5. Variable aléatoire continue

92
5. Variable aléatoire
continue
5.1
Définitions
Exemple. On note X la variable aléat,oire indiqu a nt la taiJJc en 1' 111 ./ ' 1111
homm e de 20 ans en Suisse. X prend ses valeurs dans l'i11lerv 11 1/1 • 11 •1• /
[ L40 ; 230]. Da11s cel intervalle, il y a 1JIH' i11fi11il é de tailles pos s i/1/1 "'• / ' 11
e !T et, une ta ille de 178,2321... est envi sageab l e.
On va regro up er toutes les tai ll es dans des inl erva lles de 1 n11 r/1· /; u 1:1• 111
S up posons qu e des donn ées slal is liqu cs indiqu e nt qu ' il y a : 30 i11rli 1 1d11 ' '" "
1000 do11t la tai ll e csl dan s l' int ervalle ]177 ,5; 178,5] . 011 cx p ri 1111 ·1·1· /1 111 "li
di sa nt que la fr é qu en ce rel alive de cel évé nem e nt est d e~ !1 , 11 :\, 1 J, 111
LOOO
le la ng age des probabilités , on éc ril ? (177,5 < X S 1 78 ,!i) !l , 11.1 C.Jll<'
devi ent ce lt e probabilil é pour l 'i nl e rv allc ]177 ,9; 178, 1] de /; 11 1: 1·111 Il 1 '
On ad rn ct que l es indi vidus donl la taille est dans cd i1>1 1· 11 111/1 • 1 ,1 1111
unifonn éme nl répartis. On a ur a a in si 5 fois moins de /H '1 -s 1111111 ". 11111 " 11'" '
l'
inl c rv allc est 5 fois plus petit . On a alors
P ( l77 ,9 < X S 178.l ) = 10
6
00 = 0,006
Si on cons id ère m aintenanl l'inl ervalle ]177 ,9 9!i ; l 7K , IHl !' ,I , "" """;
?(177 ,995 < X S 178,005) = 0,0003
Qua nd l' inl c rv alle devienl de plu s e n plus pl'I il , /11 11111/ ,,,/,1/111 · • .11•111111 /,..
de O.
A la Jiwite, on a P(X = 180) = 0
On peul interpr éte r ce r és 11Ual co111 111 1• suit : 1 11 ·1 1. 111111• · ,,, . 11w · .1111· 1•\1wf1•
me nt 180,000000 ... cm.
D'ullC maui érc gé néral e, po11r 1111< ' v;iri;il>lt· ; iJ1 ·11l11111· 1111i! 111 1w \ 111 1 ;1
, , '( .\
11)
Il 1
!J:l

5. Variable aléatoire continue
Une variable aléatoire X est continue si l 'e nsemble des valeurs qu 'elle
prend est un int ervalle réel
1.
Densité de probabilité
On re présente graphiquement une variable aléatoire continue à l'aide d' un
histogramme. Les valeurs de la variable aléatoire sont représ e ntées sur l 'axe
horiz ontal. La probabilité p que cette variable prenne une valeur dan s un
int e rv alle de la rg e ur llx est représentée p ar l 'a ire d"un rectan gle. La haut eur
du r ecta ngle est donc le rapport entre une probabilité cl la largeur de
l'iutervalle. On ap pelle un tel rapport densité. On a par exe mple les deux
s ituations suivantes représ e ntant la même variable aléatoire :
P3
ll x3
P2
ll x2
P1
llx
1
ll .r.:
1
ll x2 ll :r ;i ll x4 ll .r5
[_ 503
50%
llx
1 ll.r2
Notons que , lor sq ue Lous les segments ll.t onL même long ueur , les hauteur s
des
rectangles so nt proportionnelles à ces probabilités.
1
11 s'agit d ' un e définition intuiti ve. La définition formelle dépa.~8e le ca dr e de cet
ouvrage.
94
Définitions
Pour augmenter la précision du modèl e, il c;o11vicut de diminuer la large ur
des intervalles choisis. Pour calculer la probabilit é que la variable aléatoire
prenn e une valeur comprise entre a et b, il suffi L alors de calculer la somme
des aires des r ecta ngles co mpri s e ntre ces deux bornes.
~
~
r-c:::;
~
170 180
.r
On pe ut imagin er faire tendre la la rgeur de s intervalles vers O. La repr('s <•rr
tation graphique devient :
f
170 180 .r
La fonction f (.r) repré se nt ée par cette courbe esL appelée de11 si 1 (' d1 · I ''"
babilité.
La probabilité que la taille d'un imlividu soi l comprise e 11Lr< ' 1i l1 ' 111 ' t
] 80 cm est alors repré se ntée par l 'a ire sous la courbe entre 170Cï11 1 •I 1 ~ ll1 111
On calcnlc un e telle aire à l 'a ide d'une i11tégrale.
,,.,

5. Variable aléatoire continue
Définitions
La fonction f ( x) satisfaisant
1) f(x) ~ 0 pour tout nombre réel x
2) .C ::: f(x)d~ = 1
est appelée densité de probabilité associée à la variable aléatoire X si
la propriété suivante est vérifiée :
9G
P(a < X <::: b) = 1b f(x)dx
Exemple. Supposons q11e X soit une variable aléatoire dont la densité
est
f(x) = { ~x
2
si 0 <::: 1; <::: 1
sinon
3
2
1
1
On vérine q11e J(x) est bien une densité de probabilité en observant que
J( : r) :'.". 0 et en monlranl que J~ ;:: J(x)d:r = 1 :
j
·+ oo Io [1 1 +=
_
00
f(x)dx = - oo J(x)dx + ./o f(x)dx + 1 f(x)dx
Io 1
.1
1
+=
= 0 dx + 3x
2
dx + 0 d.T
• - CX) 0 1
t
= ./o 3x
2
dx = [:r
3
Jc
1
i = 1
Calculer la probabilité q11 e X soit
a) compris entre 0,5 et 0,7
b)
plus pelile ou égale à 0,5
c)
plus petite ou égale à 0,7
a)
On calc111c
!
·O 7
P(0,5 < X S 0, 7) = , 3x
2
d:r :
. 0,5
= [x
3]
~ : : = 0,73 -0,53 = 0.218
Défini tio11s
1
b) P(X S 0,5) = J~~ J(x)dx = [x :
1
]~ ·
5
= 0,53 = 0,125
c) P(X <::: 0,7) = J~~ J(x)dx = [x
3
]~ '
7
= 0,73 = 0,343
On constate que le résultat de l'exercice a) est la différence des résultats
des exercices b) et c).
On appelle fonction de répartition de la variable aléatoire X la fonction
définie
par
F(J?) = P(X <::: :r) ~ I:r= f(t) dt
On peut faire intervenir 0stématiquement la fonction de répartition dans
les calculs de probabilité :
--
P(a <::: X <::: b) = 1b j(t) dt
= Ib = J(t) dt - Ia oo J(t) dt
= F(b) -F(a)
Cette probabilité est égale à l'aire sous la courbe f(x) entre a et b.
En résumé : [
P(a <:::X<::: b) = F(b) -F(~)j
On peut remarquer que la fonction de répartition F est la primitive de la
densité f qui tend vers 0 quand x tend vers moins l'infini.
Exemple. Reprenons l' exemple précédent et calculons Ja fonclion de ré-
partition de X.
Puisque la densité de probabilité est nulle enlre -oo et, 0, /a foncl.ion de
répartition
est aussi nulle sur cet intervalle.
Entre 0 et 1, la densité est 3x
2,
la fonction de répart,iUon est donc
lx
;· x 2 '1 r · ~
F(x) = f(t)dt = 3t dt = [ t" ]0 = :r·
[) 0
Enlre 1 el +oo, la fonction de répartition v1111t . 1. On a <!on e :
f(x) = { ~T
2
si 0 S X S 1
('/ , / <'(. r) {
01
.ç
1
SI 00 S ./" < ()
si 0 < .r S 1
si 1 < .1· < +oo
sinon
97

5. Variable aléatoire continue
Graphiquement, cela donn e :
3
1
2
1
1 1
5.2 Moyenne et variance
Dans le cas discret, on avait
E(X) = 2..:> iPi = /1 et V(X) = E[(X -µ) 2] = 2..)x ; - µ)
2
Pi
Dans le cas continu, en remplaçanL Pi par .f(x)d.i; et la somme par une
intégrale, on définit :
!
+=
Moyeune: E(X) = -= .1: · f(:r)d.i; = /L
!
+=
Variance: V(X) = E[(X - µ)
2] =
-= (.'.C - 11 ,)2 .f(x)d.i;
Écart type : O" = JV(X)
La formule de Konig (voir page 69) est aussi valable pour les variables
akatoires continues :
1 V(X) = E(X2) -/L2 1
5.3 Quelques lois continues
5.3.1 Loi uniforme
98
Exemple. Un bus part du terminus to11tes les 20 mi1111tes. U11 client arrive
à cette station sans connaître l'horaire. On note X son temps d'at, tente
(en minutes). Calculer la probabilité qu'il doive attendre
Quelques lois contilwcs
a) moins de 10 minutes
b) moins d'1rne minute
c) moins de x minut es
Solutions :
a)
Comme le bus part toutes les 20 rnümtes, 1' 11sager attendra au maxi-
mmn 20 minutes, c'est-à-dire I'(X ::=; 20) = ~ = 1. La probabilité
d'attendre moin s de 10 rnin11tes est P(X ::=; 10) = ~
b) P(X ::; 1) = 2
1
0 X
c) On a de même P(X ::=; x) = 20
La fo11ctio11 F( : r) = ~~ est la fonction de répartition de X. La densité de
X
est la dérivée de F :
1
f(x) = F'(.r) = 20
On dit que X suit une loi uniforme de paramètres a et b, notée U(a ; /J),
si sa densité est
{
1
.f(x) = b ~a
si a ::; x ::; b
sinon
La fo11ction de répartition est alors :
x - a
{
0
F(x) = b~a
si .1; <a
si a ~ x ::; b
si :c > b
1
b a
a
l ·- - -
(/ ,
La loi uniforme possède les propriétés suivantes :
Moyem1c :
Varia11l'l'
p, = a + h
2
(}2 _(/i - 11) 2
12
b
li
99

5. Variable aléatoire continue
5.3.2
Loi exponentielle
Exemple 1. L'isotope radioactif de strontium 89 a une demi-vie T = 52
jours (c'est-à-dire qu'en 52 jours la moitié des atomes d'un échantillon
donné se sont désintégrés). Calculer la probabilité qu'un atome donné de
strontium 89 ait une durée de vie comprise entre 50 et 60 jours.
On pose No le nombre d' atomes de strontium 89 au temps t = 0 et N(t)
le nombre d ' atomes restant au temps t. On a
t = 0:
t = T:
t = 2T:
t = nT :
N(O) = No
N(T) = ~ 7\ r _ No
2 1 VO -2
N(2T) = ~No _ No
2 2 - 22
N(nT) = ~ No _ N0
2 2n- l - ~ = No 2- n
l
Plus généralement, on a N(t) =No r r
En posant 2 = e1 n(
2
J, on obtient :
_-'-; ln(2 )
N(t) = No(e
1
"<
2
l)
1 = Noe-
-rt
ln(2)
Comme ln(2) et T sont des constantes , le quotient À = -y est constant.
Le nombre d'atomes au temps t s'écrit alors :
N(t) = N0e- >.L
Le nombre d'atomes n(t) qui se sont désintégrés pendant la durée t est
donc:
n(t) =No - N(t) =No -Noe- >-t = No(l -c - >.t)
Le nombre n(t) = 1 - e- >.t est la proportion d'atomes qui se sont désin-
No
100
tégrés entre le temps 0 et le temps t.
Ce hombre est aussi la. probabilité qu'un atome donné se désintègre dura.nt
ce laps de temps. Si on note X la durée de vie d'un a.tome donné , on a.
P(O .S X.St)= l - e->.t
La. fonction de répartition de X est
F(t) = { 1 - ;- ÀI
si t 2 0
si t < O
Quelques lois continues
On a alors
P(50 .S X .S 60) = F(60) - F(50)
[
_
ln(2)
] - e 52 GO]
ln(2 ) 50
- [ 1 - e -
52
J ~ 0,064]
On trouve la densité de probabilité de X en dérivant la fonction de répar-
tition.
f (t) = { Àe~>-t
si t 2 0
sinon
On dit qu'une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de para-
mètre À, notée E'(..\), si sa densité est
f(x) = { À e ~-'x
si .1 ; ?: 0
sinon
Sa fonction de répartition est
F(x) = { 1 - ~ - \x
si X ?: Ü
SÎ .T < Ü
À
1
Exemple 2. Reprenons l'exemple de la désintégration r;1 . dioadivc.
Le fait qu 'un atome ne s'est pas désintégré pendant les 20 prcniicrs jours
n'influence pa.s le moment de sa. future désintégration (l 'a.tonie 11e se "s ou-
vient"
pa.s qu 'il a. déjà vécu 20 jours). Les physiciens disent. r111 ïl 11r' vieillit
pas. Si on sa.it qu'il a déjà vécu 20 jours, la. pru/Jaliilit{> qn' il vive plus
de 80 jours est égale à la probabilité qu'il vive encore tJl11s de (j() jours.
Formellement,
cela. donne :
P(X > 80 /X > 20) = P(X > 60)
Pour un temps t q11cleonq11e , cela donne :
P(X > l + 20 / X > 20) !'(X > t)
101