Spécialité Terminale S IE4 Nombres premiers entre eux - PGCD

Spécialité Terminale S
IE4 Nombres premiers entre eux - PGCD
S1 2015-2016
Soit n un entier strictement supérieur à 1. On pose :
A = n – 1 et B = n² - 3n + 6
1) Enoncer le lemme d’Euclide
2) En utilisant le lemme d’Euclide, montrer que le PGCD de A et B est égal au PGCD de A et 4.
3) Déterminer, suivant les valeurs de n, le PGCD de A et B.
n² - 3n + 6
4) Pour quelles valeurs de l’entier n le nombre
est-il un entier naturel ?
n-1
Spécialité Terminale S
IE4 Nombres premiers entre eux - PGCD
S2 2015-2016
Soit n un entier naturel strictement supérieur à 1. On pose :
A = n + 1 et B = n² - 2n + 2
1) Enoncer le lemme d’Euclide
2) En utilisant le lemme d’Euclide, montrer que le PGCD de A et B est égal au PGCD de A et 5.
3) Déterminer, suivant les valeurs de n, le PGCD de A et B.
n² - 2n + 2
4) Pour quelles valeurs de l’entier n le nombre
est-il un entier naturel ?
n+1
1
Spécialité Terminale S
IE4 Nombres premiers entre eux - PGCD
CORRECTION
S1 2015-2016
Soit n un entier strictement supérieur à 1. On pose :
A = n – 1 et B = n² - 3n + 6
1) Enoncer le lemme d’Euclide
2) En utilisant le lemme d’Euclide, montrer que le PGCD de A et B est égal au PGCD de A et 4.
3) Déterminer, suivant les valeurs de n, le PGCD de A et B.
n² - 3n + 6
4) Pour quelles valeurs de l’entier n le nombre
est-il un entier naturel ?
n-1
1) Soit a, b, q et r des entiers naturels.
Si a = bq + r alors PGCD(a ;b) = PGCD(b ;r).
2) B – (n – 2)A = n² - 3n + 6 – (n – 2)(n – 1) = n² - 3n + 6 – n² + 3n – 2 = 4
On a donc d’après le lemme d’Euclide : PGCD(A ;B) = PGCD(A ;B – (n – 2)A) = PGCD(A;4)
3) Le PGCD de A et B vaut donc 1, 2 ou 4.
Si n est pair, alors A = n – 1 est impair et PGCD(A ;B) = 1
Si n est impair et n – 1 n’est pas un multiple de 4 (c'est-à-dire si le reste de la division
euclidienne de n par 4 est 3 ou n = 4k + 3 avec k entier) alors PGCD(A ;B) = 2
Si n est impair et n – 1 est un multiple de 4 (c'est-à-dire si le reste de la division euclidienne
de n par 4 est 1 ou n = 4k + 1 avec k entier) alors PGCD(A ;B) = 4
n² - 3n + 6 B
4)
= est un entier si n – 1 divise n² - 3n + 6. Soit PGCD(A ;B) = A
n-1
A
On a donc A = 1 ou A = 2 ou A = 4
Soit n = 2 ou n = 3 ou n = 5
n² - 3n + 6
est un entier si n = 2 ou 3 ou 5.
n-1
2
Spécialité Terminale S
IE4 Nombres premiers entre eux - Bézout
CORRECTION
S2 2015-2016
Soit n un entier naturel strictement supérieur à 1. On pose :
A = n + 1 et B = n² - 2n + 2
1) Enoncer le lemme d’Euclide
2) En utilisant le lemme d’Euclide, montrer que le PGCD de A et B est égal au PGCD de A et 5.
3) Déterminer, suivant les valeurs de n, le PGCD de A et B.
n² - 2n + 2
4) Pour quelles valeurs de l’entier n le nombre
est-il un entier naturel ?
n+1
1) Soit a, b, q et r des entiers naturels.
Si a = bq + r alors PGCD(a ;b) = PGCD(b ;r).
2) B – (n – 3)A = n² - 2n + 2 – (n – 3)(n + 1) = n² - 2n + 2 – n² + 2n + 3 = 5
On a donc d’après le lemme d’Euclide : PGCD(A ;B) = PGCD(A ;B – (n – 2)A) = PGCD(A;5)
3) Le PGCD de A et B vaut donc 1 ou 5.
Si A est un multiple de 5 (A = 5k et n = 5k – 1) alors PGCD(A ;B) = 5.
Si A n’est pas un multiple de 5 (A ≠ 5k et n ≠ 5k - 1) alors PGCD(A ;B) = 1
n² - 2n + 2
4)
est un entier si n + 1 divise n² - 2n + 2. Soit PGCD(A ;B) = A
n+1
On a donc A = 1 ou A = 5
Soit n = 0 ou n = 4
n² - 2n + 2
est un entier si n = 0 ou 4.
n+1
3