Espaces préhilbertiens réels

2017
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Espaces préhilbertiens réels
I. Produit scalaire et norme associée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I.1 Produit scalaire dans un espace vectoriel réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I.2 Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I.3 Normeeuclidienne .................................. 5
I.4 Continuité du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
II. Orthogonalité dans un espace préhilbertien réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
II.1 Généralités ...................................... 6
II.2 Orthogonal d’un sev de E............................. 7
III. Espaces vectoriels euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
III.1 Expression matricielle du produit scalaire en dimension nie . . . . . . . . . . . 8
III.2 Basesorthonormales................................. 8
III.3 Construction de bases orthonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
III.4 Coordonnées dans une base orthonormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
IV. Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension nie . . . . . . . . . 9
IV.1 Supplémentaire orthogonal d’un sous-espace de dimension nie . . . . . . . . . 9
IV.2 Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension nie . . . . . . . . . . 10
IV.3 Distance à un sous-espace vectoriel de dimension nie . . . . . . . . . . . . . . 11
IV.4 Algorithme d’orthonormalisation de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . 12
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Tester ses connaissances
1. (a) Qu’est-ce qu’un produit scalaire ?
(b) Qu’est-ce qu’une norme ? Lien entre produit scalaire et norme ?
(c) Donner des exemples de produits scalaires et de normes.
2. Soit (E , h,i)un espace préhilbertien réel ;
soit (n , p)∈N∗2,(λ1, . . . , λn)∈Rn,(µ1, . . . , µp)∈Rp,(x1, . . . , xn)∈En,(y1, . . . , yp)∈Ep,
que vaut ∞n
X
i=1
λixi,
p
X
j=1
µjyj∫?
3. Qu’est-ce que l’inégalité de Cauchy-Schwarz?
4. (a) Expression du produit scalaire dans une b.o.n. (e1, . . . , en). Et la norme ?
(b) Expression des coordonnées du vecteur xdans cette b.o.n.?
5. Comment dénit-on deux vecteurs orthogonaux ? Et l’orthogonal d’un sev ?
6. Méthodes pour montrer qu’une famille de vecteurs est libre ?
7. Qu’est-ce que le théorème de Pythagore ?
8. Si aest un vecteur non nul, comment construire un vecteur unitaire colinéaire à a?
9. (a) Expression du projeté orthogonal du vecteur xsur la droite vectorielle D=Vect(a)?
(b) Soit Fun sev dont on connaît une b.o.n. (e1, . . . , eq); expression du projeté orthogonal de
xsur F?
(c) Procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt?
Dans tout ce chapitre, Edésigne un R-ev.
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I. Produit scalaire et norme associée
I.1 Produit scalaire dans un espace vectoriel réel
I.1.a Dénition
Soit Eun R-ev. On appelle produit scalaire sur Etoute application ϕ:E2→Rtelle que :
•∀(x , y)∈E2, ϕ(x , y) = ϕ(y , x)(ϕest symétrique)
•∀λ∈R,∀(x , y , y0)∈E3, ϕ(x , y +λy0) = ϕ(x , y) + λϕ(x , y0)(linéarité ./. à la 2ème variable
ou linéarité à droite)
•∀λ∈R,∀(x , x0, y)∈E3, ϕ(x+λx0, y) = ϕ(x , y) + λϕ(x0, y)(linéarité ./. à la 1ère variable
ou linéarité à gauche)
•∀x∈E , ϕ(x , x)>0(ϕest positive)
•∀x∈E , ϕ(x , x) = 0 ⇐⇒ x= 0 (ϕest dénie).
(E , ϕ)est appelé espace préhilbertien réel. Si Eest de dim. nie, (E , ϕ)est dit euclidien.
Dénition
Soient xet yquelconques dans E: on ne sait rien, pour ϕforme bilinéaire positive, du signe de ϕ(x , y)!
Remarque. Dans la pratique, on commence par vérier le caractère symétrique de ϕ, et alors (ii) implique
(iii) et réciproquement. Donc on ne fait que l’une des deux vérications.
Notations. On note (x|y)ou hx , yiou x .y le produit scalaire de xpar y.
Remarque de calcul. Si (E , h,i)est un espace préhilbertien réel, alors
∀(n , p)∈N∗2,∀(λ1, . . . , λn)∈Rn,∀(µ1, . . . , µp)∈Rp,∀(x1, . . . , xn)∈En,∀(y1, . . . , yp)∈Ep,
*n
X
i=1
λixi,
p
X
j=1
µjyj+=
n
X
i=1
p
X
j=1
λiµjhxi, yji=X
i,j
λiµjhxi, yji
I.1.b Exemples de référence
Remarque. Les exemples de cette section gurent explicitement au programme, et peuvent donc être
utilisés directement.
1. Sur Rn: le produit scalaire canonique est déni par :
∀x= (x1, . . . , xn)∈Rn,∀y= (y1, . . . , yn)∈Rn,hx, yi=
n
X
i=1
xiyi
Si Xet Ydésignent les matrices colonnes des composantes de xet de ydans la base canonique,
on remarque que
∀(x, y)∈(Rn)2,hx, yi=t XY
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2. Sur Mn(R): le produit scalaire canonique est déni par
∀(A, B)∈(Mn(R))2,hA, Bi=
n
X
i=1
n
X
j=1
ai,j bi,j =tr(t AB)
3. Sur C0([a, b],R)avec a < b :
∀(f, g)∈(C([a, b],R))2,hf, gi=ˆb
a
f(t)g(t)dt
I.1.c Autres exemples
Remarque. Même s’ils sont très classiques, les exemples de cette section ne gurent pas explicitement au
programme.
1. Sur Mn,1(R), le produit scalaire canonique est déni par :
hX, Y i=X>Y
Remarque. Il coïncide avec le produit scalaire canonique de Rn,via l’identication usuelle entre
une matrice colonne et un n-uplet (cf ex1 du § précédent).
On trouve parfois la dénition hX , Y i=tr(X>Y). En eet, on a X>Y∈ M1(R). La trace permet ici
d’en faire un réel plutôt qu’une matrice 1×1. On accepte cependant souvent de confondre Ret M1(R).
2. soit mune fonction continue sur [a , b]telle que ∀t∈]a , b[,m(t)>0
∀(f, g)∈ C0([a, b]),hf, gi=ˆb
a
f(t)g(t)m(t)dt
est un produit scalaire sur C0([a , b]).
Exemple. (f , g)7→ ˆb
a
f(t)g(t)dt,(f , g)7→ ˆ1
−1
f(t)g(t)p1−t2dt… sont des pdts scalaires
3. Sur R[X]: le produit scalaire canonique est déni par :
∀P=X
k∈N
akXk,∀Q=X
k∈N
bkXk,hP, Qi=X
k∈N
akbk
On dénit aussi par exemple un autre produit scalaire par (P , Q)7→ hP , Qi=ˆ1
0
˜
P(t)˜ Q(t)dt.
4. Suites de carré sommable :
On note `2(R)l’ensemble des suites réelles de carré sommable, c’est-à-dire les suites réelles
(un)n∈Ntelles que la série Xu2
nsoit convergente.
On sait que `2(R)est un R-espace vectoriel ; d’autre part, en utilisant l’inégalité |ab|61
2(a2+b2),
on déduit :
∀(u , v)couple d’éléments de `2(R),hu , vi=
+∞
X
n=0
unvnexiste, et cette formule dénit un produit
scalaire sur `2(R).
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5. Fonctions continues de carré intégrable sur un intervalle quelconque :
Soit El’ensemble des fonctions fcontinues sur I, intervalle de R, à valeurs réelles, de carré
intégrable sur I, c’est-à-dire telles que f2soit intégrable sur I.
De l’inégalité |fg|61
2f2+g2on déduit que le produit de deux fonctions de carré intégrable
est intégrable : on peut donc dénir pour deux éléments fet gde Ele réel ˆI fg.
De plus, si fet gsont de carré intégrable, si λest un réel quelconque, f+λg est de carré
intégrable, car (f+λg)2=f2+λ2g2+ 2λfg.
Comme la fonction nulle est de carré intégrable, Eest un R-espace vectoriel.
Enn, en posant pour fet gdans E,(f|g) = ˆI fg, on dénit ainsi un produit scalaire sur E.
I.2 Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski
Soit (E , h,i)un espace préhilbertien réel. Pour tout x∈E, on note kxk=»hx, xi.
Inégalité de Cauchy-Schwarz. (1)
∀(x, y)∈E2,|hx, yi| 6kxkkyk
Cas d’égalité : ∀(x , y)∈E2,|hx , yi| =kxkkyk ⇐⇒ (x , y)liée
Inégalité de Minkowski = Inégalité triangulaire. (2)
∀(x, y)∈E2,kx+yk6kxk+kyk
Cas d’égalité : ∀(x , y)∈E2,kx+yk=kxk+kyk ⇐⇒ (x , y)positivement liée.
I.3 Norme euclidienne
Proposition. (3)
Soit (E , h,i)un espace préhilbertien réel.
•L’application k.k:E→Rdénie par ∀x∈E , kxk=»hx, xiest une norme sur E, appelée
norme euclidienne associée au produit scalaire h,i.
•L’application d: (x,y)∈E27 → d(x,y) = kx−yk ∈ Rest appelée distance euclidienne associée à h,i.
Un vecteur xest unitaire (ou encore normé) ssi kxk= 1.
Dénition
Exemples. Écriture des normes euclidiennes et de Cauchy-Schwarz pour les exemples précédents
de produits scalaires.
1. Pour tous éléments x= (x1, . . . , xn)et y= (y1, . . . , yn)de Rn, on a : 
n
X
i=1
xiyi 6Ãn
X
i=1
x2
iÃn
X
i=1
y2
i.
Et aussi, d’ailleurs :
n
X
i=1 |xiyi|6Ãn
X
i=1
x2
iÃn
X
i=1
y2
i.
La norme est dénie par kxk=sn
X
i=1
x2
i=√t
X X .
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