DST3 droites et systemes

Seconde
DST3 droites et systèmes
NOM :
Sujet 1 2013-2014
Prénom :
Exercice 1 :
→ →
Le plan est muni d’un repère (O, i , j ).
1) A partir du graphique, déterminer une équation de chacune des droites d, d’ et d’’.
2) Tracer sur ce même graphique la droite D d’équation y = 2x + 1 et la droite D’ passant
par A(1 ;3) et de coefficient directeur 0,5.
Exercice 2 :
→ →
Le plan est muni d’un repère (O, i , j ).
1) Déterminer les points d’intersection de la droite d d’équation y=2x – 3 avec les axes du
repère.
2) Déterminer une équation de la droite d’ de coefficient directeur –3 passant par le point
5 

.
A 2 ;3 

3) Déterminer une équation de la droite d’’ parallèle à d passant par le point B(-3 ;5).
4) Déterminer une équation de la droite (AB).
5) Déterminer les coordonnées du point d’intersection de (AB) et de d.
Exercice 3 :
Sans les résoudre, indiquer si les systèmes suivants ont une solution, aucune solution ou une
infinité de solutions.
4x - 6y = 9
(S1) 
-10x + 15y = 9
3x - 6y = 9
(S3) 
-2,5x + 5y = -7,5
4x - 6y = 9
(S2) 
3x - 7y = -2
6x - 2y = 5
(S4) 
-9x + 3y = 7,5
Exercice 4 :
Un rectangle a pour périmètre 830 m. Si l’on augmente sa largeur de 20% et si l’on diminue sa
longueur de 25% alors son périmètre diminue de 50 m.
Déterminer les dimensions de ce rectangle.
Barème :
ex 1 : 5 points
ex 2 : 7 points
ex 3 : 4 points
ex 4 : 4 points
1
Seconde
DST3 droites et systèmes
NOM :
Sujet 2 2013-2014
Prénom :
Exercice 1 :
→ →
Le plan est muni d’un repère (O, i , j ).
1) A partir du graphique, déterminer une équation de chacune des droites d, d’ et d’’.
2) Tracer sur ce même graphique la droite D d’équation y = 3x - 1 et la droite D’ passant par
A(2 ;2) et de coefficient directeur -0,5.
Exercice 2 :
→ →
(O, i , j ) est un repère.
1) Expliquer pourquoi l’ensemble des points M dont les coordonnées (x,y) vérifient x – y = 2
est une droite. Préciser alors son coefficient directeur et son ordonnée à l’origine.
2) Mêmes questions avec l’ensemble des points M(x,y) dont les coordonnées vérifient :
x + 3y
-2=0
4
3) Soit d et d’ deux droites dont des équations sont respectivement :
x–y
y = 0,125x + 0,3 et
-2=0
2
Ces deux droites sont-elles parallèles ?
4) Donner une équation de la droite D passant par A(1 ;-2) et parallèle à d.
5) Soit B(1 ;3). Donner une équation de la droite (AB).
Exercice 3 :
Sans les résoudre, indiquer si les systèmes suivants ont une solution, aucune solution ou une
infinité de solutions.
2x - 3y = 3
4x - 6y = 9
(S1) 
(S2) 
x + y = 9
-2x + 3y = -2
2x + 5y = 10
6x - 2y = 5
(S3) 
(S4) 
-5x - 12,5y = -25
4x + 3y = 7,5
Exercice 4 :
Si l’on augmente la longueur d’un rectangle de 2 cm et sa largeur de 3 cm, alors son aire
augmente de 96 cm². En revanche, si l’on diminue sa longueur de 5 cm et sa largeur de 4 cm,
alors son aire diminue de 135 cm².
Déterminer les dimensions de ce rectangle.
Barème :
ex 1 : 5 points
ex 2 : 7 points
ex 3 : 4 points
ex 4 : 4 points
2
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DST3 droites et systèmes
Sujet 1 2013-2014
CORRECTION
Exercice 1 :
→ →
Le plan est muni d’un repère (O, i , j ).
1) A partir du graphique, déterminer une équation de chacune des droites d, d’ et d’’.
2) Tracer sur ce même graphique la droite D d’équation y = 2x + 1 et la droite D’ passant par
A(1 ;3) et de coefficient directeur 0,5.
(d) : x = 2
(d’) : y = 3x – 5
(d’’) : y = 3
2)
3
Seconde
DST3 droites et systèmes
Sujet 1 2013-2014
CORRECTION
Exercice 2 :
→ →
Le plan est muni d’un repère (O, i , j ).
1) Déterminer les points d’intersection de la droite d d’équation y=2x – 3 avec les axes de
coordonnées.
2) Déterminer une équation de la droite d’ de coefficient directeur –3 passant par le point
5 

.
A 2 ;3 

3) Déterminer une équation de la droite d’’ parallèle à d passant par le point B(-3 ;5).
4) Déterminer une équation de la droite (AB).
5) Déterminer les coordonnées du point d’intersection de (AB) et de d.
1)
Intersection avec l’axe des ordonnées : x = 0
y = -3
point (0 ;-3).
Intersection avec l’axe des abscisses : y = 0
x = 1,5
point (1,5;0).
2) Une équation de d’ est du type : y = -3x + b avec b à déterminer.
5 

5
5
13
 ∈ d’
- = -3×2 + b
b=- +6=
A2 ;3 

3
3
3
13
3
3) Les droites d et d’’ étant parallèles ont le même coefficient directeur 2.
Une équation de la droite d’’ est donc du type y = 2x + b avec b à déterminer.
B(-3 ;5) ∈ d’’
5 = 2×(-3) + b
b = 5 + 6 = 11
Une équation de la droite d’’ est y = 2x + 11
4) Une équation de la droite (AB) est du type y = ax + b avec a et b à déterminer.
5
5+
3
∆y
4
Le coefficient a, pente de la droite (AB) est donné, par a =
=
=∆x -3-2
3
4
B(-3 ;5) ∈ (AB)
5 = - ×(-3) + b
b=5–4=1
3
4
Une équation de la droite (AB) est y = - x + 1
3
5) Les coordonnées du point d’intersection de (AB) et d vérifient le système :
6
4
4
y = 2x – 3


10
x=
5
2x – 3 = - x + 1
2x + x = 1 + 3
x=4
4
3
3



3
6
3
 y = - 3 x + 1
 y = 2x - 3
 y = 2x - 3
 y = 2x - 3
y = 2× - 3 = 5
5
6 3 
Les coordonnées du point d’intersection de (AB) et de d sont  ;- 
5 5 
Une équation de la droite d’ est y = -3x +



4
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DST3 droites et systèmes
Sujet 1 2013-2014
CORRECTION
5
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Sujet 1 2013-2014
CORRECTION
Exercice 3 :
Sans les résoudre, indiquer si les systèmes suivants ont une solution, aucune solution ou une infinité
de solutions.
4x - 6y = 9
(S1) 
-10x + 15y = 9
3x - 6y = 9
(S3) 
-2,5x + 5y = -7,5
4x - 6y = 9
(S2) 
3x - 7y = -2
6x - 2y = 5
(S4) 
-9x + 3y = 7,5
ax + by = c
Principe : Pour un système du type 
,
a'x + b'y = c'
on calcule : ab’-a’b
Si ab’-a’b ≠ 0 alors le système admet un couple solution.
Si ab’-a’b = 0 alors on calcule cb’ – bc’.
Si ab’-a’b = 0 et cb’ – bc’ ≠ 0 alors le système n’ a pas de solution
Si ab’-a’b = 0 et cb’ – bc’ = 0 alors le système admet une infinité de solutions.
(S1) : a’b – ab’ = 4×15 - 6×10 = 60 – 60 = 0
cb’ – bc’ = 9×15 + 6×9 = 189 ≠ 0
Le système (S1) n’ a pas de solution.
(S2) : a’b – ab’ = 4×(-7) + 6×3 = - 10 ≠ 0
Le système (S2) a un couple de solutions.
(S3) : a’b – ab’ = 3×5 - 6×2,5 = 9
cb’ – bc’ = 9×5 - 6×7,5 = 0
Le système (S3) admet une infinité de solutions.
(S4) : a’b – ab’ = 6×3 - 2×9 = 18
cb’ – bc’ = 5×3 + 2×7,5 = 30
Le système (S4) n’a pas de solution.
Exercice 4 :
Un rectangle a pour périmètre 830 m. Si l’on augmente sa largeur de 20% et si l’on diminue sa
longueur de 25% alors son périmètre diminue de 50 m.
Déterminer les dimensions de ce rectangle.
Soit x et y les dimensions du rectangle.
Le problème consiste alors a résoudre le système suivant :
x + y = 415
(830-50)

(nouveau demi-périmètre =
= 390
2
1,2x + 0,75y = 390
On peut utiliser la méthode par substitution pour résoudre le système :
x = 415 - y
x = 415 - y
-y


- y) + 0,75y = 390
-0,45y = 390-498
y = 108/0,45=240
Les dimensions initiales du rectangle sont 175 m et 240 m.
x = 415

1,2(415
x = 415 240

y = 240
= 175
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Sujet 2 2013-2014
CORRECTION
Exercice 1 :
→ →
Le plan est muni d’un repère (O, i , j ).
1) A partir du graphique, déterminer une équation de chacune des droites d, d’ et d’’.
2) Tracer sur ce même graphique la droite D d’équation y = 3x - 1 et la droite D’ passant par
A(2 ;2) et de coefficient directeur -0,5.
1)
(d) : y = 2x+1
(d’) : y = -2
(d’’) : x = 5
2)
7
Seconde
DST3 droites et systèmes
Sujet 2 2013-2014
CORRECTION
Exercice 2 :
→ →
Le plan est muni d’un repère (O, i , j ).
1) Expliquer pourquoi l’ensemble des points M dont les coordonnées (x,y) vérifient x – y = 2
est une droite. Préciser alors son coefficient directeur et son ordonnée à l’origine.
x + 3y
2) Mêmes questions avec l’ensemble des points M(x,y) dont les coordonnées vérifient :
4
-2=0
3) Soit d et d’ deux droites dont des équations sont respectivement :
x–y
y = 0,125x + 0,3 et
-2=0
2
Ces deux droites sont-elles parallèles ?
4) Donner une équation de la droite D passant par A(1 ;-2) et parallèle à d.
5) Soit B(1 ;3). Donner une équation de la droite (AB).
1)
x–y=2
y=x–2
De la forme y = ax + b qui est l’équation d’une droite.
Coefficient directeur : 1
Ordonnée à l’origine : -2
x+3y
1
8
–2=0
x+3y – 8 = 0
3y = -x + 8
y=- x+
4
3
3
De la forme y = ax + b qui est l’équation d’une droite.
1
Coefficient directeur : 3
8
Ordonnée à l’origine :
3
x–y
3)
–2=0 x–y–4=0
y=x–4
2
Les coefficients directeurs des deux droites sont différents (0,125 ≠ 1) : donc les droites
ne sont pas parallèles.
2)
4) Une équation de la droite D est de la forme y = 0,125x + b avec b à déterminer.
(même coefficient directeur que la droite d car d et D sont parallèles)
A(1 ;-2) ∈ D
-2 = 0,125×1 + b
b = -2 – 0,125 = -2,125
Une équation de la droite D est y = 0,125x – 2,125.
5) Les points A et B ayant la même abscisse, une équation de la droite (AB) est x = 1.
8
Seconde
DST3 droites et systèmes
Sujet 2 2013-2014
CORRECTION
Exercice 3 :
Sans les résoudre, indiquer si les systèmes suivants ont une solution, aucune solution ou une
infinité de solutions.
2x - 3y = 3
(S1) 
x + y = 9
2x + 5y = 10
(S3) 
-5x - 12,5y = -25
4x - 6y = 9
(S2) 
-2x + 3y = -2
6x - 2y = 5
(S4) 
4x + 3y = 7,5
ax + by = c
Principe : Pour un système du type 
,
a'x + b'y = c'
on calcule : ab’-a’b
Si ab’-a’b ≠ 0 alors le système admet un couple solution.
Si ab’-a’b = 0 alors on calcule cb’ – bc’.
Si ab’-a’b = 0 et cb’ – bc’ ≠ 0 alors le système n’ a pas de solution
Si ab’-a’b = 0 et cb’ – bc’ = 0 alors le système admet une infinité de solutions.
(S1) : a’b – ab’ = 2+3=5≠ 0
Le système a un unique couple de solutions.
(S2) : a’b – ab’ = 4×3-6×2=0
cb’ – bc’ = 3×1+3×9=15
Le système n’a pas de solution.
(S3) : a’b – ab’ = 2×(-12,5)+5×5=0
cb’ – bc’ = 10×(-12,5)+5×25=0
Le système admet une infinité de solutions.
(S4) : a’b – ab’ = 6×3+2×3=24≠0
Le système a un unique couple de solutions.
Exercice 4 :
Si l’on augmente la longueur d’un rectangle de 2 cm et sa largeur de 3 cm, alors son aire augmente
de 96 cm². En revanche, si l’on diminue sa longueur de 5 cm et sa largeur de 4 cm, alors son aire
diminue de 135 cm².
Déterminer les dimensions de ce rectangle.
Soit L et l les dimensions initiales du rectangle.
Le problème se traduit par la résolution du système suivant :
(L + 2)(l + 3) = Ll + 96
Ll + 2l + 3L + 6 = Ll + 96


(L – 5)(l – 4) = Ll - 135
Ll – 5l – 4L + 20 = Ll - 135
2l + 3L = 90

5l + 4L = 155
9
Seconde
DST3 droites et systèmes
Sujet 2 2013-2014
CORRECTION
Système que l’on peut résoudre par la méthode des combinaisons :
-8l

15l
- 12L = -360
+ 12L = 465
en multipliant la première équation par –4 et la deuxième par 3.
-8l + 15l = -360 + 465
 90 - 2l
en additionnant membre à membre les deux équations.
L= 3
l = 105
=15
7
 90 - 2×15
L= 3 =20
Les dimensions initiales du rectangle sont 15 cm et 20 cm.
10