1 S DS 1 (calculatrice non autorisée) On considère la fonction f

1èreS
Exercice 1 : (
DS 1
(calculatrice non autorisée)
10,5 points)
y
On considère la fonction f définie sur ℝ par : f ( x)  3x 2  3x  2 .
La courbe C f représentative de la fonction f est donnée ci-contre.
1) On considère la fonction g définie sur ℝ par : g ( x)   x 2  x  6 .
a) Déterminer la forme canonique de g.
b) Dresser le tableau de variation de g (en justifiant).
c) Calculer les coordonnées du point d’intersection de la
courbe C g représentative de g avec l’axe des ordonnées.
d) Calculer les coordonnées des points d’intersection de C g
avec l’axe des abscisses.
e) Tracer la courbe C g dans le repère ci-contre.
1
0
1
x
2) a) Résoudre graphiquement l’équation f (x) = g (x) .
b) Résoudre par le calcul l’équation f (x) = g (x) .
Exercice 2 : ( 5 points)
On considère la fonction h définie sur ℝ par : h( x)   x 3  3x 2  3x  2 .
1) Calculer h(2) .
2) Vérifier que pour tout réel x, h(x)  2  x  x 2  x  1 .
3) En déduire le(s) solution(s) de l’équation h(x) = 0.
4) Résoudre l’inéquation h(x)  0 .


Avec calculatrice
Exercice 3 : (4,5 points
)
ABCD est un carré de 10 cm de côté et AMPN un carré de côté x, on désigne par s(x)
l’aire en cm2 de la partie coloriée.
1) Quel est l’ensemble de définition de la fonction s ?
2) Démontrer que pour tout nombre x de l’ensemble de définition de la fonction s,
on a :
s(x) = - x2 + 5x + 50
3) Quel est l’ensemble des nombres x pour lesquels s(x)  aire(AMPN).
y
S
1èreS
Correction DS 1
Exercice 1 :
1 a) g est une fonction polynôme de degré 2 avec a = -1 , b = -1 et c = 6. Sa courbe C g
est une parabole dont le sommet S a pour coordonnées  ;   avec   
 1
 2
2
 1
 2
1
4
  g(  )          6   
A
b
1
  et
2a
2
1
25
6
2
4
1
2
B
1
25

La forme canonique de g est donc : g( x )   x   
2
4


C
0
1
x
b) a < 0 donc g est strictement croissante sur ]   ;-0,5] et est strictement
décroissante sur [-0,5 ;   [.
x
-0,5


25
4
g (x)
c) Pour trouver les coordonnées du point d’intersection de la courbe C g avec l’axe des ordonnées , on calcule :
g 0  0 2  0  6  6 . Le point A 0 ; 6 est le point d’intersection de C g avec l’axe des ordonnées .
d) Pour trouver les coordonnées des points d’intersection de C g avec l’axe des abscisses, on résout l’équation g( x ) = 0
soit  x 2  x  6 = 0.   b 2  4ac  25 ,   0 donc l’équation  x 2  x  6 = 0 a 2 solutions :
x1 
b 
b 
 3 et x 2 
 2 . Les points B
2a
2a
 3; 0 et C 2 ; 0 sont les points d’intersection de C g
avec l’axe
des abscisses.
2 a) Les solutions de l’équation f (x) = g (x) sont les abscisses des points d’intersection des courbes C f et C g donc
)
graphiquement S ={-2 ; 1}
b) f (x) = g (x)  3x 2  3x  2 =  x 2  x  6  4 x 2  4 x  8  0 4(x2 + x – 2) = 0 x2 + x – 2 = 0
  9 ,   0 donc l’équation x 2  x  2  0 a 2 solutions : x1  2 et x2  1 . S = {-2 ;1}
Exercice 2 :
On considère la fonction h définie sur ℝ par : h( x)   x 3  3x 2  3x  2 .
1) h(2) = -23 + 3× 22 – 3×2 + 2 = -8 + 12 – 6 + 2 = 0 .
2) Pour tout réel x, 2  x  x 2  x  1 = 2x2 – 2x + 2 – x3 + x2 – x = – x3 + 3x2 – 3x + 2= h(x)
3) h(x) = 0  2  x  x 2  x  1 = 0  2 – x = 0 ou x2 – x + 1 = 0
 2–x =0 x=2
 x2 – x + 1 = 0 Δ = b2 – 4ac = 12 – 4×1 = -3, Δ <0 donc l’équation x2 – x + 1 = 0 n’a aucune solution.
On a alors donc S ={ 2 }
2
4) Le signe du trinôme x – x + 1 est toujours du signe de 1, c'est-à-dire positif.
x
2


+
0
–
Signe de 2 – x
2
+
+
Signe de x – x + 1




+
Signe de h( x )
L’ensemble des solutions de l’inéquation h(x)  0 est ]-  ; 2 ] .
Exercice 3 :
1) L’ensemble de définition de s est [ 0 ; 10].
2) Pour tout réel x de [ 0 ; 10],
s(x) = aire(ABCD) – aire(AMPN) – aire(CDP) = 100  x 2 
0
-
10(10  x)
 100  x 2  5(10  x)   x 2  5 x  50
2
3)Pour tout réel x de [ 0 ; 10],
s(x)  aire(AMPN)  - x2 + 5x + 50  x2  - x2 + 5x + 50 – x2  0  - 2x2 + 5x + 50  0 .
Déterminons le signe du trinôme -2x2 + 5x + 50 en recherchant ses éventuelles racines.
Δ = b2 – 4ac = 52 – 4×(-2) ×50 = 425, Δ > 0 donc l’équation -2x2 + 5x + 50 = 0 a deux solutions.
 b    5  425 5  5 17
 b    5  425 5  5 17
x1 


x2 


2a
4
4
2a
4
4
Comme a = -2, le trinôme -2x2 + 5x + 50 est négatif sauf entre ses racines.
Donc pour tout réel x de [
5  5 17
;10], s(x) aire(AMPN).
4