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Lycée Jean Perrin
Classe de TSI2 2015/2016
Vendredi 4 Décembre
Devoir surveillé no3 de Mathématiques
(Durée : 4h)
Exercice 1
Résolution d'une équation matricielle
5 3
1 3
1. Réduction de la matrice A.
Considérons la matrice A =
M 2 + M = A.
appartenant à M2 (R).
1.1 Déterminer les valeurs propres de A.
Celles-ci seront notées λ1 et λ2 avec : λ1 > λ2 .
1.2 Déterminer une base de chaque sous-espace propre de A.
1.3 Notons D =
λ1 0
0 λ2
.
Déterminer une matrice inversible P appartenant à M2 (R) telle que D = P −1 AP .
2. Soit N =
x y
z t
appartenant à M2 (R).
2.1 Dans cette question, nous supposons que : N 2 + N = D.
21.1 Montrer que : N D = DN , et en déduire que : y = z = 0.
21.2 Prouver alors que :
t2 + t = 2
.
x2 + x = 6
21.3 En déduire les quatre valeurs possibles pour la matrice N .
2.2 Montrer que les quatre matrices N obtenues à la question 2(1)3 vérient l'égalité matricielle :
N 2 + N = D.
3. Soit M appartenant à M2 (R). Notons : N =
x y
z t
, x, y, z, t appartenant à R, la matrice appartenant
à M2 (R) dénie par N = P −1 M P .
3.1 Calculer P −1 et déterminer ensuite une expression de M en fonction de x, y, z et t.
3.2 Montrer que : M 2 + M = A ⇐⇒ N 2 + N = D.
3.3 En déduire l'ensemble des matrices M appartenant à M2 (R) telles que :
M2 + M = A
[pbre4]
Exercice 2
On dénit, pour tout réel a, la matrice :
Ma =
a − 1 −1
2
a+2
1. (a) Pour quelles valeurs de a la matrice Ma est-elle inversible ?
(b) Déterminer, en fonction de a, les valeurs propres de la matrice Ma .
2. Donner une base de chacun des sous-espaces propres de la matrice Ma .
1/4
3. Donner une matrice P inversible, de taille 2 × 2, telle que la matrice Da = P −1 Ma P est diagonale.
Calculer P −1 en détaillant les calculs.
4. Soit a et b deux nombres réels. Montrer que Ma Mb = Mb Ma .
5. Soit n un entier naturel non nul. On considère la matrice An suivante :
An = M1 M2 M3 . . . Mn
obtenue en eectuant le produit des n matrices M1 , M2 , . . . , Mn . Donner, en fonction de n, quatre
nombres réels an , bn , cn , dn tels que :
An =
an bn
cn dn
.
6. On considère deux suites (un )n>1 et (vn )n>1 telles que u1 = −2, v1 = 4 et qui vérient les relations de
récurrence suivantes :
∀n ∈ N,
un+1 = (n − 1)un − vn et vn+1 = 2un + (n + 2)vn .
Donner, en fonction de n, une expression du terme général un de la suite.
[pbre1]
Exercice 3
On note E = R3 [X] l'espace vectoriel des polynômes à coecients réels de degré inférieur ou égal à 3. Soit f
l'application dénie sur E qui associe à tout polynôme P ∈ E , le polynôme f (P ) déni par :
f (P )(X) = −3XP (X) + X 2 P 0 (X),
où P 0 est la dérivée du polynôme P.
1. (a) Rappeler la dimension de E .
(b) Montrer que f est un endomorphisme de E .
(c) Déterminer la matrice M de f dans la base canonique de E .
(d) La matrice M est-elle inversible ? Est-elle diagonalisable ? Calculer pour tout n ∈ N∗ , M n .
(e) Préciser le noyau Ker f de f , ainsi qu'une base de Ker f .
(f) Déterminer l'image Im f de f .
2. On note IdE et 0E respectivement, l'endomorphisme identité et l'endomorphisme nul de E , et pour tout
endomorphisme v de E , on pose v 0 = IdE et pour tout k de N∗ , v k = v ◦ v k−1 .
Soit u et g deux endomorphismes de E tels que u4 = 0E , u3 6= 0E et g = IdE +u + u2 + u3 .
(a) Soit P un polynôme de E tel que P ∈/ Ker(u3 ). Montrer que la famille P, u(P ), u2 (P ), u3 (P ) est
une base de E .
(b) Montrer que g est un automorphisme de E . Déterminer l'automorphisme réciproque g −1 en fonction
de u.
(c) Établir l'égalité : Ker u = Ker(g − IdE ).
(d) Montrer que 1 est la seule valeur propre de g .
[pbre3]
Exercice 4
Soit (E, +, .) un R-espace vectoriel, f un endomorphisme de E , F un sous-espace vectoriel de (E, +, .).
−
−
On rappelle qu'on dit que F est stable par f si et seulement si ∀→
x ∈ F , f (→
x ) ∈ F.
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Classe de TSI2 2015/2016
I
Vendredi 4 Décembre
Quelques calculs préliminaires.
Considérons la matrice M appartenant à M3 (R) dénie par :


3 1 2
M = 1 1 0 
−1 1 2
I3 désigne la matrice unité d'ordre 3.
I.1 Étude des éléments propres de M .
II
III
I1.a Déterminer les (ou la) valeurs propres de M .
I1.b Déterminer les sous-espaces propres de M .
I.2 Étude des éléments propres de M T .
I2.a Soit λ ∈ R. Justier, sans faire de calculs, que les matrices M et M T ont le même polynôme
caractéristique.
En déduire les valeurs propres de M T .
I2.b Déterminer les sous-espaces propres de M T .
Quelques généralités.
Soit (E, +, .) un R-espace vectoriel, f un endomorphisme de E .
→
−
II.1 Montrer que { 0 } et E sont des sous-espaces vectoriels de E stables par f .
→
−
II.2 Soit F un sous-espace vectoriel de E non réduit à 0 et de dimension nie. Notons p la dimension
→, −
→
−
→
de F et introduisons BF = (−
u
1 u2 , . . . , up ) une base de F .
→) ∈ F .
Montrer que F est stable par f si et seulement si ∀k ∈ [[1, p]], f (−
u
k
II.3 Droites vectorielles stables par f .
−
Soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension 1, et BF = (→
u ) une base de F .
→
−
Montrer que F est stable par f si et seulement si u est un vecteur propre de f .
Étude des plans stables en dimension 3.
−
−
−
Soit (E, +, .) un R-espace vectoriel de dimension 3, dont une base est BE = (→
e1 , →
e2 , →
e3 ). Soit f un
endomorphisme de E de matrice A dans la base BE .
III.1 Mise en place de l'équation de F dans la base BE .
→, −
→
Soit BF = (−
u
1 u2 ) une base de F .
→ de E tel que la famille U = (−
→, −
→ −
→
III1.a Justier l'existence d'un vecteur −
u
u
3
1 u2 , u3 ) soit une base de
E
E.
III1.b On introduit la matrice de passage Q de la base UE à la base BE (attention à l'ordre des
bases !) que nous noterons :


a1 b1 c1
Q =  a2 b2 c2 
a b c
Montrer que a, b et c sont non tous nuls.
−
III1.c Soit →
x appartenant à E .


x1
−
Notons X =  x2  la matrice des coordonnées de →
x dans la base BE ,
x3
 0 
x1
−
et X 0 =  x02  la matrice des coordonnées de →
x dans la base UE .
0
x3
Rappeler le lien matriciel entre Q, X et X 0 et en déduire que :
x03 = ax1 + bx2 + cx3
3/4
−
III1.d En déduire que pour tout vecteur →
x appartenant à E de composantes (x1 , x2 , x3 ) dans la
base BE :
→
−
x ∈F
⇐⇒
ax1 + bx2 + cx3 = 0.
La condition ax1 +bx2 +cx3 = 0 est appelée l'équation de F dans la base BE , nous admettrons
qu'elle est indépendante du choix de la base UE .
III.2 Condition nécessaire et susante de stabilité de F par f .
III2.a Dans cette question, nous supposerons F stable par f .
Montrer que la matrice de f dans la base UE , matrice que nous noterons B dans la suite, est
de la forme :


α1 β1 γ1

α2 β2 γ2 
B=
0 0 γ
avec α1 , β1 , γ1 , α2 , β2 , γ2 , γ ∈ R


a
Justier l'égalité QT B T = AT QT , et en déduire que le vecteur  b  est un vecteur propre
c
T
de A .
 
a

b  est un vecteur propre de AT , de valeur
III2.b Réciproquement, on suppose que le vecteur
c
propre λ.
Justier l'égalité matricielle a b c × A = λ a b c .
−
Soit →
x appartenant

à E .
x1
−
Notons X =  x2  la matrice des coordonnées de →
x dans la base BE ,
x3


y1
−
et Y =  y2  la matrice des coordonnées de f (→
x ) dans la base BE .
y3
Montrer que ay1 + by2 + cy3 = λ(ax1 + bx2 + cx3 ). En déduire que F est stable par f .
−
−
−
IV Soit (E, +, .) un R-espace vectoriel de dimension 3, dont une base est BE = (→
e1 , →
e2 , →
e3 ). Soit f un
endomorphisme de E de matrice M dans la base BE , avec :


3 1 2
M = 1 1 0 
−1 1 2
Déterminer les sous-espaces vectoriels de E stables par f (on pourra utiliser les résultats des questions
I,II et III).
[pbre2]
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