Exercice de la composition : Spécialité maths TS
1
On se propose de déterminer les couples (n ; m) de nombres entiers naturels
non nuls vérifiant la relation :
(F) 7n - 3×2m = 1.
Partie 1
On suppose dans cette partie que m 4.
1- Montrer dans cette situation qu’il y a exactement deux couples de
solutions qu’on donnera.
Partie 2
On suppose ici que m 5.
1- En posant m = 5 + p, avec p entier naturel, montrer que si le couple (n ;
m) vérifie la relation (F), alors
7n 1 (modulo 32).
2- Etudier suivant les valeurs de n les restes de la division euclidienne de 7n
par 32.
3- Montrer alors que si le couple (n ; m) vérifie la relation (F), alors n est
divisible par 4.
4- En déduire que si le couple (n ; m) vérifie la relation (F), alors :
7n 1 (modulo 5).
5- Pour m 5, existe-t-il des couples (n ; m) de nombres entiers naturels non
nuls vérifiant la relation (F) ? Justifier.
Exercice de la composition : Spécialité maths TS
CORRECTION
2
Partie 1
Pour m = 1, (F) 7n = 1 + 321 = 1 + 6 = 7
Donc n = 1
Pour m = 2, (F) 7n =1 + 32² = 1 + 12 = 13
Pas de valeur possible pour n
Pour m = 3, (F) 7n =1 + 323 = 1 + 24 = 15
Pas de valeur possible pour n
Pour m = 4, (F) 7n =1 + 324 = 1 + 48 = 49
Donc n = 2
Donc pour m ≤ 4, les couples solutions sont (n ,m) = (1,1) et (n,m) = (2,4)
Partie 2
1) Si m ≥ 5, alors l’entier p tel que m = p + 5 est positif.
Alors 32m = 32p+5 = 32p25 = 3232p
Comme 32p est un entier, alors 32m 0 (modulo 32)
et donc comme 7n = 1 + 32m alors 7n 1 (modulo 32).
2) 71 = 7 7 (modulo 32)
72 = 49 17 (modulo 32)
73 717 119 23 (modulo 32)
74 723 161 1 (modulo 32)
Conjecture : pour k entier naturel non nul :
Si n = 4k alors 74k 1 (modulo 32) ;
Si n = 4k + 1 alors 74k+1 7 (modulo 32)
Si n = 4k + 2 alors 74k+2 17 (modulo 32)
Si n = 4k + 3 alors 74k+3 23 (modulo 32)
Démonstration :
74k = (74)k = 2401k
Or 2401 1 (modulo 32).
Donc 2401k 1k 1 (modulo 32)
Donc 74k 1 (modulo 32)
74k+1 = 74k7 1 7 7 (modulo 32)
74k+2 = 74k+17 77 49 17 (modulo 32)
74k+3 = 74k+27 497 343 23 (modulo 32)
Exercice de la composition : Spécialité maths TS
CORRECTION
3
3) Si (n,m) vérifie l’équation (F) alors 7n 1 (modulo 32) d’après la question 1).
Donc n est de la forme 4k avec k entier naturel non nul (d’après la question
2)).
Donc n est divisible par 4.
4) Si (n,m) vérifie l’équation (F) alors d’après la question précédente, il existe
un entier naturel k non nul tel que n = 4k.
Donc 2n = 24k = 16k.
Or, 16 1 (modulo 5)
Donc, 16k 1k 1 (modulo 5)
Donc 7n 1 (modulo 5)
5) Si (n,m) vérifie l’équation (F) alors d’après la question précédente 7n 1
(modulo 5), donc 32m 7n 1 1 1 0 (modulo 5)
Etudions les restes dans la division euclidienne de 2m par 5.
21 2 (modulo 5)
22 4 (modulo 5)
23 8 3 (modulo 5)
24 16 1 (modulo 5)
Conjecture : pour k entier naturel non nul :
Si n = 4k alors 24k 1 (modulo 5) ;
Si n = 4k + 1 alors 24k+1 2 (modulo 5)
Si n = 4k + 2 alors 24k+2 4 (modulo 5)
Si n = 4k + 3 alors 24k+3 3 (modulo 5)
Démonstration :
24k = (24)k = 16k
Or 16 1 (modulo 5).
Donc 16k 1k 1 (modulo 5)
Donc 24k 1 (modulo 5)
24k+1 = 24k2 1 2 2 (modulo 5)
24k+2 = 24k+12 22 4 (modulo 5)
24k+3 = 24k+22 24 8 3 (modulo 5)
Exercice de la composition : Spécialité maths TS
CORRECTION
4
Comme aucun reste n’est un multiple de 5, alors 32m n’est pas non plus un
multiple de 5.
Donc l’équation (F) n’a pas de solution pour m ≥ 5.
Autre argument (non encore vu en cours) :
Comme la décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers est
unique et comme la décomposition 32m (2 et 3 sont premiers) ne contient
pas le facteur premier 5, alors 32m ne peut être un multiple de 5.
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