Exercice de la composition : Spécialité maths TS
CORRECTION
2
Partie 1
Pour m = 1, (F) 7n = 1 + 321 = 1 + 6 = 7
Donc n = 1
Pour m = 2, (F) 7n =1 + 32² = 1 + 12 = 13
Pas de valeur possible pour n
Pour m = 3, (F) 7n =1 + 323 = 1 + 24 = 15
Pas de valeur possible pour n
Pour m = 4, (F) 7n =1 + 324 = 1 + 48 = 49
Donc n = 2
Donc pour m ≤ 4, les couples solutions sont (n ,m) = (1,1) et (n,m) = (2,4)
Partie 2
1) Si m ≥ 5, alors l’entier p tel que m = p + 5 est positif.
Alors 32m = 32p+5 = 32p25 = 3232p
Comme 32p est un entier, alors 32m 0 (modulo 32)
et donc comme 7n = 1 + 32m alors 7n 1 (modulo 32).
2) 71 = 7 7 (modulo 32)
72 = 49 17 (modulo 32)
73 717 119 23 (modulo 32)
74 723 161 1 (modulo 32)
Conjecture : pour k entier naturel non nul :
Si n = 4k alors 74k 1 (modulo 32) ;
Si n = 4k + 1 alors 74k+1 7 (modulo 32)
Si n = 4k + 2 alors 74k+2 17 (modulo 32)
Si n = 4k + 3 alors 74k+3 23 (modulo 32)
Démonstration :
74k = (74)k = 2401k
Or 2401 1 (modulo 32).
Donc 2401k 1k 1 (modulo 32)
Donc 74k 1 (modulo 32)
74k+1 = 74k7 1 7 7 (modulo 32)
74k+2 = 74k+17 77 49 17 (modulo 32)
74k+3 = 74k+27 497 343 23 (modulo 32)