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24 mars 2013
Espaes vetoriels.
K “ R ou C est un orps.
I Dénitions et exemples
I.A Espae vetoriel sur un orps K
Dénition 1. On appelle espae vetoriel sur K (ou K-espae vetoriel, ou K-e.v.) un ensemble E muni de 2
lois :
‚ Une loi interne ` (appliation de E ˆ E dans E ) telle que pE, `q est un groupe ommutatif. On note alors
~0E (ou ~0) l'élément neutre de e groupe.
‚ Une loi externe . (appliation de K ˆ E dans E ) telle que pour tout p~u, ~v q P E 2 et pλ, µq P K2 , on a :
(a)
(b)
()
(d)
1.~u “ ~u
pλ ` µq.~u “ λ.~u ` µ.~u
λ.p~u ` ~v q “ λ.~u ` λ.~v
λ.pµ.~uq “ pλµq.~u
Les éléments de E sont appelés veteurs (parfois notés sans èhes u, v ) et eux de K sont appelés salaires.
~0E est appelé veteur nul.
Exemple 1. Pour tout entier n P N˚ , Kn est K-e.v.
Les lois `, . sont dénies par :
‚ px1 , x2 , . . . , xn q ` py1 , y2 , . . . , yn q “ px1 ` y1 , x2 ` y2 , . . . , xn ` yn q
‚ λ.px1 , x2 , . . . , xn q “ pλx1 , λx2 , . . . , λxn q
(On pourra vérier tous les points de la dénition en exerie).
Remarque 1. Les veteurs du plan ou de l'espae de la géométrie usuelle (qu'on identie à
R2 et à R3 )
forment des R-e.v., qui servent de modèle à la struture d'espae vetoriel. On utilisera souvent es modèles
pour représenter géométriquement un espae vetoriel quelonque.
Exemples 2. En plus de eux que l'on vient de voir, voii les exemples les plus lassiques d'espaes vetoriels :
Espaes vetoriels de nombres : C'est un as partiulier de l'espae vetoriel Kn ave n “ 1. Par exemple,
R est un R-espae vetoriel et C est un C-espae vetoriel.
C est également un R-espae vetoriel. Attention ependant à ne pas onfondre C, en tant que R-espae
vetoriel, et C en tant que C-espae vetoriel !
Espaes vetoriels de fontions : De manière générale, l'ensemble des fontions F pX, Eq “ E X , d'un ensemble X non vide dans un K-espae vetoriel E , est un K-espae vetoriel pour les lois ` et . dénies
par :
"
pf ` gqpxq
pλ.f qpxq
“
“
f pxq ` gpxq
λf pxq
Par exemple, l'ensemble F pR, Rq “ RR des fontions de R dans R est un R-espae vetoriel dont le veteur
nul est la fontion nulle :
"
~0RR “ f :
R
0
Ñ R
Þ
Ñ
0
On dénit de même le C-espae vetoriel F pR, Cq “ CR .
Espaes vetoriels de suites : C'est un as partiulier du as préédent (ave X “ N). L'ensemble RN des
suites réelles (resp. CN des suites omplexes), muni des lois usuelles, est un R´espae vetoriel (resp.
C´espae vetoriel)
Espaes vetoriels de polynmes : RrXs (resp. CrXs)), muni des lois usuelles, est un R-espae vetoriel (resp.
C-espae vetoriel).
Lyée Jean Perrin 2011/2012
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Espaes vetoriels.
I.B Combinaisons linéaires dans un espae vetoriel
24 mars 2013
Proposition 1. Soit E un K-e.v., λ, µ P K et ~u, ~v P E , alors :
1. λ.~u “ ~0E ô pλ “ 0 ou ~u “ ~0E q
2. pλ ´ µq.~u “ λ.~u ´ µ.~u
3. λ.p~u ´ ~v q “ λ.~u ´ λ.~v
Montrons 1q. 2q et 3q pourront être montrés à titre d'exerie :
ð : Montrons que 0.~
u “ ~0E et que λ.~0E “ ~0E :
Démonstration.
u “ 1.~
~
u “ p1 ` 0q.~
u “ 1.~
u ` 0.u “ ~
u ` 0.~
u
don 0.~
u“~
u´u
~ “ ~0E , e qui démontre le premier point. De plus :
λ.~0E “ λ.p~0E ` ~0E q “ λ.~0E ` λ.~0E
don λ.~0E “ λ.~0E ´ λ.~0E “ ~0E , e qui démontre le deuxième point.
ñ : Supposons λ.~
u “ ~0E , alors on a λ “ 0 ou λ ‰ 0, et dans e as :
~
u“
1
1
.pλ.~
uq “ .~0E “ ~0E
λ
λ
Don λ “ 0 ou ~
u “ ~0E .
I.B Combinaisons linéaires dans un espae vetoriel
Dénition 2. Soit E un K-e.v., on dit que le veteur u P E est ombinaison linéaire de la famille p~u1 , ~u2 , . . . , ~upq
de veteurs (ou des p veteurs ~u1 , ~u2 , . . . , ~up ), s'il existe des salaires λ1 , λ2 , . . . , λp de K tels que :
u“
n
ÿ
i“1
λi ~ui “ λ1 ~u1 ` λ2 ~u2 ` ¨ ¨ ¨ ` λp ~up
Cette ériture est également appelée déomposition du veteur ~u suivant la famille de veteurs p~u1 , ~u2 , . . . , ~up q.
Exemples 3.
1. Dans C (onsidéré omme un R-espae vetoriel), tout nombre est ombinaison linéaire de 1 et i.
2. Dans RrXs, tout polynme de degré inférieur ou égal à n est ombinaison linéaire des veteurs 1, X, X 2 , . . . , X n .
('est la base anonique de Kn rXs on remarque au passage qu'elle omporte n ` 1 veteurs !)
3. Dans Kn , ~u “ px1 , x2 , . . . , xn q est toujours ombinaison linéaire des veteurs :
~e1 “ p1, 0, . . . , 0q, ~e2 “ p0, 1, 0, . . . , 0q, . . . , ~en “ p0, 0, . . . , 0, 1q
En eet, ~u “
n
ÿ
xi~ei
i“1
Cette base (notion à dénir) est la base anonique de Kn !
1 si i “ j
0 sinon.
Alors, la base anonique de Kn est l'ensemble des n veteurs Vect ei “ pδ1i , δ1i , ...δni q pour tout i P J1, nK.
On peut la dénir en utilisant le symbole de Kroneker souvent utile : δij “
"
4. Dans F pR, Rq, on onsidère les fontions :
f : x ÞÑ sh x
f1 : x ÞÑ ex
f2 : x ÞÑ e´x
Alors f est ombinaison linéaire de f1 et f2 dans F pR, Rq ar :
@x P R,
1
2
sh x “
ex ´ e´x
2
1
2
e qui entraîne la relation f “ f1 ´ f2 .
5. Toutes les solutions d'une équation diérentielle homogène du seond ordre à oeients onstant s'érit
omme ombinaison linéaire de deux fontions. (f “ a.y1 ` b.y2 ave pa, bq P K2 ).
Exerie I.1.
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Espaes vetoriels.
I.C Sous-espaes vetoriels
24 mars 2013
1. Dans R2 , érire ~u “ p3, 2q omme ombinaison linéaire de ~u1 “ p1, ´1q et ~u2 “ p1, 2q.
2. Dans R3 , ~u “ p1, 1, 1q peut-il s'érire omme ombinaison linéaire de
~u1 “ p1, 1, 0q et ~u2 “ p0, 1, 1q ?
3. Dans RrXs, P “ X est-il ombinaison linéaire de P1 “ X ´ 1 et de
P2 “ X `
1
?
2
4. Dans le R-e.v. C, érire 2 ` i omme ombinaison linéaire de 1 ` i et 1 ´ i.
5. Dans F pR, Rq, on onsidère les fontions :
f : x ÞÑ sinpx ` 1q
f1 : x ÞÑ sin x
f2 : x ÞÑ cos x
Montrer que f est ombinaison linéaire de f1 et f2 dans F pR, Rq
Remarque 2. Il peut y avoir plusieurs ombinaisons linéaires donnant le même veteur. Par exemple dans R3 ,
~u “ p1, 4, ´1q est ombinaison linéaire des trois veteurs :
~e1 “ p1, 2, 0q, ~e2 “ p1, 0, 1q et ~e3 “ p´1, 2, ´2q
En eet on peut par exemple onstater que ~u “ ~e1 ` ~e2 ` ~e3 et que ~u “ 2~e1 ´ ~e2 ` 0~e3 .
Proposition 2. Soit n veteurs ~v1 , ~v2 , . . . , ~vn , tous ombinaisons linéaires d'une famille p~u1 , ~u2, . . . , ~up q de
veteurs. Toute ombinaison linéaire ~u des veteurs ~v1 , ~v2 , . . . , ~vn est également ombinaison linéaire des veteurs
~u1 , ~u2 , . . . , ~up .
On montrera ette proposition dans le as partiulier n “ 2 et p “ 3.
u1 , ~
u2 et ~
u3 ,
Le passage au as général ne présente pas de diultés. On suppose que ~v1 et ~v2 sont ombinaisons linéaires de ~
et que ~v est ombinaison linéaire de ~v1 et ~v2 . On pose alors :
Démonstration.
~
v1 “ α1 ~
u1 ` α2 u
~ 2 ` α3 ~
u3 et ~v2 “ β1 ~
u1 ` β 2 ~
u2 ` β 3 ~
u3
On alule alors :
u
~
u
~
“
λ~
v1 ` µ~
v2
“
λα1 ~
u1 ` λα2 ~
u2 ` λα3 ~
u3 ` µβ1~v1 ` µβ2 ~
u2 ` µβ3 ~
u3
“
pλα1 ` µβ1 q~
u1 ` pλα2 ` µβ2 q~
u2 ` pλα3 ` µβ3 q~
u3
Don ~
u est ombinaison linéaire de ~
u1 , ~
u2 et ~
u3 .
I.C Sous-espaes vetoriels
I.C.1 Dénition et exemples
Dénition 3. Soit pE, `, .q un espae vetoriel et F une partie de E . On dit que F est un sous-espae vetoriel
(s.e.v.) de E si pF, `, .q est un espae vetoriel.
Proposition 3 (Dénitions équivalentes). Soit
équivalents :
E un K-e.v. et F une partie de E . p1q, p2q, p3q et p4q sont
(1) F est un sous-espae vetoriel de E .
(2)
#
piq ~0E P F
piiq @~u, ~v P F, @λ, µ P K, λ.~u ` µ.~v P F
$
~
’
& piq 0E P F
(3)
piiq @~u, ~v P F, ~u ` ~v P F
’
%
piiiq @λ P K, @~u P F, λ.~u P F
#
piq ~0E P F
(4)
piiq @λ P K, @~u, ~v P F, λ.~u ` ~v P F
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Espaes vetoriels.
I.C Sous-espaes vetoriels
Démonstration.
24 mars 2013
Montrons p1q ñ p2q ñ p3q ñ p1q (il est évident que (3) et (4) sont équivalentes) :
p1q ñ p2q : Soit F un s.e.v. de E .
(i) Par dénition, on sait que pF, `q est un groupe, don il s'agit d'un sous-groupe de pE, `q, e qui entraîne que ~0E P F .
u, ~v P F et λ, µ P K. La loi . est externe, don λ.~
u et µ.~
v P F , et omme la loi ` est interne, on a alors
(ii) Soient ~
λ.~
u ` µ.~
v P F.
p2q ñ p3q : C'est évident.
p3q ñ p1q : Supposons p3q. On vérie que pF, `q est un sous groupe de pE, `q, ar :
~0E P F
Si ~u P F , on a p´1q.~
u “ ´~
u P F.
Si ~u P F , on a ~u ` ~v P F , don F est stable par `.
Don pF, `q est un groupe. pcq nous montre que la loi . est externe, e qui ahève la démonstration du fait que pF, `, .q est
un espae vetoriel (les autres propriétés proviennent de elles de E ).
Remarques 3.
1. Pour montrer que F Ă E est un s.e.v. de l'espae vetoriel E , il sura don de montrer que F vérie l'une
des équivalenes p2q ou p3q.
2. La deuxième équivalene de la proposition signie que pour que F Ă E soit un s.e.v. de E , il faut et il sut
qu'il ontienne l'élément neutre ~0E et qu'il soit stable par toute ombinaison linéaire de deux veteurs
('est à dire que toute ombinaison linéaire de deux veteurs de F est dans F ).
u “ λ~
~
u ` µ~
v
~
u
~0E
F
~
v
3. Pour montrer qu'un ensemble E est un K-espae vetoriel, il est beauoup plus rapide de montrer qu'il
s'agit d'un s.e.v. d'un K-espae vetoriel onnu.
4. On déduit de l'équivalene p2q que si p~v1 , ~v2 , . . . , ~vp q est une famille de p veteurs d'un sous-espae vetoriel
F de E , toute ombinaison linéaire
p
ÿ
i“1
λi~vi (λi P K) des veteurs de ette famille est enore dans F (la
démonstration se fait aisément par réurrene sur p).
Tout sous-espae vetoriel est don stable par ombinaison linéaire.
Remarque 4. Voii des exemples simples de sous-espaes vetoriels :
1. Si E est un K-e.v., alors t~0E u et E sont des sous-espaes vetoriels de E .
2. Si E est un K-e.v. et ~u ‰ ~0E un veteur de E , alors l'ensemble :
K.~u “ tλ.~u, λ P Ku
est un s.e.v. de E , appelé droite vetorielle engendrée par le veteur ~u.
u
~
K~
u
Démonstration. Montrons le deuxième point de la remarque :
u, ~v2 “ α2 .~
u P K~
u et λ, µ P K, alors :
u P K.~
u. De plus, si ~v1 “ α1 .~
On a ~0E “ 0.~
λ.~
v1 ` µ.~
v2 “ pλα1 ` µα2 q.~
u P K.~
u
Don K.~
u est un sous-espae vetoriel de E .
Exemple 4.
Démonstration.
Kn rXs “ tP P KrXs, deg P ď nu est un s.e.v. de KrXs.
On a 0 P Kn rXs. De plus, si P, Q P Kn rXs et λ, µ P K, alors :
degpλP ` µQq ď maxpdegpλP q, degpµQqq ď maxpdeg P, deg Qq ď n
Don λP ` µQ P Kn rXs. Kn rXs est don un sous-espae vetoriel de KrXs.
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Espaes vetoriels.
I.C Sous-espaes vetoriels
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I.C.2 Intersetion et somme de sous-espaes vetoriels
Proposition 4. Toute intersetion (nie ou innie) de sous-espaes vetoriels d'un K-espae vetoriel E est un
sous-espae vetoriel de E .
Démonstration.
Soit pFi qiPI une famille de sous-espaes vetoriels de E , et F “
č
Fi . On a :
iPI
@i P I, ~0E P Fi , don ~0E P F .
u, ~
v P F . i étant un élément xé de I , on sait que λ.~
u ` µ.~
v P Fi (ar Fi est un s.e.v. de E ). Cei étant
Soient λ, µ P K et ~
u ` µ.~
v P F.
vrai pour tout i hoisi dans I , on en déduit que λ.~
F est don bien un sous-espae vetoriel de E .
Remarques 5.
1. En partiulier, si F et G sont deux s.e.v. de E , alors F X G est un s.e.v. de E .
F XG
F
G
2. Attention ! C'est en général faux pour une réunion de s.e.v.
Par exemple, F1 “ Rp1, 0q et F2 “ Rp0, 1q sont des s.e.v. de R2 , mais :
p1,
0q
p0,
1q
lo
omo
on ` lo
omo
on “ p1, 1q {P F1 Y F2
PF1 YF2
PF1 YF2
Don F1 Y F2 n'est pas un s.e.v. de R2 .
F2
p1, 1q {P F1 Y F2
p0, 1q
p1, 0q
F1
Dénition 4. Soient F1 et F2 deux s.e.v. d'un K-e.v. E . On appelle somme des s.e.v. F1 et F2 l'ensemble :
F1 ` F2 “ t~u1 ` ~u2 , ~u1 P F1 , ~u2 P F2 u
F2
F1
F1 ` F2
Proposition 5. La somme de deux s.e.v. d'un K-e.v. E est un s.e.v. de E .
Soient F1 et F2 deux s.e.v. de E :
On a ~0E P F1 et ~0E P F2 , don ~0E ` ~0E “ ~0E P F1 ` F2 .
Démonstration.
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Espaes vetoriels.
I.C Sous-espaes vetoriels
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Soient λ, µ P K et ~
u, ~v P F1 ` F2 . On a alors :
"
u“~
~
u1 ` ~
u2
~
v “ ~v1 ` ~
v2
ave ~u1 , ~v1 P F1 et ~
u2 , ~v2 P F2
Ave es notations, on peut ainsi exprimer :
λ.~
u ` µ.~
v
“
λ.p~
u1 ` ~
u2 q ` µ.p~
v1 ` ~
v2 q
“
u2 ` µ.~
v2 q P F1 ` F2
pλ.~
u1 ` µ.~
v1 q ` pλ.~
loooooomoooooon
loooooomoooooon
PF2
PF1
Don F1 ` F2 est un sous-espae vetoriel de E .
Exemple 5.
F1 “ R1 rXs et F2 “ RX 3 sont des s.e.v. de RrXs, don :
F1 ` F2 “ tα ` βX ` γX 3 , α, β, γ P Ru
est un sous-espae vetoriel de RrXs.
I.C.3 Sous-espae vetoriel engendré par une famille nie de veteurs
Dénition 5 (et propriété).
˚ Soit p~u1 , ~u2 , . . . , ~up q une famille de veteurs d'un K-espae vetoriel E . L'ensemble des ombinaisons linéaires
de ette famille est un sous-espae vetoriel de E , appelé sous-espae vetoriel engendré par la famille
p~u1 , ~u2 , . . . , ~up q. Cet ensemble est alors noté Vectp~u1 , ~u2 , . . . , ~up q ou ă ~u1 , ~u2 , . . . , ~up ą.
Soit F “ Vectp~
u1 , ~
u2 , . . . , ~
up q :
~
u1 ` 0.~
u2 ` ¨ ¨ ¨ ` 0.~
up P F
On a 0E “ 0.~
Démonstration.
Soient λ, µ P K et ~
u, ~
v P F . On a alors λ.~
u ` µ.~
v P F , ar λ.~
u ` µ.~
v est ombinaison linéaire de p~
u1 , ~
u2 , . . . , ~
up q d'après la
proposition 2.
En onlusion, F est un sous-espae vetoriel de E .
Exemples 6.
1. Si u ‰ ~0E , on remarque que :
Vectp~uq “ tλ.~u, λ P Ku “ K.~u
C'est don la droite vetorielle engendrée par le veteur ~u.
2. Dans le R-e.v. C, le s.e.v. engendré par t1u est R, le s.e.v. engendré par tiu est iR (imaginaires purs), et
le s.e.v. engendré par t1, iu est C
Exerie I.2. Dans haun des as suivants, montrer que F est un s.e.v. de E , engendré par des éléments que
l'on préisera :
1) E “ R2 et F “ tpx, yq P R2 { x “ 2yu.
2) E “ R3 et F “ tpx, y, zq P R3 { 3x ` y ´ 2z “ 0u.
3) E “ R4 rXs et F “ tP P R4 rXs{ pX 2 ` 1q|P u.
Proposition 6. Soit ~u1 , ~u2, . . . , ~up des veteurs d'un K-e.v. E . Alors Vectp~u1 , ~u2 , . . . , ~up q est l'intersetion de
tous les s.e.v. de E ontenant ~u1 , ~u2 , . . . , ~up ('est à dire le plus petit s.e.v. de E ontenant es veteurs) :
Vectp~u1 , ~u2 , . . . , ~up q “
č
Fi
Fi s.e.v.
u
~ 1 ,~
u2 ,...,~
up PFi
On pose F “ Vectp~
u1 , ~
u2 , . . . , ~
up q. Montrons les inlusions réiproques :
Ě : F est un s.e.v. de E et ~
u1 , ~
u2 , . . . , ~
up P F , don :
č
Fi Ď F
Démonstration.
Fi s.e.v.
u
~ 1 ,~
u2 ,...,~
up PFi
u1 , ~
u2 , . . . , ~
up . Comme Fi est stable par ombinaisons linéaires, toute ombinaison
Ď : Soit Fi un s.e.v. ontenant les veteurs ~
linéaire de es veteurs est dans Fi . Don Vectp~
u1 , ~
u2 , . . . , ~
up q Ď Fi , d'où :
č
F Ď
Fi
Fi s.e.v.
u
~ 1 ,~
u2 ,...,~
up PFi
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Espaes vetoriels.
I.C Sous-espaes vetoriels
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I.C.4 Sous-espaes vetoriels supplémentaires
Dénition 6. Soit E un K-e.v. et F, G deux s.e.v. de E . On dit que F et G sont en somme direte (F ‘ G) si
tout élément de F ` G se déompose de manière unique en somme d'un élément de F et d'un élément de
G. Dans e as, on note la somme (direte) de F et G :
F `G“F ‘G
G
E
u
~
uG
~
uF
~
F
F `G
u“~
uF ` ~
uG
@~
u P F ` G, D! p~
uF , ~
uG q P F ˆ G tel que ~
Proposition 7. Soit E un K-e.v. et F, G deux s.e.v. de E . Alors F et G sont en somme direte si et seulement
si F X G “ t~0E u.
Démonstration.
Montrons les deux impliations réiproques :
ð : Supposons F X G “ ~0E . Soit ~
u P F ` G, montrons que l'ériture ~
u“~
u1 ` ~
u2 ave ~
u1 P F et ~
u2 P G est unique. Si on
érit :
~
u “ loo~
umo
umo
vmo
vmo
1on ` loo~
2on “ loo~
1 on ` loo~
2 on
PF
PG
PF
PG
on a alors ~looomooon
u1 ´ ~
v1 “ ~
~ “ ~0E , ompte tenu de l'hypothèse de départ. Par suite, on a
v
u2 “ w
~ P F X G, e qui entraîne w
2 ´~
looomooon
PF
PG
~
u1 “ ~
v1 et ~
u2 “ ~v2 , e qui prouve bien que l'ériture ~
u“~
u1 ` ~
u2 est unique, et don que la somme F ` G est direte.
ñ : Supposons F ‘ G. Soit ~
u P F X G. On érit simplement :
~ Eon ` loomo
~
u “ loomo
~
u on ` loo~0mo
u on
~
Eon “ loo0mo
PF
PG
PG
PF
D'où ~
u “ ~0E , par uniité de la déomposition de ~
u en somme d'un élément de F et d'un élément de G.
Exemple 7. Dans R3 , les droites vetorielles D1 “ Rp1, 1, 0q et D2 “ Rp0, 1, 1q sont en somme direte. En eet,
si ~u P D1 X D2 , on peut érire :
~u “ λp1, 1, 0q “ µp0, 1, 1q
e qui entraine, par identiation λ “ µ “ 0, et don ~u “ p0, 0, 0q “ ~0R3 . D'où D1 X D2 “ t~0R3 u, et on onlut
grâe à la proposition 7.
Dénition 7. Soit
E un K-e.v. et F, G deux s.e.v. de E . On dit que F et G sont supplémentaires dans E
lorsque tout veteur de E se déompose de manière unique en somme d'un veteur de F et d'un veteur de G.
G
E
u
~
uG
~
uF
~
F
u“~
uF ` ~
uG
@~
u P E, D! p~
uF , ~
uG q P F ˆ G tel que ~
Proposition 8. Soit E un K-e.v. et F, G deux s.e.v. de E . Alors F et G sont supplémentaires dans E si et
seulement si F ‘ G et F ` G “ E . Lorsque F et G sont supplémentaires, on note :
F ‘G“E
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Espaes vetoriels.
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Exemples 8.
1. Dans R2 , F “ Rp1, 0q et G “ Rp0, 1q sont des s.e.v. supplémentaires.
2. Dans l'espae de la géométrie usuelle, un plan vetoriel et une droite vetorielle non parallèle à e plan
sont supplémentaires.
3. Dans R3 , F “ tpx, y, zq P R3 , x ` y ` z “ 0u et G “ Rp1, 0, 0q sont des s.e.v. supplémentaires.
Montrons 1q et 3q :
1q ‚ Montrons F ‘ G. Si ~
u P F X G, on a ~
u “ px, 0q “ p0, yq, don par identiation x “ y “ 0, e qui entraine ~
u “ p0, 0q,
don F X G “ tp0, 0qu.
1q. Don E “ F ` G.
‚ Montrons F ` G “ E . Si ~
u “ px, yq P E , on a ~
u “ xp1,
0q ` yp0,
loomoon
loomoon
Démonstration.
PG
PF
3q ‚ Montrons F ‘ G. Si ~
u P F X G, on a ~
u “ pλ, 0, 0q et λ ` 0 ` 0 “ 0, don λ “ 0 e qui entraine ~
u “ p0, 0, 0q, don
F X G “ tp0, 0, 0qu.
‚ Montrons F ` G “ E . Si ~
u “ px, y, zq P E , on herhe ~
u1 “ px1 , y1 , z1 q P F et ~
u2 “ px2 , y2 , z2 q P G tels que :
u“~
~
u1 ` ~
u2
Si un tel ouple existe, on a x1 “ ´y1 ´ z1 et y2 “ z2 “ 0 don :
px, y, zq “ px2 ´ y1 ´ z1 , y1 , z1 q
Ainsi y1 “ y , z1 “ z , x2 “ x ` y1 ` z1 “ x ` y ` z et x1 “ ´y1 ´ z1 “ ´y ´ z . Finalement, on a :
` y ` z, 0, 0q
~
u “ looooooomooooooon
p´y ´ z, y, zq ` px
looooooooomooooooooon
PG
PF
Réiproquement un tel ouple onvient, don E “ F ` G.
Exerie I.3. On donne E “ F pR, Rq, et on pose :
P “ tf P E, f est paire.u
et I “ tf P E, f est impaire.u
1. Vérier que P et I sont des s.e.v. de E .
2. Montrer que P ‘ I “ E .
3. Érire la fontion exponentielle omme somme d'un élément de P et d'un élément de I .
II Familles de veteurs
II.A Familles génératries
Dénition 8. Soit p~u1 , ~u2 , . . . , ~up q une famille de veteurs d'un K-e.v. E . On dit que p~u1 , ~u2, . . . , ~up q est une
famille génératrie (nie) de E (ou que les veteurs ~u1 , ~u2 , . . . , ~up engendrent l'espae vetoriel E ) si tout veteur
~u P E est ombinaison linéaire des veteurs ~u1 , ~u2 , . . . , ~up .
i.e. @~u P E, Dλ1 , λ2 , . . . , λp P K tels que ~u “
p
ÿ
λi ~ui
i“1
Autrement dit, E “ Vectp~u1 , ~u2 , . . . , ~up q.
Exemples 9.
1. Dans R2 , p1, 0q et p0, 1q forment une famille génératrie ar :
@x, y P R2 ,
px, yq “ xp1, 0q ` yp0, 1q
2. Dans R2 , p1, 1q et p1, ´1q forment une famille génératrie ar :
@x, y P R2 ,
px, yq “
x´y
x`y
p1, 1q `
p1, ´1q
2
2
3. Dans Kn rXs, la famille p1, X, X 2 , . . . , X n q est génératrie ar :
@P P Kn rXs,
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P “
n
ÿ
ak X k
k“0
Espaes vetoriels.
II.B Familles libres
24 mars 2013
Remarque 6. Il existe également des familles génératries innies (hors programme). Une famille innie de
veteurs est dite génératrie si tout veteur de E s'érit omme ombinaison linéaire d'un nombre ni de veteurs
de ette famille. Par exemple, dans KrXs, la famille pX n qnPN “ p1, X, X 2 , . . . , X n , . . .q est génératrie ar tout
P P KrXs s'érit P “
deg
ÿP
ak X k .
k“0
Exerie II.1. Soit E un K-ev quelonque, ~u, ~v P E et F
“ă ~u, ~v ą. Montrer que p~u ` ~v , ~u ´ ~vq est une famille
génératrie de F
u`~
~
v
~
v
~
u
u´~
~
v
Vectp~
u, ~
vq
II.B Familles libres
Dénition 9 (et propriété). Soit p~u1 , ~u2 , . . . , ~up q une famille de veteurs d'un K-e.v. E . Les onditions suivantes
sont équivalentes :
(i) L'un des veteurs ~ui est ombinaison linéaire des autres.
(ii) Il existe λ1 , λ2 , . . . , λp P K qui ne sont pas tous nuls tels que :
λ1 ~u1 ` λ2 ~u2 ` ¨ ¨ ¨ ` λp ~up “ ~0E
Dans e as, on dit que la famille p~u1 , ~u2 , . . . , ~up q est liée, ou enore que les veteurs ~u1 , ~u2 , . . . , ~up sont linéairement dépendants (ou liés).
Démonstration.
Proédons par impliations réiproques :
piq ñ piiq Supposons qu'il existe un veteur ~
ui0 ombinaison linéaire des autres veteurs, alors il existe des éléments α1 , α2 , . . . , αi0 ´1 , αi0 `1 , . . .
tels que
ui0 “
~
p
ÿ
αk ~
uk
k“1
k‰i0
Ainsi, α1 ~
u1 ` α2 ~
u2 ` . . . , αi0 ´1 ~
ui0 ´1 ` lo
p´1q
ui0 ` αi0 `1 ~
ui0 `1 . . . ` αp ~
up “ ~0E , et on onstate que la relation piiq est vériée.
omoon ~
‰0
piiq ñ piq Supposons qu'il existe λ1 , λ2 , . . . , λp P K non tous nuls (ave par exemple λi0 ‰ 0) tels que λ1 ~
u1 `λ2 ~
u2 `¨ ¨ ¨`λp ~
up “
~0E . On a alors :
p
ÿ
p´λk q~
uk
λi0 ~
ui0 “
k“1
k‰i0
Ainsi, ~
ui0 “
p ˆ
ÿ
k“1
k‰i0
´
λk
λi0
˙
uk , e qui démontre piq.
~
Dénition 10. Lorsque deux veteurs sont liés, on dit qu'ils sont olinéaires.
Exemples 10.
1. Dans R2 , les veteurs p´1, 0q et p2, 0q sont liés, ar :
2.p´1, 0q ` 1.p2, 0q “ p0, 0q
2. Dans R2 rXs, les veteurs X 2 , X ` 1, X ´ 1 et X sont liés, ar :
0.X 2 ` 1.pX ` 1q ` 1.pX ´ 1q ´ 2.X “ 0
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3. Dans le C-ev F pR, Cq, on onsidère les fontions :
f1 : x ÞÑ cos x
f2 : x ÞÑ sin x
et f3 : x ÞÑ eix
La famille pf1 , f2 , f3 q est une famille liée, ar :
@x P R, cos x ` i sin x ´ eix “ 0, don f1 ` if2 ´ f3 “ 0
Remarques 7.
1. Toute famille de veteurs qui ontient le veteur nul est liée.
2. Si p~u1 , ~u2 , . . . , ~up q est liée, alors toute famille p~u1 , ~u2 , . . . , ~up , ~up`1 , . . . , ~up`q q, obtenue à partir de la préédente en ajoutant des éléments, est liée
Cherhons maintenant si la famille pp1, ´1, 0q, p1, 2, 0qq est liée dans R3 . Pour ela, il sut de herher
pλ, µq ‰ p0, 0q tels que :
Cette ondition entraîne alors
"
λp1, ´1, 0q ` µp1, 2, 0q “ p0, 0, 0q
λ`µ “ 0
´λ ` 2µ “ 0
On démontre aisément que e système a pour unique solution λ “ µ “ 0. La famille pp1, ´1, 0q, p1, 2, 0qq n'est
don pas liée dans R3 .
Dénition 11. On dit que la famille p~u1 , ~u2, . . . , ~up q est libre si elle n'est pas liée, 'est à dire que pour tous
λ1 , λ2 , . . . , λp P K non tous nuls, on a :
λ1 ~u1 ` λ2 ~u2 ` ¨ ¨ ¨ ` λp ~up ‰ ~0E ,
ou enore par ontraposée :
@λ1 , λ2 , . . . , λp P K,
´
¯
˘
λ1 ~u1 ` λ2 ~u2 ` ¨ ¨ ¨ ` λp ~up “ ~0E ñ pλ1 “ ¨ ¨ ¨ “ λp “ 0
C'est à dire également qu'auun veteur n'est ombinaison linéaire des autres.
On dit aussi que ~u1 , ~u2 , . . . , ~up sont linéairement indépendants.
Exemples 11.
1. Un veteur non nul forme une famille libre :
p~u ‰ 0 et λ.~u “ ~0E q ñ λ “ 0
2. Dans R2 , p1, 0q et p0, 1q sont linéairement indépendants ar :
λ.p1, 0q ` µ.p0, 1q “ p0, 0q ñ pλ, µq “ p0, 0q ñ pλ “ µ “ 0q
Remarque 8. Si p~u1 , ~u2 , . . . , ~up q est une famille libre, toute famille extraite p~uα
1
1 ď α1 ă α2 ă ¨ ¨ ¨ ă αk ď p) est libre.
, ~uα2 , . . . , ~uαk q de elle-i (ave
Exerie II.2.
1. Montrer que les veteurs X 2 ` 1, X ´ 1 et X ` 1 sont linéairement indépendants dans RrXs.
2. Montrer que la famille p1, 2 ` X, X 2 ` X ` 3, X 3 ´ 2X 2 ` 2X ´ 1q est libre dans RrXs. Pouvait-on prévoir
e résultat ?
Proposition 9. Toute famille pP1 , P2 , . . . , Pk q de polynmes non nuls et de degrés deux à deux distints est
libre dans KrXs.
Démonstration.
Admise
Exerie II.3. Montrer que la famille pf1 , f2, f3 q de F pR` , Rq, dénie par :
f1 : x ÞÑ
?
x
f2 : x ÞÑ x
et f3 : x ÞÑ x2
est libre dans F pR` , Rq.
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Théorème 1. Soit
n P N˚ et p~u1 , ~u2 , . . . , ~un q une famille de n veteurs d'un K-e.v. E . Soit ~v1 , ~v2 , . . . , ~vn`1
pn ` 1q veteurs, tous ombinaisons linéaires de p~u1 , ~u2 , . . . , ~un q, autrement dit :
@j P rr1, n ` 1ss ,
~vj “
n
ÿ
αj,k ~uk
k“1
Alors la famille p~v1 , ~v2 , . . . , ~vn`1 q est liée.
Nous allons démontrer e résultat uniquement pour n “ 1 et n “ 2 :
‚ n “ 1 : Si ~
v1 et ~
v2 sont ombinaisons linéaires du veteur ~
u1 , on a :
"
~
v1 “ α~
u1
~
v2 “ β~
u1
Démonstration.
Si α “ 0 ou β “ 0, p~v1 , ~v2 q est liée d'après la remarque 7. Sinon, on a β~v1 ´ α~v2 “ ~0E , ave β ‰ 0 par exemple, don p~v1 , ~v2 q
est enore liée.
‚ n “ 2 : Si ~
v1 , ~v2 et ~
v3 sont ombinaisons linéaires des veteur ~
u1 et ~
u2 , on a :
$
u1 ` α2 ~
u2
& ~v1 “ α1 ~
~v2 “ β1 ~
u1 ` β 2 ~
u2
%
v3 “ γ1 u1 ` γ2 u2
p1q
p2q
p3q
Si α1 “ α2 “ 0 ou β1 “ β2 “ 0 ou γ1 “ γ2 “ 0, p~v1 , ~v2 , ~v3 q est liée d'après la remarque 7. Sinon, on peut supposer par
u2 dans le système :
exemple que γ2 ‰ 0, e qui permet d'éliminer ~
γ2 p1q ´ α2 p3q
ñ
γ2 ~
v1 ´ α2 ~
v3 “ pγ2 α1 ´ γ1 α2 q~
u1
γ2 p2q ´ β2 p3q
ñ
γ2 ~
v2 ´ β2~v3 “ pγ2 β1 ´ γ1 β2 q~
u1
D'après le as n “ 1, la famille pγ2 ~v1 ´ α2~v3 , γ2 ~v2 ´ β2~v3 q est liée, don Dλ1 , λ2 P K, ave λ1 ‰ 0 par exemple tel que :
λ1 pγ2 ~v1 ´ α2~v3 q ` λ2 pγ2 ~v2 ´ β2~
v3 q “ ~0E
Ce qui donne alors :
plo
λo1mo
γo2nq~
v1 ` pλ2 γ2 q~
v2 ´ pλ1 α2 ~
v3 ` λ2 β2 q~
v3 “ ~0E
‰0
Don p~v1 , ~v2 , ~v3 q est liée.
Exemples 12.
1. Dans RrXs, la famille p1, X ` 1, X 2 ` X, X 2 ` 1q est liée, ar 'est une famille de 4 veteurs, tous ombinaisons linéaires des trois veteurs 1, X et X 2 .
2. Dans R2 , toute famille de trois veteurs est liée, ar es veteurs sont ombinaisons linéaires des deux
veteurs p1, 0q et p0, 1q.
3. De même, dans R3 , toute famille de 4 veteurs est liée, ar es veteurs sont ombinaisons linéaires des
trois veteurs p1, 0, 0q, p0, 1, 0q et p0, 0, 1q. Plus généralement dans Kn , toute famille de n ` 1 veteurs est
liée.
Conséquene : En fait, on peut déduire du théorème que dans un espae vetoriel engendré par n veteurs,
toute famille libre a au plus n éléments.
II.C Bases
Dénition 12. Soit p~u1 , ~u2 , . . . , ~upq une famille de veteurs d'un K-e.v. E . On dit que la famille p~u1 , ~u2 , . . . , ~upq
est une base de E si elle est libre et génératrie.
Exemples 13.
1. Dans R2 , p1, 0q et p0, 1q forment une base, appelée base anonique de R2 . De même dans R3 , la base
anonique est pp1, 0, 0q, p0, 1, 0q, p0, 0, 1qq, et plus généralement dans Kn , la base anonique est :
pp1, 0, . . . , 0q, p0, 1, 0, . . . , 0q, . . . , p0, 0, . . . , 0, 1qq
2. Dans Kn rXs, p1, X, X 2 , . . . , X n q est une base enore appelée base anonique.
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Théorème 2 (Existene et uniité de la déomposition dans une base). Soit p~u1 , ~u2 , . . . , ~un q une base du K-e.v.
E . Alors tout veteur ~u de E s'érit de manière unique omme ombinaison linéaire de p~u1 , ~u2 , . . . , ~un q.
i.e. @~u P E, D!pλ1 , λ2 , . . . , λn q P Kn t.q. ~u “ λ1 ~u1 ` λ2 ~u2 ` ¨ ¨ ¨ ` λn ~un
Montrons l'existene et l'uniité de ette ériture :
Existene : C'est lair ar p~
u1 , ~
u2 , . . . , ~
un q est génératrie, don tout veteur ~
u P E s'érit omme ombinaison linéaire de ette
famille.
~ P E . On érit :
Uniité : Soit u
Démonstration.
u “ λ1 ~
~
u1 ` λ2 ~
u2 ` ¨ ¨ ¨ ` λn ~
un “ µ1 ~
u1 ` µ2 ~
u2 ` ¨ ¨ ¨ ` µn ~
un
Alors pλ1 ´ µ1 q~
u1 ` pλ2 ´ µ2 q~
u2 ` ¨ ¨ ¨ ` pλn ´ µn q~
un “ ~0E . Or la famille p~
u1 , ~
u2 , . . . , ~
un q est libre, d'où :
λ1 ´ µ1 “ λ2 ´ µ2 “ ¨ ¨ ¨ “ λn ´ µn “ 0
Don pλ1 , λ2 , . . . , λn q “ pµ1 , µ2 , . . . , µn q, e qui prouve l'uniité d'une telle ériture.
Dénition 13. Soit p~u1 , ~u2 , . . . , ~un q une base du K-e.v. E .
On appelle oordonnés (ou omposantes ) d'un veteur ~u de E dans la base p~u1 , ~u2 , . . . , ~un q l'unique n-uplet
pλ1 , λ2 , . . . , λn q de Kn tel que :
~u “
n
ÿ
λk ~uk
k“1
Exemples 14.
1. Dans le R-espae vetoriel R2 :
a) px, yq a pour oordonnées px, yq dans la base anonique, ar
px, yq “ xp1, 0q ` yp0, 1q
b) La famille pp1, 1q, p1, ´1qq est une base de R2 , et px, yq a pour oordonnées
`x ` y x ´ y ˘
,
2
2
dans ette base. En eet, on a démontré à l'exerie 9 que ette famille est génératrie et que :
px, yq “
x`y
x´y
p1, 1q `
p1, ´1q
2
2
Il reste à montrer qu'elle est libre :
λp1, 1q ` µp1, ´1q “ p0, 0q ñ pλ ` µ, λ ´ µq “ p0, 0q
"
"
2λ “ 0 pL1 ` L2 q
λ`µ“0
ñ
ñ
λ“µ
λ´µ“0
ñ λ“µ“0
p1, 1q
p0, 1q
Par exemple, le veteur
p1, 0q a pour oordonnées :
p1, 0q
pα, βq “
ˆ
1 1
,
2 2
˙
dans la nouvelle base.
p1, ´1q
2. Dans R3 rXs, le polynme P “ 1 ` 2X 2 ` 3X 3 a pour oordonnées p1, 0, 2, 3q dans la base anonique.
Exerie II.4. Justier que la famille pP1 , P2 , P3 , P4 q “ p1, 1 ` X, X ` X 2, X 2 ` X 3q est une base de R3 rXs,
et exprimer les oordonnées de P0 “ 1 ` 2X 2 ` 3X 3 dans ette base.
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Montrons que pP1 , P2 , P3 , P4 q est libre et génératrie :
Cette famille est libre, ar omposée de polynmes non nuls de degrés deux à deux distints.
Pour montrer qu'elle est génératrie, il sut d'exprimer un veteur quelonque P “ a ` bX ` cX 2 ` dX 3 omme ombinaison
linéaire de pP1 , P2 , P3 , P4 q. Or :
Solution.
P “ αP1 ` βP2 ` γP3 ` δP4
P “ αP1 ` βP2 ` γP3 ` δP4
ô
P “ α ` βp1 ` Xq ` γpX ` X 2 q ` δpX 2 ` X 3 q
ô
P “ pα ` βq ` pβ ` γqX ` pγ ` δqX 2 ` γX 3
ô
a “ α ` β, b “ β ` γ, c “ γ ` δ, d “ γ
ô
γ “ d, δ “ c ´ d, β “ b ´ c ` d, α “ a ´ b ` c ´ d
Don P “ pa ´ b ` c ´ dqP1 ` pb ´ c ` dqP2 ` pc ´ dqP3 ` dP4 .
On en déduit que la famille pP1 , P2 , P3 , P4 q est génératrie, et que P0 “ P2 ´ P3 ` 3P4 a pour oordonnées p0, 1, ´1, 3q dans
ette base.
III Espaes vetoriels de dimension nie
III.A Dimension d'un espae vetoriel
Dénition 14. On dit que le K-e.v. E est de dimension nie s'il existe une famille génératrie nie de E . Dans
le as ontraire E est dit de dimension innie.
Exemples 15. Pour n P N˚ , les espaes vetoriels Kn et Kn rXs sont de dimension nie.
Remarque 9.
Démonstration.
KrXs est de dimension innie.
On peut montrer e résultat par l'absurde. Supposons que KrXs est de dimension nie, alors il existe une famille
pP1 , P2 , . . . , Pn q qui en est génératrie. On pose alors :
N “ max pdeg Pi q
1ďiďn
Tout polynme qui est ombinaison linéaire des pP1 , P2 , . . . , Pn q aura un degré inférieur ou égal à N , don ette famille n'est pas
génératrie de KrXs (par exemple, elle n'engendre pas X N`1 ). Cette ontradition prouve ainsi le résultat.
Théorème 3. Soit E un K-e.v. de dimension nie.
1. Si E admet une famille libre p~ℓ1 , ~ℓ2 , . . . , ~ℓp q de p veteurs et une famille génératrie p~g1 , ~g2 , . . . , ~gm q de m
veteurs, alors p ď m.
2. Si de plus E admet une base p~e1 , ~e2 , . . . , ~en q de n veteurs, alors p ď n ď m.
3. Enn, sous les onditions préédentes :
‚ Si p “ n, alors p~ℓ1 , ~ℓ2 , . . . , ~ℓp q est une base de E .
‚ Si m “ n, alors p~g1 , ~g2 , . . . , ~gm q est une base de E .
Démonstration.
1. C'est immédiat d'après le théorème 1 (ou plutt sa onséquene).
2. Si p~e1 , ~e2 , . . . , ~en q est une base de E , alors elle est génératrie don p ď n,
et libre don n ď m.
3. ‚ Supposons p “ n, et montrons que la famille libre p~
ℓ1 , ~
ℓ2 , . . . , ~
ℓn q est génératrie. Soit ~
u P E . On sait d'après 1q que
p~
ℓ1 , ~
ℓ2 , . . . , ~
ℓn , ~
uq est liée, don Dλ1 , λ2 , . . . , λn , λ non tous nuls tels que :
λ1 ~
ℓ1 ` λ2 ~
ℓ2 ` ¨ ¨ ¨ ` λn ~
ℓn ` λ~
u“0
Si λ “ 0, alors λ1 ~
ℓ1 , ~
ℓ2 , . . . , ~
ℓn q est libre, e qui est en
ℓ1 ` λ2 ~
ℓ2 ` ¨ ¨ ¨ ` λn ~
ℓn “ 0, don λ1 “ λ2 “ . . . “ λn “ 0 ar p~
ontradition ave l'hypothèse λ1 , λ2 , . . . , λn , λ non tous nuls.
1
Don λ ‰ 0 et : ~
ℓ1 ` λ2 ~
ℓ2 ` ¨ ¨ ¨ ` λn ~
ℓn q
u “ ´ pλ1 ~
λ
Cette relation prouve que ~u P Vectp~
ℓ1 , ~
ℓ2 , . . . , ~
ℓn q, et don que ette famille est génératrie (don qu'il s'agit d'une base
de E ).
‚ Supposons m “ n, et montrons que la famille génératrie p~g1 , ~
g2 , . . . , ~
gn q est libre. Si e n'est pas le as, l'un des veteurs
de ette famille, par exemple ~gn , est ombinaison linéaire de p~g1 , ~g2 , . . . , ~gn´1 q, don tout veteur de E est ombinaison
linéaire de p~g1 , ~g2 , . . . , ~gn´1 q ('est faile à onstater).
La famille p~g1 , ~g2 , . . . , ~gn´1 q est alors une famille génératrie de pn ´ 1q veteurs, e qui ontredit 2q. On a don ainsi
prouvé que p~g1 , ~g2 , . . . , ~gn q est libre (don qu'il s'agit d'une base de E ).
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Espaes vetoriels.
III.A Dimension d'un espae vetoriel
24 mars 2013
Théorème 4 (Théorème de la base inomplète).
Soit E un K-e.v. de dimension nie, non réduit à t~0E u.
1. Soit p~g1 , ~g2 , . . . , ~gn q une famille génératrie de E .
Alors, on peut extraire de ette famille une base, 'est à dire qu'on peut hoisir des éléments parmi
t~g1 , ~g2 , . . . , ~gn u, de façon à former une base de E .
2. Soit p~ℓ1 , ~ℓ2 , . . . , ~ℓp q une famille libre de E .
Alors, on peut ompléter ette famille en une base p~ℓ1 , ~ℓ2 , . . . , ~ℓp , ~ℓp`1 , . . . , ~ℓn q de E .
Démonstration.
Admise.
Les théorèmes 3 et 4 sont fondamentaux dans la théorie des espaes vetoriels et vont nous permettre de
justier la dénition suivante :
Dénition 15. Soit E ‰ t~0E u un K-e.v. de dimension nie. Alors E admet au moins une base, et toutes les
bases de E ont le même nombre n ě 1 de veteurs.
L'entier n est appelé dimension de E et noté : n “ dimK E “ dim E
Par onvention, on pose dim E “ 0 si E “ t~0E u.
Démonstration. Un espae vetoriel de dimension nie admet par dénition une famille génératrie nie, dont on peut extraire une
base p~e1 , ~e2 , . . . , ~en q d'après le théorème 4. Si pf~1 , f~2 , . . . , f~m q est une autre base de E , alors ette famille est libre don m ď n, et
génératrie don m ě n (d'après le théoréme 3). Don n “ m.
Exemples 16.
1. Kn est de dimension n.
2. Kn rXs est de dimension n ` 1.
Exemple 17. Dans le R-espae vetoriel E “ R4 , on onsidère les veteurs
f~1 “ p1, 0, 1, 0q et f~2 “ p1, 1, 1, 0q
On vérie aisément que pf~1 , f~2 q est une famille libre de R4 , don on peut la ompléter en une base de R4 .
Soit p~e1 , ~e2 , ~e3 , ~e4 q la base anonique de R4 . On va ompléter pf~1 , f~2 q en une base à l'aide des veteurs de la base
anonique (on sait que 'est possible ar pf~1 , f~2 , ~e1 , ~e2 , ~e3 , ~e4 q est génératrie).
Vérions que pf~1 , f~2 , ~e1 q est libre :
$
& λ1 ` λ2 ` λ3 “ 0
λ2 “ 0
λ1 f~1 ` λ2 f~2 ` λ3~e1 “ ~0 ñ
%
λ1 ` λ2 “ 0
ñ λ1 “ λ2 “ λ3 “ 0
Don pf~1 , f~2 , ~e1 q est libre.
Vérions que pf~1 , f~2 , ~e1 , ~e4 q est libre :
λ1 f~1 ` λ2 f~2 ` λ3~e1 ` λ4~e4 “ ~0
$
λ1 ` λ2 ` λ3 “ 0
’
’
&
λ2 “ 0
ñ
’ λ1 ` λ2 “ 0
’
%
λ4 “ 0
ñ λ1 “ λ2 “ λ3 “ λ4 “ 0
Don pf~1 , f~2 , ~e1 , ~e4 q est une famille libre de 4 veteurs de R4 , don une base de R4 d'après le théorème 3.3q.
Remarque 10. Dans l'exemple que l'on vient de traiter, on peut diretement montrer que pf~1 , f~2 , ~e1 , ~e4 q est
libre, il sut d'avoir l'intuition du résultat.
Remarque 11. Si dim E “ 1, E est une droite vetorielle. Si dim E “ 2, on dit que E est un plan vetoriel.
Proposition 10. Soit E un K-e.v. de dimension n.
(i) Toute famille génératrie de n veteurs de E est une base de E .
(ii) Toute famille libre de n veteurs de E est une base de E .
Démonstration.
C'est une onséquene immédiate du théorème 3.
Lyée Jean Perrin 2011/2012
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Espaes vetoriels.
III.B Dimension d'un sous-espae vetoriel
24 mars 2013
Cette propriété est très utile. En eet dans un espae de dimension n (par exemple Rn ), elle nous indique
que pour montrer qu'une famille de n veteurs est une base de et espae, il sut de montrer qu'elle est libre
ou génératrie.
Exerie III.1. On se plae dans le R-e.v. E “ R3 rXs.
1) On onsidère les polynmes :
P1 “ X ` X 3
P2 “ X ´ 2X 2 ` 2X 3
P3 “ 1 ` X
pP1 , P2 , P3 q est-elle une base de E ?
2) Que peut-on dire de la famille pP1 , P2 , P3 , P4 q, ave P4 “ X ` X 2 ?
Exerie III.2. La famille p~e1 , ~e2 , ~e3 q “ pp1, 1, 1q, p´1, 1, 1q, p1, ´1, 1qq est-elle une base de R3 ? Si oui, exprimer
les oordonnées du veteur p1, 2, 3q dans ette base.
III.B Dimension d'un sous-espae vetoriel
Proposition 11. Soit
E un K-e.v. de dimension nie et F un s.e.v. de E . Alors F est de dimension nie et
dim F ď dim E . De plus, dim F “ dim E si et seulement si F “ E .
Démonstration.
Admise.
Proposition 12. Soient F et G deux s.e.v. d'un K-e.v. de dimension nie. Alors F ` G et F X G sont de
dimension nie, et :
dimpF ` Gq “ dim F ` dim G ´ dimpF X Gq
Démonstration.
On note k “ dimpF X Gq, p “ dim F et m “ dim G.
Soit p~e1 , ~e2 , . . . , ~ek q une base de F XG, qu'on omplète en une base p~e1 , ~e2 , . . . , ~ek , f~k`1 , . . . , f~p q de F , et en une base p~e1 , ~e2 , . . . , ~ek , ~gk`1 , . . . , ~gm q
de G. Montrons que p~e1 , ~e2 , . . . , ~ek , f~k`1 , . . . , f~p , ~gk`1 , . . . , ~gm q est une base de F ` G.
‚ Génératrie : Si ~
u “ loo~
umo
umo
1on ` loo~
2on P F ` G, alors :
PF
PG
u1
~
“
λ1 ~
e1 ` λ2~
e2 ` ¨ ¨ ¨ ` λk ~ek ` λk`1 f~k`1 ` ¨ ¨ ¨ ` λp f~p
u2
~
“
µ1 ~
e1 ` µ2~e2 ` ¨ ¨ ¨ ` µk ~ek ` µk`1~gk`1 ` ¨ ¨ ¨ ` µm~gm
D'où ~
u “ pλ1 ` µ1 q~
e1 ` ¨ ¨ ¨ ` pλk ` µk q~
ek ` λk`1 f~k`1 ` ¨ ¨ ¨ ` λp f~p ` µk`1~gk`1 ` ¨ ¨ ¨ ` µm~gm , e qui prouve le résultat.
‚ Libre : Supposons qu'il existe λ1 , λ2 , . . . , λp , µk`1 , . . . , µm P K tels que :
λ1~
e1 ` λ2~e2 ` ¨ ¨ ¨ ` λk ~
ek ` λk`1 f~k`1 ` ¨ ¨ ¨ ` λp f~p ` µk`1~gk`1 ` ¨ ¨ ¨ ` µm~gm “ ~0E
On pose alors :
gk`1 ´ ¨ ¨ ¨ ´ µm ~
gm
u“λ
~
e1 ` λ2~
e2 ` ¨ ¨ ¨ ` λk ~ek ` λk`1 f~k`1 ` ¨ ¨ ¨ ` λp f~p “ ´µ
1~
k`1 ~
looooooooooooooooomooooooooooooooooon
looooooooooooooooooooooooooooooooooooomooooooooooooooooooooooooooooooooooooon
PG
PF
u “ α1 ~
e1 ` α2~e2 ` ¨ ¨ ¨ ` αk ~
ek “ ´µk`1~gk`1 ´ ¨ ¨ ¨ ´ µm~gm .
~
u P F X G, don ~
On a alors :
α1 ~
e1 ` α2~e2 ` ¨ ¨ ¨ ` αk ~
ek ` µk`1~gk`1 ` ¨ ¨ ¨ ` µm ~
gm “ ~0E
et omme p~e1 , ~e2 , . . . , ~ek , ~gk`1 , . . . , ~gm q est une base de G :
α1 “ ¨ ¨ ¨ “ αp “ µk`1 “ ¨ ¨ ¨ “ µm “ 0
Il s'ensuit λ1~e1 ` λ2 ~e2 ` ¨ ¨ ¨ ` λk ~ek ` λk`1 f~k`1 ` ¨ ¨ ¨ ` λp f~p “ 0 et don, omme p~e1 , ~e2 , . . . , ~ek , f~k`1 , . . . , f~p q est une base
de F :
λ1 “ ¨ ¨ ¨ “ λp “ λk`1 “ ¨ ¨ ¨ “ λm “ 0
Cei ahève de montrer que la famille p~e1 , ~e2 , . . . , ~ek , f~k`1 , . . . , f~p , ~gk`1 , . . . , ~gm q est libre.
La formule sur les dimensions s'obtient alors failement en omptant les éléments de la base de F ` G ainsi obtenue.
Dénition 16. On appelle rang d'une famille de veteurs la dimension du s.e.v. engendré par ette famille.
Lyée Jean Perrin 2011/2012
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Espaes vetoriels.
III.C Sous-espaes vetoriels supplémentaires en dimension nie
24 mars 2013
Remarque 12. Le rang d'une famille de veteurs est le nombre maximal de veteurs indépendants de ette
famille.
Exerie III.3. On donne les veteurs suivants de R3 :
~u1 “ p1, ´1, 1q
~u2 “ p´1, 1, 3q
~u3 “ p´1, 1, 1q
Déterminer le rang de la famille p~u1 , ~u2 , ~u3 q.
III.C Sous-espaes vetoriels supplémentaires en dimension nie
Proposition 13. Soit E un K-e.v. de dimension nie et F, G deux s.e.v. de E . Les trois propriétés suivantes
sont équivalentes :
(i) E “ F ‘ G
(ii) dim E “ dim F ` dim G et F X G “ t~0E u
(iii) dim E “ dim F ` dim G et E “ F ` G.
Montrons piq ñ piiq ñ piiiq ñ piq
piq ñ piiq : On suppose E “ F ‘ G, alors :
Démonstration.
E “ F ` G et F X G “ t~0E u
Don dim E “ dimpF ` Gq “ dim F ` dim G ´ dimpF
X Gq “ dim F ` dim G
loooooomoooooon
“0
piiq ñ piiiq : On suppose dim E “ dim F ` dim G et F X G “ t~0E u. On a alors :
dimpF ` Gq “ dim F ` dim G ´ dimpF
X Gq “ dim F ` dim G “ dim E
loooooomoooooon
“0
Don F ` G “ E .
piiiq ñ piq : On suppose dim E “ dim F ` dim G et E “ F ` G. On a alors :
dimpF X Gq “ dim F ` dim G ´ dimpF ` Gq “ dim F ` dim G ´ dim E “ 0
Don F X G “ t~0E u.
Exerie III.4. On donne les sous-espaes vetoriels suivants de R3 :
F “ tpx, y, zq P R3 { x ` y ` 2z “ 0u ;
G “ tpx, y, zq P R3 { x “ 0u ;
H “ Rp1, 1, 1q
F et G sont-ils des sous-espaes vetoriels supplémentaires ? Même question pour F et H .
Proposition 14 (Existene d'un supplémentaire). Soit E un K-e.v. de dimension nie. Alors tout s.e.v. F de
E admet un s.e.v. supplémentaire G. De plus :
dim G “ dim E ´ dim F
On pose n “ dim E . Soit F un s.e.v. de E , et p~e1 , ~e2 , . . . , ~ep q une base de F . On la omplète alors en une base
p~
e1 , ~e2 , . . . , ~ep , ~
ep`1 , . . . , ~en q de E .
Démonstration.
Soit G “ Vectp~ep`1 , . . . , ~en q. On vérie failement à l'aide de la proposition 13 que G onvient. En eet, on a dim E “ dim F `dim G,
u P E , on a :
et de plus si ~
λp`1~
ep`1 ` ¨ ¨ ¨ ` λn~
en
u“λ
~
e1 ` λ2 ~
e2 ` ¨ ¨ ¨ ` λp ~
ep ` looooooooooooooomooooooooooooooon
1~
looooooooooooooooomooooooooooooooooon
PF
Don ~
u P F ` G.
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PG
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Espaes vetoriels.
TABLE DES MATIÈRES
24 mars 2013
Table des matières
I Dénitions et exemples
I.A Espae vetoriel sur un orps K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.B Combinaisons linéaires dans un espae vetoriel . . . . . . . . . . . . .
I.C Sous-espaes vetoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.C.1 Dénition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.C.2 Intersetion et somme de sous-espaes vetoriels . . . . . . . .
I.C.3 Sous-espae vetoriel engendré par une famille nie de veteurs
I.C.4 Sous-espaes vetoriels supplémentaires . . . . . . . . . . . . .
II Familles de veteurs
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1
1
2
3
3
5
6
7
8
II.A Familles génératries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
II.B Familles libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
II.C Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
III Espaes vetoriels de dimension nie
13
III.A Dimension d'un espae vetoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
III.B Dimension d'un sous-espae vetoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
III.C Sous-espaes vetoriels supplémentaires en dimension nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
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Espaes vetoriels.