Composition 1 Premiere S 2016-2017

Classes de Premières S Mathématiques 7 décembre 2016
1
Nom : Prénom : Classe :
Note : /30 Durée 2 heures
Observations :
Il sera tenu compte de la clarté et de la présentation de la copie.
La calculatrice est autorisée.
Exercice 1 : /6 pts
1) Résoudre dans  les équations suivantes :
a) 2x² + 3x - 9 = 0
b) -6
x² - 9 + 2 = - 1 x - 3
2) Résoudre dans  les inéquations suivantes :
a) -3x² + 7x – 4 > 0
b) x² + 2x – 3
x² + 2x + 1  0
Exercice 2 : /6 pts
Soit H l’hyperbole d’équation y = 6x + 3
x + 3 et D la droite d’équation y = 2x – 1.
1) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de H avec les axes du repère.
2) Conjecturer avec la calculatrice le nombre de points d’intersection de l’hyperbole H
avec la droite D.
3) En résolvant une équation vérifier la conjecture émise.
4) Etudier les positions relatives de H et D.

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2
Exercice 3 : /2 pts
a) Calculer 
i=1
i=3
(2i + 1)²
b) Exprimer à l’aide du symbole  la somme suivante :
1 + 1
4 + 1 16 + 1 64 + 1 256+ 1 1024.
Exercice 4 : /4 pts
Une machine est réglée pour produire des paquets de pâtes de 500 grammes. Pour vérifier le
réglage de cette machine, on prélève un lot de 100 paquets que l’on pèse. Les résultats sont
donnés dans le tableau ci-contre.
1) Déterminer la masse moyenne x d’un
paquet ainsi que l’écart-type .
2) D’après le protocole de maintenance de la
machine, il faut procéder à un réglage si
l’intervalle [ x - 2 ; x + 2] contient
moins de 95% des paquets produits.
Faut-il régler la machine ? Justifier votre
réponse.
Masse (g)
Nombre de paquets
495
1
496
4
497
10
498
12
499
20
500
20
501
16
502
9
503
5
504
2
505
1
Exercice 5 : /8 pts
1) Soit f la fonction définie sur  \ {1} par f(x) = 3x + 2
x - 1 et Cf la courbe représentative
de f dans un repère.
a) Calculer le taux d’accroissement de la fonction f entre 0 et 0 + h.
b) f est-elle dérivable en 0 ?
Dans l’affirmative, calculer le nombre dérivable de f en 0.
c) Déterminer une équation de la tangente à Cf au point d’abscisse 0.
d) Déterminer f ’(x).
2) Pour x   la fonction g est définie par g(x) = (2x² + 1)(-3x + 5).
Déterminer la fonction dérivée de g.
On donnera la forme développée et réduite de g ’(x).

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3
Exercice 6 : /4 pts
Sur la figure ci-dessous, AB = 12, AH = 8, BH = 4 et CH = 6.
On pose AM = x, où x est un nombre réel compris entre 0 et 8.
1) Montrer que MN = 3x
4 et QB = x 2.
2) On note S(x) l’aire du rectangle MNPQ en fonction de x.
a) Déterminer S(x).
b) En déduire la valeur de x pour laquelle l’aire S(x) est maximale ?
Donner également la valeur maximale de cette aire.

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CORRECTION
4
Exercice 1 : /6 pts
1) Résoudre dans  les équations suivantes :
a) 2x² + 3x - 9 = 0
b) -6
x² - 9 + 2 = - 1 x - 3
2) Résoudre dans  les inéquations suivantes :
a) -3x² + 7x – 4 > 0
b) x² + 2x – 3
x² + 2x + 1  0
1) Le discriminant de cette équation du second degré est :
 = b² - 4ac = 3² - 42(-9) = 9 + 72 = 81 = 9²
Comme  > 0, alors cette équation admet deux solutions distinctes :
x1 = -b - 
2a = -3 – 9 22 = - 12 4 = -3 et x2 = -b +  2a = -3 + 9 4 = 6 4 = 3 2
L’ensemble des solutions de cette équation du second degré est donc S = 
-3; 3
2.
Vérification graphique :
On vérifie que les abscisses des points d’intersection de la parabole avec l’axe des
abscisses sont -3 et 3
2.

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CORRECTION
5
b) -6
x² - 9 + 2 = - 1 x - 3  -6 x² - 9 + 2(x² - 9) x² - 9 + x + 3 (x – 3)(x + 3) = 0
 -6 + 2x² - 18 + x + 3
x² - 9 = 0
 2x² + x – 21
x² - 9 = 0
 2x² + x – 21 = 0 et x² - 9  0
 2x² + x – 21 = 0 et x  -3 et x  3
Le discriminant de l’équation du second degré 2x² + x – 21 = 0 est :
 = b² - 4ac = 1² - 42(-21) = 1 + 168 = 169 = 13²
Comme  > 0, cette équation admet deux solutions :
x1 = -b - 
2a = -1 – 13 22 = - 7 2 et x2 = -b +  2a = -1 + 13 22 = 3
Comme 3 est une valeur interdite, l’ensemble des solutions de l’équation
-6
x² - 9 + 2 = - 1 x - 3 est S = 
- 7
2.
Vérification graphique : On trace les courbes d’équation y = -6
x² - 9 + 2 et y = - 1 x - 3.
On vérifie que le seul point d’intersection des deux courbes a pour abscisse – 3
2.
2) Résoudre dans  les inéquations suivantes :