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Seconde 1 2016-2017 sujet 1 IE7 fonctions second degré – droites et systèmes Soit f la fonction définie par f(x) = 2(x – 1)(x – 5) et Cf la courbe représentant f dans un repère. 1) Montrer que f(x) = 2(x – 3)² - 8 2) Donner le tableau des variations de f et donner les coordonnées du sommet S de Cf. 3) Déterminer les coordonnées des points d'intersection de Cf avec les axes du repère. 4) Soit A(3;-2) et B(7;14). Soit d la droite (AB). Déterminer une équation de la droite d. 5) Représenter Cf et d dans un repère orthogonal. 6) Déterminer graphiquement les coordonnées des points d'intersection de Cf et d. 7) Montrer que les abscisses des points d'intersection de Cf et d vérifient l'équation : x² - 8x + 12 = 0 8) Déterminer la forme canonique de la fonction g définie par g(x) = x² - 8x + 12. 9) En déduire par le calcul les coordonnées des points d'intersection de Cf et d. 10) Déterminer une équation de la droite (d') passant par le sommet S de Cf et parallèle à la droite (d). 11) Vérifier que le point C(5;0) appartient à la droite (d'). Seconde 1 2016-2017 sujet 2 IE7 fonctions second degré – droites et systèmes Soit f la fonction définie par f(x) = -3(x + 1)(x – 3) et Cf la courbe représentant f dans un repère. 1) Montrer que f(x) = -3(x - 1)² + 12 2) Donner le tableau des variations de f et donner les coordonnées du sommet S de Cf. 3) Déterminer les coordonnées des points d'intersection de Cf avec les axes du repère. 4) Soit A(-2;-3) et B(3;12). Soit d la droite (AB). Déterminer une équation de la droite d. 5) Représenter Cf et d dans un repère orthogonal. 6) Déterminer graphiquement les coordonnées des points d'intersection de Cf et d. 7) Montrer que les abscisses des points d'intersection de Cf et d vérifient l'équation : x² - x - 2 = 0 8) Déterminer la forme canonique de la fonction g définie par g(x) = x² - x - 2. 9) En déduire par le calcul les coordonnées des points d'intersection de Cf et d. 10) Déterminer une équation de la droite (d') passant par le sommet S de Cf et parallèle à la droite (d). 11) Vérifier que le point C(0;9) appartient à la droite (d'). 1 Seconde 1 2016-2017 sujet 1 IE7 fonctions second degré – droites et systèmes CORRECTION Soit f la fonction définie par f(x) = 2(x – 1)(x – 5) et Cf la courbe représentant f dans un repère. 1) Montrer que f(x) = 2(x – 3)² - 8 2) Donner le tableau des variations de f et donner les coordonnées du sommet S de Cf. 3) Déterminer les coordonnées des points d'intersection de Cf avec les axes du repère. 4) Soit A(3;-2) et B(7;14). Soit d la droite (AB). Déterminer une équation de la droite d. 5) Représenter Cf et d dans un repère orthogonal. 6) Déterminer graphiquement les coordonnées des points d'intersection de Cf et d. 7) Montrer que les abscisses des points d'intersection de Cf et d vérifient l'équation : x² - 8x + 12 = 0 8) Déterminer la forme canonique de la fonction g définie par g(x) = x² - 8x + 12. 9) En déduire par le calcul les coordonnées des points d'intersection de Cf et d. 10) Déterminer une équation de la droite (d') passant par le sommet S de Cf et parallèle à la droite (d). 11) Vérifier que le point C(5;0) appartient à la droite (d'). 1) 2(x – 3)² - 8 = 2(x² - 6x + 9) – 8 = 2x² - 12x + 18 – 8 = 2x² - 12x + 10 f(x) = 2(x² - 5x – x + 5) = 2(x² - 6x + 5) = 2x² - 12x + 10 donc f(x) = 2(x – 3)² - 8 2) Comme a = 2 > 0, f est décroissante sur ] - ; 3] et croissante sur [3; + [. Tableau des variations de f : x - Variations de f 3 + -8 Le sommet S de la parabole Cf a pour coordonnées (3;-8). 3) f(0) = 2(0 – 1)(0 – 5) = 2(-1)(-5) = 10 Donc le point d'intersection de Cf avec l'axe des ordonnées a pour coordonnées (0;10). f(x) = 0 2(x – 1)(x – 5) = 0 x – 1 = 0 ou x – 5 = 0 x = 1 ou x = 5 Donc les 2 points d'intersection de Cf avec l'axe des abscisses ont pour coordonnées (1;0) et (5;0). 4) Une équation de la droite (AB) est de la forme : yB – yA y= (x – xA) + yA xB – xA 2 Seconde 1 2016-2017 sujet 1 IE7 fonctions second degré – droites et systèmes CORRECTION 14 – (-2) Soit y = (x – 3) – 2 7-3 Soit y = 4(x – 3) – 2 Soit y = 4x – 12 – 2 Une équation de la droite (AB) est donc y = 4x – 14. 5) 6) Il semble que les deux points d'intersection de Cf et d aient pour coordonnées : (2;-6) et (6;10). y = 2x² - 12x + 10 7) M(x;y) Cf d y = 4x - 14 2x² - 12x + 10 = 4x – 14 y = 4x - 14 2x² - 12x – 4x + 10 + 14 = 0 y = 4x - 14 2x² - 16x + 24 = 0 y = 4x - 14 x² - 8x + 12 = 0 y = 4x - 14 Donc les abscisses x des points d'intersection de Cf et d vérifient bien l'équation : x² - 8x + 12 = 0 8) g(x) = x² - 8x + 12 = ax² + bx + c avec a = 1, b = -8 et c = 12 La forme canonique de g est de la forme g(x) = a(x - )² + avec : b -8 =- == 4 et = g() = 4² - 84 + 12 = 16 – 32 + 12 = -4 2a 21 Donc la forme canonique de g est : g(x) = (x -4)² - 4 g(x) = 0 9) M(x;y) Cf d y = 4x - 14 (x - 4)² - 4 = 0 y = 4x - 14 3 Seconde 1 2016-2017 sujet 1 IE7 fonctions second degré – droites et systèmes CORRECTION x - 4 = -2 ou x - 4 = 2 y = 4x - 14 x = 2 ou x = 6 y = 4x - 14 (x = 2 et y = 42 – 14 = -6) ou (x = 6 et y = 46 – 14 = 10) On retrouve les deux points de coordonnées (2;-6) et (6;10). 10) Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur. Donc une équation de (d') est de la forme : y = 4x + p S(3;-8) (d') donc -8 = 43 + p Donc p = -8 – 12 = -20 Donc une équation de (d') est y = 4x – 20 11) 45 – 20 = 0 donc C(5;0) (d'). 4 Seconde 1 2016-2017 sujet 2 IE7 fonctions second degré – droites et systèmes CORRECTION Soit f la fonction définie par f(x) = -3(x + 1)(x – 3) et Cf la courbe représentant f dans un repère. 1) Montrer que f(x) = -3(x - 1)² + 12 2) Donner le tableau des variations de f et donner les coordonnées du sommet S de Cf. 3) Déterminer les coordonnées des points d'intersection de Cf avec les axes du repère. 4) Soit A(-2;-3) et B(3;12). Soit d la droite (AB). Déterminer une équation de la droite d. 5) Représenter Cf et d dans un repère orthogonal. 6) Déterminer graphiquement les coordonnées des points d'intersection de Cf et d. 7) Montrer que les abscisses des points d'intersection de Cf et d vérifient l'équation : x² - x - 2 = 0 8) Déterminer la forme canonique de la fonction g définie par g(x) = x² - x - 2. 9) En déduire par le calcul les coordonnées des points d'intersection de Cf et d. 10) Déterminer une équation de la droite (d') passant par le sommet S de Cf et parallèle à la droite (d). 11) Vérifier que le point C(0;9) appartient à la droite (d'). 12) f(x) = -3(x + 1)(x – 3) = -3(x² -3x + x – 3) = -3(x² - 2x – 3) = -3x² + 6x + 9 -3(x - 1)² + 12 = -3(x² - 2x + 1) + 12 = -3x² + 6x – 3 + 12 = -3x² + 6x + 9 Donc f(x) = -3(x – 1)² + 12 2) Comme a = -3 < 0, f est croissante sur ] - ; 1] et décroissante sur [1; + [. Tableau des variations de f : x - Variations de f 1 12 + Le sommet S de la parabole Cf a pour coordonnées (1;12). 3) f(0) = -3(0 + 1)(0 – 3) = -31(-3) = 9 Donc le point d'intersection de Cf avec l'axe des ordonnées a pour coordonnées (0;9). f(x) = 0 -3(x + 1)(x – 3) = 0 x + 1 = 0 ou x – 3 = 0 x = -1 ou x = 3 Donc les 2 points d'intersection de Cf avec l'axe des abscisses ont pour coordonnées (-1;0) et (3;0). 4) Une équation de la droite (AB) est de la forme : yB – yA y= (x – xA) + yA xB – xA 12 – (-3) Soit y = (x + 2) - 3 3 - (-2) 5 Seconde 1 2016-2017 sujet 2 IE7 fonctions second degré – droites et systèmes CORRECTION Soit y = 3(x + 2) - 3 Soit y = 3x + 6 - 3 Une équation de la droite (AB) est donc y = 3x + 3. 5) 6) Il semble que les deux points d'intersection de Cf et d aient pour coordonnées : (-1;0) et (2;9). y = -3x² + 6x + 9 7) M(x;y) Cf d y = 3x + 3 -3x² + 6x + 9 = 3x + 3 y = 3x + 3 -3x² + 6x – 3x + 9 - 3 = 0 y = 3x + 3 -3x² + 3x + 6 = 0 y = 3x + 3 x² - x - 2 = 0 y = 3x + 3 Donc les abscisses x des points d'intersection de Cf et d vérifient bien l'équation : x² - x - 2 = 0 8) g(x) = x² - x - 2 = ax² + bx + c avec a = 1, b = -1 et c = -2 La forme canonique de g est de la forme g(x) = a(x - )² + avec : b -1 1 1 1 1–2–8 9 a=- == et = g() = - - 2 = =2a 21 2 4 2 4 4 1 ² 9 Donc la forme canonique de g est : g(x) = x – 4 2 9) M(x;y) Cf d g(x) = 0 y = 3x + 3 x - 1 ² - 9 = 0 2 4 y = 3x + 3 6 Seconde 1 2016-2017 sujet 2 IE7 fonctions second degré – droites et systèmes CORRECTION x - 1 = - 3 ou x - 1 = 3 2 2 2 2 y = 3x + 3 x = -1 ou x = 2 y = 3x + 3 (x = -1 et y = 3(-1) + 3 = 0) ou (x = 2 et y = 32 + 3 = 9) On retrouve les deux points de coordonnées (-1;0) et (2;9). 10) Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur. Donc une équation de (d') est de la forme : y = 3x + p S(1;12) (d') donc 12 = 31 + p Donc p = 12 - 3 = 9 Donc une équation de (d') est y = 3x + 9 11) 30 + 9 = 0 donc C(0;9) (d'). 7
