Exercice de la composition : Spécialité maths TS On se propose de déterminer les couples (n ; m) de nombres entiers naturels non nuls vérifiant la relation : (F) 7n - 3×2m = 1. Partie 1 On suppose dans cette partie que m ≤ 4. 1- Montrer dans cette situation qu’il y a exactement deux couples de solutions qu’on donnera. Partie 2 On suppose ici que m ≥ 5. 1- En posant m = 5 + p, avec p entier naturel, montrer que si le couple (n ; m) vérifie la relation (F), alors 7n ≡ 1 (modulo 32). 2- Etudier suivant les valeurs de n les restes de la division euclidienne de 7n par 32. 3- Montrer alors que si le couple (n ; m) vérifie la relation (F), alors n est divisible par 4. 4- En déduire que si le couple (n ; m) vérifie la relation (F), alors : 7n ≡ 1 (modulo 5). 5- Pour m ≥ 5, existe-t-il des couples (n ; m) de nombres entiers naturels non nuls vérifiant la relation (F) ? Justifier. 1 Exercice de la composition : Spécialité maths TS CORRECTION Partie 1 Pour m = 1, (F) 7n = 1 + 321 = 1 + 6 = 7 7n =1 + 32² = 1 + 12 = 13 Donc n = 1 Pour m = 2, (F) Pas de valeur possible pour n Pour m = 3, (F) 7n =1 + 323 = 1 + 24 = 15 Pas de valeur possible pour n Pour m = 4, (F) 7n =1 + 324 = 1 + 48 = 49 Donc n = 2 Donc pour m ≤ 4, les couples solutions sont (n ,m) = (1,1) et (n,m) = (2,4) Partie 2 1) Si m ≥ 5, alors l’entier p tel que m = p + 5 est positif. Alors 32m = 32p+5 = 32p25 = 3232p Comme 32p est un entier, alors 32m 0 (modulo 32) et donc comme 7n = 1 + 32m alors 7n 1 (modulo 32). 2) 71 = 7 7 (modulo 32) 72 = 49 17 (modulo 32) 73 717 119 23 (modulo 32) 74 723 161 1 (modulo 32) Conjecture : pour k entier naturel non nul : Si n = 4k alors 74k 1 (modulo 32) ; Si n = 4k + 1 alors 74k+1 7 (modulo 32) Si n = 4k + 2 alors 74k+2 17 (modulo 32) Si n = 4k + 3 alors 74k+3 23 (modulo 32) Démonstration : 74k = (74)k = 2401k Or 2401 1 (modulo 32). Donc 2401k 1k 1 (modulo 32) Donc 74k 1 (modulo 32) 74k+1 = 74k7 1 7 7 (modulo 32) 74k+2 = 74k+17 77 49 17 (modulo 32) 74k+3 = 74k+27 497 343 23 (modulo 32) 2 Exercice de la composition : Spécialité maths TS CORRECTION 3) Si (n,m) vérifie l’équation (F) alors 7n 1 (modulo 32) d’après la question 1). Donc n est de la forme 4k avec k entier naturel non nul (d’après la question 2)). Donc n est divisible par 4. 4) Si (n,m) vérifie l’équation (F) alors d’après la question précédente, il existe un entier naturel k non nul tel que n = 4k. Donc 2n = 24k = 16k. Or, 16 1 (modulo 5) Donc, 16k 1k 1 (modulo 5) Donc 7n 1 (modulo 5) 5) Si (n,m) vérifie l’équation (F) alors d’après la question précédente 7n 1 (modulo 5), donc 32m 7n – 1 1 – 1 0 (modulo 5) Etudions les restes dans la division euclidienne de 2m par 5. 21 2 (modulo 5) 22 4 (modulo 5) 23 8 3 (modulo 5) 24 16 1 (modulo 5) Conjecture : pour k entier naturel non nul : Si n = 4k alors 24k 1 (modulo 5) ; Si n = 4k + 1 alors 24k+1 2 (modulo 5) Si n = 4k + 2 alors 24k+2 4 (modulo 5) Si n = 4k + 3 alors 24k+3 3 (modulo 5) Démonstration : 24k = (24)k = 16k Or 16 1 (modulo 5). Donc 16k 1k 1 (modulo 5) Donc 24k 1 (modulo 5) 24k+1 = 24k2 1 2 2 (modulo 5) 24k+2 = 24k+12 22 4 (modulo 5) 24k+3 = 24k+22 24 8 3 (modulo 5) 3 Exercice de la composition : Spécialité maths TS CORRECTION Comme aucun reste n’est un multiple de 5, alors 32m n’est pas non plus un multiple de 5. Donc l’équation (F) n’a pas de solution pour m ≥ 5. Autre argument (non encore vu en cours) : Comme la décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers est unique et comme la décomposition 32m (2 et 3 sont premiers) ne contient pas le facteur premier 5, alors 32m ne peut être un multiple de 5. 4