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1er décembre 2014
Géométrie dans l’espace
I Modes de repérage dans l’espace
On note E3l’espace usuel (espace affine de dimension 3), et E3l’ensemble de ses vecteurs (espace vectoriel de
dimension 3).
I.A Repère cartésien, orientation et coordonnées cartésiennes
I.A.1 Repère cartésien
Pour définir un repère cartésien de E3, on se donne un point Oappelé origine, et trois vecteurs ~ iet ~ jet ~ k non
coplanaires de E3.
Pour tout point Mdu plan, le vecteur −−→ OM se décompose de manière unique sous la forme :
−−→
OM =λ~ i+µ~ j+ν~ k
(λ,µ,ν) s’appellent composantes du vecteur −−→ OM dans la base (~ i,~ j,~ k) ou coordonnées cartésiennes du point Mdans
le repère (O,~ i,~ j,~ k).
R=(O,~ i,~ j,~ k) est appelé repère cartésien de l’espace E3, et B=(~ i,~ j,~ k)base de l’espace E3.
Le repère est dit orthonormal lorsque les vecteurs de base du repère sont unitaires et orthogonaux. Soit : k~ ik =
k~ jk=k~ kk=1 et~ i.~ j=~ i.~ k=~ j.~ k=0
Remarque 1 : (admis)
Deux repères orthogonaux sont toujours image l’un de l’autre par un déplacement de l’espace (composée de trans-
lations et de rotations), ou par un antidéplacement (composée d’une symétrie plane et d’un déplacement).
I.A.2 Orientation de l’espace et des plans de l’espace
O
~
i
~
j
~
k
On convient de dire que le repère (O,~ i,~ j,~ k) est direct si l’on « tourne » de ~ ivers ~ jdans le sens de ~ k(la règle des
trois doigts de la main droite, conventions en physique, électromagnétisme...). (O,~ i,~ j) est alors orienté dans le sens
trigonométrique lorsque l’on regarde le plan « par dessus » le vecteur~ k.
Attention : L’orientation de l’espace n’induit aucunement l’orientation d’un plan de cet espace ! Il suffit, pour
orienter un plan de l’espace, de choisir un vecteur ~ kunitaire normal au plan. Une base orthonormal (~ i,~ j) du plan
sera alors directe si la base (~ i,~ j,~ k) est directe dans l’espace. On dit alors que l’on a orienté le plan par le vecteur nor-
mal ~ k.
Dans tout le chapitre, le repère est supposé orthonormé direct, les coordonnées cartésiennes d’un point Msont
notées (x,y,z) et le plan (O,~ i,~ j) est orienté par le vecteur ~ k.
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I.B Coordonnées cylindriques 1er décembre 2014
I.B Coordonnées cylindriques
M
O
H
x
y
z
~
i
~
j
~
k
θ
M(x,y,z) étant un point de E3.
Soit Hle projeté orthogonal de Msur le plan (O,~ i,~ j).
Les coordonnées polaires de Hdans ³0,−→ i,−→ j´sont (r,θ). Avec θune mesure de l’angle orienté (~ i,−−→ OH).
−−→
OM =−−→ OH +z~ k
=r(cosθ~ i+sinθ~ j)+z~ k
Tout point M∈E3peut aussi être repéré par ses coordonnées cylindriques (r,θ,z) définies par rÊ0, θ∈[−π,π[ et
k∈R:
−−→
OM =r(cosθ~ i+sinθ~ j)+z~ k
On a alors :
x=rcosθ
y=rsinθ
z=z
On retrouve bien entendu r2=x2+y2puisque (r,θ) sont les coordonnées polaires de H
I.C Coordonnées sphériques
M
O
H
x
y
z
~
i
~
j
~
k
ϕ
θ
M(x,y,z) étant un point de E3.
Soit Hle projeté orthogonal de Msur le plan (O,~ i,~ j).
ϕune mesure de l’angle orienté (~ i,−−→ OH) dans ³0,−→ i,−→ j´
θune mesure de (~ k,−−→ OM) (l’angle n’est pas orienté, aucune orientation n’étant définie dans le plan (O,~ k,−−→ OM), ce
qui ne pose aucun problème puisque la fonction sinus est positive sur [0,π]).
On note enfin ρ=OM =k−−→ OMk=qx2+y2+z2
Tout point M∈E3peut être alors repéré par ses coordonnées sphériques (ρ,ϕ,θ) définies par ρÊ0, ϕ∈[−π,π[,
θ∈[0,π], et :
−−→
OM =ρsinθ(cosϕ~ i+sinϕ~ j)+ρcosθ~ k
On a alors :
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x=ρcosϕsinθ
y=ρsinϕsinθ
z=ρcosθ
θest la colatitude du point M(en géographie, ϕest la longitude et π
2−θest la latitude).
II Produit scalaire, produit vectoriel, produit mixte
II.A Produit scalaire de deux vecteurs
Soient ~ uet ~ vdeux vecteurs de l’espace. On définit comme dans le plan le produit scalaire de ~ uet ~ vpar :
~
u.~ v=½k~
ukk~ vkcos(~ u,~ v) si ~ u6=0 et ~ v6=0
0 si ~ u=~ 0 ou ~ v=~ 0
En particulier, on a ~ u.~ u=k~ uk2.
Définition 1
Remarque 2 : Cette définition ne nécessite pas de choisir une orientation du plan, ni même de l’espace.
La définition est cohérente dans l’espace car cos(~ u,~ v) ne dépend pas de l’orientation de ~ uet ~ v(cos est une fonction
paire).
Soient ~ uet ~ vdeux vecteurs de E3. Alors ~ u⊥~ vsi et seulement si ~ u.~ v=0.
Proposition 1
Comme dans le plan, le produit scalaire dans l’espace est une application bilinéaire symétrique ce qui permet de
l’exprimer simplement dans une base orthonormée directe :
Le produit scalaire est une application bilinéaire symétrique (voir chapitre géométrie dans le plan pour la défi-
nition).
Proposition 2
Démonstration. Ce résultat a été démontré dans le plan. On admet qu’il reste vrai dans l’espace.
Soit (~ i,~ j,~ k) une base orthonormale de E3et ~ u,~ vdeux vecteurs de coordonnées respectives (x,y,z) et (x′,y′,z′)
dans cette base. Alors :
~
u.~ v=xx′+y y′+zz′
Proposition 3
Démonstration. Il suffit de faire le calcul, en s’aidant des propriétés de bilinéarit2 et de symétrie :
~
u.~ v=(x~ i+y~ j+z~ k).(x′~ i+y′~ j+z′~ k)
=xx′~ i.~ i
|{z}
=1+y y′~
j.~ j
|{z}
=1
+zz′~ k.~ k
|{z}
=1+(x y′+x′y)~
i.~ j
|{z}
=0
+(xz′+x′z)~ i.~ k
|{z}
=0+(yz′+y′z)~
j.~ k
|{z}
=0
=xx′+y y′+zz′
Remarques 3 : 1. En particulier, on a : k~ uk = qx2+y2+z2et si A(xA,yA,zA) et B(xB,yB,zB) dans le repère
(O,~ i,~ j,~ k), alors :AB =k−→ ABk= q(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2
2. On observe que pour tout vecteur ~ u=x~ i+y~ j+z~ k, on a ~ u.~ i=x,~ u.~ j=yet ~ u.~ k=z, ce qui s’écrit aussi ~ u=
(~ u.~ i)~ i+(~ u.~ j)~ j+(~ u.~ k)~ k.
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II.B Produit vectoriel de deux vecteurs 1er décembre 2014
II.B Produit vectoriel de deux vecteurs
Soient ~ uet ~ vdeux vecteurs de l’espace. On définit le produit vectoriel ~ u∧~ v(noté parfois ~ u×~ v) de ~ uet ~ v:
•Si ~
uet ~ vsont colinéaires, alors ~
u∧~ v=~ 0
•Si ~ uet ~ vne sont pas colinéaires, alors :
—~ u∧~ vest un vecteur orthogonal à ~ uet ~ v, et (~ u,~ v,~ u∧~ v) est une base directe de E3.
—k~ u∧~ vk=k~ ukk~ vksin(~ u,~ v)
En considérant que ~ uet ~ vsont représentés dans un plan orienté tel que (~ u,~ v)∈[0,π] (donc sin(~ u,~ v)Ê0).
Définition 2
Remarque 4 : k~ u∧~ vkest l’aire du parallélogramme
construit sur ~ uet ~ v. On a déjà démontré ce point dans
le chapitre Géométrie dans le plan.
~
v
~
u
~
u∧~ v
Soient ~ uet ~ vdeux vecteurs de E3. Alors :
1. ~ uet ~ vsont colinéaires si et seulement si ~ u∧~ v=~ 0.
2. La base (~ u,~ v,~ w) est directe si et seulement si ~ w.(~ u∧~ v)>0.
Proposition 4
Démonstration. Le premier point est clair à l’aide de la définition. Pour le second point, il suffit de remarquer que ~ w.(~ u∧~ v) est du signe du cosinus
de l’angle des vecteurs ~ wet ~ u∧~ v, c’est à dire strictement positif si la base (~ u,~ v,~ w) est directe et strictement négatif si la base (~ u,~ v,~ w) est indirecte.
Pour tout vecteur ~ vde l’espace, on peut construire le produit vectoriel ~ u∧~ ven composant les trois applications
suivantes.
1. On effectue la projection orthogonale du vecteur ~ vsur un plan vectoriel orthogonal à (~ u). Le vecteur ~ v′obtenu
est orthogonal à ~ uet k~ v′k=k~ vksin(~ u,~ v), où (~ u,~ v)∈[0,π]).
2. On effectue une rotation vectorielle d’angle π
2du vecteur ~
v′dans ce plan orienté par le vecteur normal ~ u. Le
vecteur ~ v′′ obtenu est orthogonal à ~ v′et ~ v, et reste dans le plan de vecteur normal ~ u. On a aussi k~ v′′k=k~ v′k.
3. Pour construire le vecteur ~ u∧~ v, il reste à effectuer l’homothétie vectorielle de rapport k~ ukdu vecteur ~ v′′. Ainsi,
le vecteur obtenu est bien orthogonal à ~ uet ~ vet de norme k~
ukk~ vksin(~ u,~ v).
~
v′
~
u∧~ v
~
u
~
v
Le produit vectoriel est une application bilinéaire et antisymétrique (voir chapitre géométrie dans le plan pour
la définition).
Proposition 5
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II.C Déterminant (ou produit mixte) de trois vecteurs 1er décembre 2014
Démonstration. La linéarité de l’application ~ v→~ u∧~ vdécoule directement des propriétés des projections orthogonales, rotations et homothéties,
et de la décomposition du produit vectoriel vue ci-dessus. (les trois transformations étant linéaires).
Du fait de l’antisymétrie, pour tout vecteur ~ vfixé, l’application ~ u→~ u∧~ vest également linéaire.
Soit (~ i,~ j,~ k) une base orthonormale directe de E3et ~ u,~ vdeux vecteurs de coordonnées respectives (x,y,z) et
(x′,y′,z′) dans cette base. Alors :
~
u∧~ v=(yz′−zy′)~ i+(zx′−xz′)~ j+(x y′−y x′)~ k
=y y′
z z′~
i−x x′
z z′~
j+x x′
y y′~
k
Ce que l’on peut encore noter :
~
u∧~ v=µ¯¯¯¯
y y′
z z′¯¯¯¯,¯¯¯¯
z z′
x x′¯¯¯¯,¯¯¯¯
x x′
y y′¯¯¯¯¶
Proposition 6
Démonstration. Il suffit de faire le calcul, en s’aidant des propriétés de bilinéarité et d’antisymétrie :
~
u∧~ v=(x~ i+y~ j+z~ k)∧(x′~ i+y′~ j+z′~ k)
=xx′~ i∧~ i
|{z}
=~ 0
+y y′~ j∧~ j
|{z}
=~ 0
+zz′~ k∧~ k
|{z}
=~ 0
+(x y ′−x′y)~ i∧~ j
|{z}
=~ k
+(−xz′+x′z)~ k∧~ i
|{z}
=~ j
+(yz′−y′z)~ j∧~ k
|{z}
=~ i
=(yz′−zy′)~ i+(zx′−xz′)~ j+(x y ′−yx′)~ k
Remarque 5 : On passe d’une coordonnée à l’autre par permutation circulaire sur les lettres x,y,z.
II.C Déterminant (ou produit mixte) de trois vecteurs
Soient ~ u,~ v,~ w∈E3. On appelle déterminant (ou produit mixte) des vecteurs ~ u,~ vet ~ wla quantité :
det(~ u,~ v,~ w)=~ u.(~ v∧~ w)
Celle-ci est aussi notée [~ u,~ v,~ w].
Définition 3
Soit (~ i,~ j,~ k) une base orthonormale de E3et ~ u,~ v,~ wtrois vecteurs de coordonnées respectives (x,y,z),(x′,y′,z′)
et (x′′,y′′,z′′) dans cette base. Alors :
det(~ u,~ v,~ w)=
x x′x′′
y y′y′′
z z′z′′
(notation)
=xy′y′′
z′z′′ −yx′x′′ z′z′′ +zx′x′′ y′y′′
Proposition 7
Démonstration. Il suffit de faire le calcul
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