5. Variable aléatoire continue

5. Variable aléatoire
continue
5.1
Définitions
Exemple. On note X la variable aléat,oire indiqu ant la taiJJc en 1'111 ./ '1111
homme de 20 an s en Suisse. X prend ses valeurs dans l'i11lerv11 1/1 • 11 •1• /
[L40 ; 230]. Da11s cel in tervalle, il y a 1JIH' i11fi11ilé de tailles poss i/1/1 "'• / ' 11
e!Te t , une taille de 178,2321... est en visageable.
On va regro uper toutes les tailles dans d es inlervalles de 1 n11 r/1 · /; u 1:1•111
S upposons que des donn ées slalis liqucs indiquent qu 'il y a :30 i11rli 1 1d11 ' '" "
1000 do11t la tai lle csl dan s l 'intervalle ]177,5; 178,5] . 011 cx pri 1111 · 1·1· /1111 "li
disant q ue la fréquen ce relalive d e cel événement est
de~
!1 ,11:\, 1J, 111
LOOO
le langage des probabilités, on écril ? ( 177,5 < X S 178 ,!i)
!l ,11.1 C.Jll<'
devien t celte probabililé pour l 'inlervallc ]177,9; 178, 1] de /;11 1: 1·111 Il 1 '
On ad rn ct que les individus donl la taille es t dans cd i1>1 1·11 111/1 • 1 ,1 1111
unifonném enl répartis. On a ura ainsi 5 fois moins de /H '1-s1111111 ". 11111 "11'" '
l 'inlcrvallc est 5 fois plus petit. On a alors
P ( l77,9 < X S 178. l )
=
6
10 00
= 0,006
Si on considère m aintenanl l'inlervalle ]1 77 ,99!i ; l 7K ,IHl!',I , "" """;
?(177 ,995 < X S 178,005) = 0,0003
Quand l 'inlcrvalle devienl de plus e n plus pl'I il , /11 11111/ ,,,/,1/111 · • .11•111111 /,..
de O.
A la Jiwite, on a P(X = 180) = 0
On peul interpréter ce rés11Ual co111 111 1• s uit : 111 ·11.111111• · ,,, . 11w·.1111· 1•\1wf1•
m ent 180,000000 ... cm.
D 'ullC m auiérc générale,
92
po11r 1111< ' v;iri;il>lt· ; iJ1 ·11l11111· 1111i! 111 1w
,,'( .\
11)
\
111 1 ;1
Il 1
!J:l
5. Variable aléatoire continue
Définitions
Une variable aléatoire X est continue si l'ensemble des valeurs qu 'elle
prend est un intervalle réel 1 .
Densité de probabilité
Pour augmenter la précision du modèle, il c;o11vicut de diminuer la largeur
des intervalles choisis. Pour calculer la probabilité que la variable aléatoire
prenne une valeur comprise entre a et b, il suffi L alors de calculer la somme
des aires des rectangles compris entre ces deux bornes.
On représente graphiquement une variable aléatoire continue à l'aide d ' un
histogramme. Les valeurs de la variable aléatoire sont représentées sur l'axe
horizontal. La probabilité p que cette variable prenne une valeur dans un
intervalle de la rge ur llx est représentée par l'aire d"un rectangle. La haute ur
du rectangle est donc le rapport entre une probabilité cl la largeur de
l'iutervalle. On appelle un tel rapport densité. On a par exemple les deux
situations suivantes représentant la même variable aléatoire :
~
~
r-c:::;
~
170
P3
.r
180
llx3
On peut imaginer faire tendre la la rgeur des intervalles vers O. La repr('s<•rr
tation graphique devient :
f
ll.r.: 1
llx 2
ll:r;i
llx 4
ll.r 5
P2
llx 2
P1
50%
llx 1
170
[ _ 503
La fonction
babilité.
llx 1
ll.r2
Notons que , lorsque Lous les segments ll.t onL même longueur , les hauteurs
des rectangles sont proportionnelles à ces probabilités.
f (.r)
180
.r
représentée par cette courbe esL appelée de11s i1(' d1 · I''"
La probabilité que la taille d 'un imlividu soi l comprise e11Lr<' 1i l1 ' 111
] 80 cm est alors représentée par l'aire sous la courbe entre 170Cï11 1•I 1 ~ ll1
On calcnlc une telle aire à l'aide d'une i11tégrale.
' t
111
1 11 s'agit d ' une définition intuiti ve. La définition formelle dépa.~8e le cadre de cet
ouvrage.
94
,,.,
5. Variable aléatoire continue
Défini tio11s
1
b) P(X S 0,5) = J~~ J(x)dx = [x :1 ]~ · = 0,5 3 = 0,125
5
Définitions
c) P(X <::: 0,7) = J~~ J(x)dx = [x 3 ]~ ' = 0,73 = 0,343
7
La fonction
1) f(x)
2)
~
f (x)
satisfaisant
0 pour tout nombre réel x
On constate que le résultat de l'exercice a) est la différence des résultats
des exercices b) et c).
.C::: f(x)d~ = 1
est appelée densité de probabilité associée à la variable aléatoire X si
la propriété suivante est vérifiée :
P(a < X <::: b) =
1b
f(x)
= { ~x
si 0 <:::
sinon
00
2
=
1
= F(b) - F(a)
Io
1+= f(x)dx
o
+= 0 d.T
0 dx +
3x dx +
I
1 1
= ./ot 3x dx = [:r Jc = 1
=
- oo
J(x)dx
+ ./o[1 f(x)dx +
.1
•
-
0
CX)
1
2
=
i
Calculer la probabilité q11e X soit
a) compris entre 0,5 et 0,7
b) plus pelile ou égale à 0,5
Ib=J(t) dt - Iaoo J(t) dt
Cette probabilité est égale à l'aire sous la courbe f(x) entre a et b.
En résumé :
[ P(a <:::X<::: b)
=
F(b) -F(~)j
On peut remarquer que la fonction de répartition F est la primitive de la
densité f qui tend vers 0 quand x tend vers moins l'infini .
Exemple. Reprenons l 'exemple précédent et calculons Ja fonclion de répartition de X.
Puisque la densité de probabilité est nulle enlre -oo et, 0 , /a foncl.ion de
répartition est aussi nulle sur cet intervalle.
Entre 0 et 1, la densité est 3x 2 , la fonction de répart,iUon est donc
F(x)
c) plus petite ou égale à 0,7
=
lx
f(t)dt
=
;·x
2
3t dt =
[)
0
[t"'1 ]0r = :r·
·~
Enlre 1 el + oo, la fonction de répartition v1111t. 1. On a <!on e :
a) On calc111c
·O 7
P(0,5 < X S 0,7) =
!
2
, 3x d:r:
f(x) = {
. 0 ,5
= [x 3 ] ~ : : = 0,7 3
9G
j(t) dt
1
3 1
2
1b
3
1
_
--
P(a <::: X <::: b) =
On vérine q11e J(x) est bien une densité de probabilité en observant que
J(:r) :'.". 0 et en monlranl que J~;:: J(x)d:r = 1 :
j ·+ oo f(x)dx
On peut faire intervenir 0stématiquement la fonction de répartition dans
les calculs de probabilité :
<::: 1
1;
~ I:r= f(t) dt
F(J?) = P(X <::: :r)
f(x)dx
Exemple. Supposons q11e X soit une variable aléatoire dont la densité
est
2
On appelle fonction de répartition de la variable aléatoire X la fonction
définie par
-
3
0,5 = 0.218
~T
2
si 0
S
sinon
X
S
1
('/, /<'(.r)
{
0
SI
.ç 1
si 0
si 1
1
00
S ./" < ()
< .r S
< .1· <
1
+oo
97
5. Variable aléatoire continue
Quelques lois contilwcs
a) moins de 10 minutes
b) moins d'1rne minute
c) moins de x minutes
Graphiquement, cela donn e :
3
1
2
Solutions :
a) Comme le bus part toutes les 20 rnümtes, 1'11sager attendra au maximmn 20 minutes, c'est-à-dire I'(X ::=; 20) = ~ = 1. La probabilité
1
d'attendre moins de 10 rnin11tes est P(X ::=; 10) =
1
1
5.2
1
20
c) On a de même P(X ::=; x) =
~
b) P(X ::; 1) =
X
20
La fo11ctio11 F(:r) = ~~ est la fonction de répartition de X. La densité de
Moyenne et variance
X est la dérivée de F :
Dans le cas discret, on avait
f(x)
E(X) = 2..:>iPi = /1 et V(X) = E[(X - µ)
2
]
=
2..)x; -
Variance:
+=
E(X) = -= .1: · f(:r)d.i; = /L
+=
V(X) = E[(X - µ) 2] = -= (.'.C - 11,) 2 .f(x)d.i;
Écart type :
O"
!
F'(.r)
1
.f(x) =
{
b ~a
sinon
a
5.3.1
/L2
1
Quelques lois continues
Loi uniforme
Exemple. Un bus part du terminus to11tes les 20 mi1111tes. U11 client arrive
à cette station sans connaître l'horaire. On note X son temps d'at,tente
(en minutes). Calcu ler la probabilité qu'il doive attendre
98
b
l ·- - -
0
x - a
5.3
si a ::; x ::; b
La fo11ction de répartition est alors :
La formule de Konig (voir page 69) est aussi valable pour les variables
akatoires continues :
V(X) = E(X2) -
1
20
On dit que X suit une loi uniforme de paramètres a et b, notée U(a ; /J),
si sa densité est
1
b a
!
= JV(X)
1
=
2
µ) Pi
Dans le cas continu, en remplaçanL Pi par .f(x)d.i; et la somme par une
intégrale, on définit :
Moyeune:
=
F(x) =
{
b~a
si
.1;
si a
<a
~
x ::; b
si :c > b
(/,
li
La loi uniforme possède les propriétés suivantes :
Moyem1c :
Varia11l'l'
p, = a + h
2
(}2 _ (/i - 11) 2
12
99
5. Variable aléatoire continue
5.3.2
Quelques lois continues
Loi exponentielle
On a alors
Exemple 1. L'isotope radioactif de strontium 89 a une demi-vie T = 52
jours (c'est-à-dire qu'en 52 jours la moitié des atomes d'un échantillon
donné se sont désintégrés). Calculer la probabilité qu'un atome donné de
strontium 89 ait une durée de vie comprise entre 50 et 60 jours.
On pose No le nombre d 'atomes de strontium 89 au temps t = 0 et N(t)
le nombre d 'atomes restant au temps t . On a
t
=
0:
t = T:
N(O) = No
N(T) = ~
7\ r
2 1 VO
_
-
t
N(nT) = ~2 2n
No- l -_ ~
N 0 = No 2- n
nT :
_ ln(2)
2 2 -
22
] - e
52 GO]
- [1 - e -
ln(2 )
52 50
J ~ 0,064]
On trouve la densité de probabilité de X en dérivant la fonction de répartition.
= {
Àe~>-t
2No
N(2T) = ~No _ No
= F(60) - F(50)
[
f (t)
t = 2T:
=
P(50 .S X .S 60)
si t 2 0
sinon
On dit qu'une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre À, notée E'(..\), si sa densité est
À
f(x) = { Àe~-'x
l
Plus généralement, on a N(t) = No
En posant 2 = e 1n( 2 J, on obtient :
N(t)
= No(e 1"< 2 l)
_-'-;
1
r r
ln(2 )
=
Noe - - r t
Comme ln(2) et T sont des constantes, le quotient
Sa fonction de répartition est
À =
ln(2)
-y
1
est constant.
Le nombre d'atomes au temps t s 'écrit alors :
N(t) = N 0 e -
si .1; ?: 0
sinon
F(x) = { 1 -
>.L
~-\x
si X ?:
SÎ .T
Ü
<Ü
Le nombre d'atomes n(t) qui se sont désintégrés pendant la durée t est
donc:
n(t) =No - N(t) = No - Noe - >-t = No(l -
c - >.t)
Le nombre n(t) = 1 - e - >.t est la proportion d'atomes qui se sont désinNo
tégrés entre le temps 0 et le temps t.
Ce hombre est aussi la. probabilité qu'un atome donné se désintègre dura.nt
ce laps de temps. Si on note X la durée de vie d'un a.tome donné, on a.
P(O .S X.St)= l -
e->.t
La. fonction de répartition de X est
F(t) = { 1 -
100
;-ÀI
si t 2 0
si t < O
Exemple 2. Reprenons l'exemple de la désintégration r;1.dioadivc.
Le fait qu 'un atome ne s'est pas désintégré pendant les 20 prcniicrs jours
n'influence pa.s le moment de sa. future désintégration (l 'a.tonie 11e se "souvient" pa.s qu 'il a. déjà vécu 20 jours). Les physiciens disent. r111 ïl 11r' vieillit
pas. Si on sa.it qu'il a déjà vécu 20 jours, la. pru/Jaliilit{> qn 'il vive plus
de 80 jours est égale à la probabilité qu'il vive encore tJl11s de (j() jours.
Formellement, cela. donne :
P(X > 80 /X > 20) = P(X > 60)
Pour un temps t q11cleonq11e, cela donne :
P(X
> l + 20 / X > 20)
!'(X > t)
101
Quelques lois continues
5. Variable aléatoire continue
La loi exponentielle vérifie cette propriété2
P(X
> l + 20
/X
> 20)
> l + 20) n (X > 20))
P(X > 20)
P(X > t + 20) _ 1 - P(X :S; t + 20)
P(X > 20) 1 - P(X :S; 20)
P((X
= ~---------'­
e--"(t+2o)
c
- Àt
c - -"20
.......
20
e--" 20
= e--"t = 1 _
=
·e
-À
""'-
/
"'-:--
(J _ e - -"t)
l - P(X :S; t)
=
P(X
> l)
,...,,.
...
•
La loi exponentielle possède les propriétés suivantes :
Moyenne:
Variance:
1
µ
= >2 -
(Y
-
-
1
011 note X le temps entre deux pannes. Comme l'âge de l 'appareil 11'i11lervient pas dans la prnbabilité d 'apparition d "1me panne, il s'agit d 'une
loi exponenlielle. Sa moyenne est de 11 = 4 et son paramèlre est donc
À = ~ = 0,25.
Donc P(X :S; 1) = F( 1) = 1 - e- 0 · 25 :::::; 0,22
Loi normale de Laplace-Gauss
Exemple 1. Une plage n 'esl accessible que par un seul c11emin. Les
touristes qui arrivent à la plage s'installent de parl el d'aulre c/11 clicmin.
On divise la plage en bandes de 15 mèlres de large perpemliculairement
él la wer el on compte le nombre de personnes dans chaque bande à 11
heures du matin. 011 obtienl une situation décrite par le dessin ci-dessous3 .
2 0n
peut démontrer que c 'est la seule l'ami Ile de fonctions possédant cette propriété.
3 Illustration parue eu octobre 1996 dans l'édition Hors Série Les Nombres du magazine Sciences EJ Vic Junior, Éditions Excelsior, Paris.
102
<«~.
"-'. §;j,
À2
Exemple 3. Un appareil tombe en panne en moyenne une fois tous les
4 ans indépendamment de son âge. Quelle est la probabililé qu 'il s 'écoule
moins d'une année entre deux pannes?
5.3.3
~
-
Exemple 2. Un examen a donné les nombres de points suivants :
points
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
nombre d'élèves
2
4
12
24
26
23
10
6
3
l
Représentons la situation à l'aide d'un graphique. On relie les différe11ls
points entre eux par des segmenls de drnite.
45
40
35
30
25
20
15
10
5
~
~/
2
:\
1
r
.)
(i
103
5. Variable aléatoire continue
Quelques lois
On voit dans les deux exemples ci-dessus que la forme des deux courbes est
semblable : celle d'une cloche. On parle alors de courbe en cloche . C'est
le cas dans de très nombreuses situations de la vie courante.
La représentation graphique de la fonction f (x) = e-x est un exemple de
courbe en cloche. Mais ce n'est pas une loi de probabilité. Pour qu'elle le
2
devienne, il faudra considérer des fonctions du type f(.'r) = ae - k(x - b) où
les paramètres doivent être ajustés à la situation.
([> (X) =
!<>=
V
I X e - l2 t dt
27f .
2
- oo
Si la variable aléatoire X suit une loi
N (µ ; a), la variable alé'ili oi 1•· 1., •11 l " ·,
= X - µ suit une loi N(O; 1).
a
On dit que X suit une loi normale de Laplace-Gauss 4 de moyenne µ et
d'écart type a, notée N(µ; a), si sa densité est
1
(x-µ)2
= aJ27r e
-~
P(a
<X~
b)
µ - a µ µ+a
La vérification que f (x) est bien une densité de probabilité dépasse le cadre
de cet ouvrage. D'autre part, il n'existe pas de forme analytique pour sa
primitive F(x).
Dans la pratique, on transforme une loi normale quelconque en une loi
normale centrée réduite dont on a calculé la fonction de répartition par
des méthodes numériques (voir ouvrage Méthodes numériques, Éditions du
Tricorne).
1
2
Propriétés
P(a <X~b)=P(a:µ <X*~
b:µ)
= <l>C:µ)-<I>(a:µ)
La loi normale de moyenne 0 et d'écart type 1, notée N(O; 1), est appelée
loi normale centrée réduite. Sa densité est
f(x) = J27fe
h
~
1
r:r
e- 2t dt
= J27f
~
La fonction <I> n'a pas de forme analytique. On tro11vn;1 s1·,., v1 il•"ll '• 1111\
pages 128- 129 de cet ouvrage ou dans toutes les bo1111('s l:ilil1 ·:; 11111111 ·1111111 ·:.
Loi normale centrée réduite
1
= P(a: µ <X*~ b: µ)
En effet, si on effectue la substitution t = x - µ , les born<'s d ' 111l ( •j 1,111l1•111
a
a-p,
b- µ
1
deviennent - - et - - . On a d'autre part dt = - d:i:
a
a
a
D'où
P(a <X~ b)
= <I>(-x) = 1 - <I>(x)
P(X*
~
P(-x
<X*~
-x)
x) = 2<I>(x) -1
2
_x2
-1
104
1
=
Cette fonction n'a pas de forme analytique.
réduite X*
4
!
X f (t) dt
- OO
Loi normale
f(x)
f.
On note <I> la fonction de répartition de
2
cu11I 11111•
Carl Friedrich Gauss, mathématicien allemand, 1777- 1855
0
•l• (.1' )
1
0
:r
()
L05
5. Variable aléatoire continue
Quelques lois contiJm1·1"1
Exemple 1. On considère une variable aléatoire suivant une loi normale
N(O; 1). Calculer la probabiliié que X soit compris entre - ] et l.
P(-1<X::;1)
=
<P(l) - <P( - 1)
= 2<1:>(1)
~
- 1
=
<P(l)- (1 - <P(l))
2. 0,84134 - 1 = 0,68268
Exemple 2. On considère une variable aléatoire suivant une loi normale
N(µ; a-). Calculer la probabilité que X soit compris
a) entre µ - CY et µ + CY
b) entreµ - 2CY etµ+ 2CY
c) entreµ. - 3CY et µ + 3CY
a) P(µ -
CY
<X::;µ+
CY)
= <P(l'+:-1') _ <J:>(I' - :-µ)
=
<P(l) - <P( - 1)
~
2 . 0,84134 - 1 = 0,68268
=
2 <P(l) - 1
b) P(µ - 2CY < X ::; /1. + 2CY) = <!:>( 1'+ 2; - 1') - <!:>( µ-2:-1')
= <1:>(2) - <P( - 2) = 2 <1:>(2) - 1
~
c) P(µ-
3CY
2 . 0,97725 - 1
=
0,9545
< X ::; /J. + 3CY) = <f>('' + 3;-1') _ <J:>(f'-3;-1')
= <D(3) - <I>( - 3) = 2 <1:>(3) - 1
~
Entreµ -
CY
etµ+
CY,
2 . 0,99865 - 1 = 0,9973
il y a à peu près 68 % de la population.
Entreµ. - 2CY etµ+ 2CY , il y a à peu près 95 % de la population.
Entreµ - 3CY etµ+ 3CY, il y a à peu près toute la population.
Exemple 3. La taille des conscrits en Suisse suit une loi normale de
moyenne 173 cm ci d'écari iype 8 un. Quelle est la probabilité qu'un
conscrit; pris au hasard mesure entre 160 cm et 175 cm ?
P(l60 <X::; 175)
106
=
<I>(m 11:1 ) - <P(rno 113)
=
=
<P(0 ,25) - <P( - 1,625)
~
0,5987 - 1 +0,9484 = 0,5471
8
À propos de la loi normale
L'étude des variables aléatoires est directement liée à la notion de
distribution de probabilité. Parmi ces distributions, la loi normale
occupe une place de choix tant dans la théorie que dans la pratique.
Les travaux indépendants de Gauss et de Laplace lui ont donné
naissance. Ils imaginèrent cette loi afin de modéliser l'erreur commise
lors d'observations physiques. C'est la raison pour laquelle la loi
normale fut initialement appelée «loi de l'erreur». De nos jours,
elle porte également le nom de loi de Laplace-Gauss ou simplement.
loi de Gauss. Sa représentation graphique est une courbe en forme d<•
cloche. Le théorème central limite donne une justification théoriCJll('
de la présence de cette loi dans les situations les plus diverses.
Quetelet 5 fut l'un des premiers à faire un usage systématique d<' 111
loi normale dans les domaines de l'astronomie, de la météorologi<' <'I
des statistiques. Il eut l'idée de «mesurer l'homme » selon la 1111°'11i; •
méthode. Il écrit :
«Nous avons dit que dans la série de nos rechercliC's , i< ·
premier pas à faire serait de déterminer l'homme 111oy1 •11
chez les différentes nations, soit au physique, soi L 1111
moral. [... ] Parmi les éléments relatifs à l'hon1111<', l1•s
uns sont susceptibles d'une appréciation dirccl.C' , 1•1 l1 •K
nombres qui les représentent sont de véritables gra11cl1·111 K
mathématiques; telles sont en général les quai i1(•K pli y
siques: ainsi le poids et la taille.[ ... ] En co1nparrnil s1111 K
ce point de vue les différents hommes d ' un<' 11nLill11 , 011
parvient à des valeurs moyennes qui sonL IC' poids 1•1 111
taille qu'il convient d'assigner à l'homme 111oy<• 11 cl1 · 1·1·11 <'
nation; par suite, on pourrait dire que• l' t\11gl11i K, p111
exemple, est plus grand que le Français et. l' llnli1 •1 1. ( '1•1 11 ·
méthode est analogue à celle que 1'011 s 11il. 1•11 pl1ys i1p11 •
pour déterminer les températures (lc-s difi'(•n• 1il s p11,1·s 1•1
les comparer entre elles. »
8
<P(0 ,25) - 1 + <I>(l ,625)
"Adolp he QucLclct.,
111;il li (• 111;il
i"i"" 1wli-;'" 1Ï !H i 1Hi 1
107
Approxi111il 1i"" ./11 /, 11
5. Variable aléatoire continue
Le traité de Physique sociale de Quetelet est en quelque sorte le
pendant de la mécanique céleste de Laplace. L'homme y est placé
dans une dynamique sociale dont on veut prévoir les oscillations
pour mieux les régulariser.
Le programme de mathématique sociale que Laplace avait prévu et
auquel Condorcet 6 s'était activement intéressé trouvait en Quetelet
un défenseur convaincu.
On représente graphiquement la distribution de cette varia/Ji< • 11/1 •11 1""'
binomiale par un histogramme conslitué de rectangles ce11ln"s 1·11 1 , ./1
longue ur 1 et d 'aire égale à la probabilité p; = P(X = i).
Sur le même dessin , on représente aussi la densité de la loi 11 011111il• ,/,
même moyenneµ = 5 et de même écart type a = 1,5811.
0.25
0.2
0.15
5.4
Approximation de lois
0.1
Exemple. On lance 10 fois une pièce de monnaie. On note X le nombre
de piles obtenu. Calculer P(X = 2).
La variable aléatoire X suit une loi binomiale B ( 10;
1
P(X = 2) = ( 2°)
G) G)
2
~).
0.05
On a donc
0
8
::::;
0,0439
1
2
3
4
5
6
7
8
D
10
On estime P(X = 2) par
On peut de même calculer
P(X = 0) ::::; 0,0010
P(X = 1) ::::; 0,0098
P(X = 3) ::::; 0,1172
P(X = 4) ::::; 0,2051
P(X = 5) ::::; 0,2461
P(X = 6) ::::; 0,2051
P(X = 7)::::; 0,1172
P(X = 8) ::::; 0,0439
P(X = 9) ::::; 0,0098
P(l ,5 -<:: X -<:'. 2,5) = <1>(
~
2 5 - 5)
- <I>
( ] ,5 - 5 )
J2,5
= <1>(-1,58) - <r)( - 2,)
"-
= <1>(2,21) - <1'>(1 ,58) ::::; 0 ,()11 ;\:,
P(X = 10) ::::; 0,0010
Calculer à présent P(3 -<:: X -<:'. 6).
P(3 -<:'. X -<:'. 6) = P((x = 3) u (X = 4) u (X = 5) U (X = 6))
+ P(X = 4) + P(X = 5) + P(X
0,1172 + 0,2051 + 0,2461 + 0,2051
= P(X = 3)
=
= 6)
::::; 0,7734
TI·ouver maintenant µ et a.
1
µ = np = 10 · - = 5
2
l
Avec la loi binomiale,
011
2
:\
avait. ol>l.c1111 ! '( .\'
:.!)
11 ,ll •l:l\ I
a = Jnp(l - p) = { s 1 =J2,5::::; 1,5811
6 Marie Jean Antoine Nicolas d e Caritat, marquis de Condorcet, politicien , philosophe
et mathé maticien français, 1743- 1 794
108
1()!)
5. Variable aléatoire continue
Approximai iu11 .J, 11 •I
Pour estimer P(3 :S X :S 6), on calcule
P(2 5 < X < 6 5)
' - '
=
P(a :S X :S b)::::o<I>
<1>(6,5 - 5) - <1>(2,5 - 5)
J,5811
1,5811
b + .!.2 - np) - <I>
( Jnp(l - p)
(a -
.!.2 - '1111)
Jnp(J
11)
= <1>(0 ,95) - <1>( - 1,58) = <1>(0,95) - ( 1 - <1>(1 ,58))
=
<1>(0,95)
=
0,77189
+ <1>(1 ,58) -
1 ::::0 0,82894
+ 0,94295 -
1
Avec la loi binomiale, on avait obtenu 0,7734.
On constate que la loi normale est une bonne approximation de la loi
binomiale.
Ce résultat peut être généralisé à l'aide du théorème suivant.
a
b
Domaine
d'intégration
Théorème central limite
On note T = X1 + X2 + ... + Xn la somme de n variables aléatoires
indépendantes de même moyenne µ et de même écart type cr.
La variable aléatoire centrée réduite T* = T--; suit approximativement
cr n
la loi normale centrée réduite N(O; 1) sin __, +oo
lim P(T*
n ~+oo
"'
'S ~~Y= <I>(x)
1
1
Ce théorème 7 fournit une méthode simple pour calculer des probabilités
liées à une somme de variables aléatoires. Il explique également le fait remarquable que beaucoup de phénomènes naturels suivent une disLribuLion
ayant la forme d 'une courbe en cloche, c'est-à-dire une distribution normale.
Pour le cas de la loi binomiale, on peut alors énoncer le théorème suivant.
Théorème
Si X suit une loi binomiale B( n; p) avec n grand (dans la pratique, on exige
;::o: 5 et n(J - p) ;::o: 5) , on peut estimer P(a :S X :S b) à l'aide de la loi
normale N(np; Jnp(l - p)).
np
7
En 1733, Abra ham De Moivre , mathématicien anglais, 1667 1754 , le démontra dans
le cas de variables de Bernoulli avec p = ~. Laplace l 'étendit à un p quelconque en
1812. Il fallut ensuite attendre jusqu 'en 1902 pour que le mathématicien russe Aleksaudr
Liapunov, 1857 1918 , le démontre rigoureusement dans tous les cas.
110
"\
111
5. Variable aléatoire continue
5.5
1.
l ~s 1 •11
Exercices
u
On considère une variable aléatoire X de densité de probabilité
f(x)
~
Si 0 ::;
X ::;
2
X
Calculer PG ::; X
5.
Démontrer la formule de Ki:inig pour une variable aléatoir('
6.
On considère une variable aléatoire X uniforme sur [O; ] OJ.
Calculer P(X < 3), P(3 < X < 6) et P((3 < X < 6) / (X · '.l))
7.
Montrer que, pour une variable aléatoire uniforme de
sinon
et b,
< ~), E(X), V(X) et trouver la fonction de
8.
répartition de X.
2.
On considère la fonction
f(x)
~
{S
011
a+b
a µ = - 2
et a 2 =
,, ,
1'(1 111 111111
p11 1·1111H •l1 1
(b - a) 2
"
On suppose que la durée de vie d'une voiture suit une loi <' Xp11111 11111 111
dont la moyenne est de 10 ans. Calculer la probabili I.(• q 11 ' 11111 l 1 111
voiture ait une durée de vie
a) comprise entre 2 et 6 ans
si 0 ::;
x+k
X ::;
b) de moins de 2 ans
3
c) de plus de 10 ans
sinon
d) de moins de 4 ans si on sait qu'elle a 2 a ns
Trouver k pour que f soit la densité de probabilité d 'une variable
aléatoire X. Calculer ensuite P(l ::; X ::; 2).
3.
9.
Une variable aléatoire X a la densité de probabilité suivante :
J(x) = { ~os(x)
a) Vérifier que
f
i11111
11. La durée d 'une conversation téléphonique (en minuLC's) <·s i 11111 ' 1H 1 11d.J,
aléatoire exponentielle de moyenne 10. Vous arrivC'z 11 11111 • ol1 111p
cabines existant encore et quelqu'un y entre juste avn 111 1 1111 U111 Ili
est la probabilité que vous deviez attendre plus de 10 111111 1111
est bien une densité de probabilité.
J) et P(l ::; X ::; 2)
cl1 · 111 11 111111'1 111 1
10. Calculer la durée de vie moyenne d 'un atome radioactif' d1 • •il 111 iil
89 dont la demi-vie est de T = 52 jours.
7r
Si 0 <X<
- -2
sinon
b) Trouver sa fonction de réparti tion F et représenter graphiquement
les fonctions f et F
c) Calculer P( 0 ::; X ::;
Montrer que , pour une variable aléatoire exponentic ll C'
1
1
À, on a /L = :\ et a = :\'
.fL 12.
On considère une variable aléatoire X de loi normal<· N( ll , 1l
1
< 1111111•1
a) P(O ::; X ::; 1,42)
d) Calculer E(X)
b) P( - 1,37::; X ::; 2,01)
4.
Une variable aléatoire X a la densité de probabilité suivante :
f(x)
=
{
a) Vérifier que
~in(x)
f
.
SI
c) P(X
est bien une densité de probabilité.
1,13)
d) P( - 0,5::; X ::; 0,5)
7r
0 <X<
- -2
sinon
~
't-
13. On considère une variable aléatoire X de loi non11 ;il1 ·
t pour que
I ) l 11 111 \ 1' 1
à) P(O ::; X ::; t) ;:::; 0,4236
b) Trouver sa fonction de répartition F et représenter graphiquement
les fonctions f et F
b) P(X ::; t) ;:::; 0,7967
c) Calculer P( 0 ::; X ::;
d) P(t ::; X ::; 2);:::; 0,1
J) et P(l ::; X ::; 2)
( 11
c) P(X ::; t);:::; 0,0655
d) Calculer E(X)
112
1 1. t
5. Variable aléatoire continue
14. On considère une variable aléatoire X de loi normale N(5 ; 5). Calculer
a) P(O :s; X :s; 1)
b) P(-1 :s; X :s; 2)
ExC'rcices
21. On lance 90 fois un dé. Estimer la probabilité d 'observer
a) moins de 10 fois un six?
b) un no111lxe de six strictement compris entre 20 et 50?
c) P(X::;, 7)
d) P(3 :s; X :s; 7)
15. La température en Suisse au mois de mai suit une loi normale de
moyenne 20° C et d 'écart type 3°C. Calculer la probabilité que la température un jour donné de mai soit comprise entre 21 °C et 26° C .
16. Les résultats (exprimés en points entiers) d ' un examen suivent une loi
normale N(76; 15). Calculer le nombre minimal de points à exiger si
on veut faire réussir 90 % des candidats.
22. Ou lance 400 fois une p1ece de monnaie. Soit X le nombre de pi les
observé. Déterminer l'intervalle ceutré sur la moyenne tel que la probabilité qu e X appartienne à cet intervalle soit au moins de 0,95.
23. On rnnsidère 10 000 chiffres pris an hasard. Calculer la prohahilité que
le chiffre 3 apparaisse plus de 850 fois.
24. On lance J 0 dés équilibrés. Utiliser le théorème central limite pour
évaluer la probabilité que la somme d es dix résultats soit comprise
eutre 30 et 40.
17. On considère une variable aléatoire X qui suit une loi N(~l; CJ). Pour
quelle valeur de a la probabilité que X soit comprise entre µ - aCJ et
µ + aCJ est-elle d 'au moins 95 % ?
18. Une machine permet de remplir automaLiquemenL des paquets de farine. La masse IV! désirée est réglable. En ré~lité , la masse de farine
effectiveme11t versée est une variable aléatoire X qui suit une loi normale de moyenne li et d'écart type égal à 3 % de IV!. Sur quelle valeur
de M faut-il régler la machine pour que le 95 % des paquets contiennent
au moins 1 kg?
r
19. A Genève, un enseignant construit un examen de sorte que la répartition des résultats des candidats se rapproche cl 'une courbe en cloche.
Il utilise les résultats pour évaluer µ et CJ et fixe le barème de la manière suivante : 6 pour ceux qui ont m1 résultat supérieur à µ + CJ, 5
pour ceux qui onL un résulLat enLre µet /l + CJ, 4 pour ceux qui ont un
résultat entre /L - CJ et /l, 3 pour ceux qui onL un résulLat entre µ - 2ü
etµ - CJ et 2 pour ceux qui ont un résultat inférieur à /l - 2ü. Trouver
la répartition des notes (en %).
20. On lance 100 fois une pièce de monnaie. Estimer la probabilité d 'observer
a) moins de 60 fois pi le ?
b) moins de 36 fois pi le ?
c) un nombre de fois pile strictement compris entre 35 et 60?
114
JJ5
Réponses a ux exercices du chapilre [)
5. Variable aléatoire continue
5.6
Réponses aux exercices du chapitre 5
o
1.
2
.
3.
5
E(X)
64'
4
2
= -.3' V(X) = -9 ' F(x) =
1 1
12 ' 3
~ Fnx
Si X::::: 0
si 0 < X -< ~
2
.
SI
V2 · 0 1585
~
2 ' '
d) ~ - 1
4.
c) 1 -
{1
X:::; 0
Si 0
SÎ
14. a) 0,0532
b) 0,1592
<X:::; 2
c) 0,3446
X> 2
d) 0,3108
15 . 0,3479
b) F(x)
c)
1
-4.x2
Si
d) 1.16
v'2 ; 0,9564
2
7r
X> -
2
16. 57
17.
a::::
1,96
18. 1,0521
19. 15,9 % auront 6; 34,1 % auront 5 ; 34 ,1 % auront 4; 13,6 % auront 3 et
2,3 % auront 2
20. a) 0,9713
b) 0,0019
c) 0,9694
d) 1
3
3 3
10 ' 8
21. a) 0 ,0594
6.
16'
8.
a) 0,2699
22. [181; 219]
b) 0,1813
23. <I>(4,95);:::;; 1
c) 0,3679
d) 0,1813
b) 0,0594
24. ;:::;; 0,65
10. 75 ,02 jours
11. 0,3679
12. a) 0,4222
b) 0 ,8924
c) 0,1292
d ) 0,3829
13. a) 1,43
b) 0,83
c) - 1,5 1
116
..
11 7