Demonstrations Spe TS 2016

Terminale S – Spécialité
Principales démonstrations
DIVISIBILITE ET CONGRUENCES DANS
.
Division euclidienne :
Propriété : Soit a un entier naturel et b un entier naturel non nul.
Il existe un unique couple (q ;r) d’entiers naturels tels que :
a = bq + r et 0 ≤ r < b.
q est le quotient et r le reste de la division euclidienne de a par b.
(a est appelé le dividende).
Démonstration :
Soit a et b dans  avec b ≠ 0.
 Existence de q et r
Propriété d’ Archimède dans  :
Soit b un entier naturel non nul.
Alors, quel que soit l’entier naturel a, il existe un entier naturel n tel que a < nb.
D’après la propriété d’Archimède dans , l’ensemble des entiers naturels n , tels que a < nb
n’est pas vide. Il possède donc un plus petit élément k ≠ 0.
k – 1 est aussi un entier naturel et (k – 1)b ≤ a < kb
On pose alors q = k – 1 et on obtient : qb ≤ a < (q+1)b.
En retranchant qb, on obtient 0 ≤ a – qb < b
En posant r = a – bq, on conclut que a = bq + r et 0 ≤ r < b.
 Unicité de q et r
On suppose a = bq1 + r1 = bq2 + r2 avec 0 ≤ r1 < b et 0 ≤ r2 < b.
On en déduit que –b < r2 – r1 < b et que r2 – r1 = b(q1 – q2).
Ainsi, r2 – r1 est un multiple de b strictement compris entre –b et b.
On a donc r2 – r1 = 0, d’où r2 = r1.
On en déduit alors, du fait que b ≠ 0, que q1 = q2.
D’où l’unicité annoncée dans la propriété.
Remarque :
q est le quotient de la division euclidienne de a par b si, et seulement si, on a :
bq ≤ a <b(q + 1)
Interprétation graphique : On encadre a par deux multiples consécutifs de b.
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Principales démonstrations
Algorithme d’Euclide
Lemme d’Euclide : Soit a, b, q et r des entiers naturels.
Si a = bq + r alors PGCD(a ;b) = PGCD(b ;r).
Démonstration
 Si d est un diviseur commun à a et b alors il divise aussi a et bq.
Il divise donc aussi r = a – bq
Donc d est un diviseur commun à b et r.
 Si d’ est un diviseur commun à b et r alors il divise aussi bq et r.
Il divise donc aussi a = bq + r
Donc d’ est un diviseur commun à a et b.
Conclusion : L’ensemble des diviseurs communs à a et b et l’ensemble des diviseurs communs à b et r
ont les mêmes éléments et donc le même plus grand élément.
On a donc bien PGCD(a ;b) = PGCD(b ;r).
Propriété : Soit a et b deux entiers naturels non nuls, avec a ≥ b.
On définit la suite (rn) d’entiers naturels de la façon suivante :
 r0 = b ;
 r1 est le reste de la division euclidienne de a par b ;
 Pour n ≥ 1 : si rn = 0, alors rn+1 = 0 ;
Si rn ≠ 0, alors rn+1 est le reste de la division euclidienne de rn-1 par rn
Alors il existe un entier p tel que rp ≠ 0 et, pour tout n > p, rn = 0.
On a alors rp = PGCD(a ;b) ;
Démonstration
La division euclidienne de a par b s’écrit a = bq1 + r1, avec 0 ≤ r1 < b.
 Si b|a, alors r1 = 0 et donc le processus s’arrête avec p = 0.
 Si b ne divise pas a, la division euclidienne de b par r1 s’écrit :
b = r1q2 + r2 avec 0 ≤ r2 < r1
Si r2 = 0, le processus s’arrête avec p = 1.
Sinon : on suppose que pour tout entier n, rn ≠ 0, alors rn-1 = rnqn+1 + rn+1 avec 0 ≤ rn+1 < rn.
La suite (rn) est donc une suite d’entiers naturels strictement décroissante.
De plus, rn+1 < rn  rn+1 < rn – 1 et rn ≤ rn-1 – 1  rn+1 ≤ rn-1 – 2
Montrons, par récurrence, que rn+1 ≤ r0 – (n + 1) ≤ b – (n + 1).
Soit Pn la propriété : pour tout n entier naturel, rn+1 ≤ r0 – (n + 1) ≤ b – (n + 1)
P0 est vraie car : r1 ≤ r0 ≤ r0 – 1 ≤ b – 1
Supposons Pn vraie.
rn+2 ≤ rn+1 ≤ rn+1 - 1 ≤ r0 – (n + 1) – 1
Donc rn+2 ≤ r0 – (n + 2) ≤ b – (n + 2)
Donc d’après le principe de récurrence, Pn est vraie pour tout n.
On a alors rb+1 ≤ b – (b + 1) ≤ -1, ce qui est absurde car rn  , pour tout n  .
Donc, la supposition rn ≠ 0 pour tout n était absurde.
Nécessairement, au bout d’un nombre fini de divisions (au maximum b), on obtiendra un reste nul.
Soit rp le dernier reste non nul.
Le lemme d’Euclide permet d’écrire :
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Principales démonstrations
PGCD(a ;b) = PGCD(b ;r1) = PGCD(r1;r2) = …. = PGCD(rp-2;rp-1) = PGCD(rp-1;rp) = rp
car rp+1 = 0 donc rp divise rp-1.
Finalement, on vient de prouver que l’algorithme d’Euclide permettait de déterminer le PGCD de a et
b : c’est le dernier reste non nul dans la succession des divisions euclidiennes définies par cet
algorithme.
Congruences
Théorème : Soit n un entier supérieur ou égal à 2.
La relation de congruence modulo n est compatible avec l’addition et la multiplication dans .
Autrement dit, a, a’, b et b’ étant des entiers relatifs quelconques, on a :
Si a  a’ [n] et b  b’ [n] alors a + b  a’ + b’ [n] et ab  a’b’ [n]
Démonstration
Si a  a’ [n] et b  b’ [n], alors n divise a – a’ et b – b’ ; donc n divise la somme (a – a’) + (b – b’).
On en déduit que n divise (a + b) – (a’ + b’). On en conclut que a + b  a’ + b’ [n].
De même, n divise a – a’ et b – b’ ; donc il existe deux entiers k et k’ tels que :
a = a’ + kn et b = b’ + k’n
Alors en effectuant le produit, on a :
ab = a’b’ + a’k’n + b’kn + kk’n² = a’b’ + n(a’k’ + b’k + kk’n)
Il existe ainsi un entier K (K = a’k’ + b’k + kk’n) tel que ab – a’b’ = nK.
Donc n divise ab – a’b’ et ab  a’b’ [n].
Conséquence : Soit n un entier supérieur ou égal à 2 et a et a’ deux entiers quelconques. On a :
pour tout entier k, si a  a’ [n] alors ka  ka’ [n] ;
pour tout entier naturel p non nul, si a  a’ [n] alors ap  a’p [n]
Démonstration
 On a k  k’ [n] et a  a’ [n] ; d’où par multiplication, avec la propriété précédente : ka  ka’ [n].
 On suppose que a  a’ [n] et on réalise une démonstration par récurrence sur p.
Initialisation : pour p = 1, la propriété est vraie par hypothèse.
On suppose que la propriété est vraie pour un entier k ≥ 1 : ak  bk [n].
On a par hypothèse, a  a’ [n], et, donc, par multiplication, avec le théorème précédent :
ak  a  a’k  a’ [n], c'est-à-dire : ak+1  a’k+1 [n].
La propriété est donc héréditaire à partir du rang 1.
On a ainsi établi la propriété recherchée pour tout entier naturel p ≥ 1.
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Principales démonstrations
NOMBRES PREMIERS.
Nombres premiers
Propriétés :
1. Tout entier plus grand que 1 admet au moins un diviseur premier.
2. Tout entier naturel non premier n différent de 1 admet un diviseur premier a tel que a ≤
3. Il y a une infinité de nombres premiers.
n.
Démonstration
Propriété 1
Soit n un entier strictement supérieur à 1.
 Si n est premier, il admet lui-même comme diviseur premier.
 Si n est composé, il admet d‘autres diviseurs que 1 et n ; soit p le plus petit d’entre eux.
Alors p est premier ; sinon, il serait composé et il admettrait un diviseur d tel que 1 < d < p ;
mais d serait alors un diviseur de n plus petit que p, ce qui est impossible. Donc, p est premier et n
admet p comme diviseur premier.
Propriété 2
Soit n un entier composé strictement supérieur à 1.
n admet un diviseur d autre que 1 et n.
Alors n = dd’ avec d’ > 0.
d est supérieur ou égal à 2.
d' est aussi supérieur ou égal à 2, car si d’ = 1 alors on aurait n = d.
Supposons d ≤ d’.
Alors d² ≤ dd’, soit d² ≤ n ou encore d ≤ n.
D’après le résultat précédent, d admet au moins un diviseur premier a qui est aussi un diviseur
premier de n.
Comme a ≤ d, on en déduit que a ≤
n.
Propriété 3
Raisonnons par l’absurde en supposant qu’il existe un nombre fini d’entiers premiers p1, p2,…., pn.
Soit N = p1 p2…pn +1
N est un entier supérieur ou égal à 2, il admet donc au moins diviseur premier pi (avec 1 ≤ i ≤ n) de
l'ensemble { p1 ;p2;….; pn} (d'après la propriété 1).
pi divise N et pi divise p1 p2…pn; donc pi divise N - p1 p2…pn = 1.
Donc pi = 1 : ce qui est impossible puisque 1 n'est pas premier.
Conclusion : l'ensemble des nombres premiers est infini.
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Théorème de Bézout. Théorème de Gauss
Théorème de Bézout : Deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si et seulement si il
existe des entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1.
Démonstration :

On suppose a et b premiers entre eux ; leur PGCD est 1.
Ainsi, au moins l’un des deux nombres a ou b est non nul, par exemple a.
Soit E l’ensemble des entiers de la forme au + bv, avec u et v entiers.
Cet ensemble n’est pas vide, car il contient a (avec u = 1 et v = 0) et –a (avec u = -1 et v = 0).
E contient a et –a, et l’ un de ces deux entiers est strictement positif, donc E contient au
moins un entier strictement positif.
Soit  le plus petit d’entre eux ; il existe ainsi u0 et v0 entiers tels que :
 = au0 + bv0.
La division euclidienne de a par  s’écrit : a = q + r, avec 0 ≤ r < .
D’où : r = a - q = a – (au0 + bv0)q = a(1 – u0) + b(-v0q).
Ainsi, r appartient à E car il est de la forme au + bv avec u et v entiers (u = 1 – u0 et v = -v0q) .
Comme  est le plus petit élément strictement positif de E, l’inégalité 0 ≤ r <  montre que r
est nul, d’où a = q et  divise a.
On montre de même que  divise b, d’où  = 1 car a et b sont premiers entre eux : il existe bien
deux entiers u0 et v0 tels que au0 + bv0 = 1.

S’il existe des entiers u et v tels que au + bv = 1, alors si d est le PGCD de a et b, il divise a et b,
donc au + bv, c'est-à-dire 1 : ainsi, d vaut 1, et a et b sont premiers entre eux.
Corollaire (Identité de Bézout) : Soit a et b deux entiers relatifs non tous les deux nuls.
Si d = PGCD(a ; b), alors il existe des entiers relatifs u et v tels que au + bv = d.
Démonstration
En effet, soit a et b deux entiers non nuls dont le PGCD est d. Soit les entiers a’ et b’ tels que a=da’
et b = db’. Comme a’ et b’ sont premiers entre eux, il existe des entiers u et v tels que a’u + b’v = 1. En
multipliant les deux membres de cette égalité par d, on obtient :
ua’d + vb’d = d, d’où au + bv = d.
Propriété :
Si un entier est premier avec deux entiers, alors il est premier avec leur produit.
Démonstration
Soit a un entier premier avec b et c : d’après le théorème de Bézout, il existe des entiers u et v tels
que au + bv = 1 et des entiers u’ et v’ tels que au’ + cv’ = 1.
En effectuant le produit membre à membre, on obtient :
(au + bv)(au’ + cv’) = 1, soit : a²uu’ + acuv’ + abvu’ + bcvv’ = 1.
Ou encore : a(auu’ + cuv’ + bvu’) + bc(vv’) = 1
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Principales démonstrations
Comme auu’ + cuv’ + bvu’ et vv’ sont des entiers, le théorème de Bézout montre que a et bc sont
premiers entre eux.
Théorème de Gauss : Soit a, b et c trois entiers non nuls.
Si a divise bc et si a et premier avec b alors a divise c.
Ce théorème est très utile pour résoudre les équations diophantiennes de la forme ax + by = c, avec x
et y entiers.
1.
Démonstration
Si a est premier avec b, d’après le théorème de Bézout, il existe des entiers u et v tels que au + bv =
En multipliant les deux membres de cette égalité par c, on obtient : acu + bcv = c.
Or, a divise acu et bc par hypothèse, donc a divise bcv : on en déduit que a divise acu + bcv, c'est-àdire c.
CALCUL MATRICIEL
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PUISSANCE D’UNE MATRICE - LIMITE
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