Nombres entiers et rationnels

Nombres entiers et rationnels
Nombres entiers et rationnels
I Divisibilité
a) Division euclidienne
Définition
●
●
a et b désignent des nombres entiers avec b ≠ 0.
Effectuer la division euclidienne de a par b, c’est trouver le quotient q
et le reste r tel que :
a = b × q + r et 0 ≤ r < b.
Exemple : division euclidienne de 652 par 24.
A la main
dividende
diviseur
652 24
-48
27
172
quotient
-168
reste 4
652 = 24×27 + 4 et 0 ≤ 4 < 24
Avec Casio fx-92 Collège 2D+
Avec TI-Collège Plus
Nombres entiers et rationnels
b) Diviseurs et multiples
Définition
a et b désignent des nombres entiers avec b ≠ 0.
Dire que b est un diviseur de a signifie que le reste de la division
euclidienne de a par b est nul c’est-à-dire que :
a = b×q avec q nombre entier.
Vocabulaire : On dit aussi que b divise a ou que a est divisible par b ou
que a est un multiple de b.
Exemple : liste des diviseurs de 80.
On essaie les
nombres entiers
dans l’ordre
croissant.
On s’arrête là car 9 ne
divise pas 80 et 10 est
déjà écrit.
Les diviseurs de 80 sont donc : 1; 2; 4; 5; 8; 10; 16; 20; 40; 80.
Remarques :
●
2,5× 32 = 80, mais 32 n’est pas un diviseur de 80 car 2,5 n’est pas un
nombre entier.
●
Tout nombre entier non nul est au moins divisible par 1 et lui-même.
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c) Critères de divisibilité
Propriétés
●
Si un nombre entier a pour chiffre des unités 0, 2, 4, 6 ou 8 alors il est
divisible par 2.
●
Si la somme des chiffres d’un nombre entier est divisible par 3, alors ce
nombre est divisible par 3.
●
Si un nombre entier a pour chiffre des unités 0 ou 5, alors il est
divisible par 5.
●
Si la somme des chiffres d’un nombre entier est divisible par 9, alors ce
nombre est divisible par 9.
●
Si un nombre entier a pour chiffre des unités 0, alors il est divisible par
10.
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II Nombres premiers
Définition
Un nombre premier est un nombre entier qui n’a que deux diviseurs : 1 et
lui-même.
Liste des nombre premiers inférieurs à 65 :
●
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 71 73 79 83 89 97.
Le crible d’Eratosthène
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III Décomposition en produit de facteurs premiers
Propriété
Un nombre entier supérieur ou égal à 2 se décompose en produits de
facteurs premiers. Cette décomposition est unique à l’ordre près.
Exemple : décomposition de 84 en produit de facteurs premiers
Sur Thalesm
1ère méthode : on cherche ses diviseurs premiers dans l’ordre croissant.
● 84 est divisible par 2 : 84 = 2 x 42;
● 42 est divisible par 2 : 84 = 2 x 2 x 21;
● 21 est divisible par 3 : 84 = 2 x 2 x 3 x 7.
Or 7 est un nombre premier, donc la décomposition de 84 en produit de
facteurs premiers est terminée.
On écrit cette décomposition : 84 = 2² x 3 x 7.
2ème méthode : on écrit d’abord un produit quelconque égal à 84.
84 = 4 x 21 = 2 x 2 x 3 x 7
Les nombres 2, 3 et 7 sont premiers, donc la décomposition de 84 en
produits de facteurs premiers est : 84 = 2² x 3 x 7.
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IV Fractions irréductibles
Définition
Dire qu’une fraction est irréductible signifie que
son numérateur et son dénominateur n’ont pas de
diviseur commun autre que 1.
Une fraction
irréductible ne
peut plus être
simplifiée.