Seconde - IE6 fonctions du second degré et équations de droites

Seconde 1 2016-2017 sujet 1
IE6 fonctions second degré – droites et systèmes
1
Soit f la fonction définie par f(x) = 2(x – 1)(x – 5) et Cf la courbe représentant f dans un
repère.
1) Montrer que f(x) = 2(x – 3)² - 8
2) Donner le tableau des variations de f et donner les coordonnées du sommet S de Cf.
3) Déterminer les coordonnées des points d'intersection de Cf avec les axes du repère.
4) Soit A(3;-2) et B(7;14).
Soit d la droite (AB).
Déterminer une équation de la droite d.
5) Représenter Cf et d dans un repère orthogonal.
6) Déterminer graphiquement les coordonnées des points d'intersection de Cf et d.
7) Montrer que les abscisses des points d'intersection de Cf et d vérifient l'équation :
x² - 8x + 12 = 0
8) Déterminer la forme canonique de la fonction g définie par g(x) = x² - 8x + 12.
9) En déduire par le calcul les coordonnées des points d'intersection de Cf et d.
10) Déterminer une équation de la droite (d') passant par le sommet S de Cf et parallèle à
la droite (d).
11) Vérifier que le point C(5;0) appartient à la droite (d').
Seconde 1 2016-2017 sujet 2
IE6 fonctions second degré – droites et systèmes
Soit f la fonction définie par f(x) = -3(x + 1)(x – 3) et Cf la courbe représentant f dans un
repère.
1) Montrer que f(x) = -3(x - 1)² + 12
2) Donner le tableau des variations de f et donner les coordonnées du sommet S de Cf.
3) Déterminer les coordonnées des points d'intersection de Cf avec les axes du repère.
4) Soit A(-2;-3) et B(3;12).
Soit d la droite (AB).
Déterminer une équation de la droite d.
5) Représenter Cf et d dans un repère orthogonal.
6) Déterminer graphiquement les coordonnées des points d'intersection de Cf et d.
7) Montrer que les abscisses des points d'intersection de Cf et d vérifient l'équation :
x² - x - 2 = 0
8) Déterminer la forme canonique de la fonction g définie par g(x) = x² - x - 2.
9) En déduire par le calcul les coordonnées des points d'intersection de Cf et d.
10) Déterminer une équation de la droite (d') passant par le sommet S de Cf et parallèle à
la droite (d).
11) Vérifier que le point C(0;9) appartient à la droite (d').

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IE6 fonctions second degré – droites et systèmes
CORRECTION
2
Soit f la fonction définie par f(x) = 2(x – 1)(x – 5) et Cf la courbe représentant f dans un
repère.
1) Montrer que f(x) = 2(x – 3)² - 8
2) Donner le tableau des variations de f et donner les coordonnées du sommet S de Cf.
3) Déterminer les coordonnées des points d'intersection de Cf avec les axes du repère.
4) Soit A(3;-2) et B(7;14).
Soit d la droite (AB).
Déterminer une équation de la droite d.
5) Représenter Cf et d dans un repère orthogonal.
6) Déterminer graphiquement les coordonnées des points d'intersection de Cf et d.
7) Montrer que les abscisses des points d'intersection de Cf et d vérifient l'équation :
x² - 8x + 12 = 0
8) Déterminer la forme canonique de la fonction g définie par g(x) = x² - 8x + 12.
9) En déduire par le calcul les coordonnées des points d'intersection de Cf et d.
10) Déterminer une équation de la droite (d') passant par le sommet S de Cf et parallèle à la
droite (d).
11) Vérifier que le point C(5;0) appartient à la droite (d').
1) 2(x – 3)² - 8 = 2(x² - 6x + 9) – 8 = 2x² - 12x + 18 – 8 = 2x² - 12x + 10
f(x) = 2(x² - 5x – x + 5) = 2(x² - 6x + 5) = 2x² - 12x + 10
donc f(x) = 2(x – 3)² - 8
2) Comme a = 2 > 0, f est décroissante sur ] - ; 3] et croissante sur [3; + [.
Tableau des variations de f :
Le sommet S de la parabole Cf a pour coordonnées (3;-8).
3) f(0) = 2(0 – 1)(0 – 5) = 2(-1)(-5) = 10
Donc le point d'intersection de Cf avec l'axe des ordonnées a pour coordonnées
(0;10).
f(x) = 0  2(x – 1)(x – 5) = 0
 x – 1 = 0 ou x – 5 = 0
 x = 1 ou x = 5
Donc les 2 points d'intersection de Cf avec l'axe des abscisses ont pour
coordonnées (1;0) et (5;0).
4) Une équation de la droite (AB) est de la forme :
y = yB – yA
xB – xA(x – xA) + yA
x
Variations de f
-
3
-8
+

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CORRECTION
3
Soit y = 14 – (-2)
7 - 3 (x – 3) – 2
Soit y = 4(x – 3) – 2
Soit y = 4x – 12 – 2
Une équation de la droite (AB) est donc y = 4x – 14.
5)
6) Il semble que les deux points d'intersection de Cf et d aient pour
coordonnées : (2;-6) et (6;10).
7) M(x;y)  Cf  d  
y = 2x² - 12x + 10
y = 4x - 14
2x² - 12x + 10 = 4x – 14
y = 4x - 14
2x² - 12x – 4x + 10 + 14 = 0
y = 4x - 14
2x² - 16x + 24 = 0
y = 4x - 14
x² - 8x + 12 = 0
y = 4x - 14
Donc les abscisses x des points d'intersection de Cf et d vérifient bien
l'équation : x² - 8x + 12 = 0
8) g(x) = x² - 8x + 12 = ax² + bx + c avec a = 1, b = -8 et c = 12
La forme canonique de g est de la forme g(x) = a(x - )² +  avec :
 = - b
2a = - -8 21 = 4 et  = g() = 4² - 84 + 12 = 16 – 32 + 12 = -4
Donc la forme canonique de g est : g(x) = (x -4)² - 4
9) M(x;y)  Cf  d  
g(x) = 0
y = 4x - 14
(x - 4)² - 4 = 0
y = 4x - 14

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CORRECTION
4
x - 4 = -2 ou x - 4 = 2
y = 4x - 14
x = 2 ou x = 6
y = 4x - 14
 (x = 2 et y = 42 – 14 = -6) ou (x = 6 et y = 46 – 14 = 10)
On retrouve les deux points de coordonnées (2;-6) et (6;10).
10) Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur.
Donc une équation de (d') est de la forme :
y = 4x + p
S(3;-8)  (d') donc -8 = 43 + p
Donc p = -8 – 12 = -20
Donc une équation de (d') est y = 4x – 20
11) 45 – 20 = 0 donc C(5;0)  (d').

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IE6 fonctions second degré – droites et systèmes
CORRECTION
5
Soit f la fonction définie par f(x) = -3(x + 1)(x – 3) et Cf la courbe représentant f dans un
repère.
1) Montrer que f(x) = -3(x - 1)² + 12
2) Donner le tableau des variations de f et donner les coordonnées du sommet S de Cf.
3) Déterminer les coordonnées des points d'intersection de Cf avec les axes du repère.
4) Soit A(-2;-3) et B(3;12).
Soit d la droite (AB).
Déterminer une équation de la droite d.
5) Représenter Cf et d dans un repère orthogonal.
6) Déterminer graphiquement les coordonnées des points d'intersection de Cf et d.
7) Montrer que les abscisses des points d'intersection de Cf et d vérifient l'équation :
x² - x - 2 = 0
8) Déterminer la forme canonique de la fonction g définie par g(x) = x² - x - 2.
9) En déduire par le calcul les coordonnées des points d'intersection de Cf et d.
10) Déterminer une équation de la droite (d') passant par le sommet S de Cf et parallèle à la
droite (d).
11) Vérifier que le point C(0;9) appartient à la droite (d').
12) f(x) = -3(x + 1)(x – 3) = -3(x² -3x + x – 3) = -3(x² - 2x – 3) = -3x² + 6x + 9
-3(x - 1)² + 12 = -3(x² - 2x + 1) + 12 = -3x² + 6x – 3 + 12 = -3x² + 6x + 9
Donc f(x) = -3(x – 1)² + 12
2) Comme a = -3 < 0, f est croissante sur ] - ; 1] et décroissante sur [1; + [.
Tableau des variations de f :
Le sommet S de la parabole Cf a pour coordonnées (1;12).
3) f(0) = -3(0 + 1)(0 – 3) = -31(-3) = 9
Donc le point d'intersection de Cf avec l'axe des ordonnées a pour coordonnées (0;9).
f(x) = 0  -3(x + 1)(x – 3) = 0
 x + 1 = 0 ou x – 3 = 0
 x = -1 ou x = 3
Donc les 2 points d'intersection de Cf avec l'axe des abscisses ont pour
coordonnées (-1;0) et (3;0).
4) Une équation de la droite (AB) est de la forme :
y = yB – yA
xB – xA(x – xA) + yA
Soit y = 12 – (-3)
3 - (-2) (x + 2) - 3
x
Variations de f
-
1
12
+