FRACTIONS 5 cours Fractions

5ème
cours Fractions
FRACTIONS
FRACTIONS................................................................................................................................................. 1
I. Fractions et nombres décimaux........................................................................................................................................ 2
II.
Simplification d’une fraction : ..................................................................................................................................... 2
III.
Comparaison de fractions ............................................................................................................................................ 3
IV.
Quotient de deux nombres décimaux ........................................................................................................................... 4
V.
Multiplication de fractions :......................................................................................................................................... 4
VI.
Fraction d’une quantité ................................................................................................................................................ 5
VII. Addition et soustraction de deux ou de plusieurs fractions :........................................................................................ 5
1
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I. Ecriture fractionnaire
On a hachuré les
5
du rectangle.
6
Définition :
Soit a un nombre entier et b un nombre entier qui n’est pas égal à 0, le quotient de a par b
se note :
a
.
b
a
est une fraction.
b
a est le numérateur.
b est le dénominateur.
3
est une fraction. 3 est le numérateur. 4 est le dénominateur.
4
3,1
n’est pas une fraction mais une écriture fractionnaire.
4
Exemple :
II. Fractions et nombres décimaux
a) Certaines fractions sont des nombres décimaux.
17
= 0,85 est un nombre décimal
Exemple :
20
b) Certaines fractions ne sont pas des nombres décimaux.
57
n’est pas un nombre décimal car la division de 57 par 11 ne se termine pas.
Exemple :
11
c) encadrement, troncature et arrondi
•
•
•
57
57
<5,19 est un encadrement de
11
11
57
5 est une troncature à l’unité de
11
57
5,2 est un arrondi au dixième de
11
5,18 <
III. Simplification d’une fraction :
4
6
2
3
2
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4 2× 2 2
=
=
6 2×3 3
Si on multiplie (ou divise) le numérateur et le dénominateur d’une fraction par le même
nombre, non nul on obtient la même fraction.
Exemples :
1)
3,1 3,1 × 10 31
=
=
4
4 × 10
40
On peut transformer toute écriture fractionnaire en fraction.
2)
15 5 × 3 3
=
=
25 5 × 5 5
On dit qu’on a simplifié
3) Simplifie le plus possible :
15
par 5.
25
21
55
et
49
77
IV. Comparaison de fractions
a) En effectuant les divisions
3
7
et
5
10
3
7
7
3
=0,6 et
= 0,7 donc
>
5
10
10
5
Exemple : comparer
b) En écrivant des fractions égales de même dénominateur
Règle : Si 2 fractions ont le même dénominateur, alors la plus grande est celle qui a le
plus grand numérateur.
Ex : comparer
2
5
et
7
7
Remarque : Si les fractions n’ont pas le même dénominateur, alors on les met d’abord
sur le même dénominateur.
3 7
Exemple : Comparer 15 et 6 .
Dénominateur commun :
3
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On détermine un multiple commun (le plus petit possible) aux dénominateurs des
fractions puis on procède comme dans l’exemple ci-dessous :
3 7
Exemple : 15 et 6 .
Le plus petit multiple commun à 15 et 6 est 30 donc le dénominateur commun à ces deux
fractions est 30 et on a alors :
3 3× 2 6
7 7 × 5 35
et =
=
=
= .
15 15 × 2 30
6 6 × 5 30
Remarques :
1) parfois le dénominateur commun est le plus grand des deux dénominateurs :
Ex : Chercher le dénominateur commun de
1
1
et
3
6
2) Quand on ne trouve pas de dénominateur commun, il suffit de multiplier les
dénominateurs entre eux.
Ex : Chercher le dénominateur commun de
Ex : Comparer
2
3
et
3
4
3
5
et
2
7
V. Quotient de deux nombres décimaux
Le résultat d’une division ne change pas si l’on multiplie ou si l’on divise le dividende et
le diviseur par un même nombre, en particulier par 10, 100, 1 000 , etc ….
Exemple : diviser 1,65 par 1,5 revient à diviser 16,5 par 15 ou à diviser 165 par 150.
VI. Multiplication de fractions :
Pour multiplier 2 fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs
entre eux.
a c a×c
× =
b d b×d
Ex :
3 2
× = ...
5 7
Remarque : On a toujours intérêt de simplifier avant de calculer :
4
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2 3 5 2× 3× 5
× × =
= ...
3 5 4 3× 5× 4
5 7 3
× × = ...
12 25 14
VII. Fraction d’une quantité
Pour calculer
a
a
d’une quantité, on multiplie cette quantité par .
b
b
Le mot « de » se traduit souvent par le signe ×
Ex : Prendre les
3
de 24
4
3 × 24
3
× 24 =
=
4
4
Remarque : tout nombre peut s’écrire comme une fraction : 7 =
7×
7
1
5 7 5
35
= ×
=
14
14 1 14
VIII. Addition et soustraction de deux ou de plusieurs fractions :
Règle : Pour ajouter 2 fractions qui ont le même dénominateur, on ajoute les numérateurs
et on garde le dénominateur commun.
Ex : Calculer
3 2
+
5 5
Remarque :Si les fractions n’ont pas le même dénominateur
On réduit les fractions au même dénominateur (si ce n’est pas déjà le cas) puis on ajoute
ou on soustrait les numérateurs obtenus et enfin, on simplifie la fraction si c’est possible.
1 1
4 +3=
1×3 1×4
+
=
4×3 3×4
4
3
+
12 12 =
3+4 7
12 = 12
5
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Exercice Calcule les expressions suivantes :
1
1 3
1
2 4
8
5
3
3 3 1
+
;
+
et
+
+
puis
2
+
et
− ×
2
3 5 10
3 5 15
4
2
4 4 2
6