remarque. Les exemples de cette section figurent explicitement au programme, et peuvent donc être utilisés directement. 1. Sur Rn : le produit scalaire canonique est défini par : n n ∀x = (x1 , . . . , xn ) ∈ R , ∀y = (y1 , . . . , yn ) ∈ R , hx, yi = n X xi yi i=1 Si X et Y désignent les matrices colonnes des composantes de x et de y dans la base canonique, on remarque que ∀(x, y) ∈ (Rn )2 , hx, yi = tXY 2016-2017 3/16 2017 PC* Espaces préhilbertiens réels 2. Sur Mn (R) : le produit scalaire canonique est défini par ∀(A, B) ∈ (Mn (R))2 , hA, Bi = n X n X ai,j bi,j = tr(tAB) i=1 j=1 3. Sur C 0 ([a, b], R) avec a < b : ˆ ∀(f, g) ∈ (C([a, b], R))2 , hf, gi = b f (t)g(t)dt a I.1.c Autres exemples Remarque. Même s’ils sont très classiques, les exemples de cette section ne figurent pas explicitement au programme. 1. Sur Mn,1 (R), le produit scalaire canonique est défini par : hX, Y i = X > Y Remarque. Il coïncide avec le produit scalaire canonique de Rn , via l’identification usuelle entre une matrice colonne et un n-uplet (cf ex1 du § précédent). On trouve parfois la définition hX , Y i = tr(X > Y ). En effet, on a X > Y ∈ M1 (R). La trace permet ici d’en faire un réel plutôt qu’une matrice 1 × 1. On accepte cependant souvent de confondre R et M1 (R). 2. soit m une fonction continue sur [a , b] telle que ∀t ∈]a , b[, m(t) > 0 ˆ b 0 ∀(f, g) ∈ C ([a, b]), hf, gi = f (t)g(t)m(t)dt a est un produit scalaire sur C 0 ([a , b]). Exemple. (f , g) 7 → ˆ ˆ b f (t)g(t)dt, 1 (f , g) 7 → p f (t)g(t) 1 − t2 dt … sont des pdts scalaires −1 a 3. Sur R[X] : le produit scalaire canonique est défini par : ∀P = X ak X k , ∀Q = k∈N X k∈N bk X k , hP, Qi = X ak bk k∈N On définit aussi par exemple un autre produit scalaire par (P , Q) 7 → hP , Qi = ˆ 1 P̃ (t)Q̃(t)dt. 0 4. Suites de carré sommable : On note `2 (R) l’ensemble X des suites réelles de carré sommable, c’est-à-dire les suites réelles (un )n∈N telles que la série u2n soit convergente. 1 On sait que `2 (R) est un R-espace vectoriel ; d’autre part, en utilisant l’inégalité |ab| 6 (a2 +b2 ), 2 on déduit : ∀(u , v) couple d’éléments de `2 (R), hu , vi = scalaire sur `2 (R). 4/16 +∞ X un vn existe, et cette formule définit un produit n=0 2016-2017 2017 PC* Espaces préhilbertiens réels 5. Fonctions continues de carré intégrable sur un intervalle quelconque : Soit E l’ensemble des fonctions f continues sur I, intervalle de R, à valeurs réelles, de carré intégrable sur I, c’est-à-dire telles que f 2 soit intégrable sur I. 1 2 De l’inégalité |f g| 6 f + g 2 on déduit que le produit de deux fonctions de carré intégrable 2 ˆ est intégrable : on peut donc définir pour deux éléments f et g de E le réel f g. I De plus, si f et g sont de carré intégrable, si λ est un réel quelconque, f + λg est de carré intégrable, car (f + λg)2 = f 2 + λ2 g 2 + 2λf g. Comme la fonction nulle est de carré intégrable, ˆ E est un R-espace vectoriel. Enfin, en posant pour f et g dans E, (f |g) = f g, on définit ainsi un produit scalaire sur E. I I.2 Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski Soit (E , h , i) un espace préhilbertien réel. Pour tout x ∈ E, on note kxk = Inégalité de Cauchy-Schwarz. (1) » hx, xi. ∀(x, y) ∈ E 2 , |hx, yi| 6 kxkkyk Cas d’égalité : ∀(x , y) ∈ E 2 , |hx , yi| = kxkkyk ⇐⇒ (x , y) liée Inégalité de Minkowski = Inégalité triangulaire. (2) ∀(x, y) ∈ E 2 , kx + yk 6 kxk + kyk Cas d’égalité : ∀(x , y) ∈ E 2 , kx + yk = kxk + kyk ⇐⇒ (x , y) positivement liée. I.3 Norme euclidienne Proposition. (3) Soit (E , h , i) un espace préhilbertien réel. » • L’application k .k : E → R définie par ∀x ∈ E , kxk = hx, xi est une norme sur E, appelée norme euclidienne associée au produit scalaire h , i. • L’application d : (x , y) ∈ E 2 7 → d(x , y) = kx − yk ∈ R est appelée distance euclidienne associée à h , i . Définition Un vecteur x est unitaire (ou encore normé) ssi kxk = 1. Exemples. Écriture des normes euclidiennes et de Cauchy-Schwarz pour les exemples précédents de produits scalaires. à n à n n X X X 1. Pour tous éléments x = (x1 , . . . , xn ) et y = (y1 , . . . , yn ) de Rn , on a : xi yi 6 x2i yi2 . i=1 i=1 i=1 à à n n n X X X Et aussi, d’ailleurs : x2i |xi yi | 6 i=1 i=1 s La norme est définie par kxk = n X x2i = √ tX yi2 . i=1 X. i=1 2016-2017 5/16 2017 PC* Espaces préhilbertiens réels ˆ sˆ sˆ 2. Pour tous éléments f et g de C([a , b] , R) (a < b), on a f g 6 f2 g2 . [a,b] [a,b] [a,b] sˆ sˆ ˆ Et, également : f2 |f g| 6 [a,b] La norme est définie par N2 (f ) = …ˆ [a,b] g2 . [a,b] f2 . [a,b] 3. Soit u, v deux suites réelles, telles que les séries X u2n et X vn2 convergent. Alors la série de +∞ à +∞ à +∞ X X X terme général un vn est absolument convergente et un vn 6 u2n vn2 n=0 n=0 n=0 à à +∞ +∞ +∞ X X X (et également 2 ). vn u2n |un vn | 6 n=0 n=0 n=0 Proposition. (4) Identité du parallélogramme. ∀x ∈ E, ∀y ∈ E, kx + yk2 + kx − yk2 = 2 kxk2 + kyk2 . Identité de polarisation. Soit (E , h , i) un espace préhilbertien réel et k .k la norme euclidienne 1 1 associée. ∀(x , y) ∈ E 2 , hx , yi = (kx + yk2 − kx − yk2 ) = (kx + yk2 − kxk2 − kyk2 ). 4 2 I.4 Continuité du produit scalaire II. Orthogonalité dans un espace préhilbertien réel II.1 II.1.a Proposition. (5) Soit (E , h , i) un espace préhilbertien réel ; on munit E de la norme associée à h , i). Alors l’application h , i : (x , y) ∈ E × E 7 → hx , yi ∈ R est continue sur E × E. Généralités Orthogonalité de deux vecteurs Définition Soit (E , h , i) un espace préhilbertien réel ; Deux vecteurs x et y sont orthogonaux ssi hx , yi = 0. Remarque. Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs de E, et un vecteur orthogonal à tous les vecteurs de E est nul. II.1.b Familles orthogonales, orthonormales Définition Soit (vi )i∈I une famille d’éléments de E, espace préhilbertien réel. ? (vi )i∈I est orthogonale ssi ∀(i , j) ∈ I 2 , (i 6= j =⇒ < vi , vj >= 0). ? (vi )i∈I est orthonormale ssi ∀(i , j) ∈ I 2 , < vi , vj >= δi,j . 6/16 2016-2017 2017 PC* Espaces préhilbertiens réels Proposition. (6) Toute famille orthogonale ne « contenant » pas 0E est libre. A fortiori, toute famille orthonormale est libre. Exemple. Les polynômes élémentaires de Lagrange forment une famille libre. Théorème de Pythagore. (7) Soit (E , h , i) un espace préhilbertien réel ; ? Les vecteurs x et y sont orthogonaux ssi kx + yk2 = kxk2 + kyk2 . p p X 2 X ? Si (v1 , v2 , . . . , vp ) est un famille orthogonale de E, alors vi = kvi k2 . i=1 II.2 II.2.a i=1 Orthogonal d’un sev de E Définition Définition Soit (E , h , i) un espace préhilbertien réel ; soit F un sous-espace vectoriel de E ; L’ensemble {x ∈ E/∀a ∈ F , ha , xi = 0}, noté F ⊥ , est l’orthogonal de F . Proposition. (8) Soient F et G deux sev de E, espace préhilbertien réel. 1. F ⊥ est un sous-espace vectoriel de E. 2. {0}⊥ = E Ä E ⊥ = {0} F ⊂ F⊥ ä⊥ . 3. F ⊂ G =⇒ G⊥ ⊂ F ⊥ . 4. F ⊥ ∩ F = {0}. 5. Si B est une base de F , un vecteur est orthogonal à F (donc appartient à F ⊥ ) ssi il est orthogonal à tous les vecteurs de B. II.2.b Existence d’un (ou du ?) supplémentaire orthogonal ? En général, l’orthogonal d’un sev n’est pas un supplémentaire de ce sev. Par exemple, soit E = C([0 , 1] , R), muni de son produit scalaire usuel, et F le sev des fonctions polynômes réelles sur [0 , 1]. On montre (à l’aide du premier théorème de Weierstrass (H.P.)) que F ⊥ = {0E }. Et donc que F ⊕ F ⊥ = F 6= E. On retiendra donc que la somme F ⊕ F ⊥ est toujours directe, mais que ce n’est en général pas E, donc l’orthogonal de F n’est pas nécessairement un supplémentaire de F . MAIS Cas particulier important : Proposition. (9) ∀a ∈ E r {0E }, E = R .a ⊕ (R .a)⊥ Preuve. La somme est directe d’après ce qui précède. ha, xi ha, xi Et on remarque que ∀x ∈ E , x = a+x− a kak2 kak2 | {z } ∈R.a 2016-2017 | {z ∈(R.a)⊥ } 7/16 2017 III. PC* Espaces préhilbertiens réels Espaces vectoriels euclidiens Définition On appelle espace vectoriel euclidien un espace préhilbertien réel de dimension finie. III.1 Expression matricielle du produit scalaire en dimension finie Définition Soit (E , h , i) un espace euclidien et B = (e1 , . . . , en ) une base de E. On appelle matrice associée au produit scalaire h , i relativement à la base B la matrice M de Mn (R) de terme général mi,j = hei , ej i. Remarque. Si M est une matrice associée à un produit scalaire euclidien, alors M est symétrique et tous les termes de sa diagonale sont strictement positifs. III.2 III.2.a Bases orthonormales Bases orthogonales - Bases orthonormales Définition Soit (E , h , i) un espace euclidien de dimension n ; (ei )16i6n est une base orthogonale (resp. orthonormale ) de E ssi (ei )16i6n est une base de E et la famille (ei )16i6n est orthogonale ( resp. orthonormale ). Remarque. Puisqu’on a vu que toute famille orthonormale est libre, on a : (ei )16i6n est une b.o.n. ssi c’est une famille orthonormale. III.2.b Existence Théorème. (10) Tout espace vectoriel euclidien admet au moins une b.o.n. Preuve. Remarque. On verra au § IV.4 un algorithme de construction d’une telle base. Exemple. hA , Bi = tr( AB) dans Mn (R) ; t est une b.o.n pour ce produit scalaire. Ç Å 1 (Ei,i )16i6n , √ (Ei,j + Ej,i ) 2 ã Å 1 , √ (Ei,j − Ej,i ) 2 16i<j6n ã 16i<j6n Remarque. Il existe des bases orthonormées en dimension non finie ( (X n )n∈N dans R[X] pour le produit scalaire canonique), mais ce n’est pas systématique, contrairement à la dimension finie. 8/16 2016-2017 å 2017 III.3 PC* Espaces préhilbertiens réels Construction de bases orthonormales Voir l’algorithme de Gram-Schmidt au § IV.4. III.4 Coordonnées dans une base orthonormale Proposition. (11) Soit B = (e1 , . . . , en ) une base orthonormale de E, et x un vecteur de E. Ses coordonnées dans B Ö è he1 , xi .. sont : , c’est-à-dire : . hen , xi x= n X hei , xiei i=1 Remarque. Si la base n’est qu’orthogonale, il faut adapter la formule en normant les vecteurs. Si la base n’est pas orthonormale, il n’y a pas d’expression simple des coordonnées à l’aide du produit scalaire. Proposition. (12) Soit B une base orthonormale de E, x et y deux vecteurs dont les coordonnées sont respectivement Ö è Ö è x1 y1 . .. . Alors : .. X= et Y = . xn yn hx, yi = X > Y hx, yi = n X x i yi i=1 √ kxk = à X >X kxk = n X x2i i=1 Preuve. Remarque. On voit ici l’avantage des bases orthonormées : les formules de calcul du produit scalaire et de la norme sont celles du produit scalaire et de la norme canonique de Rn . Proposition. (13) Soit B = (e1 , . . . , en ) une base orthonormale de E et u ∈ L(E). On note M = (mij )ij la matrice de u relativement à la base B. Alors, pour tout i , j : mij = hei , u(ej )i IV. Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie Dans ce §, E est un préhilbertien réel, de dimension finie ou non. IV.1 Supplémentaire orthogonal d’un sous-espace de dimension finie Théorème. (14) 2016-2017 9/16 2017 PC* Espaces préhilbertiens réels Soit E un espace préhilbertien, et F un sous-espace vectoriel de dimension finie. Alors F et F ⊥ sont supplémentaires dans E : E = F ⊕ F⊥ ⊥ On appelle F ⊥ le supplémentaire orthogonal de F , et on note parfois E = F ⊕ F ⊥ . Preuve. Remarque. Le résultat est faux en général lorsque F est de dimension infinie. Corollaire. (15) Si E est un espace euclidien, tout sous-espace vectoriel F admet un supplémentaire orthogonal, et on a : Ä ä⊥ dim E = dim F + dim F ⊥ et F⊥ = F Rappel : Si F n’est pas de dimension finie (et donc E n’est pas de dimension finie), il se peut que F ⊕ F ⊥ ne soit pas E tout entier, et il se peut aussi que F ( (F ⊥ )⊥ . Théorème de la base orthonormale incomplète. (16) Si (e1 , . . . , ep ) est une famille orthonormale de E euclidien de dimension n, on peut la compléter en une base orthonormale (e1 , . . . , ep , ep+1 , . . . , en ) de E. Preuve. ⊥ Exemple. Sn (R) ⊕ An (R) = Mn (R). IV.2 Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie Définition Soit F un sous-espace vectoriel de dimension finie d’un espace préhilbertien E. On appelle projection orthogonale sur F , et on note pF , la projection sur F parallèlement à F ⊥ . Remarque. Rappelons que, par définition, pF (x) est l’unique vecteur y tel que : ® y∈F y − x ∈ F⊥ Ceci fournit une méthode de détermination de pF (x) par résolution d’un système linéaire lorsque l’on connaît une famille génératrice de F . Proposition. (17) Si (e1 , . . . , ep ) est une base orthonormale de F , alors : ∀x ∈ E, pF (x) = p X hei , xiei i=1 10/16 2016-2017 2017 PC* Espaces préhilbertiens réels Remarque. Ceci fournit une seconde méthode de détermination de pF (x), lorsque l’on connaît une base orthonormale de F . Preuve. Inégalité de Bessel. (18) Si F est un sous-espace vectoriel de dimension finie de E, alors : ∀x ∈ E, kpF (x)k 6 kxk Preuve. Exemple. Soit a ∈ E un vecteur non nul. Déterminer l’expression de la projection orthogonale sur Vect(a), et celle sur Vect(a)⊥ . Exemple. Dans E = C 0 ([0 , 1] , R) muni de son produit scalaire canonique, déterminer le projeté orthogonal de t 7 → t2 sur F = Vect(t 7 → 1 , t 7 → t). IV.3 Distance à un sous-espace vectoriel de dimension finie Définition Soit F un sous-espace vectoriel de E, et x ∈ E. On appelle distance de x à F la quantité : d(x, F ) = Inf kx − yk y∈F Théorème. (19) Si F est de dimension finie, alors le projeté orthogonal de x sur F est l’unique vecteur de F qui réalise la distance précédente : C’est l’unique y0 ∈ F tel que : kx − y0 k = Min kx − yk y∈F Ainsi : d(x, F ) = kx − pF (x)k = » kxk2 − kpF (x)k2 Preuve. Exemple. Justifier l’existence et déterminer : Inf ˆ a,b∈R 0 1 (t2 − at − b)2 dt Exemple. Dans E = Rn , si H est l’ev d’équation α1 x1 + · · · + αn xn = 0 relativement à une b.o.n., alors H ⊥ = Vect(u) = D où u = (α1 , . . . , αn ), hu, xi donc pour tout x de E, pH (x) = x − pVect(u) (x) = x − u, kuk2 |hu, xi| |α1 x1 + · · · + αn xn | donc d(x , H) = kx − pH (x)k = kpVect(u) (x)k = = » . kuk α2 + · · · + αn2 1 2016-2017 11/16 2017 IV.4 PC* Espaces préhilbertiens réels Algorithme d’orthonormalisation de Gram-Schmidt Partant d’une famille (u1 , . . . , up ) supposée libre de E (par exemple une base), on construit une famille (e1 , . . . , ep ) telle que : • (e1 , . . . , ep ) est orthonormale ; • ∀k ∈ {1 , . . . , p} , Vect(e1 , . . . , ek ) = Vect(u1 , . . . , uk ) ; • ∀k ∈ {1 , . . . , p} , hek , vk i > 0. Pour cela, on applique l’algorithme suivant : e01 = u1 et pour chaque k ∈ {2 , . . . , p}, on définit e0k = uk − pk−1 (uk ) (où pk−1 désigne la projection orthogonale sur Fk−1 = Vect(e1 , . . . , ek−1 )) e0 puis, pour chaque k ∈ {1 , . . . , p} , ek = kek0 k . Comme Fk−1 est connu par une base orthonormale, k l’expression de la projection orthogonale est simple. Remarque. La matrice de la famille (e1 , . . . , ep ) dans la base (u1 , . . . , up ) de Fp est triangulaire supérieure. Remarque. Quand on voudra construire concrètement une base orthonormale d’un espace euclidien : on partira d’une base quelconque de E, qu’on orthogonalisera par Schmidt, puis en quotientant par la e0 norme des vecteurs orthogonaux obtenus (i.e k0 ), on obtiendra une b.o.n. kek k Exemple. Déterminer une base orthonormale du sous-espace vectoriel de R4 engendré par les vecteurs u1 = (1 , 1 , 0 , 0), u2 = (1 , 0 , −1 , 1) et u3 = (0 , 1 , 1 , 1). 12/16 2016-2017 • Lorsque les hypothèses données font intervenir la norme, penser à élever au carré : le carré de la norme euclidienne se manipule beaucoup plus facilement que la norme euclidienne. • Jusqu’à présent, lorsque l’on devait démontrer qu’un extremum était atteint, on pensait à des arguments de continuité sur un segment. Il faut maintenant penser, pour des problèmes de minimum, au théorème de projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie. Si on pense que c’est cela qu’il faut appliquer, on définit un produit scalaire convenable et un sous-espace qui permet de résoudre le problème. • Les problèmes de polynômes orthogonaux interviennent dans de nombreux énoncés. • L’orthonormalisation de Schmidt peut souvent être remplacée par une orthogonalisation, plus légère. Il faut avoir présente à l’esprit l’interprétation de l’orthonormalisation de Schmidt en termes de projection orthogonale. Exo 1 Sur R2 [X], on définit < P , Q >= P (1)Q(1) + P 0 (1)Q0 (1) + P 00 (1)Q00 (1). (1) Vérifier que < , > est un produit scalaire. (2) Trouver une base orthonormale (P0 , P1 , P2 ) telle que deg(Pk ) = k. (3) Déterminer la projection orthogonale de X 2 sur R1 [X]. Exo 2 Soit F le sev de R3 engendré par (1 , 0 , 1) et (1 , 2 , −1). (1) Donner une équation de F . (3) Déterminer le projeté orthogonal de (1 , 1 , 1) sur F . 2017 (2) (F ∩ G)⊥ = F ⊥ + G⊥ . Exo 4 Montrer que l’endomorphisme Ö p de R, dont la è matrice relativement 5 −2 −1 1 −2 2 −2 est une projection à la base canonique est A = 6 −1 −2 5 orthogonale dont on déterminera l’image. Exo 5 Ç å a b Si A = et A0 = c d aa0 + bb0 + cc0 + dd0 . a0 b0 , alors on pose hA , A0 i = c0 d0 Ç å (1) Démontrer que h , i est un produit scalaire sur M2 (R). Ç å 1 0 au sous−1 2 espace vectoriel F des matrices triangulaires supérieures. (2) Calculer la distance de la matrice A = Exo 6 E est un espace euclidien de dimension n pour le produit scalaire < , > et u ∈ L(E) tel que ∀x ∈ E , < u(x) , x >= 0. Montrer que Ker u et Im u sont supplémentaires orthogonaux et que le rang de u est pair. Exo 7 Dans E = R3 [X], on note : hP, Qi = 4 X P (k − 2)Q(k − 2) k=0 13/16 Exo 3 Soit E un espace euclidien et F , G des sous-espaces vectoriels de E. Montrer qu’il s’agit d’un produit scalaire, et déterminer une base orthonormée de E pour ce produit scalaire. Espaces préhilbertiens réels (2) Déterminer une base de l’orthogonal de F . (1) Démontrer que (F + G)⊥ = F ⊥ ∩ G⊥ . PC* 2016-2017 • Faire des dessins. x+y+z+t=0 x + 2y + 3z − t = 0 Exo 8 Dans E = R3 [X], on note : ˆ 2017 . PC* 14/16 ( Exo 12 1 hP, Qi = P (0)Q(0) + P 0 (t)Q0 (t) dt −1 Montrer qu’il s’agit d’un produit scalaire, et déterminer une base orthonormée de E pour ce produit scalaire. Exo 9 On munit Mn (R) du produit scalaire défini par : hA, Bi = tr(A B) > (1) Montrer que l’on définit bien un produit scalaire. (2) Montrer que la base canonique (Eij )16i,j6n est une base orthonormée de Mn (R). (1) Montrer que hP , Qi = P (0)Q(0) + P (1)Q(1) + P (2)Q(2) définit un produit scalaire sur R2 [X]. (2) Calculer d(X 2 , R1 [X]). Exo 13 Dans l’espace usuel, on considère un vecteur ~a unitaire fixé. Reconnaître l’application : ~x 7→ ~a ∧ (~a ∧ ~x) On précisera son image, son noyau ainsi que ses éléments propres. Exo 14 Montrer que : ˆ (3) Vérifier que Sn (R) et An (R) sont orthogonaux. (4) Montrer que, pour tout A ∈ Mn (R), √ √ | tr A| 6 n tr A> A et préciser le cas d’égalité. (P, Q) 7→ est un produit scalaire sur R2 [X] et en déterminer une base orthonormée. Exo 15 Exo 10 2016-2017 Dans E = R4 , déterminer la matrice de la symétrie orthogonale par rapport à F dont un système d’équations est ˆ 1 (P, Q) 7→ −1 P (t)Q(t) √ dt 1 − t2 est un produit scalaire sur R3 [X]. Exo 16 Déterminer : Inf (x,y)∈R2 ˆ 0 π (t − x cos t − y sin t)2 dt Espaces préhilbertiens réels Exo 11 (2 − t)P (t)Q(t) dt 0 Montrer que : Dans E = R4 , on note u1 = (1 , 2 , −1 , 1), u2 = (0 , 3 , 1 , −1) et U = Vect(u1 , u2 ). Déterminer une base orthogonale et un système d’équations de U ⊥ . 2 (2) Soit x ∈ E fixé. Montrer qu’il existe un unique vecteur, noté f ∗ (x), tel que : Exo 17 ∀y ∈ E, hf (y), xi = hy, f ∗ (x)i Déterminer les réels a et b qui minimisent la quantité : ˆ π sin2 t (at + b − cos t)2 dt 0 2017 PC* 2016-2017 et préciser les valeurs de x , y pour lesquelles cette borne inférieure est atteinte. (3) Montrer que f ∗ est un endomorphisme de E. (4) Déterminer image et noyau de f ∗ en fonction de ceux de f . (5) Déterminer la matrice de f ∗ dans B en fonction de celle de f . Exo 18 On note (x1 , . . . , xp ) des vecteurs unitaires de E euclidien de dimension n < p, tels que kxi − xj k soit constante égale à d pour tout i 6= j. Exprimer d en fonction de p, et en déduire que p = n + 1. On pourra pour cela utiliser la matrice dont les coefficients sont les hxi , xj i. Exo 19 (1) À quelle condition hP , Qi = scalaire sur Rn [X] ? n P P (ak )Q(ak ) est-il un produit k=0 (2) En supposant cette condition vérifiée, trouver une base orthonormée pour ce produit scalaire, et l’orthogonal de F = ® ´ P ∈ Rn [X] t.q. n P P (ak ) = 0 . k=0 (3) Quelle est la distance de X n à F ? Exo 21 Soit E = C 0 ([−1 , 1] , R), muni du produit scalaire défini par : ˆ 1 hf, gi = f (t)g(t) dt −1 On note F = {f ∈ E t.q. ∀t ∈ [−1 , 0] , f (t) = 0} et G = {g ∈ E t.q. ∀t ∈ [0 , 1] , g(t) = 0} (1) Montrer que F ⊥ = G. (2) Les sous-espaces vectoriels F et G sont-ils supplémentaires ? Exo 22 Soit E = R[X]. Pour P , Q ∈ E, on note : ˆ +∞ hP, Qi = P (t)Q(t)e−t dt 0 Exo 20 Soit E un espace euclidien, f ∈ L(E) et B une base orthonormée de E. 15/16 (1) Montrer que l’application a 7 → ha , ·i définie sur E est un isomorphisme de E sur L(E , R). (2) Calculer, pour tout n , m ∈ N, hX n , 1i puis hX n , X m i. (3) Déterminer une base orthonormée de R2 [X]. (4) Déterminer la projection orthogonale de X 4 sur R2 [X]. (5) Calculer d(X 4 , R2 [X]). Espaces préhilbertiens réels (1) Montrer que h· , ·i définit un produit scalaire sur E. Exo 25 Exo 23 Soit E un espace préhilbertien réel. Pour (u1 , . . . , up ) famille de vecteurs de E, on note G(u1 , . . . , up ) la matrice de Mp (R) dont le coefficient d’indice i , j est hui |uj i. (1) Montrer que la famille (u1 , . . . , up ) est liée si et seulement si det G(u1 , . . . , up ) = 0 (2) Montrer que, si (e1 , . . . , ep ) est une base d’un sous-espace vectoriel F de E, alors, pour tout x ∈ E : s d(x, F ) = det G(e1 , . . . , ep , x) det G(e1 , . . . , ep ) Soit V ∈ Mn,1 (R) de composantes vi et W ∈ Mn,1 (R) de composantes toutes égales à 1. Trouver une condition pour que M = In − V W > soit la matrice d’un projecteur. Donner alors son noyau et son image. Trouver V tel que ce projecteur soit orthogonal. PC* 16/16 2017 Exo 26 On note E l’ensemble des fonctions de classe C 1 sur [0 , 1]. On définit sur E × E l’application ϕ par : ˆ 1 ϕ(f, g) = (f g + f 0 g 0 ) 0 Exo 24 On définit les deux ensembles : On note E = Rn [X], où n > 1. (1) Vérifier que : ˆ 1 φ : (P, Q) 7→ P (x)Q(x) dx V = {f ∈ E t.q. f (0) = f (1) = 0} W = {f ∈ E t.q. f 00 existe et f 00 = f } (1) Montrer que ϕ est bien un produit scalaire sur E. −1 est un produit scalaire sur E. On note (e0 , e1 , . . . , en ) la base obtenue par orthonormalisation de la base (1 , X , . . . , X n ). (2) Pour tout entier k ∈ {1 , . . . , n}, on définit : fk (x) = (3) Montrer que V est le supplémentaire orthogonal de W dans E. Donner l’expression de la projection orthogonale sur W . (4) Pour (α , β) 6= (0 , 0), on définit : a. Déterminer le degré de fk . b. Calculer φ(X i , fk ) pour k ∈ {1 , . . . , n} et i ∈ {0 , . . . , k − 1}. 2016-2017 c. En déduire que pour tout k ∈ {1 , . . . , n}, il existe un λk tel que fk = λk ek . Eα,β = {f ∈ E t.q. f (0) = α, f (1) = β} Calculer Inf f ∈Eα,β Lj 0 1 å (f + f ) . 2 02 Espaces préhilbertiens réels dk ((x2 − 1)k ) dxk (2) Montrer que W est un sous-espace vectoriel de E de dimension finie, et en donner une base.